Philosophia libera seu eclectica rationalis, et mechanica sensuum ad studiosæ iuventutis institutionem accomodata. Auctore p. ig. Monteiro s.i. Lusitano. Tomus 1. 8. Tomus 1. In quo necessaria philosophiæ prolegomena, hoc est, Elementa geometriæ, & H

61쪽

res duobus rectis; cum a recta BR in rectam XX incidente supra eamdem rectam X X efficiantur mga): ob eamdem causam erunt duobus rectis aequa Ies duo anguli X, & N: sunt ieitur aequales summae angulorum R, X, ex una parte. X, N ex alia: ablatoque communi angulo X ab utraque parte , re linquuntur anguli N, R aequales. ax. 6. n. 27. DEFINITIO. 4. Sinus arcus B H Fig. x ε. ost recta B I ab extremitate ipsus arcus B ad radium D H per aliam ejusdem arcus extremitatem H ductum perpendicu- Iaris. Sinti, RI dicitur in distri minatim Sinas arcus

B H , vel anguli B D H , seu B DI , cujus praedictus

arcus et mensura. Generatim autem Sinus angulicujuscunque B DI est recta BI ab extremitate unius lateris ad aliud latus perpendicularis. In eoinde in , aut aequalibus circulis Sinus aequales BI , ICfunt sinus aequalium arcuum B H, H C, aut aequa itum angulorum BDI, CDI, ut est manifestum.

rectas parallelas AB, C D secueris , erunt primi a terni anguli N , M , aut O , S aequales : Secundo duo ad eamdem partem interni R S simul jumpii aequantur duobus rectis. Tert. externus v. g. N onomo interno v aequalis est. Demonstr. Prima Pars. Ex sectionibus C. & B, tamquam Centris, communi tintervallo CB describantur arcus RS inter easdem parallelas ; ducanturque rectae C Λ , B D ad singulas parallelas perpendiculares, quae erunt angulorum N Μ , seu arcuum RS linus , Ac inter se aequales , ex paralle tarum definitione n. 3'. 8 l. Sunt igitur aequales

arcus R S s n. 8 ὶ, ct consequenter anguli NM, quorum sunt mensurae n. 36. . Idem pari modo de angulis R U Fig. 23. demonstrabitur. Secunda Pars. Anguli R, & simul aequantur

duobus rectis in. 8a : Sed angulus o idem est , atque

62쪽

illi

que angulus S , per primam partem : ergo anguli R S simul sumpti aequantur duobus rectis. Tertia Pars. Angulus S par est angulo O, per primam partem r angulus o par est angulo X Opposito ad Verticem n. 83. : ergo angulus S par est angulo X opposito externo o. 3. n. 27 ὶ . PROPOSITIO Q. THEOREO.86. Si a recta XX, auι BC s Fig. 33 as. duas rectas AB, CD secante, fiant alterni anguli N. Μ aequales ; aut duo ad eamdem partem interni RS simul aequales duobus rectis; aut externus X aequalis opposito imterno S, erunt duae rectae AB, CD parallelae. Haec propositio est prioris Conversa. Demonstr. Prima pars. Ducantur, ut prius rectae AC, BD, & arcus RS; sunt aequales anguli NM. per hypothesim: erunt etiam aequales arcus RS, e rum angulorum mensurae n. 36 : ergo etiam rectae AC , BD praedictorum arcuum , & angulorum aequalium sinus in. 8 ὶ: aequidistant igitur Λ B, CD, &consequenter sunt parallelae. Secunda Pars. Duo anguli Ro simul sunt aequa-Ies duobus rectis sn. 81ὶr idem est de duobus angulis RS ; ablato igitur utrimque communi angulo R supersunt duo anguli S, O aequales inter se, dc alterni: ergo per pr)mam partem erunt AB, CD parallelae. Tertia Pars. Angulus X est par angulo O ad verticem opposito n. 83j: quoniam igitur ponitur aequa- Iis angulo S interno opposito; erit angulus S alte no O aequalis: dc rectae AB, CD parallelae per pri

mam partem.

DEFINITIO.87. Avalus in Semicirculo est ΟΜΟ Fig. 3α , cujus apex in periphaeria , & laterum extrema in diametri Oo extremitatibus cadunt. Universim Angulus in Segmento v. g. Λ E D C est Λ DC, cujus apex est in ejus segmenti peripheria , laterum. extrema ira ejusdem arcus extremitates AC Fig. a ) cadunt. Angulus autem Sumenti B E C. v. g. Mont. Phila. Tom. I. C est

63쪽

3 PHILOSOPHIAE NATURALIS. est angulus ABC, quem tangens AB, & chorda ejusdem seginenti essiciunt. s Fig. 27 .

D EF INIT IO. 88. Angulus ad centrum est ABC s Fig. 26 , cuius apex in Centro , & latera sunt duo circuli radii in B, C B. Angulus ad periphaeriam est A DC, cujus vertex in periphaeria, latera intra circulum cadunt; dicitur etiam Angulus inscriptus. Angulus circumscriptus est EFG, cujus apex F est extra circulum ; latera periphaeriam tangunt.

PROPOSITIO XVI. THEORE . 89. Augulus Segmenti cujuscumque, v. g. ABC Fig. 28. habet pro mensura dimidium ejusdem Segmenti BHC arcum BH aut HC. Demonstr. Ducatur diameter EF chordae BC parallela , & alia item diameter H G ad eamdem perpendicularis ; & radius insuper I B ad tangentem D A rectus: modo sic: HG & chordam BC, cui est perpendicularis , & arcum B H C per medium secat n. 7 J; estque arcus B H , dimidium arcus BC , mensura anguli BIH n. 36 : sed idem est mensura anguli ABC: sunt enim anguli IBΛ, HIE aequales, utpote recti n.6ii: ablatis igitur utrimque ansulis BIE,& IBC alternis inter parallelas BC, EF, ac proinde aequalibus n. 8s); supersunt anguli HIB. Λ BC aequales ax. 6: n. 17 ): habent

proinde eamdem mensuram in. 36). Idem demonstrabitur de angulo CBD relate ad arcum BGC, ejus scilicet segmentum ; cum enim duo anguli CBΛ, CBD, sint duobus rectis aequales s n. 8ain, habeant semicircumferentiam pro mensura n. 6I , sitque arcus B H mensura anguli CRA, erit arcus BEG, reliqua semicircumferentiae HEG pars, & segmenti BUC dimidium, anguli Cn

Diuitiatio by Corale

64쪽

9o. Angulus ABC Fig. 29 ad circumferentiam baιet pro mensura dimidium arcus Λ C, cui insistit ;esque proinde dimidium anguli ad centrum in eodem arcu insistentis. Demonstr. Λnguli Μ, Ν, Ο, cum sint duobus rectis aequales n. 8a , habent pro mensura semici cumferentiain circuli, quae ab angulorum lateribus BA, BC in tres arcus est divisa e cum igitur anguli Μ, Ο habeant pro mensura dimidia suorum arcuum, aut segmentorum X, Z n. 89); angulus Nhabebit pro mensura dimidium reliqui arcus AC, cui insistit; eo enim pacto tria trium arcuum dimidia semicircumferentiam emciunt. Secunda Pars. Λnguli ABC Fig. 26ὶ ad centrum mensura est arcus integer Λ C, cui insistit n. 36ὶ: anguli autem ADC ad circumferentiam mensura est dimidium arcus ejusdem ΑC, cui etiam insistit, ut modo probavimus: ergo angulus Λ DC

est dimidium anguli ABC. COROLLAR I Μ.9r. Omnes anguli Ο Ο Ο Fig. 3o. ad circumserentiam , &' in eodem arcu insistentes sunt aequales': omnes enim sunt dimidium ejusdem anguli ad centrum , qui in eodem arcu AC insistit . Ex eadem ratione angulus CBD Fig. 3r. in semicirculo est rectus : in segmento minore BEC Fig. 27. est maior recto : in segmento majore BFC est minor recto . Uemonstratur. Angulus CBD habet pro mensura quadrantem circuli, dimidium scilicet semicirculi CND, cui insistit n. 89 : ergo est angulus re ctus . Rursus angulus B PC insistit in arcu B FC

majori, quam semicirculus: angulus autem F. in arcu B E C minori: cum ergo eorum arcuum dimidia snt praedictorum angulorum mensurae n. 89 ; primus majorem, secundus minorem quadrante habet mensuram: Primus igitur est recto major, secundus

vero minor.

65쪽

3 6 PHILOSOPHIAE NATURALIs

De figuris planis , earumque proprietatibus . DEFINITIO.92. Figura plana est quaecumque superficies plana lineis undique terminata; quae latera figurae plerumque dici solent. Si. ad latera attendamus, in Rect Iineas , curvilineas , o mixtilineas dividuntur figurae. Rectilineae sunt quae rectis: Cisrvilineae, quae curvis: Mixtilineae, quae partim rediis, partim curvis lineis terminantur. Figura Regularis est, quae & angulos, ct latera habet inter se aequalia. Irrutilaris, est culus latera , vel anguli , aut utraque sunt inter senaequalia; anguli scilicet angulis , latera lateribus. DEFINITIO.'3. Latera figurae simul sumpta ejusdem figurae

perimeter , dc ammus nuncupantur. Area vero est spatium a lateribus comprehensum . Basis est latus quodcumque ΑC Fig. 3 j, quo innititur figura. Vertex est punctum B basi oppositum, Ac ab illa remotissimum. Altitudo figurae cujuscumque est perpendicularis a Vertice in basim ducta v. g. B X. Aliquando cadit

extra figuram.

DEFINITIO.s . Figura rectilinea aequilatera C ABD Fig. 33

est, quae habet omnia latera sibi mutuo aequalia . Dicitur aequiangula , si habeat omnes angulos sbi mutuo aequales. Duae autem , aut plures figurae sunt sibi mutuo aequilaterae, aut aequiangulae , si unius latera, aut anguli licet inter se inaequales in lateri-hus. aut angulis alterius sint aequales ; singula sin

tur. DE Diuiti by Co l

66쪽

DEFINITIO.ys. Triangulum planum est sit perficies tribus linei, comprehensa , puta NYΜ Fig. 39 . Relate ad latera dicitur Rectilineum, Curvilineum , Mixtilineum,& .Equilaterum quae nomina superius explicavimus . UUceles et , cuius duo solum latera sunt inter se aequalia, ut o Ο Fig. 32. Scalenum, cuius omnia latera sunt sibi mutuo inaequalia, ut ABC Fig. 3 in . . Si angulos spectes dicitur Rectangulum, quod angulum habet rectum, ut ΟΜΟ Fig. 32 . Acutangulum, cujus omnes anguli sunt acuti, ut MOL Fig. 24 . Obt angulum, cuius alter angulus est obtusus,

recto Μ oppositum dicitur Hipothenuis. DEFINITIO. 196. Figura quadrilatera Reeti linea est ' superficies plana rectis lineis comprehensa. Dividitur in Quadratum, Rectangulum, Rhombum, Rhomboidem , Trapezium &c. Quadratum est CD s Fig. 3 s),. quod latera habet aequalia , dc angulos rectos . Rectangulum CD Fig. 33 3 est , quod angulos omnes habet re ctos: at opposita tantum latera sibi mutuo aequalia . Rhombus est C Λ Fig. 37ὶ quadrilaterum aequitate rum, sed non aequiangulum . Rhomboides est quadrilaterum CD s Fig. 36 , quod neque aequi laterum , neque sequiangulum est; sed latera tantummodo, dc anguli appositi sunt aequales. Trapezium denique est

quodcumque quadrilaterum Z S T R Fig. σοὶ, culus opposita latera sunt inaequalia. DEFINITIO.97. Parallelogramum est quodcumque quadrilaterum T SHL Fig. cujus opposita latera sunt parallela. Omnes Quadratum , Rectangulum, Rhombus ,& Rhomboides sunt Parallelograma . Diagonatis Quadrilateri est recta A R Fig. 33 36. Acc. ab uno ad Oppositum Magulum ducta. Omnis figura plana, qua

67쪽

38 PHILOIOPHIAE NATURALIS

plura, quam quatuor, latera habeat, dicitur generali voce Pol gonum. Angulus externus cujuscumque figurae est BCD, v. g. quem latus AC exterius productum una cum alio .latere CB adjacente essicit. Fig. 6O. .

bus rectis : externus autem DCB Fig. 6o. . duobus

internis oppositis A B aequalis es. Demonstr. Prima Pars . Per punctum Y, apicem trianguli, ducatur recta Λ E bali parallela : modo sic: tres anguli ZYX aequivalent duobus rectis t n. 11ὶ; sed angulus Z angulo N alterno , angulus X angulo M etiam alterno aequales sunt n. 83 ): ergo tres anguli N, Y, Μ duobus rectis aequivalent Secunda Pars. Per apicem C ducatur CL bali ΑΒ parallela: angulus I par est angulo B alterno n. 8s r angulus item o par est interno opposito Λ n. 83 : ergo totus externus DC B duobus simul internis AB aequalis est.

93. Summae trium angulorum in quocumque rriangulo sunt aequales , seu eaedem: cum omnes sint duobus rectis aequales. Similiter si in quocunque trian- ulo aliquis ansulus sit rectus, aut obtusus , reliquiuo erunt acuti ; ac proinde quodcumque triangulum unicum habere potest angulum rectum , aut unicum obtusu in . Nisi enim ita esset, Summa trium angulorum major esset duobus rectis, ut ex se patet; quod est imposiibile .c OROLLARIUM II. .

Ioo. Si duo triangula angulum angulo parem ha huerint, etiam summae reliquorum angulorum erunt aequales . Si autem duos angulos duobus habeant aequales, etiam tertium tertio parem habebunt. Cum enim sint in utroque triangulo summae angulorum ae

68쪽

ELEMENTA GEOMETRICA. 39quales, ut modo demonstravimus; si aequalia ex his summis auferantur , quae remanent, etia in sunt ae qualia.

PROPOSITIO XIX. THEORE .ro I. In quocumque, triangulo rectilineis semper loquimur majus latus CD Fig. 3 r. ) majoriangulo B opponitur ; er major angulus B majori lateri C D. Demonstr. Per puncta BCD sit circulus descriptus. Quoniam Iatus, seu chorda CD ponitur duobus reliquis maius, etiam arcus CND erit singulis reliquis maior. ax. 3. n. 6o : ergo angulus B maiori arcui insistens major erit, quam D, aut C minoribus insistentes t n. 9O . Secunda Pars. Angulus B singulis DC maior est per hypothesim: ergo arcus CND, cui insistit, &cujus dimidium habet pro mensura n. 9o , est major singulis arcubus DB, & BC n. 36ὶ: ergo etiam chorda, seu latus CD, major est.latere UB, aut BC. COROLLARI M. IO1. In quocumque igitur triangulo v. g. Α Ο Β Fig. I. latera aequalibus angulis opposita sunt aequalia ; & anguli aequalibus lateribus oppositi sunt

aequales ; ac proiade , si triangulum sit aequi angulum , etiam erit aequi laterum , & si sit aequi laterum , etiam erit aequiangulum: nisi enim ita esset, fieret, ut latera aequalia inaequalibus angulis ; aequales anguli in aequalibus lateribus in eodem triangulo opponerentur, ut ex se patet: hoc autem est impossibile, ut in propositione demonstravimus. Unde etiam insertur , inaequales esse angulos , qui inaequalibus lateribus opponuntur, & vicissim .

lam I alteri o aequalem , ετ latera aequales angulos comprebendentia eriam aequalia, hoc est, Al aequale D

69쪽

o PHILOSOPHIAE N CTURALIS ἰi erunt aequales . Similiter si duo triangula A IZ . DVO fuerint Mi aequiangula , ct latera AZ DUinter aequales aηgulos comprehensa habuerint aequalia , in reliquis omnibu' erunt etiam aequalia. Demonstr. Prima Pars : Superimponatur triari-gulum triangulo: angulus nimirum I angulo O, puricta DV in puncta AZ cadent, ob aequalitatem laterum : anguli igitur angulis ; latera lateribus congruunt, & tota erunt aequalia.

Secunda Pars: Si triangulum DUO triangulo A Z I imponatur, cadatque D V supra AZ necesiario punctum o cadet etiam supra punctum I; si enim caderet extra punctum I, v. g. in puncto R , essent anguli Z, & V inaequales, contra hypothe- sim; cum mutuo sibi imposui non congruerent. PROPOSITIO XXL THEOREMA. Io . Si duo triangula tFig. x. habuerint omnia

Iatera sibi mutuo aequalia, etiam anguli aequalibus lateribus oppositi erunt aequales : hoc est, triangula duo mutuo aequilatera , etiam sunt mutuo aequiangula.

Demonii r. Sunt per hypothesim aequalia AI, DO: IZ, OV; AZ, D V: dico, erunt etiam aequales anguli O, I: Λ, D: Z, U: Superimponatur triangulum DUO triangulo AIZ inscripto in circulo, DV lateri A Z; etiam punctum o cadet in I, eruntque tota aequalia e si enim caderet extra Ιv. g. in R, esset D Ο, hoc est, Λ R major , quam Λ I, contra hypothesim : si caderet In S, aut F , esset Vo major, aut minor, quam ZI , iterum cintra hypothesim , essent enim inaequalium arcuum ejusdem circuli chordae : ergo necessario punctumo cadet in I. PROPOSITIO XXII. THEOREMA.ros. Diagonalis ΛΒ diet idit quadratum , Rectangulum , Rhombum, Rhomboidem in duas partes aequa Ies: anguli Oppositi sunt aequales: latera item opposita sunt aequalia, oe parallela. t Fig. 3 3, 36, 37, 38 J. Demonstr. In omnibus hisce figuris su ut latera

70쪽

rL pMENTA GEOMETRICA. Aropposita aequalia: CB lateri Alb; AC latori DK n. 96 : triangula igitur Λ CB, ABD s Fig. 36.

v. g. sunt mutuo aequi latera : cum praeter latera aequalia habeant AB communet: ergo congruunt,

ct sunt in omnibus aequalia sn. Io ): ac pr inde angulus C par est angulo D, idem de angulis B, Λ demonstratur, anguli OD alterni sunt item aequales; & consequenter CB, AD parallela n. 86 .

Cum certum aliunde sit , demonstratuque facillimum , immo pollutari possit; omne parallelogramum , esse Quadratum, aut Rectangulum , aut Rhombum, aut Rhombo idem , quae de hisce si puris modo demonstravimus, de parallelogramo etiam Vera sunt; ea que ulterius demonstrare supersedeo.

PROPOSITIO XXIII. THEORE . 1 6. Quodcumque polygonum regulare B Λ F Fig. 33. in circulo inscribi potess.

Demonstr. Duo latera 'polygoni ΒΑ, ΑΕ rectis RC, O C perpendiculariter bisecentur: Ex punito C, in quo hujusmodi rectae concurrunt, tamquam Centro, intervallo C A descriptus circulus per B AEFI, angulos scilicet polygoni ducitur, eritque polygono circumscriptus. Nam in triangulis OCE, DC A sunt anguli ΟΟ aequales, quia Reeti n. 6rin: Iatera OE, Ο Λ etiam aequalia per constructionem elatus o C commune: ergo etiam sunt aequalia CE, CA n. ro 3 : ac proinde circulus ex centro C descriptus Ac transiens . per Α , etiam per E ducitur .

Idem similiter demonstratur de CB, CI &c.c OROLLARIUM.1o7. Quodcumque polygonum regulare A IF Fig. 33ὶ in triangula CR Λ, ACE aequalia, aequiangula , dc aequa latera dividitur. Cum enim aequa

ita sint B Λ, ΛΕ per hypothesim, reliqua item latera BC, AC, EC aequalia, ejusdem nimirum circuli radii; erunt triangula BCΑ , Λ CE aequilat ra; ac proinde sunt omnino aequalia. Eiusmodi etiam triangula polygoni regularis B Λ F habant eamdem