장음표시 사용
41쪽
. 1 PHILOSOPHIAE NATURALIs plicata : ratio autem i. a ) erit a rius r. 8 3 su
14 Liceat ex Arithmetica sequentem definitionem, tyronibus Omnino necessariam , in hunc locum transcribere. Numerus quadratus est , qui ex alio numero in se ipsum ducto essicitur: v. g. , 16, qui eκ numero, ε, in se ipsum ducto producitur , numerus autem producens , dicitur radix quadrati I 6. Numerus cubicus , seu cubus est , qui ex numero quocumque in se ipsum bis ducto emcitur :Ejusmodi est numerus, 27, qui ex , 3 i in se ipsum bis multiplicato enicitur; cum, in , 3, 9; 3, iri, 9, a 7 essiciat: s vero est radix cubica numeri 27 COROLLAR IUM L. as. Duplicatae rationis exponens est numerus. quadratus, cujus radix est exponens rationis subduplicatae: est enim numerus, seu magnitudo in se ipsam ducta . Ratio v. g. 6. 6) duplicata rationis . 8ὶ habet pro ex pomente numerum, Αν quadratum , Cujus radix, a, est exponens alterius rationis . 8 subduplicatae . Ex eadem ratione, exponens rationis triplicatae est numerus cubicus, cujus radix est rationis subtriplicatae exponens ; cum in se ipsum bis ductum essiciat numerum cubicum .
16. Duo igitur sunt Ratio dupla, dc Ratio dupliacata: in priori enim magnitudo ad magnitudinem comparatur; in posteriori vero ratio ad rationem et prima scilicet magnitudinem magnitudIn Is duplam significat , A. Bὶ Λ nimirum duplam magnitudinis B; secunda autem rationem A. B rationis C. Dduplam juxta explicationem hactenus dat m. Alias rationum species missas facimus ; cum dc levioris
sint momenti, & rarissi ine ocurrant; eaIum tamenideam, si opus fuerit , in loco dabimus . Id unum adnotare lassiciat , verbo sexqui aliis adjuncto diversas rationes significari . Ratio sexquiritera v. g.
42쪽
3.1 est cum antecedens consequente in integrum i& dimidiam illius partem continet . Sexqui- tertia , Sexqui-quarta , cum antecedens consequentem , &tertiam, vel quartam illius partem complectitur.&c. Axiomasa quaedam uisiversalia omnem magnitudinem spectantia.
27. I. Omne totum est aequale suis partibus simul sumptis, & vicissim. II. Omne totum est maius suis partibus seorsim acceptis: dc ε converso , singulae partes sunt to
III. Magnitudines Λ , B magnitudini C aequales ,
sunt etiam inter se aequales e vel etiam , magnitudines magnitudinibus aequalibus aequa las , sunt etiam inter se aequaleS. IV. Magnitudines magnitudinibus inaequalibus aequales sunt inter se inaequales. V. Si aequalibus addas aequalia , tota erunt aequa
VI. Si ab aequalibus demas aequalia, tota, quae supersunt, erunt aequalia. VII. Si magnitudinibus aequalibus addas partes inaequales , tota erunt inaequalia : istud majus , cui major addatur magnitudo. VIII. Si e totis aequalibus demas partes inaequales,
residua erunt inaequalia ; i lud majus , a quo
IX. Rationes inter se aequales idem habent exponens , δε vicissim .X. Rationes rationi aequales, sunt inter se aequales.so STULATUM . . 28. Datis duabus quibuscumque magnitudinibus A , B , dari potest tertia C, ad quam sit secunda B, ut prima A est ad eandem secundam B. Similiter datis tribus quibuscumque magnitudinibus Α , B, C, dari potest quarta D, ad quam sit tertia C, ut prima A est ad secundam B.
43쪽
Fropositiones , seu theoremata quaedam evidentia , ad omnem magnitudinem spectantia , oe ex s. Euclidis libro desumpta. PROPOSITIO L29. Si magnitudines quaecumque Μ , N aequales fuerint, eandem habebunt rationem ad tertiam quamcumque magnitudinem Ο ; ο vicissim tertia o eandem, ad Μ , N , alias quascumque magnitudines iis aequales rationem habet. Est per se ipsam evidens , ut & alia , quae jam subjicimus , theoremata. PROPOSITIO IL3o. Si magnitudines quaecumque M , N , Ο ad aliam quamcumque magnitudinem V eamdem habuerint rationem, erunt Μ, di, O aequales : vicissim , si O eamdem habeat rationem ,
erunt Μ , N , o aequales. Axiomatis instar haberi debet. p R OPOSITIO III.
3I. Duarum. aut plurium quarumcumque magnitu dinum inaequalium Λ , B , major A ad tertiam quamcumque C majorem habet rationem , quam Uninor B ς contra autem, tertia C minorem habet rationem ad majorem A , quam ad minorem B; minorem enim B , vel similem ejus partem aliquotam ; aut aliquantam pluries confineι. Vide definitionem l . n. I 6. superius allatam.
31. Si duarum , aut plurium quarumvis magnitu dinum Λ , B alia Λ ad tertiam quamvis C ma Orem habuerit rationem , quam B , erit Λ major j quam B. Ex adverso autem, si tertia C majorem ad B, quam ad Α , rationem babeati, erit B minor., quam A . Demonstratione etiam non indiget , cum per se ipsam consi et .
PROPOSITIO R33. Si singula antecedentia quicumque Α , B, C ad singula, totidem consequentia Μ , N , o pa
44쪽
rem, seu eamdem habuerint rationem , etiam antece. dentia simul sumpta ad consequentia miti sumpta eandem babebunt rationem, ac singula ad singula .
Est dicere ; si A. Μ α B. N α C. Ο, etiam Α - B in C. M N - Ο:r A. M. Exemplores evidens illustrabitur . Sint singula ABC, singula Μ N. O statuantur , 8; erit A in B in Cad M N - Ο, ut Ia ad x , hoc est, ut Λ ad Μ, ad 8. PROPOSITIO VI. 36. Magnitudines quicumque Λ , R sunt inter se;
ut earum partes similes aliquotae, mel aliquantae : boc est, A ess ad B, ut tersia pars v. g. magnitudinis δει ad Tertiam partem magnitudinis B. Est per se evidens. PROPOSITIO VII. 3s. Si quatuor quaecumque magnitudines sint proportionales A. Br: C. D, etiam permutando erunt A. Cr: B. D , prima scilicet ad tertiam , ut secunda ad
Statuantur, exempli causa , magnitudines 4. 8:: o. o, manifestum est , esse ε ad 2o, ut 8 ad Ao.
Sint C, D minores, quam Α, B; sunt igitur C. D partes similes totorum Λ , B: sunt igitur ΛήC:: B. D. n. 3 . PROPOSITIO VIII. 3 Si magnitudines quaecumqao A. B:: E. D. M
proportIonales, etiam invertendo erit D. E:: B. Λ, quarta ad tertiam, ut secunda ad primam. PROPOSITIO IX. 37. Si sint A. B:: C. D, duo antecedentia seia' - ' , C , similiter aucta per adjunctas magnitudine similes, Μ, N, eamdem pergunt habere rationem ad Usequentia , hoc est , erunt Λ - Μ ad B , ut , -- N ad D. Neque enim variatur ratio, aut proportio, dum ex utraque parte similes magnitudines adjungun
45쪽
16 PHILOSOPHIAE NATURALIstur: augentur magnitudines, sed eadem ratio per . severat.
COROLLARIUM I. 38. Si igitur sint proportionales magnitudines
quaecumque A. B:: C. D, etiam componendo , erit A in B ad B, ut C -- D ad D, seu antecedens primum cum suo consequente ad idem consequens , ut antecedens secundum cum suo consequente ad secundum consequens.
Corollarium ex propositione manifeste deducitur; neque enim aliud est , quam antecedentia similiter , hoc est, per consequentia, & magnitudines similes
COROLLARIUM II. 39. Si igitur sint magnitudines Μ. N:: O. P; Acs militer sint proportionales L. N: r. R. P., e Tunt etiam proportionales Μ - L. N:: Ο - R. P. Dum enim antecedentibus similibus Μ, Ο. antecedentias milia L, R. adjunguntur, magnitudines Μ, Osimiliter, seu proportionaliter augentur , ut ex se patet. Innumeris res fiet clarior: stant m. 4:: 9. 3; sunt item 8. 4:: 6. 3; sunt igitur Ia- 8. 4:: 9 . 6. 3; hoc est, et Q ad 4, ut Is ad 3.
4o. Si Α. B:: C. D, duo antecedenua A, C similiter, vel proportionaliιer diminuta, adbuc ad sua consequentia eamdem proportionem habent. Ακiomatis instar haberi. potest. Neque enim varia tur, seu perturbatur similitudo rationum inter se, dum antecedentia similiter ex utraque parte diminuuntur, quam tumuis ipsie rationes, decrescentibus antecedentibus, minuantur. Sunt v. g. 13. εἰ:. 9. 3 sunt praeterea 3. 4r: 6. 3:. sunt igitur Iz- 8. 4::'- 6. 3, hoc est, A. :: 3. 3: quo in e 'emplo, es milibus antecedentibus Ia, s. similes magnitudines 3, 6 detrahuntur.
c OROLLARIUM Ι. r. Si A sit ad B, ut C ad D, etiam erunt Λ B. B:: C- D. D: excessus primi antecedenti λ ω-
46쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. Lupra suum consequens ad idem consequens , ut excessus secundi antecedentis supra suum. Consequens ad secundum consequens. Quod dicitur, argumen tari dividendo. Demonstratur. Quoniam sunt Α. B:: C. D per hypothesim , etiam erunt A. C:: B. D. in. 3s) plant igitur magnitudines B. D duobus antecedentibus Λ- C proportionales: igitur Λ- B , C sunt ant cedentia similiter diminuta; ac per consequens erunt Λ - B. B:: C- D. D in. εο ὶ . Exemplum in numeris . Sunt εο ad Io, ut I 6 ad 4; sunt igitur Ao Io ad Io, ut I 6 - 4 ad 4, hoc est 3o ad Io, ut Ia ad 6, ut consideranti perspicuum est.
per conversionem rationis S R. S Br: C A. CXr in t grum scilici 't primum antecedens ad excessum suum supra suum consequens, ut secundum antecedens ad exeessum supra suum consequens.
Demonstr. Quoniam sunt S R. B Rrdi CΛ. X Α, Fig. roin per hypothesim , etiam erunt dividendo n. I SB. BR:: CX. XΑ p & invertendo RB. B Sr: ΛX. XC; & componendo n. 381 SA SB:: C A. C X. Quod erat demonstrandum. COROLLARIUM III. 3. Si totum S R Fig. ro) est ad totum C A, ut
ablatum BR ad ablatum XΑ , etiam totum erit ad totum, ut residuum S B est ad residuum CX. Instar axiomatis haberi potest.
PROPOSITIO XL. - . Sint duae magni=udinum series Μ, Ν, Ο, P; RS, CD , AB Fig.6i,63); fl prima Μ sit ad secundam N ,ουν prima X ad secundam R S; oe ut Deunda N ad
tersiam O, ita secunda RS ad tertiam C D , eris ex aequalitate ordinata prima Μ ad tertiam O , ut prima X ad tertiam C D. Demonstr. Sint O , CD minores, quam N , RS Mont.Philo.Tom.L B cidem
47쪽
t PHILOSOPHIAE NATURALIS idem demonstratur, si majores statuerentur r cum i itur sint N. Ο:: RS. CD, per hypothesim ; erimio, CD partes similes totorum N, RS ; magnitudines autem Μ, X ad tota N, RS proportionalia,
etiam ad partes similes eorumdem totorum eandem habent proportionem ἔ orgo M. Ο:: X. CD. Quod erat demonstrandum . Tenet propositio , etsi perplures utrimque magnitudines continuentur series.
PROPOSITIO XII. 43. Si in duplici magnitudinum serie fit prima Mi Fig. 6I. 6 i. in ad secuudam N, ut prima RS ad secundam CD: ct ut sectinis N ad tertiam o, ita tertia quaedam X ad primam RS; erit prima Μ ad tertiam O. ut tertia X ad secundam CD.
Quod vocatur, aequalitas perturbata.
Demonstr. Sit CD ad AB, ut N ad Ο n. x8 ὶ ι habent igitur N ad Ο, X ad RS, CD ad ΑΒ ea dem rationem et est enim per hypothesim N. OrrX. RS. Est igitur RS ad AB , ut X ad CD i- ; est autem RS ad CD. ut Μ ad N: CD ad AB , ut N est ad O: ergo M est ad O , ut RS ad ΛΒ ,α ut X ad Cu. n. 27. axiom. IO.
ne Lineis Recta , Cuma, obliqua, er Angulis. DEFINITIO L46. Punctum est quantitas paItibus expers . Punctum Physicum , squod existit , est physice , &vers indi visibile . Punctum mathematicum est . quod indivisum, & sne partibus a prehendimus, etsi par tibus physice constet . Quaelibet igitur magnitudo rhysica, ruta integrum tirmamentum , potest esse punctum Mathematicum. Punctum est ad magnitudinem, ut unitas ad numerum . Fortasse nullum existit punctum Physicum ; id tamen nobis non obest.
48쪽
. 7. Linea est magnitudo tantum extenta AB Fig. I.): ex fluxu puncti generatur . Etsi , quamumque Iinea physica assignetur, latitudine, dc profunditate praedita sit , Geometrae . tamen ad illius extensionem solum attendunt . Lineam .igitur mathemati cam , non Physicam , definimus . Dividitur in Rectam , Cumam , dc Mixtam: illius extrema sunt puncta; & duplici littera extremis apposita distingui solet, dc designari. D E F INIT IO III. 8. Linea Recta AB est omnium brevissima. quae inter duo puncta ΛΒ Fig. I. duci possunt . curva
ACB est, quae a recta versus aliquam partem declinat ; seu Cujus extrema ΛΒ non obumbrant omnia puncta intermedia . Linea Mixta ΛΟΒ partim ex
9. Linea cireularis EoFG Fig. 2. , omnium cur varum celeberrima , est linea curva , cujus omnia puncta aequaliter distant quoddam puncto C intra eam existenter ejusmodi punctum nuncupamus centrum; Iineam vero Circumferentiam, seu peripheriam circuli. Diameter circuli est recta quaecumque Eo per centrum transiens,& ad peripheriam utrimque producta. Radius, seu Semidiameter est recta CD a Centro ad peripheriam ducta . Chorda est recta GF peripheriam utrimque secans , quin per centrum
transeat. Arcus est quaevis circumferentias pars v. g.
DF. Segmentum circuli est spatium BHCI s Fig. i. i chorda, ct arcu intercepto Comprehensum. , DEFINITIO R o Superficies est magnitudo tantum Ionga, de lata. In Planam, Curvam , dc mixtam dividitur. PIanum, seu plana superficies est brevissima omnium , quae inter easdem lineas duci possunt ; seu est ea , - B x cui
49쪽
cui linea recta versus omnes partes accomodari pomi est : ex fluxu lineadi reetae generatur . Superficies curva est quae fi plana declinat . Superficies mixta est partim recta, partim cuma, qualis esset globi, si plano per centrum dividatur . Quaecumque physica superficies sua in habet crassitiem; ad eam tamen 1 Geometra non attenditur . Superficierum extrema sunt lineae, ut linearum puncta.
DEFINITIO VI. 13. Superficies plana EO DG Fig. x. circu- Iari peripheria comprehensa dicitur Circulus, omnium planarum supersicierum celeberrima . Semicirculus EUO est dimidia pars circuli diametro ED, de semicircumferentia DOE comprehensa. Circuli concentrici ADE, FS Fig. is.) sunt qui habent idem ,
ct commune centrum F. Excentrici vero ABC,
ABD Fig. ri. a 3. qui diversa babent centra C, D. DEFINITIO VII.
11. Circuli se se mutuo interius , vel exterius. tangere dicuntur, cum eorum peripherias ita sibi inpuneto aliquo A Fig. ra. II. occurrunt , ut se istamen non secent . Taures circuli est recta quaecumque UR Fig. 2I.) ita ejus peripheriae occurren Sin puncto B, ut tamen non secet, licet ulterius producatur in E. Secans autem est recta quaecumque a. puncto intra circulum per peripheriam ducta V. g
aequales dividunt Geometrae , easque appellant adus. Singulos item gradus in εο partes aequales dividunt , quas minuta prima, seu absolute minuta di cunt. Singula ulterius minuta in εο aequales parte inter secant , easque nuncupant minusa secunda . Eod in ordine minuta secunda in tertia; minuta fert ia in quarta partiuntur, & ad minuta usque de-
ς ima dividendo procedunt ; di hoc pacto scribuit L
50쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. υ ' 3 4 3 &c. duos scilicet gradus, tria minuta
prima, quatuor secunda, quinque tertia. &c.
34. Singulae quo fumcumque cirrulorum periphe riae eodem graduum numero constant ; eo tamen discrimine, quod majorum circulorum majores sint gradus , seu partes; cum a1ajores etiam sint peripheriae e per se enim notum est , inaequales quantitates , si in eundem partium numerum singulae dividantur , partes dare omnino inaequales : easquct
3s Angulus planus est duaru in linearum in eodem plano jacentium, alterius ad alteram inclina trio, & occursus, v. g. NBX Fig. 3. : linearum Occursum B apicem anguli dicimus ; lineas vero latera appellamus. Tribus potissimum litteris angulum designamus, quarum media est, quae apicem designat. Si ad angulorum latera attendamus i dividuntur in Rectilineos , Camilineos, Miatilineos. Rectilinei sunt, quorum utrumque Iatus est linea recta, ut NB X. Curvilinei, quorum utrumque latus est linea Curva ι ut C ΛΟ Fig. r. . Μixti linei, qui latere uno recto, alio curvo constant, ut o Λ X. sc HOLION. 36. Anguli plani A FI Fig. I s. mensura est arcus Λ I inter ejus latera interceptus , dc ab illius apice circino descriptus : totque gradibus constare dicitur praedictus angulus, quot habet arcus Λ I. Et licet innumeri arcus X, Z; S &c. ab apice F inter anguli latera describi possint , quorum magnitudo sit diversa pro varia illorum ab apice distantia ;omnes eumdem graduum numerum continent; sunt
que suorum circulorum partes similes p ae proindesnguli esusmodi arcus sunt praedicti anguli eadeinmensura. Angulus igitur non crescit, neque minui tur , quam tum vis esus latera minuantur , aut Cre