장음표시 사용
51쪽
scant; majorque est angulus ADB , quam angulus
matur a linea recta ΑΒ ita in MX incidente , ut in neutram partem Μ, aut. X inclinet. Hujusmodi autem recta A B dicitur perpendicularis ad Μ X Angulo igitur recto AB X alius aequalis ex alia parte enascitur AB M . Angulus Acutus N B X est omnis angulus recto minor ; emciturque a recta N B in MX incidente, & versus aliam partem X. divergente, unde dicitur ad Μ X obliqua . Angulus obtusus est omnis angulus N ΒΜ, recto ΑΒΜ maior .
DE FINITIO.38. Anguli. ad verticem E s Fig. 7.) oppositi sunt v. g. CEΛ, DE B, qui ab iisdem lineis se se in Esecantibus & versus oppositas partes productis em ciuntur. Segmentum commune est extensio quaedam , pars, aut punctum, duabus, aut pluribus rectis commune; ut si rectae NU , RU Fig. q. sibi mutuo
in V occurrentes, usque ad O non separarent tir . sed partem , seu segmentum commune haberent Vo.' Linearum rectarum segmentum Commune est Pu
DEFINITIO.39. Lineae parallelae , sunt eae, quae in infinitum productae eandem inter se semper habent distant am , ut v. g. EF, CA Fig. Io . Distantia perrectam SC v. g. ad utramque parallelam perpendicularem mensuratur. Lineae obliquae sunt CA , GH, uae productae magis & magis ad se invicem acce-unt, vel a se invicem recedunt. Si recta quaecumque XX s Fig. 23. duas parallelas AR, CID secue rit, sequentes efficientur anguli X , X Externi: O, SAlterni: ut etiam V, R: V, O Interni ad eamdem partem: idem est de angulis S. R. Angulus S est oppositus ad verticem angulo X. Tandem ex eodem
puncto U Fig. q. duae rectae, alia obliqua V N ,.
52쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 23 Ita perpendiculariter V R in rectam R N incidant, Distantia obliquae V N est recta R N rer linearum extremitates ducta, & perpendiculari V R perpendicu
Axiomata quantitatem spectantia. . I. Quae sbi mutuo congruunt, aequalia sunt. II. Rectae line E aequales ; & anguli etiam aequales sibi mutuo eongruunt sIII. Omnes ejusdem, aut aequalium circulorum radii sunt 'aequales. Idem est de diametris. Chordae aequales DA , A E Fig. r . ab eodem , aut aequalibus circulis abscindunt arcus aequales rchordae inaequales AB, BC l Fig. 16. arcus inaequales: major chorda majorem arcum A F B . IV. Inter duo quaelibet puncta unica tantum recta duci potest. V. Duae reetae, puta AD, ΑΒ Fig. 9. spatium non comprehendunt, cum semel se in puncto
VI. Anguli eorundem graduum sunt aequales ; &si sint aequales , eodem graduum numero con
VII. Diameter circuli circulum, & peripheriam in duas aequales partes dividit. VIII. Circuli aequales diametros habent aequales e circulorum major , & diametrum , & radium habet majores. IX. Uuae parallelae EF, CA Fig. ro. perpendi- Cularem communem habent B X, v. g. aut RΛ
gatur: duplex angulus rectus emcitur ABH, ΑΒ . Cum autem: anguli AB X mensura sit arcus in. 36. , Circuli quadrans, qui so gradibus constat; totidem gradus erunt sngulorum rectorum angulorum mensura; suntque proinde omnes anguli recti B aeqv
53쪽
aequales. Anguli acuti minus; obtusi plus quam gradibus constabunt.
εΣ I. Ab uno ad aliud punctum recta linea duci potest . II. L ara quaecumque recta io infinitum produci potest.
III. Ex dato puncto ad datum intervallum describi
potest circulus. IV. Ex dato puncto in data recta versus utramque partem aequalia segmenta secari possunt.
PROPOSITIO I. THEOREMA.63. Singula puncta reme A B perpendicularis ad ΜX, ab exfremitatibus rectae M X , quam bifariam secat, aequaliter diflant: st etiam punctum aliquod B r Bis A B ad Μ X Fig. 3. perpendicularis ab extremis M X aequidset, omnia alia puncta seorsim aequi-disabunt ab M X. Demonstratur ex lineae perpendicularis indole :Si enim aliqua ejus puncta magis ad X accederent, ipsa recta B Λ versus X inclinaret, ut B N , essetque ad M X obliqua, contra hypothesim , & definitionem perpendicularis. Idem demonstrabitur dei sin Eulis 'iusdem perpendicularis A B punctis relate ad duo quaecumque puncta rectae MX hinc inde a puncto sectionis B aequaliter distantibus. Ea enim puncta , spectari possunt , ut extrema rectae MX hinc inde a puncto sectionis B aequaliter distantia. Secunda pars. Nili ita esset , punctum A , v. g. ad Μ , aut ad X magis accederet: ergo ΛΒ non esset per pendicularis contra hypothesim .
COROLLARIUM I. 6 . Ex dato puncto Ο Fig. q. in evira datam rectam LN in infinitum hinc indo productam unica tantum perpendicularis OR ad ipsam rectam duci
54쪽
Demonstr. Ex puncto sectionis R partes aequale, DL, RN utrimque abscindantur. Recta OR in neutram inclinat partem in. 37ὶr singulaque ejus puncta aequaliter ab extremitatibus L N distant n. ε 3 intquaecunque igitur alia recta O L, v. g. , ex punctoo ad L N ducta , totaque extra OR cadens , magis ad partem alteram L, quam ad N diverget; neque singula eius puncta aequaliter ab L, & N distabunt rac proinde non est perpendicularis. n. 373.
unica tantum duci potest B Α ad eamdem ΜX pe pendicularis. Demonstr. Ducatur enim , si fieri potest, alia B Netiam perpendicularis: quoniam B A est perpendicu- Iaris per hypothesim , iri neutram inclinat partem n. 37ὶr igitur B N versus extremum X magis di Vergit; ejusque puncta minus a X, quam ab M re
moventur: ergo non est perpendicularis.
pendicularis , ulterius producta in O , etiam er 1 perpendicularis r Dictym recta V X erit ad perpendicularem Λ B O perpendicularis. Demonstr. Prima pars: Quoniam enim ABO est eadem linea recta , si ab A usque ad B in nullam inclinat partem, neque etiam ab B usque ad o, aliter curvaretur in R .
a. pars: Eadem e st rectae AB ad B X, atque rectae B X ad ΑΒ inclinatio seu angulus AB X: Si igitur AB neque inclinatur, neque declinat a BX p enque proinde ad illam perpendicularis, idem etiam de B X verum habet. PROPOSITIO III. THEOREMA . 67. Si duo puncta A B rectae A O aequaliter . seorsim , dissent ab extremis V X rectae M x , singula Omnia ejusdem puncta Λ B ab iisdem extremis aequaliter dissant ; estque recta ΛΒ ad MX perpendicularis s
55쪽
aris. Recta vero ΒΛ Fig. 3. in perpendicularis ad ΜX , eamque bifariam secans , transit per smnia pura Ha , quorum singula aequaliter distant ab extremis MX Demonstr. Prima pars. Inter puncta AB unica tantum recta duci potest n. 3): intelligi autem n quit punctum aliquod rectae A B inter duo puncta λ B minus ab extremo X v. g. quam ab Μ distare, quin ΑΒ incurvetur contra hypothesim . Secunda pars : Si est punctum aliquod extra rectam perpendicularem Λ B aequaliter ab extremis ΜX remotum , sit V. g. punctum N: ducatur igitur
ex B recta B N; quoniam igitur duo puncta BN rectae B N aequaliter distant ab extremis ΜΚ, erit B NPerpendicularis , per primam partem; & est etiam rerpendicularis ΕΛ per hypothesim: ex eodem igitur puncto B ad eamdem rectam duae perpendiculares ducuntur, quod est impossibile n. 61 .
riter ducta est brevisma omnium, quae ex dicto puncto ad rectam BC duci possunt: obliquarum AD, AC ea minor est, quae minus a perpendiculari Λ B re movetur. Fig. 8. Demonstratur . Producatur ΑΒ usque ad G, ut
sint ΛΒ, BG aequales ; ducaturque D G: AD
DG, Α Β - BG n. 43. : ergo eorum magnitudinum dimidia AD Λ B. Secunda pars demon stratio no non indiget .
COROLLARIUM I. 69. Duae igitur obliquae UL, VN Fig. 4. duinctae ex eodem puncto V lineae perpendicularis o R. ad diversas partes, scilicet ad duo puncta LN rectae LN aequaliter a perpendiculari distantia , erunt aequa-Ies. Manifeste ex proposition colligitur ; ad diversas enim partes duci , lineas non essicit majores ,
56쪽
di perpendiculares etiam aequales, aut eadem UR, erunt etiam distantia: RN, R L aequales : & vici se
sim, si1 dc distantiae R L, R N, ct obliquae V L, V
N sint aequales, etiam perpendiculares erunt aequa les , aut eadem V R. Demonstr. Prima pars . Si distantiarum alia v. g. R L sit major, quam RN, erit obliqua V L major, quam V N, contra hypothesim n. 68. ; cum amplius a perpendiculari U R removeatur, quam alia ex eodem puncto U ducta. Secunda pars in primam recidit; cum enim V R. RN, aut RL sint mutuo perpendiculares n. 66. ;pomunt R N. R L pro perpendicularibus ; R V pro distantia spectari ; ct in primum casum recidimus. PROPOS 1ΤM V. THEOLE . 7 I. Duae reme B A, DC Fig. 9. ad tertiam EF perpendiculares , sunt sibi mutuo parallelae. Demonstr. Si enim non essent parallelae, sed alia obliqua, in infinitum productae in aliquo tandem puncto concurrerent, puta in D sn. 39.): ergo ex eodem puncto D ad eamdem rectam EF duae perpendicula
res duci possent, quod est impossibile. in. εε, .c OROLLARIUM.7a. Duae rectae E F, C A, tertiae cuilibet Z parallelae, sunt sibi mutuo parallelae. Fig. I ). Demonstr. Sit B X pernendicularis ad C Α: ergo erit perpendicularis ad E F, & Z per axiom. 9. n. εο. : ergo tres rectae CA, Z, EF sunt ad B X perpendiculares n. 66. ,& sibi mutuo parallelae n. 71.)PROPOSITIO VI. THEOREMA.
73. Duo cireuli in unico tantum puncto se tangunt interius ; ut etiam exterius: linea etiam recta circularem in unico puncto tangit. Fig. l2, 13, 2I . Demonstr. prima Pars: Si in parte extensa in te rius se contingunt, si ea B Λ v. g. , ad cujus extrema ΒΛ ex Centris CD ducantur rectae CB, CDA: modo
57쪽
ynodo sic : Erit Ia fi DB; quia sunt radii eiu dein circuli s axiom. 3. n. εο ): additaque utrimque CD erunt CDΛ α CD I Br rursus C Λ α CR axiom. 3. n. εο); ergo CB par est duabus CD, Dis axiom. 3. n. 27.); quod est ini possibile . Secunda pars r In secundo casu duistis ad punctum
ii CΛ D, quod est impossibile in. q8. J. Contactum lio eae rectae , & circularis etiam punctualem esse ἡex ipsarum linearum genesi constat; ex puncto enim contactus B Fig. xi. recta RE perpetuo recedita centro O , curva autem B R perpetuo recedit a recta B E; & ex eodem puncto versuS centrum per
pendicularis , eam per medium secet , per centrum Ftransibit: ρο vicissem . si per centrum F transeat, reehordam D E perpendiculariter secet, per medium secabit eamdem chordam ; chordae arcum D A E . Demonstr. Prima Pars : Recta R F transit per omnia puncta aequaliter ab extremis DE distantia n. 67. : ergo transit per centrum F, quod a singulis peripheriae punctis aequaliter distat. ecunda Pars: Punctum F, circuli centrum , aeque distat a D , dc E n. ε . : ergo etiam punctum R , Communis chordae, & perpendicularis DE inter elio n. 63 . Tertia Pars demonstratione non indiget.
centrum transiens , & chordam D E per medium secans , eam perpendiculari aer secat. Duo si quidem , per hypothesim, habet puncta F. R , aeque liter ab extremis D, E distantia : ergo est perpendicularis ad chordam, ut in. 67ὶ demonstravimus. PRO-
58쪽
ELEMENTI GEOMETRICAE. 2 PROPOS1Τm VIII. THEOREMA.'ε. Diameter ΛΒ Fig. 17. est omnium chordarum maxima: Citerarum CD, HO έ c. ea ma oro, quae fueris diametro seu Centro propior. Demonstr. Prima Pars. Ducantur ex centro E ad chordae cujuscumque CD extremitates rectae EC, E D t CD minor est, quam C. E D n. 48 : diameter autem Λ EB aequalis est C E D n. 6o. ax. 3.): ergo diameter major est, quam chorda . Secunda Pars . , ratuantur parallelas chordas CD, Ho; erit arcus Ho minor, quam arcus CD, ut est per se notum : ergo & chorda Ho minorem arcum abscindens, minor est, quam Chorda CD majorem arcum sub tandens sax. 3. n. Q.
77. Si ex puncto quocunque Λ Fig. 18. intra ci culum , sed extra illius centrum plures ad peripheriam ducantur rectae, major est ΛC per centrum transiens; reliqtia pars ΑΟ diametri minima omnium p Caeterael. eo μnt minores, quo a maxima ABC remotiores , sad minimam A O magis accedunt. Demonstr. Eκ centro B ducantur BD, BR r mo-
do sic : AB in BD sunt maiores, quam ΛD n. 8), re aequalos reetae AC: sunt enim BC α BD sax. n. so. additurque utrimque AB: ergo AC AD. Secunda Pars. Bo α BR ax. 3.); sed B Α - , AR BR n. g. : igitur Bri cum AR major est. i) quam BRO; dc ablata utrimque ΒΑ communi, erit A R major , quam Λ D. Tertia pars ex ipsa Circulorum genesi patet , neque demonstratione indiget
t 78. Ex quocunque igitur puncto intra circulum, , sed extra centrum, duae tantum rectae Λ R, Λ R ad 3 peripheriam duci possctunt aequales, ac proinde si ex 3 puneto a Ii quo phisquam duae duci possint aequales, id punctum erit centrum. Si enim aliter fiori posseε, sint aequales AR, ΛR, ΛD: earum saltem duae ad
59쪽
eamdem partem ORC jacent, estque una AD diametro AC propior quam, altera A Rr sunt igitur inaequales: rectae igitur aequales ΛR, Λ R non ad eamdem partem duci possunt.
PROPOSITIO X. THEOREMA. s. Si a puncto quocunque A Fia. I9 extra eis.
culum ad illius peripherium B R E ducansur rectae AB, AR, AE, minima est ΑΒ, quae producta per centrum D transit; Caeterarum Λ R , Λ E, ea minor ΛR , quae fuerit minimae propior . Ex centro D ducantur DR, DE. Demonstr. Prima Pars . DA minor est, quam DRA n. 3. : auferantur ex singulis partes DB, DR aequales n. εοὶ: supersunt B Λ, & RA inaequales , B A minor, quam R Λ n. 6r . Secunda Pars ex eirculorum genesi est manifesta.
PROPOSITIO XI. THEOREMA.8o. Si recta quaecunque D E s Fig. a I in circuliam
tangat in B, ο ex centro o ad contactum ducatur recta Ο Β , eris o B perpendicularis ad tangentem DE ; re si B O ex contactu ducatur ad tangentem per pendicularis , per centrum o transibit. Demonstr. Prima Pars. Recta Ο Β ex Centro ad contactum B ducta est brevissima omnium rectarum, quae ad tangentem duci possunt, cum ad peripheriam pertingat; reliquae vero, ut O O ultra producantur: ergo OB est perpendicularis sn. 68. . Secunda Pars. Si in perpendiculari Bo non est centrum, sit in alia quacunque B X: ergo B X est perpendicularis ad D E , ut modo demonstravimus;& etiam O B est perpendicularis ad DE per hypothesim : duae igitur perpendiculares ex eodem rectae
DE puncto B ducuntur; quod est impossibile n. 6s PROPOSITIO XII. THEOREMA.8 I. Inter rectam tangentem DE Fig. ar. , 9 pe 10beriam BR duci non potest alia recta BS per punctum contactus B , quin circulum seces : maxime ve
60쪽
m per contactus punctum B infinitae lineae circulares
duci posunt, quae ct rectam D E, oe peripberiam in
puncto B contingant. Demonstr. Prima pars. Si alia recta BS emet et Nam tangens, & non secaret circulum , recta OB, ex centro ad contactum ducta , emet perpendicularis ad utramque BE, B S i num. 8o. ); dc vicissim n. 66. : ergo ex eodem puncto B erigi pose sent duae perpendiculares BE, B S ad eamdem rectam OB , quod est impossibile n. 63. . Secunda pars. Di ametro BOT Fig. tr. in in ia- finitum producta, ou infinitis ejus punetis tamquam Centris, totidem per contactum A ducantur circuli romnes peripheriae & rectam Α Α; & circulum T B. st se invicem in puncto solum B contingent. n.79 PROPOSITIO XiIL TE OREMA.
II. Omnes anguli , quamlumvis ins iiii , MBA. A B N , N B X s Fig. 3.) jupra rectam M X in eadem puncto B ab quibujcunque rectis in id piam dum cadentibus efformati , aequales sunt duobus rectis ; omnes vero anguli Ο Ο Ο Fig. xa in a quibusecunque lineis in eodem puncto O se se secantibus formati , quatuor rectis aequantur.
Demon1tr. Prima pars. Ex puncto B tamquam Centro supra re tam Μ X describatur semicirculus ΜΛX , cuius peripheria valet ilo gradus n. 33 duorum rectorum mensuram n. 6I ; & mensuram etiam Omnium angulorum , qui in puncto B supra rectam Μ X formantur , ut numero 36 explicavimus: ergo &C. Secunda Pars . Omnes anguli OOOo circa idem diametri Λ B punctum , circuli centrum , formati. habent integram circuli peripheriam pro mensura reorum igitur mensura sunt 36o gradus, seu A an gulorum rectorum mensura n. 13.): eorum igitur angulorum summa valet quatuor angulos rectos.c OROLLARI Μ.83. Anguli ad verticem oppositi Ν, R Fig a 3. sunt aequales. Duo enim anguli X, di R sunt aequa-