장음표시 사용
101쪽
s, SECTIONUM CONICARUM que planum trianguli BAC rectum est, tam ad planum hasis BCD , quam ad planum sectionis DF Ε ἔ ita ratio parametri FO ad diametrum FG sit semper aequalitatis, quotiescumque duo triangula ABC , AGF sunt similia
inter se . Neque enim ea triangula possunt esse inter se similia , iii si talia fuit quoque trian-pula BKF , CKG . Unde , quum sit, ut ΒΚ ad FK , ita GK ad CK ; erit rectangulum
Bl C aequale rectangulo FKG . Sed , propter circulum BCD , quadratum ex DK est aequale rectangulo BΚC . Quare idem DK quadratum erit etiam aequale rectangulo F RG : &Propterea , quum Fo sit ad FG . ut est DK quadratum ad rectangulum FKG ; duae FO , FG erunt pariter aequales inter se. Ostendi id etiam potest in hunc modum. niani duo triangula ABC , AGF ponuntur similia ; erit angulus ACB aequalis angulo AFG:& propterea, quum sint aequales duOhus rectis , tam duo anguli ACB , A CX , quam duo anguli A FG , BFG ; erit quoque angulus A CX aequalis angulo BFG . Sed , ob parallelas FG . A X , angulus BFG aequalis est angulo BAX . Itaque , quum aequales sint etiam duo anguli ACX , BAX i et it, ut CK ad A X , ita AX ad B X : proindeque erit A X
quadratum aequale red tangulo B XC . Est autem , ex superius ostensis , ut FO ad FG , ita rectangulum B XC ad A X quadratum . Quare duae FO, FG pariter inter se aequales erunt. Hoc idem erui quoque potest ex eo ,
quod , si fiat angulus FRV , aequalis angulo BFG , portio FV , abscissa ex diametro FGPer
102쪽
per rectam RV , parametri FO longitudinem adaequet. Nam . propter similitudinem triangulorum ABC , AGF , angulus ACB , sive ARF erit aequalis angulo A FG . Unde, quum sint aequales duobus rcctis , tam duo anguli AR F , FRG , quam duo anguli A FG , BFG; erit quoque angulus FRG aequalis angulo BFG . Qui, fit , ut recta R U cadat super RG; atque adeo, coeuntibus in unum punctis G, St , erit portio FV aequalis diametro FG.
Parabolam in plano per couum describendi ratio aperitur.
I. Ost traditam rationem describendi I in plano per conum , tam ellipsim, quam h Vperbolam , aperienda nobis tandem est methodus , qua describi post in plano parabola , eodem adhibito cono. FaG. II. Dentur itaque positione in plano aliquo rectae duae FG , Fo , sibi mutuo occurrentes in F ; quarum prior FG sit infinita versus G , altera Fo sit etiam magnitudine data . Et oporteat, in eodem plano describere parabo Iam , cujus FG sit diameter . Fo paramete diametri, & eadem Fo recta illa , cui omnes diametri ordinatae debent esse parallelae. Ducatur primo planum aliud CDE , o currens plano rectarum FG, Fo in recta DE,
ipsi Fo Parallela. Deinde ex puncto Κ , in F a quo
103쪽
r SECTIONUM CONICARUM quo duae FG , DE sese mutuo secant, er gaint ut in ducto plano recta ΚC , perpendicularis super DE. Tum huic KC per punctum F, diametri verticem , parallela agatur FP. Capiatur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequid istanter ipsi FG , abscindatur ex ea portio RA , quae sit tertia proportionalis post duas Fo , FR. Denique jungatur AF , S tam ista , quam altera AR producantur , usque donec conV niant cum recta ΚC in punctis B , & C. His peractis, concipiatur jam conUS, cuius vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptus super BC, velut diametro, in plano rediarum BC, DE . Et per interis sectionem coni huius cum plano , in quo datae sunt rediar FG, FO , habebitur parabola describenda.
Il. Sit enim DFΕ sectio , facta per tale planum in coni ejus su persi cie . Et quoniam BC est diameter has s BCD ; erit triangulum BAC ex cono sectum per axem . Unde, quum lhas eius BC normalis sit recta DE , in qua iplanum secans occurrit plano basis ; erit recta lFG diametet sectionis DFE: Sc propterea, quia leadem FG uni laterum trianguli AC cst parallela , ipsa sectio DF Ε erit parabola. lPraeterea in eadem sectione DFE ordina- ltae, pertinentes ad eius diametrum FG, de- lbent esse parallela: recta: DE . Sed ex eo n- lstructione recta DΕ parallela est rectae FO. lQuare caedent ordinatae parallelae quoque erunt l
ipsi FO : proindeque , sicuti para hola: DFE. ldescriptae in plano rectarum FG,Fo, diameter sest
104쪽
ELEMENTA. est recta FG, sic ordinatae ejus diametri paraIIelae erunt rectae Fo. Denique ex superius ostensis parameter, quae ad descriptae parabolae diametrum reseris tur, erit ad FR , ut est BC ad AC, sive etiam,
ut est FR ad AR . Sed ex constructione FRest ad AR . ut FO ad FR . Quare erit ex aequali, ut FO ad FR , ita parameter diametri FG ad eandem FR : & propterea crit FO
ipsa diametri parameter. III. Dubitari itaque non potest , quin parabola DFE , descripta in plano rectarum FG, FO methodo tradita,quaesitae condit Iones adimpleat. Primo enim diameter ejus est recta FG; deinde diametri parameter est recta FO ; denique eidem Fo parallelae sunt etiam ordinatae, quae ad diametrum illam referuntur. Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam , pro descriptione ejuS para-holae , csse adeo universalam , ut non unum sed infinitus conos ad eum usum exhibeat.
Nam primo planum CDE duei potest infinitis plane modis. Et si enim plano rectarum FG , Fo occurrere debeat in recta DE , ipsi FO parallela ; id tamen positionem eius mini me determinat. Deinde punctum R ut eumquc sumi potest in recta FP . Quo sit, ut longitudo ipsius FR adhuc modis innumeris posse
variari. Utroque igitur ex capite liquet, in- itam esse diversitatem conorum, quorum ope quaesitam parabolam describere licebit . Odigmadmodum autem ex positione plani
105쪽
sε SECTIONUM CONICARUM grammum FΚCR latitudinem stiam . Unde , quia idem parallelogrammum determinatur, tam per suam latitudinem quam per magni tudinem anguli c FR , liquet, infinitam illam conorum diversitatem , qui adhiberi ponsiunt ad quaesitam parabolam describendam , non aliunde pendere , quam ex eo , quod potia
sit parallelogrammum FKCR infinitis plane
Iv. IV. Quamquam vero infiniti sint coni, P. et , . quaesitum parabolam describere licet,
ωέει ι Πι. ii tamen sunt omnes scalani , quum angulus GFO non ponitur rectus. Ubi enim triangu-bet , ' lum, eκ cono sectum per axem. non constituitii cibi,. P .uo bi sis angulos rectos ; proculdubio
conum ipsum scalenum esse oportet. Prosecto autem facile erit ostendere, triangulum BAC, sectum ex cono per axem , non posse cum plano basis BCD rectos angulos constitueres quum angulus GFO nequaquam est reditis. Nam, quotiescumque FO non constituit cum FG angulos rectos ἔ tam ipsa , quam ejus parallela DE multo minus rectos angulos eminciet cum plano trianguli BAC. in quo recta FG reperitur. Ex constructione autem DE
perpendicularis est super BC , quae duorum planorum BAC , BCD communis est sectio. tiare , quum eadem DE sit in plano BCD, nec etiam duo ista plana BAC, BCD recta
erunt ad invicem. Iidem vero coni poterunt esse, tum rem.
eum scalent ἰ quotiescumque angulus GFoponitur rectus . Nam , constituente Fo . vel etiam ejus parallela DE , rectos angulos cum
106쪽
ELEMENTA. S FG ; erit DE normalis utrique rectarum FG, BC : proindeque , tam ipsa DE recta erit ad planum trianguli BAC,quam duo plana BAC. BCD tecta erunt ad invicem . Unde , si triangulum BAC fuerit isos celas , erit axis coni re inctus etiam ad planum basis BCD ; & conseia quenter ipse pariter conus erit ructus , Sc nous ea lenti S.
V. Hinc , ad de iandum casum coni rem . non abs re erit, inquirere hoc loco , quid factu sit opus , quo triangulum BAC iso sceles oriatur . Nimirum necesse est, sumere FRtalis longitudinis , ut siquidem in diametro
FG capiatur punctum aliquod G , Se jungatur GR, sit GR quadratum una cum redhangulo OFG aequale duobus quadratis FG, FR . Ponamus enim , triangulum BAC is scelas esse. Et quoniam , ducta CP, ipsi AF parallela , fit etiam iso sceles triangulum P GP;Deabitur basis hujus PF bifariam a perpendiculo, quod super ipsam demittitur ex pti iacto G : proindeque GR quadratum una cum ruinctangulo PFR aequale erit duobus quadratis FG, FR. Ulterius , quia parallelae sunt inter se .
tam rectae GΡ , AF , quam rectae FG , RA ;erit , ut PF ad FG , ita FR ad RA . Sed ex constructione F R est ad R A . ut FO ad F R.
Itaque erit ex aequali, ut PF ad FG , ita Foad FR r & propterea , quum rectangulum PFR sit aequale rectantulo OFG ; erit GRquadratum una cum rectangulo FGO aequale etiam quadratis FG , FR. VI. oporteat jam . quaesitam parabo-
107쪽
ss s ECTIGNuM CONICARUM tw' ita quidem , mediante cono , in Plano de iis, itiis' scribere , ut triangulum BAC i sceles oria.
se '- tur ε rectusque adeo ipse conus , quotiescum misi M. que anguluS GFO ponitur rectus.
FIG.l 2. Abscindatur ex diametro FG portio FQ , quae sit aequalis dimidio parametri Fo. Deinde, sumpto in eadem diametro puncto quovis alio G , demittatur ex eo recta GT , perpendicularis super FP . Et circulus , trans
iens per puncta tria T, G , Q , signabit in FP punctum illud R , quo opus est, ut trian gulum BAC i sceles fiat. Quum enim ex constructione Fo dupla sit ipsius FQ.; erit rectangulum OFG duplum quoque rectanguli GFQ. Sed , ob circulum , transeuntem per quatuor puncta T, R, G, Q, rectangulum GF est aequale rectangulo RFT . re idem rectangulum OFG erit
duplum pariter rectanguli RFT. Hinc, quum sit GR quadratum una cum duplo rectanguli R FT aequale duobus quadratis FG, FR; erit etiam GR quadratum una cum rectangulo OFG aequale iisdem quadratis FG , FR : proindeque , per ea , quae Z mox ostensa sunt, parabola ita quidem , m diante cono, in plano describetur, ut trianguintum B AC i sceles fiet. vir. VII. Sed notetur hic velim , quod si iun-
cum diametro FG rectos angulos constituet. QTum enim , ratione circuli, transeuntis per
ven/-- quatuor puncta T . R , G , Q , aequalia snt Fi. λη- rectangula GFQ , RFT; erit, ut FG ad FT, ita FR ad FQ: proindeque angulus FTH aa-
108쪽
gulo PQR aequalis erit. Sed ex constructione angulus FTG est rectus . Quare rectus erie pariter angulus FQR. Id quum ita sit, problema de describenda in plano parabola ita quidem, mediante coano , ut triangulum B AC i sceles oriatur , facilius longe resolvi poterit in hunc modum . Nimirum abscindatur , ut antea , ex diam
tro FG portio FQAquae sit aequalis dimidio parametri Fo . Erigatur deinde ex puncto Qtecta QR , eidem diametro perpendicularis .
Et tecta ista QR signabit in FP punctum it
Iud R, quo opus est, ut triangulum BACisosceles fiat. Ex utraque autem constructione perspicuum est , triangulum BAC tunc tantum iso- sceles esse posse,quum recta FP non constitute rectos angulos cum diametro FG . Nam, ubi rectus est angulus PFG , coibit primo punctum T cum puncto F ; atque adeo per tria puncta T , G , Q , velut in eadem recta existentia , nullus circulus transibit , nisi qui radium habet infinitum . Deinde vero perpendicularis , quae super diametro erigitur expuncto Q , fiet ipsi FP parallela a neque adeo ei occurrere poterit, nisi in insinita distantia a puncto F. VIII. Non est tamen reticendum hoc Ioco, quod posterior propositi problematis fructis erui quoque possς ex eo , quam pro eodem problemate superiur attulimus in ellipsi. εών νη ea ,
Ibi enim , descripto super diametro FG semicirculo FQ9,& aptata in eo recta FR, quae Fas. 8.media esset proportioualis inter FO , & FG A
109쪽
yo SECTIONUM CONI cARUM comperiebamus punctum R ope a reus , cuinius centrum esset punctum G , Iiatervallum vero Gin Sed facile erit ostendere , istiusmodi constructionem in eam , de qua agitur, Verti , quotiescumque punctuin G , alter diametri vertex, in infinitum abire supponitur. Si enim ex diametro FG abscindatur
portio FU , aequalis parametro Fo , fiet FQquadratum aequale rectangulo GFU. Unde quum duo quadrata FQ, G qualia sine quadrato ex FG ; erit quoque quadratum ex Cinaequale rectangulo FGU : proindeque erit, ut FG ad Gin ita G Q ad GV . Hinc, translato intervallo G Juper ipsa diametro GF , cadet punctum et inter alia duo F , RV . Quare , abeunte in infinitum puncto G , una cum ipsis FG , GU fiet etiam infinita Gu: ct propterea arcus , qui describitur centro G , intervalloque GK cum tangente sua confundetur, & vertetur adeo in rectam, ipsi FG perpendicularem.
Hinc si quidem ostendi possit. quod in eadem hypote si fiat FQ aequalis dimidio ipsius
FV a jam liquido patebit , constru Elionein, quae locum habet in parabola, esse eandem illam , quae obtinet in ellipsi . Id vero demonia
strabitur hoc pacto . Quoniam FG est ad GR. ut GQ ad GV ; erit convertendo , ut FG adm , ita G ad QV . Sed , abeunte in infiniis tum puncto G, rectae duae FG , G sumi
possunt velut aequales inter se; quum ambae stant longitudinis infinitae , manente interim finita .ipsarum differentia F . Quare in eadem hypothesa erunt etiam aequales ructae duae FQ,
110쪽
QV: ct propterea FQ semissis fiet ipsius FU.
lX. Praeterea eadem posterior propositi pr
humatis constructis erui etiam potest ex ea , ...uom m quam pro eodem problemate superias attalimus in operbola . Ibi enim , erecta super diametro .aperpendiculari Fmqtiae media esset proportionalis inter FO , & FG , comperiebamus punctum R ope arcus , cujus centrum esset FLO' ς' punctum G , intervallum vero recta Gin, Sed facile erit ostendere , istiusmodi quoque constructionem in eam , de qua agitur , Verti squum punctiim G , alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur.
Si enim producatur diameter GF , usque donec fiat FV aequalis parametro Fo ι erit FQ quadratum aequale rectangulo GFU . Umde , quum quadratum ex Ginit aequale quadratis GF , FQῆ erit idem GQ quadratum aequale etiam rectangulo FGV : proindeque erit, ut GV ad Go ita Go ad GF . Hinc , translato intervallo G super ipsa diametro
GF , cadet punctum ranter alia duo F , SV . re . abeunte in infinitum puncto G , una cum ipsis GF , GV fiet etiam infinita G
S propterea arcus , qui describitur centro G, intervalloque Gin cum tangente sua confundetur , Sc vertetur adeo in tectam , ipsi FG perpendicularem.
Hinc, siquidem ostendi possit, quod in eadem hypothesi fiat FQ aequalis dimidis i sus FV ; jam liquido patebit, constructionem , quae locum habet tu parabola , esse eamdem illam , quae obtinet in hyperbola . Id vero demonstrabitur hoc pacto . Quoniam CV