장음표시 사용
111쪽
yx SECTIONUM CONICARUM est ad GQ, ut G Q ad GF; erit dividendo . ut QV ad G a ita FQ ad GF . Sed , abeunte in infinitum puncto G , rectae duae G , GF sumi possunt velut aequales inter se ἔ quum ambae fiant longitudinis infinitae , manente interim finita ipsarum differentia FQ . re in eadem hypothesi erunt etiam aequales rectae duae QV , FO : ct propterea F semisis fiet .psius FV. x. X. Caeterum hic quoque problema prinalis meiεε- ae destribenda parabola in plano p r
t m Nimirum datis , ut supra, rectiS FG,FO,
eonum in sat Eadem constructio, usque donec ceven
tum fuerit ad punctum R , utcumque sumen-Fia. ia. dum in recta FP . Abscindatur postea ex diametro FG portio FU , aequalis parametro FO.Τum , iuncta RU , fiat angulus GFB , aequalis angulo FRV; S agatur per punctum Rtecta RC , ipsi FG parallela. Producantur deinde rectae duae BF , CRusque donec sibi mutuo Occurrant in A , cum quibus conveniat quoque recta ΚC in punctis B , S C . Jamque , si conus concipiatur scujus vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptus super BC , velut dia metro , in plano rectarum BC , DE ; habebi-hitur parabola describenda per intersectionem coni hujus cum plano , in quo datae sunt rectae FG, FO. Plane enim , si ostendi possit . Fo esse ad F R. ut est FR ad RA; alia ista solutio
coincidet cum priore , nec adeo de veritat ejus poterit dubitari. Id vero ostendetur hoc
112쪽
lis est angulo FRU:Sed , propter parallelas FG , AC , idem angulus GFB aequalis est etiam angulo RAF- Quare duo anguli FRV, R AF aequales erunt inter se t & propterea erit, ut FU ad FR , ita FR ad RA . Est autem ex constructione FV aequalis FO. Et igitur etiam FO erit ad FR, ut est FR ad RA. XI. Atque hinc rursus patet, non posse triangulum BAC i sceles esse, nisi FR sit talis longitudinis , ut sumpto in diametro
FG puncto quovis G , junctaque GR , sit
CR quadratum una cum rectangulo OFG aequale duobus quadratis FG , FR. Ibi enim iso sceles est triangulum BAC, erit etiam i sceles triangulum FAR . Quare, quum aequa es sint, tam anguli CR F , R FB, quam anguli FRU, GFB ; erit quoque angulus C RV aequalis angulo VFR . Sed, propter parallelas AC, FG, idem angulus C RV aequalis cst etiam angulo RVF . Itaque duo anguli RVF, FR aequales erunt inter se : &Propterea,quum aequalia etiam sint latera FR,RU, triangulum FRV iso sceles erit. Hinc, quum basis hujus triangulI FUhifariam secetur a perpendiculo , quod super ipsam demittitur ex puncto R ; erit GR quadratum una cum rectangulo GFU aequale duobus quadratis FG , FR . Ob aequales autem FU , FO , rectangulum GFV est aequale rectangulo OFG. Itaque idem GR quadratum una cum rectangulo OFG iisdem quadratis FG , FR pariter aequale erit. Ex eo autem, quod duo anguli RVF ,
113쪽
,4 SECTIGNUM CONICARUM FR sint etiam aequales inter se , quum iso- seeles est triangulum BAC; aIta nobis su hnascitu e ratio deseribendi quaesitam parabolam
ita quidem , mediante cono , ut triangulum BAC isosceles oriatur . Nimirum , si abscissa
ex diametro FG portione FU . ipsi FO aequali a fiat ad punctum V angulus FVR , aequalis angulo VFR; quandoquidem tecta VR signabit in FP punctum illud R . quo opus est,
ut triangulum BAC i sceles fiat. XII. Nec silentio praeteribimus , quod
Missis in Uta etiam co Iructio prono alveo fuat ex ea ,
obora. obtinuimus. In iis etenim curvis sumpta quo-- .et que super diametro FG portione FV . quae FIo. 8. aequalis esset parametro Fo, comperiebamus Io. punctum R, describendo super GV circuli portionem, quae susciperet augulum, aequalem angulo GFR . Sed facile erit ostendere, isti uia modi constructionem in eam , de qua agitur, Verti, quotiescumque punctum G , alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur. Si enim rectam intelligamuS, quae eam circuli portionem tangat in V , S ad eandem cum illa plagam dirigatur ; ea continebit cum FV angulum , aequalem angulo VFR. Unde, quia , abeunte in infinitum puncto G , fit ipsa GV infinitae longitudinis , atque adeo infinita quoque diameter , quae ad eam circuli porti
nem refertur δ confundetur ipsa circuli portio cum tangente sua , ct consequenter vertetur
in rectam , constituentem cum FU angulum, aequalem angulo VFR: proindeque in eadem
hypothesi invenietur punctum R , si fiat ad
114쪽
puncti im V angulus FUR , qui sit aequalis
angulo VFR. XIII. Iisdem itaque modis , quibus ellipsis , & hyperbolae in plano per conum descri- ὼ μνιιιι νptionem obtinuimus , describitur quoque parabola . Sed punctum A , in quo rectae duae Ο -- BF , CR sibi mutuo occurrunt, hic etiam, numquam in infinitum abire potest . Unde Fici. ia. ipse pariter conus, quo mediante parabola δε- scribitur , nos secus ac in operbola, numquam . verti poterit in olindrum. Cylindri igitur ope tantum ellipsis describi potest. Et quamquam parabola , velut species quaedam ellipsis, haberi queat; inde tamen non sequitur , parabolani quoque per cylindrum posse describi . Nam meminisse GPOrtet, quod conus , quo describitur talipsis, tunc quidem vertatur in cylindrum , Fio. 8.quotiescumque punctum R subinde sumitur in recta FP , ut portio FR sit media proportionalis inter diametrum FG , ct ejus parametrum FO. Quum enim in parabola diameter FG sit Fis. ia. infinitae longitudinis , utique media proportionalis inter ipsam , S ejus parametrum finita esse non potest. Quare, ubicumque sumetur in tecta FP punctum R , semper intercepta portio FR , velut finita , minor erit linea illa, quae media foret proportionalis inter FG , SFΟ : proindeque , quum quaestio erit de describenda parabola , perinde ac quum agitur de descriptione hyperbolae, numquam fieri poterit, ut conus abeat in cylindrum.
115쪽
CAP. IV. Ra ratione elli is in plano per solas rectas defcribi pos
I. IT Idimus huc usque , quo pacto de-V seribendae sint in plano conicae sectiones, adhibendo rursus solidum illud , ex quo eae trahunt originem suam . Nunc , qua ratione eaedem curvae describi possint in plano, per solas linearum longitudines , ostendenis dum nohis erit. Ut autem a descriptione elliapsis iterum ordiamur , dentur in plano aliquo, tum magnitudine , cum positione , rectae duae, AD , sibi mutuo occurrentes in A . Et oporteat , in eodem plano dc scribere ellipsim , cuius AB sit diameter , AD parameter diametri , ct eadem AD recta illa, cui omnes diam tri ordinatae debent esse parallelae. Ducatur per punctum D recta DΕ , ipsi ΑΒ parallela . Tum capiantur aliae duae rectae AX , BZ , quae revolvantur circa puncta A,S B in ipso plano rectarum AB , AD . Fiat autem earum revolutio hac lege , ut portio Dῆ , abscissa ex DΕ per priorem AX , sit peris peltao aequalis portioni AG, quam ex para metro AD , prost'cta si opus , abscindit eodem tempore recta Altera BZ . Dico, curvam, quae in eodem platio rectarum AB , AD describitur continuis intersectionibus ipsarum
116쪽
ELEMENTA. ' A X. BZ , elliplim , quam quaerimus, esse. Ex aliquo enim ejus curvae puncto ducatur recta MN,ipsi AD parallela, quae conis veniat cum AB in puncto N . Jamque erit punctum M in quaesita ellipsi, si utique ostenis di possit, MN quadratum esse ad rectangulum. AN B , ut est AD ad AB . Id vero ostendetur in hunc modum. Quadratum ex MN est ad rectangulum AN B in ratione composita ex MN ad AN, S ex MN ad N B; sive etiam in ratione composita ex AD ad DF , ct ex
AG ad AB . Sed , ob aequales DF , AG , duae
istae rationes componunt quoque rationem ,
quam habet AD ad AB . Itaque erit ex aequa li, ut MN quadratum ad reAangulum AN B, ita AD ad AB.Il. Non ergo dubitari potest , quin mu--- , tuis intersectionibus rectarum A X , BZ deseribatur ellipsis, quam quaerimus. Interim, νεέoue m
iit descriptio eius metus intelligatur . notandum est primo , quod ubi recta AX sertur Fis .i s. circulariter ex AD versus AB ; tunc recta altera BZ ferri debeat circu Iari etiam motu exEA versus BI, quam ipsi AD suppono parat Ietam . Et quoniam revolutio harum rectarum ea lege fieri debet , ut portiones DF, AG, ab- seissae per ipsas ex rectis DE , AD , sint perpetuo aequales inter se z perspicuum est , quod tibi recta AX pervenit ad AB , Sc infinitam adeo portionem abscindit ex DΕ ; tunc recta altera BZ super B I reperiatur, quia hac ratione ipsa quoque ex An infinitam portionem abstindet. Notandum est etiam, quod quotiescum-
117쪽
ss SECTIONUM co NICARUM que eadem A X pergit moveri circulariter ex AB versus AH , quam ipsi AD in directum esse silppono , tunc recta altera BZ prosequi
debeat motum suum circularem ex BI versus in quam AB,quum producitur, cadit. Et quoniam motus earundem rectarum ea adhuc
lege perfici debet, ut portiones DF , AG , quas abscindunt ex ipsis DE , AD , ex altera
parte productis , maneant semper aequales inter se: liquet, quod ubi recta AX pervenit ad AH , Sc nullam adeo portionem ab seindit ex DE ς tune altera BZ super BR reperiatur, quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam Portionem abscindet. III. 1 II. Atque hinc luce clarius apparet, elislipsina constare ex duabus partihus, hinc inde Dra Dui relate ad diametrum positis , quae iunguntur arriri . simul in utroque vertice eiusdem diametri. Fia .is. Una siquidem describitur , quum recta AX surtur circulariter ex AD versus AB , eaque continetur in angulo BAD. Altera describitur, quum eadem A X moveri phrgit ex AB versus AH , S pars ista continetur in angulo BA H. Nec sane , continuando motum eiusdem rectae A X , usque donec circumferentiam integram absolvat, aliae ei partes addi possunt. Nam primo, quotiescumque recta AX sertur ex AH versus AK , quam ipsi AB in directum esse suppono ; tune altera BZ prosequetur motum suum ex BR versus BL , inquam Bl, quum producitur, cadit. Quare . quum fiant earundem rectarum intersectiones in angulo BAD; describetur eadem ellipsis portio , quae in angulo illo continetur. Et se-
118쪽
ELEMENTA. spvundo, ubi eadem recta AX sertur ex ΑΚ versu. AD , tunc vitera BZ moveri perset ex BL versiis BA . Unde , quum earundem rectarum intersectiones fiant in angulo BAH; describetur ellipsi portio illa, quae 'eo tu gningulo continetur IV. Ex aliata autem ellipsis deser pilone iv. perspicuum est, et id quidem contingere, ut si per aliquod ejus punctum M ducantur ex ii sa- .x
metri verilalbus Α , B rectae dua AX, BZ; portiones DF, A si , quas ipsae abscindunt ex rectis DE, AD , productis si opus, sint sem. Fi se is Per aequales inter ist . Sed, si eηdein AX , BZ
Protrahantur , usque donec conveniant inimrectis Bl . IL , similiter si opus productia , in punctis Ο , ct Q erunt exi m aequales portiones 3O, i inium enim aequale sint Inter se , tam duae AD , Bl, quam duri DF , AG a erittit AD ad DF . ita di ad AG . Sed , obtriangula aequiangula ADF , Ado , AD est ad DF, ut est Boad Ad ; itemque, ob triangula aequi ngula BIQ, B AG , ηι est ad AG, ut est Iu ad AB . Itaque erit ex aequali , ut BO ad Ad , ita tu ad eandem AB : S propterea duae do , IQ aequales erunt inter se. Hinc , per intersectionem rectarum A X , BZ , describetur quaesita ellipsi. , non solum , quum rectae illae subinde revolvuntur circa
puncta A , S B , ut portiones DF , AG, quas abscindunt ex rems DΕ , AD , productis si
opus , sint perpetuo aequales inter se ; verum etiam, quum mas circa puncta illa revolutiones subinde perfieiunt , ut sint aequales Por-G a tisis
119쪽
tioites, BO , I quas abscindunt ex tectis BI , ΙΕ , similiter si opus productis. V. Et si autem aequales sint inter se , tantportiones DF , AG ι quam portiones BO , IO et perspicuum i est tamen , minui quidem istas, quum ea augentur ἔ ct per 'contrarium augeri, quum illa minuuntur . Sed, tam mentum,quam decrementum si semper ea lege, ut rectangulum ex una illatum DF in unam istarum. Boi exhibeat istJque magnitudinem figurae ipsus diametri AB-rruam, ob trianguinta sequianguli ADF ASO est AD ad DF , ita est BO ad AB i pioindoque rectangulum ex DF in Bo aequale urit rectangulo ex AD in DB , quod ex supelius dieiis constituit diametri figuram . - οῦ
Hinc , quotiescumque aequales sunt inter se 'omnes quatuor portliones DF , AG, Bo , Iin necesse est , ut unaquaeque ipsarum media evadat proportionalis inter diametrum AB, ct eius palametrum ADδ atque adeo, ut cujusque quadratum aequale fiat rectariis gulo BAD . Id. vero contingit , quum illud. ellipseos punctum describitur , ad quod pertinet ordinata , quae bifariam dividit dia
metrum AB ; hoc est, quum duae AN , NB
aequales fiunt inter se . . . rUhi enim duae AN , NA Inter se sunt aequales, erit ut A N ad MN , ita N B ad eandem MN . Sed , ob triangula aequiangula
ANM,ABO, AN est ad MN, ut AB ad
Bo ς pariterque , ob triangula aequiangula
, BNM , B AG , N B est ad MN, ut AB ad AG- itaque erit ex aequali, ut AB ad ΒΟ , ita Au
120쪽
acl. AG r & propterea duae AG, BO aequales
χVI. Id quum ita sit, juvat hic advertere, quod etsi in describenda ellipsi revolutio rediarum A X , BZ temperari possit , tam .pqua litate portionum DF , AG , quam aequalitate portionum BO , IQ , consultius sit, tamen , adhibere aequalitatem illarum , quum describidebot portio ellipsis , quae resertur ad lam ialam diametri superiorem; & vicissim aequalitatem istarum,quum per contrarium describenda est portio altera, quae diametri semissum alium inferiorem respicit .
ntum enim ad portiones DF , AG;
eae, sicuti nullius magnitudinis sunt in vertice A, ita in recessu ab illo vertice maiores semper, ac maiores fiunt, tandemquo infinitae evadunt in vertice altero B . Quare integra elli. s numquam describi posset, si revolutio rectarum A X, BZ aequalitate earum portionum semper esset temperand . Quantum vero ad portiones BO, IQ, istae per contrarium uullius omnino magnitudinissant in vertice B , tum in recessu a vertice isto majores semper, ac majores fiunt, tandem. que in vertice altero A infinitae deprehenduntur . Unde integram ellipsim nunquam adhuc deseribere liceret, si ipsarum aequalitate rein volutionem rectarum Ax , BZ dirigerς sum.
Quocirca, ut integrae ellipsis descriptio haberi possit, praestat, partem eius supellcirem describere aequalitate portiodum DP , AG a st nartem inferiorem aequalitate Portio