장음표시 사용
131쪽
Iis SECTIONUM CONICARUM tune duae AN ,NB aequales fiunt inter se;
quum utraque infinita evadat, manente interim. finita ipsarum disserentia AB: proindeque erit, ut A N ad MN , ita N B ad candem MN. Sed , ob triangula aequiangula ANM , ABo, AN est ad MN , ut AB ad Bo ; itemque , obtriangula aequiangula BNM, BAG,N B est ad MN , ut AB ad AG . Itaque erit ex aequali , ut AB ad Bo , ita AB ad AG i ct propterea duae AG , Bo aequales erunt inter se. VI. Id quum ita sit , juvat hic advertere
quod etsi in describenda hyperbola revolutio rectarum A X, BZ temperari possit, tam aequalitate portionum DF , AG , quam aequalitate portionum Bo , IQ; consultius sit tamen, adhibere aequalitatem illarum , quum describi debet hyperbola inferior , quae transit per verticem A ; & vicissim aequalitatem istarum , quum hyperbola su perior , quae traducitur per verticem B , est describenda. '
nium enim ad portiones DF , AG a
eae, sicuti nullius magnitudinis sunt in vertice A, ita in recessu a vertice illo majores semper , ac maiores fiunt. tandemque infinitae evadunt In vertice altero B. Quare integra hyperbola , quae ex principali , ct opposita constat, nun quam describi posset, si revolutio rectarum AX , BZ aequalitate earum portionum esset
Quantum vero ad portiones Bo , IQo
istae per contrarium nullius magnitudinis sunt in vertice B, tum in recessu a vertice isto majores semper,ac majores fiunt, tandemque in vertice altero A infinitae deprehendum
132쪽
ELEMENTA. II 3ttit. Unde integram hyperbolam numquam adhuc describere liceret, si ipsarum aequalita te revolutionem rediarum A X , BZ diligere semper oporteret.
, Quocirca , ut integrae hyperbolae descriptio haberi possit, praestat, prius quidem adhi- here aequalitatem portionum DF , AG ; tum deinde aequalitatem portionum ΒΟ,IQ in subsidium advocare . Et, ut idem sit terminus in crementi, tam illarum, quam istartim; describi poterit aequalitate priorum hyperbola princiis. Palis , quae transit per verticem A , ct aequalitate posteriorum hyperbola oppolata , quM
transit per verticem alterum B. t - .
VII. Ex eo porro, quod aequales sint in--.ter se , tam portiones DF , AG, quam portiones Bo , t , plura possunt obliseri , aliis quem fortasse usum deinceps habitura.
Nimirum primo determinari potes Am εοναν-- gitudo parameιri , quotiescumque una cum hyperbola data est , tam diameter AB , quam positio suarum ordinatarum . , ria. 17.
Sit enim AD , vel BL recta Illa, cui omnes diametri ordinatae sunt parallelae . Et,sumis pio in hyperbola puncto quovis M , agantur per illud ex verticibus diametri A , & B re,ctae AX , BZ, quae cum ipsis AD, BL conveniant in punctis G , S O. Abscindatur deinde ex AB, utrinque Producta , vel portio AS , aequalis ipsi AG , vel portio BT , aequalis ipsi BO . Et parametri longitudinem exhibebit , tam recta SF , parallela rectae AD , & terminata ad rectam AX , quam . recta TQ , parallela eidem Tom. I. U AD
133쪽
III. Secundo doniri potest punctum , in
quo recta AX , ducta ex vertice A , secat hy-- perbolam. Nimirum, si ex vertice altero B ducatur recta BZ , quae abscindat. vel ex AD portionem A G, aequalem ipsi DF ; vel ex IEAE J μου portionem I P . aequalem ipsi Bo . Nam intersectio rectarum A X , BZ quaesitum ptinctum Hinc , sqti idem tecta AX cadat super AD, quae ducta est per vorticem A diametraordinatis aequi distanter, continget ea hyperbolam in solo puncto A . Nam in isto casu Dp quidem evanes it , Bo vero fit infinita . Quare, ut etiam evanescat AG , ct infinita fiat I ducenda erit recta altera BZ per ipsum verticem A. Per contrarium vero, quotiescumque re cta AX angulum constitit it cum AD , tunc ea non lotum in A, sed in alio quoque punct. secabit hyperbolam. Nam, ratione ejus anguli, est finitae magnitudinis, tam portio DF, quaru portio Bo et proindeqtse tecta altera BZ per ipsu in verticem A transire non poterit. Inde autem consequitur, quod si in plano descriptae hyperbolae detur positione refla aliqua , quae non sit parallela diametri ordinatis, semper ex vertice A duci possit recta alia,quae et parallela , secet hyperbolam in alio puncto, quum non aliter esse queat illi paralleIa, nul, angulum constituat cum AD . Denique determinari potes puηctum, in quo recta BZ, ducta ex vertice B, secat hyperbolam. Nimirum, si ex vertice altero A
134쪽
ELEMENTA. IIς due tur recta AX , quae abscindat, vel ex DE .ore est avaportionem DF, aequalem ipsi AG ι vel ex BL portionem BO , aequalem ipsi K Nam inter. Fici. i sectio rediarum BZ , A X quaesitum punctum exhibebit. Hinc, siquidem recta BZ cadat super B L,
quae ducta est per verticem B diametri ordinatis aequi distanter; continget ea hyperholam in solo puncto B . Nam in isto casti AG quidemst infinita , vero evanescit. Quare , ut etiam infinita fiat DF, ct Bo evanescat, du- . cenda erit recta altera AX per ipsum vertiacem B.
Per contrarium Vero, quotiescumque recta BZ annitum constitit it cum dL, tunc non solum in b, ted in alio quoque puncto ea seca-hit hyperbolam. Nam, satione ejus anguli, ests nitae magnitudinis i tam portio AG , quam 'γrtia IQ : proindeque recta altera AX per apsum verticem B duci non poterit. Huic autem consequens est, quod si in plano descriptae hyperbolae detur positione recta aliqua , quae non sit parallela diametri ordinatis . sempςr ex vertice B duci possit recta alia,quae ei parallela , hyperbolam secet in ali puncto; quum non aliter esse queat illi parallela, nisi angulum constituat cum B L. X. Caeterum haud quidem putandum est, x. hyperbolam in plano per solas rectarum longiis radices dumtaxat exposita ratione posse descri- n e vi, hi. Vix enim ulla est ejus proprietas , ex qua
Nealiaris eam describendi modus nobiS non ahema ν tilo
subnascitur. Quin saepe ex eadem proprietatemssunt etiam piam derivari. H a Ita,
135쪽
xi ε SECTIO NuM CONICARUM Ita, si angulus BAD , quem constitute diameter AB cum parametro AD, fuerit rectus ; ope ejusdem illius proprietatis , quae hyperbolae competit relate ad diametrum, poterit etiam quaesita hyperbola describi in
Secetur diameter AB subinde In puncto H, ut AH sit ad BH , veluti est AD ad AB. Deinde, erecta super BH perpendiculari HL ,
revolvatur, tum circa verticem A angulus reis ctus XA Y , cum cirra verticem alterum B re
Fiat porro utriusque revolutis ea Iege, ut Intersemo rectae BZ cum latere anguli ΑΥ contingat semper super tecta HL . Et intersectio ejusdem rectae BZ cum latere altero ΑX optatam hyperbo m in plano delineabie XI. Nec sane dissicile erit, hujus rei voritatem ostendere. Ex aliquo enim intersectionis puncto M ducatur ad diametrum ordinaista MN: quae,quum sit ei perpendicularis, parallela erit ipsi HLict consequenter duo trianis gula BNM , BHL aequiangula erunt. Et quoniam reditis est uterque angulo. rum BAD, XAY; iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DAY, erit etiam angulus BAY aequalis angulo DAX, sive AMN:& propterea duo trianis gula MN A, Α HL etiam aequiangula erunt. Ulterius MN quadratum est ad rectangulum AN B in ratione composita ex MN ad l
136쪽
Aangulum ANB in ratione composita ex AH ad HL , ct ex HL ad BH.
Iam duae istae rationes componunt partister rationem,quam habet AH ad BH.Unde erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectanguium ANB. ita AH ad BH. Sed ex constru
ctione ΑΗ est ad BH , ut AD ad AB . Et Igi
tur erit rursus ex aequali , ut MN quadratum ad rectangulum ANB, ita AD ad AB. XII. Dissimulandum autem hoc Ioeo non est,quod alter se Θρπωam describendi mο-dus omnino recidat in eum,quem primo loco at-ιulimus. Si enim per punἁum D ducamus re- Etam DE, diametro BA parallelam , cui latusAX oecurrat in F , facile erit ostendere, po . tionem DF aequalem esse portioni AG , quam, abscindit ex AD, producta si opus, recta BZ .Quum enim rectus sit uterque angulorum X A Υ , DAH ; iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DAΥ, . erit quoque angulus DAX aequalis angulo HAY i S propterea duo triangula HL, . ADF aequiangula erunt ἔ eritque adeo , ut AH ad HL , ita AD ad DF. Hinc,quum sit BH ad HL In ratione comis, posita ex BH ad AH ,& ex AH ad HL ha-hebit quoque Bri ad HL rationem compositam ex BH ad AH , ct ex AD ad DF . Sed ex constructione ΒΗ est ad AH . iit ΛΒ ad AD. Quare erit rursus BH ad HL in ratione comis posita ex AB ad AD, R ex AD ad DF. . . Jam duae istae rationes componunt parἰ- . ter rationem , quam habet AB ad DF . Unde erit ex aequali. ut BH ad HL , ita AB ad DF.
137쪽
I13 SECΤIONUM CONICARUM Sed BH est ad HL, ut AB ad AG. itaqtae erit rursus ex aequali , ut AB ad DF . ita AB ad AGrdh propterea duae portiones DF , AG ἀ-
I. I Llud reliquum iam est , ut qua - - - - I tisne per folas linearum longitud nes parabola in plum describi φιμ, otandanius. Dentur itaque postpone in plano aliquo sectas solai. tectae duae AB , AD , sibi mutuo oceurrentes FIG a iii quartim prior AB sit terminata ad mi ctum Α , indefinita veto versus B , altera AD st etiam magnitudine data. Et oporteat, in eo.
dem inno describere palabolam , cujus AB stilia ineter , AD parameter diametri , S eadem AD recta illa, cui omnes diametri ordinata debent ese parallelae. Ducatur per punctiim D recta DE . ipsi AB patallela . Tum capiant ne aliae duae rectae AX, UZ; quarum prior Ax circa punctuin Arevolvatur 3 altera GZ nniveatur subinde super AD , ut maneat ipsi AB , vel DE jugiter Parallela . Ferantur autem rectae istae ea insa- per lege , ut portio DF , abscissa ex DΕ per priorem AX, si perpetuo aequalis potitoni AG , quam ex parametro AD, producta sopus
138쪽
E I. E M E N T A. aas opus , abscindit eodem tempore recta altera CZ . Dico , curvam , quap tu eodem plano reinctarum AB , AD describitur continuis intersectionibus ipsarum AX , GZ , parabolam ,
Ex aliquo enim eius curvae puncto Mducatur recta MN, ipsi AD parallela , quae conveniat cum AB in puncto N . J4mque erit puniatum M in quaesita parabola , si utique ostendi possit. MN quadratum aequale ps e rectangulo DAN . Id vero ostendetur in hune modum . Quadratum ex MN est ad rectau sum DAN in ratione composita ex MN in AD , S. ex MN ad AN ; sive etiam in ratione
composita ex AG ad AD , ct ex AD ad DF.
Sed duae istae rationes componunt quoque xδ
tionem, quam habet AG ad DF . Itaque urit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum DAN . ita AG ad DF : S propterea , sicuti
duae AG , DF inter se sunt aequales ἔ ita petit - MN quadratum aeqtiale rectangulo DAN. 'II. Non ergo dubitari potest, quin mu- Π. tuis intersectionibus re uirum A X , GZ describatur parabola , quam qumrimus , interim, ut deseriptis ejus melius inrcliagatur ν notan In dum est primo , quod ubi resta AX fertur cir culariter ex AD versus Ab ἔ tune recta alte ra GZ serri debeat rectilineo suo motu ex ΑΒ versus DE . Et quoniam motus harum rectarum e. lese fieri debet, ut portiones DF, AG, abscissae per ipsas ex rectis DE, AD sint perpetuo aequales inter se: perspinuum est, quod ubi recta AX pervenit ad ΑΒ , & iiiii m- Iam adeo portionem abscindit ex DE ; inucii 4 alte
139쪽
ireto SECTIONUM 3 CONICARUM 'altera CZ ah eadem AB infinite recedat, quuhac ratione ipsa quoque ex AD infinitam Poetionem abscindet. Notandum est etiam , quod quotiescumque eadem A X pergit moveri circulariter ex l AB versus AH , quam ipsi AD in directum esse suppono; tunc recta altera GZ intelligenda sit ex infinita distantia , ad quam abierat, accedere rursiis ad AB per plagam oppositam. Et quoniam motus earundem rcAarum ea adhuc lege perfici debet, ut portiones DF, AG, quas abicindunt ex ipsis DE, AD, ex stltera parth productis, maneant semper aequales inter iet liquet , quod ubi recta AX perve e. ad AH,& nullam adeo portionem abscindit ex DE; tunc altera GZ super AB reperiatur,. quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam
III. . m. Atque hinc luce elarius apparet . .,nia τὰ rabesam constare ex duabus partihus, hine isde - relate ad diametrum stositis , uuae simul iun-
FIO. 2C. tri. Una squidem deseribitur , quum recta :AX fertur circulariter ex AD versus AB , eaque continetur in agulo BAD . Altera deseriis i. hitur, quum eadem A X moveri pergit ex ' AB versus AH pars ista continetur in an- gulo BAH . Nec sane , continuando aliorum ejusdem rectae A X , usque donec circumferen- . tiam integram absolvat , aliae ei partes addi ,
. Nam primo . quotiescumque recta Ax lfertur ex AH versus AK, quam ipsi AB in di. . redium estu suppono 3 tunc. altera GZ prose. iφ x. quein i
140쪽
quetur motum suum ex AB versus DE. Qtiare, quum fiant earundem rectarum intersectiones in angulo BAD 3 describetur eadem para-holae portio, quae in angulo illo continetur. Et .secundo , ubi eadem recta AX sertur ex Agversus AD ; tunc altera GZ redibit ad AB per plagam oppositam. Unde, quum earundem tectarum intersectiones fiant in angulo BAH ue describetur parabolae portio illa , quae eo in. angulo continetur. I vIU. Ex allata autem parabolae descriptio- p . u isne perspieuum est, et id quidem contingere, ut ,
si per aliquod eius punctum M ducantur re- A.m μ.M.
Etae duae AX, GZ, prior quidem pertinens ad ruerticem A, altera diametro AB parallela; POr- ναοmo pertiones DF , AG , quas. ipsae abscindunt ex re-
.ctis DE , AD , productis si opus , sint perpe tuo ae piales inter se . Inde vero plura poseunt obtineri, aliquem fortasse afum deinceps habi-
Nimirum primo determiaari potest longitudo parametri, quotiescumque una cun parabola data est, tam diameter AB,quam Positio suarum ordinatarum.
Sic enim AD recta illa , cui omnes dia- . metri ordinatae sunt parallelae. Et , sumpto in .parabola puncto quovis M , agantur per illud tectae duae Ax , GZ , una pertinens ad verti- cem A , altera diametro AB parallela, quae ιConveolat cum eius parametro AD, productas opus,in puncto G. ν. Abscindatur deinde ex diametro AB .
tortio AS , aequalis ipsi AG . Et , ducta per itinctum S SE, parallela tectae AD, quae .