Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

91쪽

His peractis, concipiatur jam conus, cujus vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptias super BC, velut diametro, in plano ructarum BC, DE . Et per Inter fictionem coni hujus cum plano , in quo datae sunt tecta: FG, FO , habebitur hyperbola deis

scribenda.

II. Sit enim DpE sectio, facta per tale

planum in coni ejus superficie . Et quoniam BC est diameter basis BCD , erit triangulum BAC ex cono sectum per axem . Unde, quum hasi eius BC normalis sit recta DE , in qua planum secans occurrit plano basis ; erit recta FG diameter sectionis DFEi Sc propterea, quia eadem FG unum quidem trianguli latus infra verticem coni , ct alterum supra verticem seiscat, ipsa sectio DFΕ erit hyperbola. Praeterea in eadem sectione DF Ε ordinatae, pertinentes ad ejus diametrum FG, deis hent esse parallelae rectae DE. Sed ex constructione recta DE parallela est rediae Fo. Quare eaedem ordinatae parallelae quoque erunt ipsi FO : proindeque , sicut I hyperbolae DF Ε, descriptae in plano rectarum FG,Fo, diametet est reAa FG, sic ordinatae ejus diametri parat telae erunt rectae Fo. Denique ex vertice con; A ducatur recta AX , ipsi FG parallela, quae compniat cum BC in puncto X . Et ex superius ostensis parameter , quae ad deseriptae hyperbo'ae diametrum refertur, crit ad FR , ut est B X ad Ax.

Sed B X est ad A X , ut FR ad RΣ, sive etiam ex constructione , ut FG ad FR. Quare erit

92쪽

ELEΜENTA, Dex aequali, ut FO ad FR , ita parameter diametri FG ad eandem FR : & propterea erit FO ipia diametri parameter . III. Dubitari itaque non potest, quin hy- iit. perbola DFE , descripta in plano rectarum, μοῦ

FG, FO methodo tradita,quaesitae conditiones umre antae

adimpleat. Primo enim diameter ejus est re- 2...tiar'cta FG; deinde diametri parameter est recta FO ι denique eidem FO pamllelae sunt etiam iis . ordinatae, quae ad diametru in illam referuntur. FIO,IO. Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam, pro descriptione eius hyper-holae , esse adeo universalem, ut non unum , sed infiniiss conos ad eum usum exhibeat.

Nam primo planum CDE duei potest infinitis plane modis. Et si enim plano rectarum FG , FO occurrere debeat in recta DE , ipsi Fo parallela ; id tamen positionem eius miniin me determinat. Deinde punctum R utcumque sumi potest in tecta FP . Quo sit , ut longi tudo ipsius FR adhuc modis innumeris possit

variari . Utroque igitur ex capite liquet ,-- fultam esse diversitatem conorum, quorum

ope quaesitam hyperbolam describere licebit . madmodum autem ex positione plani CDE dependet magnitudo anguli GFR, si e ex longitudine ipsius FR trahit angulus FGR magnitudinem suam . Unde , quia per quantitates istorum angulorum de tetminatue triangulum FRG ς perspicuum est , infinitam. illam conorum diversitatem, qui adhiberi ponsiunt, ad quaesitam hyperbolam describendam, ex eo unice proficisci, quod possit trIangulum FRG ineuitis plane modis variari.

93쪽

'. SECTIO NuM CONICARUM IV. IV. Quamquam vero infiniti sint conloquibus quaesitum hyperbolam describere licet, fui uie.- ii tamen suiu omnes fealesi , quum angulu.22 GFO non ponitur rectus. Ubi enim triangu- , ρ lum, ex eo no sectum per axem, non constituit Fia. io 'plano basis angulos rectos ; proculdubio conum ipsum sta lenum esse oportet. Prosecto autem facile erit ostendere, triangulum B AC. sectum ex cono per axem , non posse cum pla' no basis BCD rectos angulos constituere νquum angulus GFO nequaquam est rectus. Nam, quotiescumque go non constituit eum FG angulos rectos ς tam ipsa', quam eius parallela DE multo minus rectos angulos emisciet cum plano trianguli BAC , in quo recta FG reperitur. Εκ constriictione autem DE perpendicularis est super BC , quae duorum planorum BAC, BCD communis est sectio. Quare , quum eadem DE sit in plano BCD. nec etiam duo ista plana BAC , BCD tecta

erunt ad invicem . itidem vero con; poterunt esse, tum reur, cum scalem , quotielcumque angulus GFoponitur rectus. Nam , eonstituente Fo , vel etiam eius parallela DE , rectos angulos cum FG ; erit DE normalis utrique rectarum FG. BC: proindeque , tam ipsa DE recta erit alplanum trianguli BAC,quam duo plana BAC. BCD tecta erunt ad invicem . Unde , si triangulum BAC fuerit i sceles, erit axis coni rectus etiam ad planum basis BCD ; & eonsequenter ipse pariter conus erit rectus , & non

scatenus.

94쪽

esi. non abs re erit, inquirere hoc loco , quid in- , fit opus , quo triangulum BAC i sceles oriatur . Nimirum necesse est , sumere pRtalis longitudinis , ut GR quadratum sit aequale quadiato diametri una cum ejus figura; vio. Io. rhoe est , ducta per alterum diametri vertieen,

dratum sit aequale quadrato ex PG una cum rectangulo ex pR in Gs . MPonamus enim , triangulum BAC4 se Ies csse . Et quoniam, completo parallelograminino psGP , fit etiam is sceles triangulum PGR ; secabitur basis huius P R bifariam a perpendiculo, quod super ipsam demittitur expuncto G:proindeque erunt quadrata GR,FRrequalia quadrato ex pG una cum rectangulo PRF . sed re angulum P Rp est aeqtiale quadrato ex FR una cum rectangulo PFR . Qua re, dempto communἰ quadrato ex PR, erit CR quadratum aequale quadrato e, FG una cum rectangulo PpR , hoc est eo , quod fit exv R in Gs . Id quum ita si, perspicuum est , trian

gulum BAC i sceles esse posse , non modo, quum ratio parametri ad diametrum est minoris ad majus, verum etiam , quum eadem illa ratἰo est vicissim majoris ad militis . Nam in utroque casti nihil obstat , quominus postit 'quandoque GR quadratum aequale esse quadrato diametri una cum eius figura. IVI. Oporteat Jam , quaestam huperbo. vL

Iam ita quidem , mediante cono, in planodo fiet

scribere, ut triangulum BAC i sceles oria- , Μνtur , rectusque adeo nise coma, quotiescutis 'T:- P

95쪽

νε SECTIONUM CONICA Ru Moum, νε- que angulus GFo ponitur rectus. Εκ puncto F erigatur super FG perpen-Fia. io. diculariS FQ. , quae sit media proportionalis

inter FO, & FG . Jungatur deinde Gin se

arcus, descript centro G, intervalloque G Q,

signabit in FP punctum illud R, quo opus

est , ut triangulum BAC fiat i sceles. menim FO sit media proportionalis;nter FO , & FG ; erit quadratum eX FQ a quale rectangulo OpG . quod constititit diametri figuram. Sed quadratum ex GR , sea Gu est aequale FG quadrato una cum quadrato eκ FQ.Quare idem GR quadratum aequa te erit quadrato diametri FG una cum eius figura i proindeque , ex mox ostensis, triangulum BACi sceles erit. Patet autem , triangulum BAC semperlsosceles esse posse , cujuscumque magnitudinis sit angulus GFR. Nam , quum sit Gumaior, quam GFr arcus, qui describitur ce tro G, intervalloque Gu, rediar FP semper occurret . Et quia eam secabie semper in duobus punctis , hinc inde positis a puncto F ; liquet problema duas semper solutiones admittere. VI1. Hic etiam problema principale , de describenda perbola in plano per conam , po test te ivi in hunc modum. Nimirum , datis ut supra rectis p G, po, eadem constructio, usque donec deventum fuerit ad punctum R, utcumque sumendum Fι . Io. in recta FΡ- Producatur postea diameter GF

96쪽

ELEMENTA. ,ν Conveniant porro rectae duae GR , PS in A , iissidemque occurrat quoque recta ΚC in punctis B, ct C. Jamque, si conus concipiatur, cujus vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptus super BC, velut dia. metro , in plano rectarum BC, DE ; habebitur hyperbola describenda per intersectionem cois ni huius cum plano , in quo datae sunt rectae FG, Fo. Ducatur etenim ex puncto R recta RE, diametro FG parallela , quae conveniat cum AF in Z . Et siquidem ostendi possit , Fo esse ad FR , ut est FR ad RZ a jam haec alia soluistio coincidet cum priore , nec adeo de veritate ejus pot*rit dubit ri. Id vero ostendetur

hac ratione.

Ex cons luctione angulus GPs aequalis est angulo FRV . Sed . propter parallelas FG,RZ , idem angulus GFs aequalis est etiam angulo RZF . Quare duo anguli FRU, R ZFaequales orunt inter se i ct propterea erit , ut FV ad FR , ita FR ad RZ. Est autem ex constructione FU aequalis ipsi Fo. Et igitur etiam FΟ erit ad FR , ut est FR ad RZ .

VIII. Atque hinc rursus patet, non posse triangulum BAC i sceles esse , nisi Fit sit si ava -- talis longitudinis , ut GR quadratum sit aequale quadrato diametri FG una cum ejus fi- φε

Sura. potes

Ubi enim Iso sceles est triangulum BAC, p erit etiam iso sceles triangulum FAR , atque adeo duo anguli AR F, AFR aequales erunt anter se . Unde , quum aequales sint, tam an

97쪽

. IECTIO NuM CONICA Ru Merit quoque angulus G RV aequalis angulo

GFR: S: propterea, quum sit, ut FG ad GR , ita GR ad GV i erit GR quadratum aequale rectangulo FGV. Jam rectangulum FGU est aequale quadrato ex FG una cum re tangulo GFU .lta que,ciuum, propter aequales FV, Fo, rectangulum GFV sit *quale rectangulo OFG , quod constituit diametri figuram ; erit idem rectangiuum FGV , vel ei aequale quadratum, quod fit ex GR , aequale quadrato diametri FG . una cum fisura . ad eandem diametrum perti

Ex eo autem, quod duo qnguli GRU , GFR sint etiam aequalea inter se, quum isosceles est triangulum BAC ε alia nodis subnasciis tur ratio describendi quaesitam hyperbolam ita quidqm , mediante cono, ut tri/ngulum BACisoscelei oriatur. Nimirum , si producta diametro GF , usque donec sat FV aequalis FO, describatur super GV portio circuli , quae suscipiat angulum , aequalem angulo GFR ;quandoquidem portio ista signabit in FP punctum illud R, quo opus est, ut triangulum BAC isosteles sat. Liquet igitur, hyperbolam in plano per conum describi ii sidem omnino modis, qui bus pr*cedenti capite ellipsis descriptionem

obtinuimus. Interim in utraque eam describendi ratione fieri numquam potest , ut pun

ctum A , in quo du* rectae FS , GR sibi mu

tuo occurrunt, abeqt in infinitum , sec ideo ipse coπur , quo mediante hyperbola describiarur, anquom verti poterit is olis rem.

98쪽

. Nam , quantum ad Priorem sit tinζt do p . sscribendi rationem , etsi juxta eam , tam proelii pii , quam pro hyperbola ducenda sit perpunt, um R , utcumque sumptum in FP , re-RΥ diametro FG aequi distanter , ex qua deinceps abicindenda portio RZ talis longitudinis . ut sit tertia proportionalis post duas FO, FR ; perspicuum est tamen , rectas FG .RZ existere ad partes contrarias ipsius FR, quum agitur de describenda ellipsi ι & ad partem eandem ejusdem FR . quum quaestio est de descriptione hyperbolx . Unde, junctis rectis FZ, GR fient eae quadrilateri latera opposita in ellipsi , ct se invicem decussabunt in

hyperbola. Quantum vero spectat ad alteram describendi rationem , iuxta eam pro ellipsi quidem ab se indenda est ex diametro FG portio FV, aequalis parametro Fo , pro hyperbola vero producenda est ipsa di amo ter verius F , usque

donec fiat FV xquali 3 Fo . Et quamquam deinde pro utraque curva fieri debeat angulus GFS,aequali3 ansulo FRV ; liqvst tamen, rectam FS existere ad partem alteram diametri

FG relato ad rectam FR ellipsi, S iacere inter diametrum FG , ct ipsam FR in hyperbola . Unde , ductρ GS *quid istanter eidem FR, fient rursus GR , FS quadrilateri latera Opposita in ellipsi , & se niuiuo decussabunt in hγ-

perbola. X.

Biι obstat, quominus ratio parametri ad dio. . . reja ,

metrum sit etiam aequalitatis . Et ciuum id contingit , adhuc iisdem modis eam describe

re Diuiti sed by Corale

99쪽

lo SECTIONUM CONICARUM te licebit. Huiusmodi autem hyperbola , in

qua diameter parametrum stiam adaequat, communiter a Geometris vocatur aquilatera.

Et quamquam ellipsis quoque describi possit

diametro , S parametro , quae habeant inter surationem aequaIitatis 3 haec tamen non sortitur

nomen ellipsis aquilaterae , nisi ipsi illud etiam

accedat , ut ordinatae rectoa cum diametia angulos constituant. Unde autem fiat , ut hyperbola voce tueaequi Iatera , per solam *qualitatem diametricum parametro , sed non item ellipsis ; alibi quidem a nobis ostendetur . Tantum hic observabimus, ellipsim aequilateram non aliam esse , quam ipsiim circulum . Ob aequalitatem enim parametri cum diametro , erit in ea quadratum cuiusque ordinatae aequale pariter re. Eiangulo, quod sub correspondentibus dia, metri portionibus , ab utroque vertice sumptis , continetur . Unde , quum eadem ordinata rectos cum diametro angulos constituat, natura ellipsis aequi laterae haec erit, ut qua dratum criusque diametro perpendicularis

adaequet rectangulum , sub ipsius diametri

portionibus contentum.

Et sane haud difficile erit ostendere, elli in psim , quae describitur methodo superius tradita , circulum fieri, quum aequales ponun-Fio. 8. tur rectae FG , Fo , rectusquo etiam angulus GFo, qui sub iis rectis continetur. Jam enim. ratione anguli recti , triangulum per axem . sectum B AC rectos constituit angulos , tam eum plano basis BCD, quam cum plano se

i Oionis DFE. Itaque, si ostendi possit i trian

100쪽

gula duo ABC , AGF esse similia inter se; sectio , faeta in cono, erit basi subcontraria ue atque adeo circulus, per superius ostensa . Id veto demonstrabitur in hunc modum.

Ex constructione Fo est ad FR , ut FR ad RZ . Itaque , semper ac ponitur Foaequalis FG , erit etiam , ut FG ad FR , ita FR ad RZ . Hinc triangula duo GFR , FRZhabebunt circum aequales anguloS latera proin

Portionalia i proindeque in iis angulus FGRangulo RFZ erit pariter aequalis. Sed , propter parallelas FR , BC, angulus RFZ aequalis est angulo CBZ . Qtiare , quum aequales sint anguli FGR , CBZ , duo triangula ABC,

AGF aequiangula erunt, ct consequenter similia inter se. XI. Hinc autem intima ratio elucescit, Learfectio subcontraria, non ellipsim, sed cir-μιιοπιναν culum nobis exhibeat . tui miliam ellipsis abit

in circulum , quum ei haec duo contingunt. Primum, ut ordinatae rectos cum diametro angulos constituant. Et deinde , ut parameteris qualis fiat diametro , ad quam refertur. Jam horum utrumque praestat sectio subeontraria. Ex eo enim , quod in ipsa, tam planum secans, quam planum basis resum sit plano trianguli. per axem secti; fiunt ordinatae , diametro perpendiculares . Ex eo autem , quod per eadem illa plana abscindantur duo triangula similia; inter diametrum , S parametrum eius aequalitas inducitur. Unde hac occasione notetur hoc loco v Iim , quod , sicuti Ordinatae rectos semper cum aiametro angulos constituunt, quotiescum-