장음표시 사용
121쪽
SECTIO NuM UONICARUM num BD , ut idem sit term nus inere. menti, tam illarum , quam istarum , sejungi poterit pars ellipsis superior ab inseriore per ordinatam , quae bisecat diametrum AB. ivri. Ex eo porro , quod aequales sint Inter te , tam portiones DF , AG, quam portiones Bo , IQ, plura possvsti obtineri , aliquem fortasse Uνm deinceps habitu ra . . . Nimirum primo icteterinιnari potes longi tudo parametνi , quotiescumque una cum elliapsi data est , tam diameter AB , quam positio
Sit enim AD , vel BI rem illa , cui omnes a ametri ordinatae sunt parallelae. Et sumpto in ellipsi puncto quovis M , agantur per illud ex verticibus diametri A . S B rectae AX , BZ , quae cum ipsis AD , BI conveniant in punctis U , & Ο. Abscindatur de;nde ex AB, utrἰnque producta si opus . vel portio AS , aequalis ipsi AG I vel portio BT. aequalis ipsi Bo . Et parametri ongitudinem exhibebit, tam recta SF , parallela tectae AD , & terminata ad rectam A X; triam recta TQ , parallela eidem AD , S terminata ad tectam BZ . VII l. Secundo 2 finiri potest punvam , in. quo recta Ax , ducta ex vertice A , secat elli psim . Nimirum , s ex vertice altero B duc tur recta BZ , quae abscindat, vel ex AD portionem A G, aequalem ips DF 3 vel ex IE posetionema lQ, aequalem Ipsi BG. Nam interse. etio restarum A X , BZ quaesitum puncturn
122쪽
AD , quae ducta est per verticem A diametrIpidinatis aequidistanter continget ea ellipsi tu in solo puncto A . Nam in illo casu DFquidem evanescit, BO vero fit infinita . Quare , ut etiam evanescat AG , R inlinita fiat I , ducenda erit recta altera per ipsum
verticem A . Pur contrarium vero, quotiescumque recta AX angulum constituit cum AD , tunc ea non solum in A, sed in alio quoque puncto secabit ellipsim. Nam, ratioue ejus anguli,est sinitae magnitudinis, eam portio DF, quam portio Bo: proindeque recta altera BZ per ipsum verticem A transire non poterit. Inde autem consequitur , quod si impla -- no descriptae ellipsis detur positione recta alῖ-qua , quae non sit parallela diametri ordinatis, semper ex vertice A duci possit recta alia,quae ei parallela,secet ellipsim in alio puncto; quum non aliter esse queat illi parallela , nisi angulum constituat cum AD,
IX. . Denique determisari potes pusctum.
In quo recti BZ, ducta ex vertiee B, secat elli- ἡ ι, λι-..3Pstin . Nimirum , si ex vertice altero Λ ducatur recta Ax, quae abscindat, vel eX DE por--,
tionem DF , aequalem ipsi AG k vel ex BI portionem Bo , aequalem ipsi I Nam inter- MIιν,εm. sectio rectarum BZ , A X quaesitum punctum FLO s exhibebit. Hinc , siquidem recta BZ cadat super BI, quae ducta est per verticem B diametri ordinatis. aequidistanter; continget ea ellipsim in so- Io puncto B . Nam in isto casu AG quidem infinita. ID vero . evanescit . Quare , ut
123쪽
Io4 SECTIONUM CONICARUM etiam infinita fiat DF , & BO evanescat, duccenda erit recta altera AX per ipsum veri cem B.
Per contrarium Vero, quotiescumque re.
Sa BZ angulum constituit cum BI, tunc n solum in B, ibit in alio quoque puncto ea seca-hit ellipsim . Nam, ratione ejus anguli,est fin tae magnitudinis, tam portio AG , quam pot-tio IQ: proindeque recta altera AX per ipsum verticem B duci non poterit. Huic autem consequens est , quod si ii plano descriptae ellipsis detur positione recta aliqua , quae non sit parallela diametri ordina tis , semper ex vertice B duci possit recta alia, quae ei parallela , ellipsim secet in alio puncto;quum non aliter esse queat illi parallela, ni fiangulum Constituat cum BI. ., quidem putandum est, oia. ..i .. zllipsim in plano per solas rectarum longitu. dumtaxat exposita ratione posse describi. .ι Vix enim ulla est ejus proprietaS , ex qua pe- eam describendi modus nobis non subnascitur. Quin saepe ex eadem proprietate possunt etiam plures derivari., 6 angulus BAD, quem constituit, diameter AB cum parametro AD, metit e ctus ; atque adeo diameter AB maior param metro ADt ope ejusdem illius proprietatis quae ellipsi competit relate ad diamutrum, ρο- terit etiam qtiae sita ellipsis describi iii hunc
Extendatur diameter BA usque ad H,
ita ut AH sit ad BH , veluti est AD ad AB. Deinde, Media super BH perpendiculari HL ,
124쪽
ELEMENTA. IOς revolvatur, tum circa verticem A angulus rectus XAΥ , cum circa verticem alterum B reincta BZ. Fiat porro utriusque revolutio ea lege, ut intersectio rectae BZ cum latere anguli ΑΥ contingat semper super recta HL . Et iu- tersectio eiusdem rectae BZ cum latere altero AX optatam ellipsim in plano delimabit. XI. Nee sane difficile erit, rei XI. ritatem ostendere . Ex aliquo e uim lintersectionis puni o M ducatur ad diametrum ordinainta MN: qitae, quum sit ei serpendicularis, pa- μνιιι ν .stallela erit ipsi HL .& conseqtienter duo tria sula BNM , N L aequiangula erunt. 'Et quoniam.rectus est uterque angulorum BAD, XAΥ itidem erunt aequales inter se: proindeque blato communi angulo DAX, erit etiam angulus B AX aequalis angislo DAΥ, sive ALH: & propterea duo trianingula MNA, AHL etiam aequiangula erunt. Ulterius MN quadratum est ad recta gulum ANB in ratione composita ex MN ad
AN , ct ex MN ad N B . Sed MN est ad AN, ut AH ad HL ; itemque MN est ad N B , ut
HL ad BH . Quare erit MN quadratum ad reis Mangulum ANB in ratione composita ex AH adHL , Sex HL ad BH. Jam duae istae rationes componunt pariis ter rationem,quam habet AH ad BH.Unde erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita AH ad BH . Sed ex constructione AH est ad in , ut AD ad AB. Et igiatur erit rursus ex aequali, ut MN quadratum
125쪽
Ios SECTIO NuM CONICARUM XII. Dissimulandum autem hoc loco non
est , quod alter iste ellipsim describendi modus
omsino recidat in eum , quem primo loco attulimus. Si enim per punctum D ducamus reis ctam DE , diametro ΑΒ parallelam , cui latusAX oecurrat in F ; facile erit ostendere , porintionem DF aequalem esse portioni AG , quam abscindit ex AD. producta si opus, recta BZ . um enim rectus sit uterque. angulorum X ΑΥ . DAH ; iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DAΥ, erit quoque angulus DAX aequalis angulo HAY i S propterea duo triangula AHL , ADF aequiangula erunt ἔ eritque adeo , ut
Hinc,quum sit BH ad HL In ratIone comis posita ex BH ad AH ,& ex AH ad HL ha . hebit quoque Bri ad HL rationem composi tam ex BH ad AH , S ex AD ad DF . Sed ex constructione ΒΗ est ad AH . ut AB ad AD. Quare erit rursias BH ad HL in ratione comis posita ex AB ad AD. ex AD ad DF. Jam duae ista rationes componunt pari ter rationem, quam habet AB ad DF . Unde erit ex aequali, ut m ad HL . ita AB ad DF. Sed BH est ad HL, ut AB ad AG. Itaque etiarursus ex aequali, ut AB ad DF. ita AB ad , AGr th propterea duae portiones DF , AG quales erunt inter se.
126쪽
Ratio describendi hypersolam in plano per rectas fias
I. Radita ratione describendi ell -i I. I. psim in plano per solas rectarum longitudines , ad Θperbolam eodem pacta de-ε scribendam gradum nime iacimus . Dentur νω- itaque in plano aliquo, tum magnitudine ,--/U-' cum positione , tectae duae AB , AD , sibi mu-F Q tuo occurrentes in A . Et oporteat , in emdem plano describere hyperbolam , cujus AB sit diameter, AD parameter diametri , ct e dem AD retia illa , cui omnes diametri ordia natae debent esse parallelae. Ducatur per punctum D te Aa DE , ipsi BA parallela. Tum capiantur aliae duae retiae AX , BZ , quae revolvantur circa puncta A , S B in ipso plano rectarum AB . AD . Fiae autem earum revolutio hac lege , ut portio DF , abscissa ex DE per priorem AX , si perpetuo aequalis portioni AG , quam ex para- metro AD , priaucta si opus , abscindit misdem tempore recta altera BZ. Dico , curvam, quae in eodem plano rectarum AB, AD describitur continuis intersectionibus ipsariam ΑX , BZ . hyperbolam, quam quirimu1. esse. Ex aIiquo enim ejus curvae puncto Miducatur recta MN ,-- parallela', quae
127쪽
la , si utique ostendi possi, MN quadratum esse ad rectangulum AN B , ut est AD ad
AB . id vero ostendetur in hunc modum is
Quadratum ex MN est ad rectangulum AN Bin ratione composita ex MN ad AN , & ex MN ad N B ; sive etiam in ratione composita
quales DF , AG , duae istae rationes componunt quoque rationem , quam habet AD ad ΑΒ. Itaque erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangillum AN B , ita AD ad AB. I . . II. Non ergo dubitari potest, quin mu- intersectioni hus rectarum A X, BZ descri- se batur hyperbola , quam quaerimus. Interim,ut descriptio ejus melius Intelligatur , notandum τ/θι est primo, quod ubi recta A X fertur circulari F se 17' ter , quam ipsi AB in directum esse suppono ; tunc recta altera BZ ferri debeat circulari etiam motu ex BA versus Bl, quam parametro BD suppono parallelam . Et quoniam revolutio harum rectarum ea lege fic-ri debet , ut portiones DF , AG , abscissae per ipsas ex rectis DE , AD , sint perpetuo aequa-las inter se et perspicuum est , quod ubi recta AX pervenit ad AK infinitam adeo portionem abscindit ex DE ; tunc altera BZ super BI reperiatur , quia hae ratione ipsa pariter ex AD infinitam portionem abscindet. Notandum est etiam , quod quotiescumque eadem A X pergit moveri circulariter ex
ΑΚ versus AH , quam ipsi AD in directumine suppono ἔ tunc te*a altera BZ prosequi
128쪽
ELEMENTA. Iosdebeat motum suum circularcita ex BL versus B R., in quam ΑΒ ,.quum producitur , cadit. Et quoniam motus earundem rectarum ea
adhuc lege fieri debet, ut portiones Du, AG, quas abscindunt ex ipsis DE , AD , ex altera . parte productis , maneant semper aequales inter se r inuet, quod ubi recta AX perveniead AH , ct nullam adeo portionem abscindit ex DE ; tunc altera BZ sit per BR reperiatur , quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam portionem abscindet. III. Atque hinc luce clarius apparet , δε perbolam consure ex duabus partibus, hinc inde relate as diametrum positis , qtiae simul junguntur in vertice A ; eique aliam opponi , duabus itidem ex partibus consantem , quarum unio contingit in vertice altero B . Uhi enim recta AX sertur circulariter ex AD. Ver- sua AK , describitur, primo hyperbolae principalis pars illa , quae existit in angulo DAR ;tum ea hyperbola: Oppossitae , quae iacet in angulo LBR . Quotiescumque vero eadem AX pergit moveri eκ ΑΚ versias AH , primo quidem describitur pars illa hyperbolae oppositae, quae continetur in angulo I BR ; tum ea hyperbolae principalis , quae in angulo HAK reperitur.
Verum quidem est, quod motus redi. eAX continuari possit , usque donec integram circumvolutionem absolvat. sed , continuan do subinde eius rectae motum,haud novae partes utrique hyperbolarum adduntur . Nam primo , quotiescumque recta AX fertur ex
AH versus AB a tune altera BZ prosequetur
129쪽
IIo SECTIONUM CONICA Ru Minotum iuum ex BR versus B L, in quam By. quum producitur, cadit. Quare , quum fiant earum rectarum intersectiones, primo quidem in aligulo DAK , tum in angulo LBR ; describentur eaedem utriusque hyperbolae portiones, quae in angulis illis continentur. Et secundo, ubi eadem recta AX fertur ex AH versus AD; tune altera BZ pergit moveri ex BL versus BA . Unde , quum earundem reis
virum intersectiones fiant , primo quidem in angulo IBR, deinde veto in angulo HAK; destribentur utriusque hyperbolae portionesi . istae , quae in iisdem angulis existunt. IV. Ex allata autem hyperbolae desertinta perspicuum est , er id quidem continge .;M re , ut si per aliquod ejus punctum M ducantur ex diametri verticibus A , & B rectae duae
Fio. i . A X, BZ 3 portiones DF , AG, quas ipsae abscindunt ex tectis DE, AD , priauctis si
opus, stat semper aequales inter se . Sed, si eaedem AX , BZ protrahantur , usque donec conveniant cum redi s B L, i E. similiter s opus
productis , in punct. S O , ct in erunt etiam aequales portiones Bo , t Q.
Quum enim aequales sint inter se, tam
duae AD , Bl, quam duae DF , AG ; erit, ut AD ad DF , ita BI ad AG. Sed, ob trianguia mutantula ADF, ABO , AD est ad DF.
ut est BO ad AB itemque , ob triangula a
quiangula BIQ, B AG , Bl est ad AG , ut est I . ad AB . Itaque erit ex aequali, ut BO ad AB, ita lQ ad eandem AB : ct propterea duae Bo , IQ aequales erunt inter se. Hinc , per interse nem rectarum A X ,
130쪽
BZ describetur quaesita hyperbola ε non solum , quum rectae illae subinde revolvuntur circa puncta A, & B , ut portiones DF , AG quas abscitidunt ex rectis DE , AD , productis si opus , sint perpetuo aequales anter se Iverum etiam , quum suas circa puncta illa revolutiones subinde perficiunt , ut sint aequa. Ics portiones BO, I , quas absci irdunt ex reetis B L, IE, similiter si opus produdus. V. Et si autem aequales sint inter se , tam portiones DF , AG , quam portiones ΕΟ, Iin perspicuum est tamen , minui quidemisias, quum eae augentur ἔ per contrarium ceteri , quum ea minuuntur . Sed , tam incrementum , quam decrementum sit semper ea Iege , ut rectangulum ex una illarum DF in unam istatum Bo exhibeat ubique magnitudinem figurae ipsius diametri AB . Nam , obtriangula aequiangula ADF , ABO, ut est AD ad DF , ita est Bo ad AB: proindeque
rectangulum ex DF in BO aequale erit rectangulo ex AD in DB , quod ex superius dictis constituit diametri figuram. Hinc, quotiescumque aequales fiunt inter se omnes quatuor portiones DF , AG , ΒΟ, I Q , necesse est, ut unaquaque ipsarum meis dia evadat proportionalis inter diametrum ΑΒ , S ejus parametrum AD , atque adeo, ut cuiusque quadratum aequale sat rectangulo BAD . Id vero contingit, quum rectae duae AX , BZ parallelae fiunt inter se ; S cons quenter, ubi earum intersectio in infinitum abite su pponitur.