Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

71쪽

SECTIONUM CONICA Ru Mest ad BL , ut AF ad AB , sive etiam , ut FRad BC. Itaque erit AK ad BL in ratione composita ex FR ad BC , S ex BC ad MN. Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet FR ad MN . Itaque erit ex aequali, ut AK ad BL, ita FR ad MN. Sed AK est ad B L, ut AC ad BC, sive ex primo theoremate , ut FR ad Fo . Quare erIerursus ex aequali , ut FR ad MN , ita FR ad

FO : proindeque dux MN, FO aequales erunt

inter se . I. Quemadmodum autem, Dicta In conoea, Mia .ν sectione parabolica, determinari potest in ipso cono parameter, ad ejus diametrum pertinens; sic vicissim, filo ex cono triangulo per Oxem,l T ' , ope ejus, eruere parsibolam e/e ipso cono, erius diameter datom paro metrum habeat. FIO. I a. bit enim BAC triangulum, per axem sectum, cuius ope parabola eη cono est eruenda.

Abscindatur ex basi ejus BC portio CK talis

longitudini , ut data parsi meter sit ad eam, veluti est BC ad AC. Tum per punctum K agatur, tam in plano triansuli BAC recta FG. ipsi AC parallela , quam in plano circuli BCII

redia DE,alteri BC normalis. Et planum, transiens per binas istas rectas FG , DΕ, quaesitam

in cono parabolam Producet. Nam , quum planum istud occurrat PIano circuli BCD in recta DE, ipsi BC norma Iixerit Ff; ortae fcctionis conicae diameter. Sectex constructione FG est parallela lateri A C. re Ipsa sectio DFE parabola erit. Deindo. ducta ex vertice diametri F recta FR aequia i-santer ipsi BC , elix diametri qua paramete R

72쪽

eadem ratione est etiam ex constructione paranaeter data ad portionem in , quae ipsi FRest aequalis . Itaque parameter diametri FG erit ipsa parameter data . v II. Sed videamus modo , qua rat oneproprietates ellipsis, perbola vertantur in

eas , quae parabolae competunt, ubi earum cur

varum diameter in itae lauitudinis feri sup ponitur. Nimirum pristio . tani in ellipsi, quam in i hyperbola est, ut DK quadratum ad HL qua- idratum , ita rectangulum FΚG ad rectangulum FLG . Jam , abeiinte in infinitum puncto G, altero diametri vertice , rectae duae ΚG, LG fiunt longitudinis infiniis;adeoque quum differant a se mutuo per finitam longitudianem KL , sumi poterunt velut aequales inter se . Unde erit rectangulum FΚG ad rectanguis tum FLG , ut est FK ad FL : ct propterea in

hac eadem ratione crit pariter in parabola DK quadratum ad HL quadratum. Deinde in utraque etiam eartim curva rum quadratum cujusvis ordinatae DK est ad rectangulum et correspondens FΚ G , ut para-

metet po ad diametrum FG ; sive , assumpta communi altitudine FΚ,ut rectangulum OFΚad rectangulum ΚFG . Sed , abeunte in infiniis tum puncto G , rectae duae ΚG , FG fiunt aequales , atque adeo aequalia pariter rectangula

FΚG , KFG . Quare in parabola etiam DK quadratum aequale siet rectangulo ΟFΚ .

Id ipsum consequitur quoque ex tertia earum curvarum proprietate , juxta quεm

73쪽

4 SECΤIONUM CONICA Ru MDΚ quadratum est aequale ecta ligulo FKR. Nam , quotiescumque in infinitum abit punctum G , rectae duae pc; , OG fiunt parallelae. Unde trapetium OFΚR vertitur in parallelogrammum ; atque adeo latera elus opposita Fo, KR evadunt aequalia . Qtio fit , ut rectangulum o FK sit aequale recta ligulo FRI δS consequenter , ut DT quadratum , velut aequale hectangulo FKR , adaequet quoque re-

viii. VIII. Ulteri iij inparabola,quum parante ter sit sta ita , diameter autem infinitae longitudinis , rario parametri ad diametrum debet esse in ite par dia . pro Rcto autem finita illae tM p ratio , quam vidimus superlus obtinere in elii - .- ε,kM. Psi , & hvpei bola, talis evadit, quotiescumque in iis eurvis alter diametri vertex G in infini-Fio. 8. tum abire supponitur .

Io. ia. N-m , quum in hac hypothesi duae pG, AC parallelae fiant inter se ; recta AX , quae ducitur per punctum A ipsi FG aequi distanter, cadet super AC . Quare, evanescente portione CX , evanescet pariter rectangulum B XC ; S consequenter ratio ejus rectanguli

ad Ax quadratum , cui in ellipsi, & hyperbola ostensa est aequalis ratio parametri ad diamet tum , infinite parva prodibit. Praeterea , si Aura diametri consideVari velit etiam is parabola , eam , ob insultam diametri longitudinem, infinitae magnitudinis eo se , oportebit. Plane vero infinita prodibit , si ex magnitudine , quam habet in ullipsi, Sc hyperbola , volupe sit, illam cruere. Enim 'ero in ureaque earum curVarum ex hu

74쪽

exhibet fgurae niagnitudii rem rectangulum ex TR in GS . Sed , abeunte in infinitum punctos , a 'tero diametri vertice , recta GS evadit in si nita . re , quum infinitum quoque fiat iectangulum ex FR in GS ; ipsa figurae ma-tilitudo infinita pariter evadet. IX. Methodo non dissimili possunt etiam 'emonstrari duo illa theoremata , quibus δεμ itur in cono parameter , ad parabolae diametrum pertineus.

Ex eo enim , quod tum in ellipsi, cum in hyperbola rectangulum ex FR In GS sit ae- ouale rectangulo ex Fo in FG , quod constit iit diametri figuram ; erit in iisdem curvis, ut FO ad FR , ita GS ad FG. Quamquam Vero utraque rectarum GS , FG infinita evadat, quotiescumque punctum G in infinitum abire supponitur; ratio tamen ipsarum vertitur in

eam, quam habet FR ad AR, sive BC ad AC, eo quod fiat FG ipsi AC parallela . Unde erit in parabola , ut FO ad FR, ita FR ad AR, vel ita BC ad AB , prorsus ut supra . Sed hoc idem luculentius consequitur ex eo , quod tam in ellipsi , quam in hyperbola FO sit ad FR , ut est B X ad A X . Jam enim vidimus paulo ante , quod , abeunte in infinitum puncto G , non modo FG parallel. fiat ipsi AC, sed & AX coincidat cum eadem A C.

Inde igitur liquet , duas BX , A X ipsis BC,

AC seorsim aequales evadere : S propterea,

sicuti in et ipsi. & hyperbola Fo est ad FR, ut v X ad A X; sie in parabola Fo erit ad FR , ut est BC ad AC .

Ouemadmodum autem, quum punctum

75쪽

e tine.

ς ε SECTIONUM e ONICARUM G in infinitum abire supponitur , duae B X A X fiunt ipsis BC, AC seorsim aequales; se in eadem hypothesi rectangulum CBX idem fiet eum BC quadrato , S rectangulum B AX vertetur in illud , quod si ex AB in AC . Unde . sicuti in ellipsi , ct hyperbola FO est ad AF, ut rectahgulum CB X ad rectangulum B AXi se in parabola Fo erit ad AF, ut est BC quadratum ad rectangui uni BAC , prorsus etiam

ut supra.

X. Tam in ellipsi , quam in hyperbola

pro δeterminanda parametri longitudine inde. pendenter ab ipsa diametro . duo alia theoremata sese nobis obtulere. Primum est, quod

Fosit ad GS, veluti est CX ad A X. AIte. rum , quod Fo sit ad AG , veluti est rectan. gulum BCX ad rectangulum CAX . Jam,

abetinte in infinitum puncto G, fit infinita longitudinis , tam recta GS , quam recta AG. Unde in parabola parameter diametri ad uis tramque earum rectarum rationem infinite parvam debet habere. Plane vero , tum ratio , quam habet CXM AX , cum ratio rectanguli BCX ad rectam gulum CAX , talis evadit, ubi punctum G In infinitum abire supponitur. Nam in eo casu AX coincidit cum AC; adeoque , punctis C,S X in unum coeuntibus , fit indefinitae paria

vitatis , quin omnino evanescit, non modo reia

Diuitiaco by Corale

76쪽

LIBER II.

De Sectionum Conicarum in Plano De riptione.

SUperiore libro vidimus, quo pacto curis

vae illae, quae conicae sectiones appellanis tur , main ex cono originem trahant. Nunc, qua ratione eaedem eiirvae possint in plano describi, sequitur, ut ostendamus . Sane Veteres non aliter, quam cono rursus adhibito, id obtinebant . Unde earum in plano descriptionem, velut arduum, S dissicile quidpiam,reputabant . Sed Recentiores , nullius solidi ope , per solas linearum lonpitudines, cas describere docent. Q ro fit , ut desieriptio illarum in pla no nullis hodie dissicultatibus obnoκia depreis hendatur.

C A Ρ. I. Ra ratione elli is in plano per conum describi possit,

ostenditur.

si Veteres ad deseribendas In am. plano conicas sectiones , rursus, donum adhibuerint; rem tamen non ea uni-- versalitatσ tradiderunt, quae ui inesse videtur. Ne

77쪽

conram

Fia. 8. SECTto NuM- CONICARUM Ne Igitur in eandem labem nos etiam incida innius, conabimur , curvas illas it4 ciuidem, mediante cono, in plano describere , ut ratio eas hoc pacto describendi non excidat unifersalitate ina , quam natura sua secum inc udit. cumque autem si conica sectio, quam oportet in plano describere , utique ad eam determinandam quattior requiruntur.

Horum prius est positio diametri. Alterum est ipsius longitudo , quae sicuti finita in ellipsi.& hyperbola , sic in parabola infinita semper esse debet.Tertium est parameter ejusdem diametri. Et quartum denique est postio suarum

ordinatarum.

Hinc , in tradenda descriptione sectionum conicarum , quatuor ista nota semper a sumemus. Speciatim vero, quod attinet adpositionem ordinatarum , exhibebimus eam Per eandem illam , quam parametro concedi mus , ut quae diametri ordinatis parallela semper concipi debet. Unde hac ratione detorminabimus sectionem conicam describendam , dando magnitudine , ct positione , tam diametrum , quam parametrum eius. II. Ut igitur a descriptione ellipsis ord amur, dentur in plano aliquo , tum magnitudine , cum posit one rectae duae FG , FO , sibi

mutuo occurentes in F. Et oporteat, in eodem

plano describere ellipsim , cuius FG st diameter , Fo parameter diametri, ct eadem Foreeta illa , cui omnes diametri ordinatae debent esse parallelae. Ducatur primo planum aliud CDE , oe

currens plano rectarum FG, FO in recta DE,

ipsi

78쪽

ELEMENTA. ς' ipsi Fo parallela . Deinde ex puncto Κ . in quo duae FG , DE sese mutuo secant, eriga tur in ducto plano recta ΚC , perpendicularis super DE. Tum huic ΚC per punctum F, diametri verticem unum , parallela agatur FΡ. Cap atur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequid i stan teripsi GF , abscindatur ex ea portio RZ , quae sit tertia proportionalis poli duas FO , FR. Denique jungantur rectae FZ, GR, quae producantur, usque donec conveniant , tam inter

se in puncto A , quam cum recta KC in punctis B , ct C.

His peractis, concipiatur jam conus, cuinius vertex sit punctum A . has s autem circulus BCD , descriptus super BC, velut diame tro, in plano rectarum BC, DE . Et per intersectionem coni huius cum plano , in quo datae sunt rectae FG, Fo , habebitur ellipsis describenda .

III. Sit en; in DpE sectio , facta per tale Πr.

planum in coni ejus superficie. Et quoniam BC est diameter basis BCD ; erit triangulum methodo δε- BAC ex cono sectum per axem . Unde, quum hasi eius BC normalis sit recta DE , in qua planum secans occurrit plano basis ; erit recta sFG diameter sectionis DFE: S propterea, quia 'eadem FG secat utrumque latus trianguli infra verticem coni; ipsa sectio DFE proculdubio erit ellipsis. Praeterea in eadem sectione DF Ε ordinatae , pertinentes ad ejus diametrum FG , de-hent esse parallelae rectae DE. Sid ex con

structione rem DE parallela rectae FΟ.

79쪽

ερ sECTIONUM CONICA RuuQuare eaedem ordin tae parallelae quoque erunt ipsi FG : proindeque , sicuti ellipiis DF Ε, d scriptae in plano rectarum FG , FO , diameterest recta FG, sic ordinatae ejus diametri parat in Ietae erunt rectae Fo. Denique ex vertice coni A ducatur recta AX, ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC , producta , in X . Et ex superius ostensis parameter , quae ad deseriptas ellipsis diameistrum resertur, erit ad FR , ut est B X ad A X.

Sed B X est ad Ax , ut FR ad RZ, sive etiam eκ constructione , ut FO ad FR . Quare erit ex aequali, ut FO ad FR , ita parameter diametri FG ad eandem FR : R propterea erit FO ipsa diametri parameter . Iv. IV. Dubitari itaque non potest , quin euis is a. DFE , descripta in plano rectarum FG.ω- an M FO methodo tradita , quaesitae conditiones adimpleat. Primo enim diameter essus est reis σκω μνρε--FG ; deinde diametri parameter est recta Fo ε denique Fo parallelae sunt etiam Faci. 8. ordinatae, quae ad diametrum illam reseruntur. Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam,pro descriptione ejus ellipsis, esse adeo universalam , ut non unum, sed inis nitor conos ad eum usum exhibeat.

Nam primo planum CDE duei potest Infin Itis plane modis. Et si enim plano rectarum FG , FO occurrere debeat in recta DE , ipsi Fo parallela ; id tamen positionem eius minime determinat. Deinde punctum R utcumque sumi potest in recta FP . Qeo fit, ut longitudo ipsius FR adhuc modis innumeris possidyariari. Utroque igitur ea capite liquet,

80쪽

T L E M E N Υ A. ε et fultavi esse diversitatem conorum α quorum ope quaesitam ellipsim describere licebit . madmodum autem ex positione plani

CDE dependet magnitudo anguli GFR , se ex longi iustine ipsius FR trahit angulus FGR magnitudinem suam . Unde , quia per

quantitates istorum angulorum determinatur

triangulum FRG I perspicuum est , infinitam illam conorum diversitatem, qui adhiberi ponsunt, ad quaesitam ellipsim describendam , ex eo unice proficisci, quod possit triangulum FRG infinitis plane modis VRriRri . v V. Quamquam vero infiniti sint coni. quibus quaesitam ellipsim describere licet, ii να

tamen lunt omne S scolent , quum anguluε ωι. 1tios me-GFo non ponitur rectus. Ubi enim triangulum, ex cono sectum per axem, non constituit cum plano has s angulos rectos; proculdubio FIG. 8.conum ipsum scalenum esse oportet. Prosecto autem facile erit ostendere, triansulum BAC, sectum ex cono per aXem, non posse cum plano basis BCD rectos angulos constituere, quum angulus GFo nequaquam est rectus. Nam, quotiescumque Fo non constituit cum FG angulos rectoS δ tam ipsa , quam riu Sparallela DE multo minus rectos angulos eff-

ciet cum plano trianguli BAC , in quo recta FG reperitur. Ex constructione autem DE perpendicularis est super BC, quae duorum planorum BAC, BCD communis est lectio. Quare , quum eadem DE sit in plano BCD, nec etiam duo ista plana BAC, BCD recta

erunt ad invicem.

iidem vero coni poterunt esse, tum recti,