장음표시 사용
81쪽
6, SECTIO NuM CONICARuM cum scalani , quotiescumque angulus GFoponitur rectus . Nam , constitue iue Fo , vel etiam ejus parallela DE , rectos angulos cum FG ; erit DE normalis utrique rectarum FG, BC : proindeque , tam ipsa DE recta erit ad planum trianguli BAC,quam duo plana BAC, BCD tecta erunt ad invicem . Unde , si triangulum BAC fuerit iso scelus , erit axis coni reis elus etiam ad planum hasis BCD a & cons quenter ipset pariter conu4 erit rectuε, & non
VI. Hinc , definiendumn casum coni re-
. via πιε non abs re erit, inquirere noc loco , quid
sit Opua , quo triansulum BAC ilos ectum, ιμμο-les oriatur. Nimirum necesse est, sumere FR
P' - Iongitudinis , ut GR quadratum , ad sei- ψ' '' diametri figuram, ejusdem diametri qua' dratum adaequet ue hoc est , ducta per alterum diametri verticem G recta GS , ipsi FR para I tela . ut GR quadratum una cum recta ligulo ex FR in GS sit aequale quadrato, quod fit ex diametro FG. Ponamus cnim , triangulum BAC i sceles esse . Et quoniam, completo parallelograminmo FSGΡ , si etiam is sceles triangulum
PGR ue secabit ut basis hujus P R bifariam a perpendiculo, quod super ipsam demittitur expuncto G: proindeque quadrata GR, FR una
cum rectangulo PRF aequalia erunt quadrato ex FG. Sed quadratum ex FR una cum rectangulo PRF est aequale rectangulo PFR ,sve etiam ei, quod stib ipsis FR , GS continetur . Itaque erit quadratum ex GR una' cum rectangulo ex FR in CS aequale quadratri
82쪽
ELEMENTA. 63to quod fit ex diametro FG. Id quum ita sit, perspicuum est , trianaeulum BAC tunc demum iso sceles esse posse, quum ratio parametri ad diametrum est minoiatis ad majus. Nam in isto casu figura diametri, quae constituitur per rediangulum ex Fo in FG, minor erit quadrato ipsius d ametri FG adeoque fieri quandoque poterit, ut GR quadratum , adsciscens diametri figuram , ejus. dem diametri quadratum adaequet . Nec sane , quum iso sceles est triangulum BAC, ratio parametri ad diametrum aliter esse potest . Sit enim ΑΚ axis coni . Et, ob basim trianguli BC hi sectam in Κ , erit rectangulum B XC minus quadrato ex ΚX ς adeoque multo minus quadrato , quod fit ex AX . Sed ex superius ostens s Fo est ad FG , ut rectangulum B XC ad A X quadratum. Itaque ratio ipsius FO ad FG erit minoris ad maius. VII. Sit jam ratio parametri FO ad diametrum FG minoris ad majus . Et oporteat, quaesitam ellipsim ita quidem, mediante cono, in plano describere , ut triangulum BAC isO- sceles oriatur;rectusque adeo ipse conus, quOtiescumque anguIus GFO ponitur rectus. Describatur super FG, velut diametro,
semicirculus F. , in quo aptetur recta FR, quae sit media proportionalis inter FO, S FG. Jungatur deinde G Q ; S arcus, deseriptus centro G, intervalloque Gin signabit in FP punctum illud R , quo opus est , ut triangulum BAC fiat isosceles. Qinim enim Finit media proportionalis Inter FO , ct FG ; erit quadratum ex F s
83쪽
ει sECTIONUM CONICA Ru Mquale rectangulo ΟFG , quod constituit dis- metri figuram. Sed quadratum ex GR , seu GQ una cum quadrato ex FO est aequale FG
quadrato . Quare idem GR quadratum , adsciscens diametri figuram, aequale erit quadrato ejusdem diametri et proindeque , ex mo πostensis , triangulum BAC i seeles erit. Patet auteni, triangulum BAC tunc demum i sceles esse posse, quum angulus GFRiton est major angulo GF . Nam , existente maiore , Perpendicularis, quae ex puncto G demittitur super FΡ , major itidem erit recta Q. Ouare arcus, qui describitur centro G, intervalloque G Lrectae FP nequaquam Ο - curret . Ut igitur problema sit capax solutionis , necesse est, planum CDE ita quidem ii clinare ad planum rectarum FG , Fo , ut angulus GFR non major oriatur angulo GFQ. Quemadmodum vero , quum angulus GFR major est angulo GF , arcu , qui describitur centro G . intervalloque G 1 rectae FP nequaquam occurrit; sic idem arcus contat inget rectam FP in unico puncto, quum angulus GFR aequalis est angulo GFri eamque secabit in duobus punctis , quum vicissim est minor . Unde , sicuti problema est impossibile in primo casu , sic erit capax unius dumtaκat viii. solutionis in secundo , ct duarum In tertio. .. VIII. Caeterum problema principale, de ι..ὰν .ui. dejhribenda ellipsi in plano per conam , potest etiam resblvi in hunc modum..ω- ἐπ me. Nimirum, datis ut supra rectῖs FG, Fo, fiat eadem constructio, usque donec deventum Fis. 8. fuerit ad punctum R, utcumque sumendum in
84쪽
ELEMENTA. In recta FP . Abscindatur postea ex diametro FG , producta , si opus , portio FU , aequalis parametro Fo . Tum juncta RU , fiat angulus GF S, aequalis angulo FI V. Producantur deinde rectae duae G R, SP. usque donec sibi mutuo occurrant in A, cum quibus conveniat quoque recta ΚC in punctis B , ct C . Jamque , si conus concipiatur, cujus vertex sit punctum A , basis autem vi culus BCD , descriptus super BC , velut diametro , in plano recti rum BC , DE ; laabebi- tur ellipsis describe tuta per interscctionem coni hujus cum Plano, in auo dato. iuot rectae
Ducatur etenim ex puncto R recta RZ, diametro GF parallela , quae conveniat cum
AF in Z . Et si quidem ostendi possit, Fo esse ad FR , ut est FR ad RZ a jam haec alia solutio coincidet cum priore , nec adeo dς verita. te rius poterit dubitari. Id vero ostςndetur hac ratione.
Ex constructione angulus GF S aequalis est angulo FRU . Sed, propter parallelus GF,RZ , idem angulus GF S aequalis est etiam an gulo RZF . Quare duo anguli FRU, RZP uales erunt inter se:& propterpa erit, ut F U ad FR, ita FR ad RZ. βst autem ex constructione FU aequalis Fo. Et igitur etiam FO erit ad FR , ut est FR ad RH. . IX. Atque hinc rursus patet, trIangulum BAC tunc demum i sceles esse posse, quum itii. ','
parameter FO minor est diametro FG. Ubi I :. enim iloleeles est triangulum BAC, erit etiam isosceles triangulum FAR: nroindeque duo rizom. L E an
85쪽
66 SECTIONUM CONIO ARUM anguli GR F, RFS aequales erunt inter se. sed ex constructione aequales sunt etiam angula
FRV , GFS . Quare, sicuti angulus RFS --jor e si angulo GFS, ita quoque erit angulus GRF major angulo FRU :& propterea erit FG major , quam FV , seu Fo .
Patet etiam , non posse triangulum BACisosceles esse , nisi FR sit talis longitudinis, ut GR quadratum , adsciscens diametri figuram, ejusdem diametri quadratum adaequet. Namsquum xquales sint, talii anguli GRF , R FS, quam ansuli FRV , GFS, erit quoque aiagulus GR v ηqualis angulo GFR . Unde, quum sit, ut FG ad GR , ita GR ad GV ; erit GRquadratum aequale re tangulo FGV. Et quoniam ex constriictione Fo est aequalis FU , erit etiam rectangulum OFG, quod ςonstituit diametri figuram , aequale rectangulo GFV . Quare erit GR quadratum
una cum diametri figura aequale duobus rectangulis FGV , GFV . Sunt autem duo ista
rectangula *qualia quadrato ipsu. diametri FG . Itaque erit GR quadratum una cum diametri si sura aequale ei, quod ex ipsa diametro describitur, quadrato. Ex eo autem, quod duo anguli GRV.CFR sint etiam Qquales inter se , quum iso- sceles est triangulum BAC , alia nobis subnascitur ratio describendi qu*sitam ellipsina ita quidem, mediante cono, ut triangulum BACisb sceles oriatur . Nimirum , si abscissa ex diametro FG portione FV , ipsi Fo αquali, describatur super GV portio circuli, quae suscipiat angulum, aequalem angulo GFR ; quan-
86쪽
doquidem portio illa signabit in FP punctum illud R, quo opus est, ut triansulum BACisosceles fiat. X. Sed nolim hic silentio praeterire, quod in utraqtie ibi utione problematis principalis, si Aeso bitur ptinctum R ita quidem sumptum suerit in recta FP , ut portio FR fiat media proportionalis inter diametrum FG, ct ejus parametrum νοωι
FO a tunc punctum A abeat in insilitum, Fio. 8.- propter rectis FZ , GR, quae in isto c4su sunt
Nam in prima solutione F R est media proportionalia intςr FO , ' RZ . Unde, semper ac eadem FR est quoque media proportionalis inter FO . R FU duae RZ , FG aequales erunt inter se . Sed eadem RZ , FG sitne etiam ex constructione par4llelae. Quare erundPariter aequales , S parallelae rectae FZ , GR. quae illas coniungunt ad easdem partes et RPropterea punctum A, in quo ex conveniunt,
in infinitum abibit. In secunda vero solutione Fo est aequa- Iis FV. Unde,semper ac FR est media proportionalis int*r FQ , S: FG ε erit quoque , ut Fu ad FR , ita FR aci FG , atque adeo angulus FRU aequalis erit angulo FGR . Ex constructione autem idem ansulus FRU aequalis est etiam angulo GFS . . re duo anguli FGR , GF S aequales erunt inter se : S: consequenter , quum rectae GR,FS fiant aequidi. stantes , punitium A , in quo ex conveniunt . In infinitum abibit. Huc adde , quod si per alterum diametri verticem G ducatur ructa GS,ipsi FR paralle-E a la,
87쪽
63 SECTIONUM eo NIcΛRuMIa , rectanouium ex FR in GS aequale erit diazmetri figurae , quae constituitur per rectangu- Ium ΟFG. Unde,semper ac FR est inedia proportionalis inter Fo , ct FGs erit quadratum ejus aequale rectangulo OFG, atque adeo ae quale ei, quod sit ea ς FR in GS . Hinc erit FR non solum parallela , sed aequalis pariter Ipsi GSi & propterea duae GR , FS , quae illas conjungunt ad easdem p/rte. , erunt etiam ae quales, & parallelae. Jam , quum punctum A abit in insinutum , ipse cot/ur vertitur in olindrum . Umde describetur quaesita ellipsis in plano , non uidem mediante cono, sed adhibito oli1ς- ro . Et quidem ipsi Veteres norunt , ellipsim non solum ex cono, sed etiam ex cylindro erui posse . Nescio autem, num senuinam hujus rei rationem , quae nobis inopinato sese obtulit, exploratam habuerint. Nimirum id evenit, quia cylindrus haberi debet tamquam conus . cuius vertςx is in ita a basi inflantia reperitur. quum ita sit, poterit de fecti in sectis,3 sibus Ulindricis ex iis , qua in cono sunt, judiciam ferri . Sit erso cylindrus BCNM duo- ο ι-o bus circulis parallelis , ct aequalibus BCD , MNΥ utraque ex parte terminatus. Sitque etiam AK axis ipsuis cylindri, hoc est recta ,
quae eorum circulorum centra conjungit.
Secetur primo Quindrias iste plaao , vel transeunte per axem AK , vel ci parallelo . Et quoniam hujusmodi semo correspondet ei, quae in cono fit plano per verticem 3 orientur in superficie cylindri binae rectae, tum intellsep
88쪽
ELEMENΤΑ. 6sse, cum eidem axi parallelae ἰ eritque adeo parallegrammum communis sectio ipsius cylinis
dri cum plano praedicto. Secetur secundo idem cylindrus pIano ἰ
quod etsi non transeat per axem ejus, cum illo tamen conveniat. Et quoniam sectio ista ae.. quivalet et , quae in cono fit plano, non trans, eunte per verticem orietur in superficie cylindri linea undique curva r quae etiam redibit in orbem , & spatium claudet ς quum nequeat planum secans conven re cum axe cylindri,
nisi idem planum utrinque etiam ex cylindro ipso Urediatur. Perinde autem, ae iii cono , curva ista erit circumferentia circuli , quotiescumque planum secans hasi ipsius cylindri est parallelum. Et, si idem cylindrus sit scalentis, ac secto ex eo parallelogrammo per axem BCNM, me rit ei rectum , tam planum basis BCD , quam planum sectionis FGH , itemque angulus
B CN aequalis angulo GFM , A angulus CBMaequalis angulo FGN; adhuc sectio circuluserit, ut quae sectioni subcontrariae coni sca-
per contrarium sectio cylindr I erit semis per ellipsis , quum nec est basi parallela , nec eidem subcontraria. Et siquidem planum se- pis. I cans DFE occurrat plano basis , aut circuli aeis quidistantis BCD in recta DE,quae sit perpendicularis ad basim parallelogrammi BCNM, secti ex cylindro per axem; erit diameter
ipsius ellipsis recta pG , quae duorum planorum BCNM , DpΕ eommunis est sectio; Rerunt Rus diametri ordinatae re'ae omnes ,
89쪽
o SECΤIONUM CONICARUM quae ipsi DE sunt parallelae. Sit jam Fo parameter diametri FG . Et adli uc per rectas , in cylindro ductas , des nuxi poterit ratio parametri ad diametrum. Nam, sumpto in axe cylindri AK puncto quovis A, si ducatur ex eo recta AX , ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC , producta , in pun- έto X , & cum lateribus parallelogrammi BM,
CN in punctis P , & Q ; erit, ut p.rameter F O ad diametrum pG , ita re taligulum EXC ad rectangulum P X. Sed , ductis ex iitroqtie diametri vertice tectis P R , GS , ipsi BC parallelis ; etiam iii
cylindro eontinebunt eae rectangulum , quod diametri figuram adaequat . Interim, quum, ratione parallelogrammi FRGS , rectae illae FR, S sint teqtiales , tum inter se , cum ipsi BCς tectangulum, sub iisdem tontentum, idem erit,ae BC quadratum: proindeque magnitudo, quam habet in ellipsi diametri figura, exhiberi
poterit in eylindro per quadratum, quod fieex BC. Dento ue , s fiat anhulus p RV aequalis angulo h pG ue portio pV , abscissa ex dimmetro FG pet rectam RV, etiam in cylindro parametri longitudinem exhi hebit. Nec - flentio reticendum , quod in cylindro paralle Iogrammum BCNM nequeat eme tectanguia
tum , nisi FR, aut ei aequatis BG, si talis magnitudinis , ut CR quadratum , adsciscenx diametri figuram , eiusdem diametri quadra
90쪽
CA P. II. Ratio describendi Θperbolam
in plano per conum , explicatur.
I. Stenso , qua ratione describi ponsit ellipsis in plano per conum; V
deamus modo in quo per eandem conum ιν orbati is
Θperbolo in plano sit descrisenda . Dentur itaque in plano aliquo, tum magnitudines Fio. io. cum positione rectae duae FG , FO, sibi mutuo oecurrentes in F . Et oporteat, in eodem plano describere hyperbolam , cuius FG si ed;ameter , FO parameter diametri , Sc eadem FO recta illa, cui omnes diametri ordinatae debent esse parallelae. Ducatur primo planum aliud CDE , o currens plano rectarum FG , Fo in recta DE, Ipsi Fo parallela. Deinde ex puncto Κ , in quo duae FG , DE sese mutuo secant, eriga tur in ducto plano recta ΚC , perpendicularia super DE. Tum huic ΚC per punctum F, diametri verticem unum , parallela agatur FP. /Capiatur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequid istanter ipsi FG , abscindatur ex ea portio RZ , quae sit tertia proportionalis post duas Fo , FR. Denique iungantur rectae FZ, GR, quae sicuisti sibi mutuo oecurrunt in puncto A , sic pro