장음표시 사용
141쪽
xxx SECTIO NuM CONICA Ruri occurrat in F rectae Ax , exhibebit tecta ista SF quaesitam parametri longitudinem. V. Secundo d finiri potest patinum , in quo recta AX , ducta ex vertice A , secat νε- rabolam . Nimirum , si ducatur recta GZ, diametro AB parallela , quae abscindat ex AD, producta si opus , portionem ΑG , aequalem ipsi DF . Nam intersectio rectaruiu AX , GZquaesitum punctum exhibebit. Hine, siquidem recta AX cadat super AD , quae dum est per verticem A diametri ordinatis aequi distanter ; continget ea Parabolam in solo puncto A . Nam in isto casu portio DF evanescit. Quare , ut etiam evanescat portio AG , ducenda erit tecta altera GZper ipsum verticem A.
Per contrarium vero, quotiescumque re
Eta ΑX angulum constituit cum AD, tunc non solum in A , sed in alio quoque puncto parabolam secabit. Nam , ratione ejus anguli est finitae magnitudinis portio DF : proindeque recta altera GZ per ipsum verticem Atransire non poterit. Huic autem consequens est, qud si In plano descriptae parabolae detur positione reincta aliqua . quae non sit paralle a diametri ordinatis , semper ex vertice A duci possi e recta alia , quae ei parallela parabolam secet in alio puncto 3 quum non aliter esse queat illi paral-ιela, nisi angulum constituat cum A D. VI. Denique determiκari potest pamfram, id quo recta GZ , ducta aequid istanter diameistro AB, parabolam secat. Nimirum , si ex vel lice A ducatur recta Ax, quae abscindat e
142쪽
DE, producta si opus, portionem DF , aequalem ipsi AG. Nam intersectio rectarum GZ, A X quaesitum punctum exhibebit. FIG. 2 o. Quemadmodum autem, finita existente portione DF , vel AG , rectae duae CZ , A XL m γε sese mutuo secant ἔ ita omnis recta, quae dueitur diametro AB parallela , ad finitam ab ea distantiant, oennino ne sis est , ut parabolam secet. Et, sicuti intersinio rect tum G Z, Ax contingit in unico puncto , sic eadem parallela in unico quoque puncto para-holam secabit. Hinc vero consequitur, crura duo, quae Parabolam constituunt, quo magis a diametri vertice recedunt, eo mnorem ab ipsa diametro distantiam sortiri. Unde etiam incitur . ut parabola sit curva , quae expanditur in infiniatum . a quae nec ex se sola. nec cum sua di metro spatium comprehendit. VII. Caeterum haud quidem Putandum vii. est , parabolam in plano per solar vitudiuer dumtaxat exposita ratione posse deseribi . Vix enim ulla est ejus proprietas,ex qua peculiaris eam describendi modus nobis Mohoon subnascitur. Ouin saepe ex eadem pro- 'Prietate Polsunt etiam ριares derivata
Ita ,s angulus BAD, quem constituit diameter AB cum parametro AD , fuerit te. Eius ue ope ejusdemissius proprietati , qua parabolae competit relate ad diametrum , poterit etiam quaesta parabola deserihi in hunc alium
Εxtendatur diameter BA usque ad H, ita,ut AH sit aequalis parametro A D. Deinde,
143쪽
114 SECTIO NuM CONICA Ru M, erecta super BH perpendiculari HL, revolvatur circa verticem A angulus rectus XAY ieodemque tempore seratur super AD recta GZ . ipsi AB aequidistanter Fiat porro utriusque motus ea insume i ege , ut intersectio rectae GZ cum latere a guli AY contingat semper super recta HL. Et intersectio eiusdem rectae GZ cum latero altero AX optatam parabolam in plano delsencabit.
VIII. Nee sane dissicile erit busus res ... ostendere. aliquo enim intersectio--nis puncto M ducatur ad diametrum ordinata MN; quae, quum sit ei perpendicularis; rectusFio.a I. Writ angulus ANM 3 S consequenter aequalis angulo AHL , qui ex constructione similiter est tectus. Et quoniam rectus est uterque angulorum DAH, XAY; iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DAΥ. 3 supererit angulus HAY aequalis etiam angulo DAX : S propterea, quum angulus DAX ' qualis sit angulo AMN ue erit eidem angulo AMN aequalis pariter angulus HAY.. Hinc duo triangula AHL, MNA quiangula erunt; eritque adeo, ut AH ad HL.
ita MN ad AN . Sed AH est ad HL , ut AD
ad MN , quum sint aequales, tam duae Am. AD, quam duae HL, MN . Itaque erit ex aeis quali, ut AD ad MN,ita MN ad AN & pro-i Pterea MN quadratum rectangulo DAN aequale erit. ix. IX. Dissimulandum autem hoc loco nota
in, quod alter isti parabolam describendi ma-
144쪽
E L E M E N T A. . Τας .dus omnino σecidat in eum, quem primo loco ιν aattulimur. Si enim per punctum D ducamus tectam DE, diametro AB parallelam , cui lais Ne ἐαε δε
tus AX occurrat in F . facile erit ostendere . portionem DF aequalem esse portioni AG, quam abscindit ex AD , produAa si opus , te. x o 33 cta GZ. Quum enim rectus sit uterque anguIoistum XAY, DAH , iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DAY, erit quoque angulus DAX aequalis angulo HAY r & propterea duo triangula AHL , ADF aequiangula erunt; eritque adeo,ut AH
ad HL, ita AD ad DF. Et quoniam aequales int Inter se . tam duae AH, AD, quam duae HL, AG; erit quoque , ut AH ad HL, ita AD ad AG . Unde erit ex aequali, ut AD ad DF, ita AD ad AGt proindeque portiones duae DF , AG aequales
X. Caeterum allata parabolam describes di rationes fuat illae eadem, quibus, tum elli in opsis, cum hyperbolae descriptionem 'perius obtinuimus. duod enim hic recta GZ rectilineo
motu seratur super ADδ id exinde oritur, elaεια quod
quod longitudo ipsius AB sit infinita . Nam prosecto motus circularis in rectilineum verω νεμtitur , quotiescumque centrum ejus motu i0 Ficita a. infinitum abire supponitur. Notatu autem hic dignum existimo, quod altera parabolam describendi ratio , non secus ac prima, obtineat etiam, quum angulus BAD nequaquam est rectus. Si enim rectam HL subinde inclinemus super BH , ut angu- . . lus
145쪽
ras SECTIONUM CONICARUM 1us AHL aequalis sit angulo DAH, ipsumque
angulum XAΥ , qui revolvitur circa verticem Α, assumamus aequalem pati ter angulo DAH: adhuc exposita ratione parabola describetur.
Ducatur similiter ex aliquo intersectio- snis puncto M ad diametrum AB ordinata MN. Et quoniam ordinata ista est ipsi AD parallela; erit angulus MNA aequalis angulo DAH . Sed ex constructione angulus DAH aequalis est angulo AHL. Quare erit etiam angulus MNA aequalis ansulo AHL. Rursus , quia positi sunt aequales anguli XAΥ . DAH a dempto ex iis communi anguis Io DAΥ , supererit angulus DAX aequalis etiam angulo HAΥ. Sed , ob parallelas AD, MN , angulus DAX aequalis est angulo AMN. Quare eidem angulo AMN erit paria iter aequalis angulus HAI. Hinc duo triangula AHL , MNA ae- quiangula erunt; eritque adeo , ut AH , seu
AD ad HL, ita MN ad AN . Sed, ob aequales ungulos DAH , AHL , recta HL est aequalis ipsi AG, sive MN. ltaque erit quoque, ut AD , ad MN , ita MN ad AN: S propterea MN
quadratum aequale erit rectangulo DAN . 'Nec silentio praeteribimus , quod altera isthaee parabolim describendi ratio . etiam quum ad suam universalitatem evehitur. reci- :dat in eam , quae primo loco allata est. Nam
ducta per punctum D tecta DE . ipsi AB parallela , cum qua latus A X conveniat in Fiadhuc portio DF aequalis fiet portioni AG.
146쪽
De Conicarum Sectionum Diametris aliis.
Conicae sectioiies , praeter eam diametrum, quam in ipso cono sortiuntur,aliis etiam infinitis sunt praeditae, ad quas quum reseruntur , iisdem proprietatibus gaudent. De aliis hi sce diametris conicarum sectionum agendum nobis erit hoc libro i quas tamen meth do plane nova , nec adhue ab ullo tentata independenter a tangentibus harum curvarum definire conabimur.
C A P. I. Ellimis omnes aliae diametriis niuntur.
I. Uemadmodum in eireulo quaelubet diameter transi per centrum ejus δ sc etiam in ellipsi , cujus species quaedam est cireuius , diametri omnes transeunt per punctum illud , quod ellipsis emtrum ainpellatur.
Est autem hoe punctum id , quod bifa- riam dioidit diametrum pri/Nipalem, sive qum ex cono deducitur . Ut si AB sit diameter, quam ellipsis AMB sortitue in ipso cono , e
147쪽
et 18 SECTIO NuΜ 'CoΗΙCARuMdemque secetur bifariam in puncto C; vocabitur punctum istud C centrum ipsius ellipsis. Sortitum est vero tale nomen istiusmodi punctum ς quia omnis recta per ipsum ducta, utrinque ad ellipsem terminata fifariam in eo dividitur. Ducatur enim per punctum Crecta quaevis EF , quae utrinque occurrat et Iipsi in punctis E , & F . Dico , rectam istam EF seeari bisariam in puncto C. Demittantur namque ex punctis Ε, & Pordinatae ad diametrum EG,FH. Quumque eae Inter se sint parallelaeueaequiangula erunt trian sula CEG , CFH; proindeque erit, ut CG quadratum ad CH quadratum , ita EG quadratum ad FH quadratum . sed , propter elliis psim , EG quadratum est ad FH quadrat uni, ut rectangulum AGB ad rectangulum AH B. Ouare erit ex aequali , ut CG quadratum ad CA quadratum , ita rectangulum ACB ad rectangulum AH B. THinc, addendo antecedentes eonsequentibus , erit etiam, ut CG quadratum ad CH quadratum, ita CA quadratum ad CB quadratum ; & consequenter latera horum quadratorum CG , CH , CA, CB pariter proportionalia Munt. Sed, ob eadem triangula aequiangula C EG, CFH , CG est ad CH, ut CE ad CP. Itaque erit cx aequali, ut CA ad CB, ita CEad CF: ae propterea, sicuti duae CA, CB intelse sunt aequales ; se & duae CE, CF similiter
II. Ut autem pateat, quod sit diameteeellipsis recta quaelibet , ducta per centrum , Seutrinque ad eam terminata , ostendendum essprius
148쪽
E L E M E N T A. ix prius sequens theorema. Nimirum, quod si EP ων---διι sit aliqua istarum rectarum , eaque bisecet u O subtensam AM , pertinentem ad Verticem Ff G. 23.
A, & demissa ad diametrum AB ordinata EG, hulla per punctum o parallela ducatur OL; sit semper, ut CL ad CG, ita CG ad CA. Nee sane difficile erit theorema istud ostenduru . Nam, sicuti AM dupla est ipsi is ino; ita , ducta ad diametrum AB ordinata alia MN , erit AN dupla quoque ipsius A L. Mnde , quum sit etiam diameter AB dupla ip- siti, AC , erit reliqua N B dupla pariter reliquae LC: & propterea rectangulum AN B erit quadruplum rectanguli ALC.: Et quoniam MN dupla est etiam ipsius CL ; erit MN quadratum quadruplum qua drati, quod fit ex OL . Quare erit , ut MN quadratum ad rectangulum AN B , ita OL
quadratum ad rectangulum ALC . sed , pr pter ellipsim, MN quadratum est ad rectangu lum AN B , ut EG quadratum ad rectangulum. AGB . Itaque erit ex aequali, ut OL quadra, tum ad rectangulum ALC , ita EG quadra- tum ad rectangulum AGB ; Sc consequenter Permutando erit quoque , ut OL quadratum ad EG quadratum , ita rectangulum ALC ad rectangulum AGB. Hinc , quum , ob triangula aequiangula
dratum. ut CL quadratum ad CG quadra itum; erit rursu2 ex aequali , ut CL quadratum 'ad CG quadratum, ita rectangulum ALC ad rectangulum ACB : & propterea, addendo' ntpcedenter; cohsequentimu* ,eric etiam , ut
149쪽
1io SECTIO NuM CONICARUM CL quadratum ad CG quadratum , ita rectan.
gulum ACL ad AC quadratum . hoc est . ita CL ad AC i proindeque tres rectae CL , CG ,
CA continue proportionales erunt.
III. IH. Inde vero sequitur primo , quod si ex Prae ἐφ' u A , & Ε dueantur tectae ΑΚ, EI. ipsis BG , AM parallelae, quarum prior AK conrip veniat cum EF in puncto Κ, & altera Et cum ιψ' 3' puncto I; triangulum EGl sit aequλὶς trapetio AGER . . Est enim ex ostensis , ut CL ad CV , ita
sive etiam, ut CA ad CI. Quare erit ex aequali, ut CG ad CA, ita CA ad CI: S. propterea, quum tres rectae CG , CA , CI sint continue Proportionales; erit qtioque, ut CG ad Ct, ita CG quadratum ad CA quadratum.
lam , Propter communem altitudinem
triangulorum CEG . CEI, CG est ad C I, ut est triangulum CEG ad triangulum CEI istemque, ob similia triangula CEG, CKA,CG
quadratum est ad CA quadratum , ut triangulum CEG ad triangulum CKA . Quare erit rursus ex aequali, ut triangulum CEG ad triangulum CEI, ita idem triangulum CEGad triangulum CKA . Hinc triangula duo CEI , CKA aequalia erunt inter se : & propterea , dempto ex iis communi triangulo CEG , supererit trianguinium EGI aequale trapetio ΑGΕΚ. Et si austratur adhuc commune trapetium AGEX a remanebit . quoque triangulum XAI aequale friangulo XΕΚ.
150쪽
ttiane ultim ΑΟΚ sit aequale trapetio ΕΟAI. . V. Est enim ex ostensis , ut CL ad CG , ita .
δre erit ex aequali, ut CO ad CE, ita CEaιl CK : ct propterea, quum tres rectae CO, CE , CΚ sint continue proportionales , erit quoque , ut Co ad CK , ita CO quadratum ad CB quadratum. J-m , propter ςommudem altitudinem
triangulorum CAO, CAI , CD est ad CK, ut est triangulum CAO ad tri ligulum CAΚ;ιtemque, ob similia triangula CAO, CIB, COquadratum est ad CE quadratum , ut tri4nguium C Ao ad triansulum CIE . Quare erit rursuS ex aequali, ut Iriangulum CAO ad
triangulum CAX , ita idem triangulum inoad triangulum CIE Hinc triangula duo in Κ , CIE aequalia
erunt inter Ist: proindeque,dempto ex iis communi triangulo CA O , sit pererit triangulum AOK aequale trapetio LOAI. Id vero erui quoque potest ex aequalitate triangulorum X AI, XΕΚ superitis ostensia . Nam, addito iis communi trapetio AOΕX , fiet trapetium
EOA I aequale triansulo AOΚ. V. . C. piatur porro in ellipsi punctum quodvis aliud P , ex quo duςqntur d diametrum AB duae aliae rectae PS, PQ, ipsis EI, D''EG parallelae. Et factu erit ostenscre , quod triangulum PQS sit etiam aequale correspo denti trapetio Λ QR X. Quum enim similia sint trianstula CAK, CGE ; erit, ut CA qu dratum ad CG quadra-I a tum,