장음표시 사용
151쪽
xa SECTIO NuM CONICA Ru Meum , ita triangulum CAK ad triangulum C GE . Qtiare convertendo erit etiam , ut VAquadrata ad rectangulum AGB , ita trianis gulum CAK ad trapetium AGΕΚ. Eadem ratione , quum similia sint trianin
ad Co quadratum , ita triansulum CAK aa triangulum CQR . Unde convertendo erat ouoque , ut CA quadratum ad reriangulum δεQn , triangulum CAK ad trapetium
Hinc autem , per aequalitatem rationis Ordinatam, erit pariter , ut rectangulum AGBad rectangulum AQB , ita trapetium AGES d trapetium AQRΚ : adeoque, quia, propter ellipsim , rectangulum AGB est ad rectanguis Ium AQB , ut EG quadratum ad PQ quadratum ue erit ex aequali, ut EG quadratum ad PQ quadratum , ita trapetium ΑGΕΚ ad tr petium A .RΚ. Et quoniam ex constructione parallelae sunt inter se , tam duae EG , PR, quam duae EI, PS a triangula duo EGI, PQS similia erunt. Unde , quum sit, ut ΕG quadrammad P quadratum , ita triangulum EGI dtriangulum PQS I erit rursus ex aequali , ut triansulum EGI ad triangulum PQS , ita trapetium AG ΕΚ ad trapetium A K: & propterea,quemadmodum triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGΕΚ ; ita quoque erit triangulum PQs aequale trapetio AQRΚ. VJ VI. Denique , si recta PS , ipsi EI parallela , conveniat cum recta EF in puncto V, ηπllo segotis ostendema euoque, quod trian-
152쪽
ELEMENTA. iitulum PVR sit - le correspondenti trapetio EVSI. Ponamus etenim primo , quod punctum Fia .ra. S sit supra verticem A ,& quod punctum Ρexistat inter A, & Ε . Qitia igitur triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGER . Setriangulum PQS aequale trapetio AQRΚ i si
ex triangulo auferatur triangulum, ex trape ito trapetium, ex utroque autem commune strapetium PQGZ ; supererit trapetium ΕΖSI aequale trapetio PZΕR i proindeque , addito communi triangulo EZU , fiet trapetio EVSi aequale triangulum ΡUR. Poliamus secundo, quod punctum s sit quidem supra verticem A , sed quod punctum P sit ad alteram partem punctI E relate ad eundem verticem A . Et rursus, quia triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGΕΚ: adindito communi trapetio EG Λ, fiet trapetium . ΕIQR aequale trapetio A ZRΚ , sive etiam triangulo PQS : & proinde , dempto communi trapetio USQR, fiet trapetio EVSI rur fus aequale triangulum P UR. Ponamus deniqueέ quod punctum s sit - infra verticem A . Et quoniam triangulum τ' PQs ostensum est aequale trapetio AQRΚi addito,vel dempto communi trapetio VSP, set thiangulum P VR aequale trapetio ASVκοῦ
Sed,propter aequalitatem triangulorum X ΕΚ. XAI, superius ostensam, trapetium ASVK est aequale trapetio EVSI. Quare etiam triangulum P VR aequale erit trapetio ΕUSI. VII. Priusquam ulterius progrediamur,mtatu bis dignam ex imo , quod punctum P
153쪽
334 SECTIONUM CONICA Ru M.t ea ita quidem a nobis sumptum est in ellipsi , ut ordinata PQ , exinde ducta ad diametrum Fici. 23. AB, cadat supra centrum ellipsis. Sed fieri 24. quoque potest , ut eadem illa ordinata, vel ad centrum dirigatur, vel etiam cadat infra cen
Quotiescumque ordinata PQ dirigitur
ad centrum; liquido patet, trapetium A QRI non differre a triangulo CAR . Sed,ubi eadem ordinata cadit insta centrum ; tune loco trais petii AQRΚ sumenda est disserentia triangulorum C AK , CQR , quam in omni casu trapetitim illud ad aequat. similiter idem punetum P subm de quidem a nobis sumptum est in ellipsi, ut recta PS , ekinde ducta aequid istanter ipsi EI, eonveniat cum ΕΚ supra centrum ellipsis.Sed fieri quoque potest, ut eadem recta PS eon. veniat cum Εp , vel in ipso centro , vel etiam
Quotiescumque recta Ps occurrit alteri EF in ipso centio ς manifestum est, trapetium ΕVSI non differre a itiangulo CEI. Sed , ubi occursus si infra centrum ἔ tulae loco trapetii ΕVsi sumenda est disserentia triangulorum CEI, CVS , quam in omni casu trape4tium illud ad aequat. VlΠ. . Vii I. His praemissis,facile modo erit osten--tiba . . , dere, quod sit diameter ellipsis resa quaelib/t
centrum , O utrinque ad eam termiissa diam.ων nata . Ut enim talis esse ponit, duo quidem
piis , roquiruntur . Primum , u b secet tectas omis: nes , alicui aequid istanter ductas, ct utrinque terminatas ad ellipsim . Deinde , ut quadrata
154쪽
E L E M E N T Ac atrin semissibus istarum rediar uin sint, ut gula , quae sub correspondentibus ipsius por,tionibus continentur.
Jam horum utrumque facili negotio dea monstrabitur. inantum enim ad primum , si e EF tecta quaevis ducta per centrum C, eaqu bisecet in o subtensam AM, pertinentem adverticem A diametri principalis . Dico , ea n dem EF secare quoque bifariam in , U , quam vis aliam rectam ΡΡ , quae ipsi AM parallela. utrinque ad ellipsim terminatur. Positis enim omnibus , ut supra ς erit uintrumque triangulorum ΡUR, PUR aequale trapetio EVSI. Quare aequalia erunt inter se ipsa duo triangula PUR, PUR. Sed eadem triangula , velut similia , sunt ut quadrata laterum homologorum P U , ΡV . Itaque latera isthaec homologa PU , PU erunt pariter aris qualia ; Si consequenter tota ΡΡ bifariam secta erit in V. IX. Quantum vero ad secundum . uec etiam magno mentis acumine opus est, ad illud ostendendum . Maneant enim omnia, adhuc ut supra. Et dico insuper, quadrata ipsarum Ain ΡU esse inter se, ut rectangula correspondenis p
Quum enim similia sint trianguIa CEI. COA ; erit, ut CE quadratum ad Co quadratum , ita triangulum CEI ad triangulum COA . Quare convertendo erit etiam, ut CEquadratum ad rectangulum EOF, ita trianis gulum C EI ad trapetiunt EOAI. Eadem ratione, quum similia sint trian
gula CEI , CVS a erit , ut CE quadratum ad
155쪽
I 36 SECTIONUM CONICARUMCV quadratum, ita triangulum CEI ad triam Olum CVS. Unde convertendo erit quoque, ut CE quadratum ad rediangulum EVF , ita triangulum CEI ad trapetium EVSI.
Hinc autem, per aequalitatem rationis oradinatam , erit pariter , ut rectangulum EORad rectangulum EUF , ita trapetium EOAI ad trapetium ΕVSI: adeoque , quia trapetia ista ostensa sunt aequalia triangulis A OK, PVR; erit ex aequali, ut triangulum ΑΟΚad triangulum P VR , ita rectangulum EOS, ad rectangulum ΕVF. inoniam vero ex constructione paralle. Iae sunt inter se, tam duae AX, PR. quam duo AO, PU , triangula duo AOK , PVR smilii erunt. Quare , quum sit , ut Ao quadratum ad PV quadratum , ita triangulum AOK ad triangulum P VR 3 erit rursus ex aequali, ut A O quadratum ad P U quadratum , ita re. Elangui uni EU F ad rectangulum ΕVF. X. Non ergo dubitari potest, quin tecta EF , ducta per centrum C, ct utrinque ad eli .
sim terminata, sit ejus diameter . Nam & bifaώ, riam dividit rectas omnes, quae subtensae AMarquidistantes , utrinq;ie ad curvam termina natur . Et quadrata ex semissibus istarum rectarum servant Inter se eandem rationem , quam habent re angula , sub correspondentibus ipsius EF portionibus contenta. Sed facile erit etiam ostendere , quod praeter eas, quae transeunt per centrum ellipsis, nulla alia recta linea possit esse diameter ejus. Ut enim recta aliqua esse queat diameter elliis
156쪽
E L E AE E N T A. T3νeet rectas omnes , alicui aequi distanter duAas. Sc utrinque ad est ipsini terminatas. Unde , si ostendi possit, accidens istud iis tantummodo rect s competere , quae transeunt per centrum ellipsis ; iam veritas ejus , de quo agitur , tu quido constabit. Id vero ostendetur in hunc modum . Sie ΤΥ recta positione data , cui debent esse parallelae eae omnes, quae bifariam a diametro dividuntur. Jamque, si ea parallela est ordin iis diametri principalis AB ; secabit diamete eisia AB bifariam rectas omnes , quae Ipsi TY aequid istantes , utrinque ad ellipsim terminantur.
Quod a autem recta TY non sit peralleola ordinatis diametri principalis AB δ per ea, quae superius ostensa sunt, semper ex vertica hujus A duci poterit recta alia AM , quae illi parallela, ellipsim secet in alio puncto . At reinctas omnes ipsi AM aequi distanter ductas , Seutrinque ad ellipsim terminatas , ut modo vidimus, non alia bisecat recta , quam quae transit per centrum C , R bifariam dividit subtensam ipsam A M. XI. Caeterum circa diametros eli psis Ilillud notare sedulo oportet , quod si aliqua extiterit diameter , ordinatis alterius parallela, isa sirissim illius ordinatis aequidistans esse debeat. Sit enim AB ellipsis diameter aliqua, eiusque ordinatis parallela sit diameter at Ia EF . Dico, vicissim diametrum AB parallelam esse ordinatis ipsius ΕF. Ducatur si quidem recta M P, Ipsi As paralleli, quae utrinque ad eIlipsim terminata
157쪽
ras SECTIONUM CONICA RuM conveniat cum EF in V. Jamqtie,actis ad eanisdem AB ordinatis MN , PQ, erunt istae aeri quales inter se , velut parallelogrammi M atera opposita I & consequenter erunt etiam aequalia rectangula AN B, AQB , quae illarum quadratis proportione correspondent. Hinc, detractis rectangulis istis ex aea qualibus quadratis CA , CB ; aequalia erunt pariter reliqua quadrata CN , CQ 3 atque adeo aequalia quoque ipsa horum quadratois
rum latera CN , C Sed, propter parallelois gramma CM, CP , duae CN , C sunt aequales duabus MU , PU . Itaque MU , PU etiam
inter se aequales erunt et & proptera tota PM bisecta erit in V. XI. Seeat igitur EF bifarIam rectas omisnes , quae ipsi AB aequi distantes , utrinque ad ellipsim terminantur . Unde , ut veritat ejus, de quo agitur , omnimode constet , ostendendum est quoque , quadrata ex semissibus istarum rectarum essu , ut rectangula , quae sub correspondentibus portionibus ipsius EF continentur ; hoc est, AC quadratum esse ad MU quadratum , ut est remngulum ECF ad rectangulum EUF. Id autem ostendetur hac ratione . Quo inn am EC , MN sunt ordinatae diametri AB aerit EC quadratum ad MN , seu CV quadraritum , ut est tectangulum ACB , seu AC quadratum ad rectangulum AN B . Itaque convertendo erit etiam , ut EC quadratum . seu
rectangulum ECF ad rectangulum EU F , ita AC quadratum ad CN , seu MU quadratum. Nulli ergo dubium esse potest i quod si
158쪽
ELEMENTA. I y liqua ellipsis diameter parallela sit ordinatis alterius diametri , ista per contrarium tequidi iastans esse debeat ordinatis illius . Binae autem istae diametri , quarum altera alterius ordinatis aequid istat , saepius deinceps sub contemplationem venient. Et, ut commodius distit gui possint, vel ambas simul coniueatas, vel auteram alterius conjugatam appellabimus.
Diametrorum etabis communia quae am offenduntur.
i. xΤIdimus praecedent; capite , elli- I. V psim , praeter eam diametrum , quam in ipso cono Attitur , alias etiam innu- νν- s attimeras habere , quarum quaelibet transit pereentium ipsius ellipsis . Sed communia Barnm diametrorum , operae pretium est , ut paulo di .stinduus prosequamur . Quem in finem elli-FIG. 26.psa AMB sit AB diameter principalis , cen . trum punctum D , & EF alia quaevis diameter. Primo igitur , quemadmodum diameter principalis AB suas habet ordinatas ; ita misquoque refertur ordinatis diameter alia ΕF. Sunt autem-ostensis ordinatae istae tectae II-lae omnes , quae ducuntur aequid istanter subistenta ΑM , qtiam ab ipsa EF suppono bisectam in puncto o.
Deinde , quemadmodum quadrata ordἰαaratarum diametri principalis ΑΗ sunt inter
159쪽
x e SECTIONUM CONICA Rura se, ut rectangula , sub correspondentibus eius portionibus contenta 3 ita Sc quadrata ordinatarum alterius diametri EF sunt proportionalia rectangulis , quae continentur sub porti nibus correspondentibus ipsius ΕF. Unde porro , si per verticem E ducatur recta ΕΗ ordinatis aequid istanter , quae sit talis longitudinis , ut quadratum unius ordimatae AO sit ad tectangulum ΕΟF , veluti est FH ad EF 3 erit in hac eadem pariter ratione quadratum cujuslibet alterius ordinatae PVad redhangulum ΕVF. Et quemadmodum rectam istant FH ampellare licebit parametrum diametri EF , ita si jungatur FH , cum qua conveniat in x ordiis nata quaevis ΡU; erit ΡU quadratum aequale rectangulo ΕVX , ct consequenter minus rein Elangulo , quod fit ex parametro ΕΗ in ab scissam correspondentem Ε U. Quin & desectus ipsius P U quadrati a rectangulo HEU erit smiliter rectangulum aliud , quod habens pro sua latitudine eandem a cissani ΕU , est simile , smiliterque positum ei, quod fit ex parametro EH in ipsam diametrinn EF . calvitiis , quum ita sint, perspicuum est, sis.. omnes illas proprietates , ρπα edusi competunν relate ad diametrum principalem , obtinert
a riser . etiam , quum ad aliam quamvis diametrum e
FIO. 26. Hinc ulterius, sicuti describltur ellipssin plano, per solas rectarum longitudines, data magnitudine , Sc positione , tam diametro
160쪽
etiam deseribi poterit eadem ellipsis , ubi magnitudine , dc positione datur , tum alia quae-yis diameter EF , eum illius parameter EH. Et sicuti recta AD , ducta per verticem A ipsi iis diametri principalis AB, aequi distanter suis ordinatis , contingit ellipsim in solo puncto A ; ita etiam recta EH, ducta per ve tieem E alterius cujuslibet diametri EF , simi-1 iter ordinatis suis aequid istanter , dumtaxat in puncto Ε tanget ellipsim. Quin imo, sicuti omnis aIIa recta , quae ducta ex eodem vertice A,ansulum constituit cum AD , non solum in A , sed in alio quoque puncto secat ellipsim; sic pariter quaelibet
alia recta , quae ducta ex eodem vertice E ansulum continet cum EH , non modo in Ε, verum etiam in puncto alio occurret eidem
ellipsi. Unde etiam, si in plano ipsius ellipsis deis
ut positione recta aliqua , quae non sit parallela ordinatis cujuslibet alterius diametri ΕΓ, semper ex vertice Educi poterit recta alia,quae ei parallela, ellipsim secet in alio puncto;quum non aliter esse queat illi parallela, nisi angulum contineat cum ΕΗ . III. Sed, iis ita se habentibus, liquet quoque, quod sicuti ex diametro principali transirenetiit ad alias diametros; sic micissim ex quoli-ker alia diametro , tum ad ipsam principatim, cum ad alias omnes progredi licebit.
Nam semper ac eaedem sunt dIametro-xum omnium proprietates , theorema illud fundamentale , quod praecedenti capite ostensum est relate ad diametrum principalem, PQ terit