장음표시 사용
161쪽
14s SECTIONUM CONICARUM terie eadem omnitio ratione demonstrari de quavis alio diametro EF, Itaque , si per centrum ellipsis C ducatur recta aliqua AB , quae hi secet in G subtensam PE , perti non tem ad verticem β ι & demissa ad diametrum EF ordinata PU, huic Per pun
ctum G parallela agatur GR, erit , ut si V ad CR, ita CR ad CE.
Unde , quum omnes illae κqualitates triangulorum, trapetiorumque , quaS superiori capite prosecuti sumus rotate ad diametrum principalcm, obtineant quoque respectu ipsius diametri EF ; facile erit ostendere , re-Aam illam AB esse diametrum quoque ipsi ui ellipsis, Inde enim conficitur , ipsam AB secare hisariam rectas omnes , aequid iranter ductas subtensae PE , ct utrinque terminatas ad elliis psim ς itemque quadrata ex semissibus istarum rectarum proportionalia esto rectangulis , quae sub correspondentibus portionibus ipsius AB
IV. Habent igitur omnes aliae ellipsis dἰa. metri easdem omnino propriet/tes cum diametro principali, & ex qualibet earum , tum ad ipsam principalem . cum ad alias omnes progredi licet. Sed ellipseos diametri, pr terhactenus νςcensitar proprietates, plures alias communes hobent, quas non ab. re erit hiphreviter ostensas exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est ostendendum , quod quaelibet diameter ellipsis non alias restar , utrinque ad curvom ter nunatas,dividat bifariam, quam quae, vel transeune
162쪽
ELEMENTA' .seunt per centrum, quoi ordinatim ad ipsam Lais metrum opplicantur. Sit enim AB ellipsis AMB diameter Fio .a . quaevis , sitque etiam ΑD recta illa, cui omnes ejus drametri ordinatae sunt parallelae. Ducatur in ellipsi recta P P, quae utrinque ad
Curvam terminata, nec transeat per centrum
C , nee sit ordinatim applicata diametro AB. Dico , eam ab ipsa diametro ΑΒ non posse se cari bifariam. Si enim fieri potest, secetur recta PP a diametro AB hi fariam in S . Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB ue ex su- verius ostensis duci poterit per verticem Arecta alia , quae ipsi PΡ parallula ellipsim secet in alio puncto . Ducatur itaque recta ista , Sest AM . Tum, bisecta ea in puncto O, jungatur Co, quae extendatur usque donec Occursat ellipsi in punctis Ε , R F. Quia igitur recta EF transit per centrum C , & hi secat in O subtensam AM, pertinentem ad verticem A ; per superius ostensa secabit quoque bifariam in V rectam PP . ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta P Ρ1ecatur bifariam in S . Qirare eadem ΡΡ hi secta erit, tam in puncto S , quam in puncto V . Quod fieri non potest.
V. Ex eo autem, quod quaelibet diameter V. ellipsis eas tantum rectas, utrinque ad curvam terminatas, bifariam dividat, quae vel trans- 'eunt per centrum , vel ordinatim ad ipsam ap-- plicantur : sequitur per non rarium, ut si aliqua ellipsis diameter bisecet refram aliquam, ηρα transcautom per ccstrum , ct utrinque
163쪽
i, 4 Sic T1ONuM CONICARUM erminatam ad ellipsim, Lac se debeat diameziri illius ordinata. Unde ulterius consequitur , ut si reUa aliqua bisecet alias duas aequidsantes , o utrisque ad ellipsim terminatas , ea ese debear diameter ipsius ellipsis, atque adeo transire per centrum . Nam aliter , ducta per punctum bisectionis unius ex rectis aequid istantibus , ¢rum recta alia , haec velut diameter hilacabit quoque rectam aliam aequid istantem. Quod fieri non potest. Id vero quum ita sit, facile erit, cuiuslibet datae ellipsis, sive centrum , sive diametrum aliquam reperire. Neque enim aliud fieri debet, quam ducere intra datam ellipsim rectas duas aeqitidistantes, & utrinque ad curvam terminatas . Nam , scuti recta, quae eas
bifariam dividit, diameter erit ellipsis G si e &Punctum , quod bisecat diametrum istam .
VI. Speciatim in omni eIIIpsi reperire licet
.m.ι .ulas diametrum, quae cum fuis ordinatis rector auis. Inveniatur squidem ipsus eris, , σα. datae ellipsis diameter quaevis EF , sitque ΕΗ, cui omnes istius diametri ordinatae eism is a ον. debent esse parallelae. Jamque, si angulus FE H. fuerit rectus, erit ipsa EF diameter optata . Quod si secus contigerit, inveniemus diameistrum , quam quaerimus, sequenti ratione.
Super diametro EF describatur semicirisculus EPF, qui necessario secabit ellipsim in puncto aliquo P . Jungantur deinde recte PE , PF , quae secentur bifariam in pu
Hi G , R I . Agantur porro per puncta. ista
164쪽
diametri ΚL, AB . Et utraque harum diameistrorum eam, quam quaerimus, exhibebit.
Ob rectas enim PE, EF bisectis in pun. Etis G,& C, GE est ad GP, ut CE ad CF. Quare diameter KL ipsi PF parallela erit ; adeoque
angulus CGE aequalis erit angulo FP Ε . Sud, propter semicirculum , an olus FPE esst rectus . Itaque etiam angulus CGE redius eriti S consequenter diameter KL cum sui. ordiri
natis rectos angulos constituet.
Eadem ratione , ob rectas EF , PF bise. Etas in punctis C, & I, CE est ad CP . ut Ρι ad I F. Itaque diameter AB ipsi PE par4lle.
da erit; atque adeo angulus CiF aequalis erit angulo EΡF. Sed, propter circulum, angulus EPp est rectus . Quare rectuS erit quoque angulus CIF : & propterea diameter AB cum, ordinatis suis rectos angulos coni nebit. VII. Neque vero difficile erit ostendere uti. id, quod in confriactionc assumptum es , nimi- xum , quod semicirculuS , descriptus super agis νι .m diametro EF , occurrere debeat ellipsi in puncto aliquo P. Quum enim recta EH non sit 'Misione.
perpendicularis ipsi EF , utique semicirculus FIG. 87. ille , necesse est , ut secet , vel ipsam ΕΗ , vel eam , quai ducitur per punctum F eidem Ei
S. coqui distanter ' Ponamus . semicirculum illum secare . . - rectam ΕΗ . Id itaque fiet, quia recta ΕΗ constituet cum diametro EF angulum acutum Versus eam partem , in qua semicirculus ἡ describitur. Quare recta, quae ducitur Per
165쪽
1 ε SEeTIO NuM CONI cARuM . serpendicularis , quae ex eodem puncto F er Itur super EF oecabit ellipsim versus eam Ortem, in qua semicirculus reperitur. V Iam semicirculus, descriptus super diametro EF , ut ellipsim secare nequeat, necesse plane est , ut cadat totus, vel intra, Vel existra eam. Sed horum utrumque fieri nequit. Non enim primum ἴ quia sic minime conveniret cum recta ΕΗ, quam tamen necessario secare debet. Nec item secundum ἴ quia eo Pacto occurreret perpendiculari, ex puneto F erectae super EF, quae tamen tota extra
VIII. In qualibet igitur ellipsi existunt
binae diametri, quae rectos cum suis ordinati1 angulos constituunt . Hujuscemodi diam ιιιitroS , Qua1 liquet esse conjugataS. vocabimus
in posterum axes ipsius ellipsSὴ essque nos aliter ister se mutuo aequales esse quom abi ellipsis ipsa abit in circulum, facile erit
- Sint enim AB , KL axes ellipsis AMB .
'Dieo, ellipsim ipsam circulum fieri, ubi aequa. les sunt inter se duo illi axes AB, KL. , Ducatur ad axem unum AB ordinata uuaevis MN . Et quoniam KC, MN sunt o clinatae binae ipsius ΑΒ ; erit, ut KC quadratum ad MN quadratum , ita rectanguium ACB , sive AC quadratum ad rectangulum AN B . Sed, ob axium aequalitatem , KC quadratum est aequale AC quadrato. MN quadratum erit aequale rectangulo AN B. Est igitur curva AMB talis naturae , ut
demissa ex aliquo ejus puncto M perpendic lari
166쪽
lati MN super ΑΒ , sit semper MN quadra
tum aequale rectangulo AN B , eo luento sub corres polidentibus portionibua ipsius AB. Unde, quum haec sit circuli proprieta. essentialis , ipsa curva AMB circulus erit. IX. Quem diuodum axea ellipsis aequales inter se mutuo esse non possunt , nisi , quum ellipsis ipsa abit in circulum a ita , descriptis super iis, velut diametris , circulis duobus, cadet torui intra ellipsim , qui describitur super axe nunore , ct vicissim totus extro eam, qui describitur super axe majore. Sint enim Ab . Sit axes ellipsis AMB; sique etiam AB axis major , S KL axis mutior. Describantur super iis, velut diametris, circuli duo . Dico, eum, qui describitur superAB , cadere totum e tra ellipsim; per contrarium vero illum, qui describitur super KL,
Sumatur in ellipsi punctum quodvis M, ex quo ducantur ad axes ordinatae MN , MΟ, quae conveniant cum circulis, descriptis superiis. in punctis P , ct Q. Ostendendum est igitur , PN quidem majorem esse , quam MN , QO vero minarem , quam Mo . id autem ostendemus in hunc modum. niam KL minor est, quam AB; erit quoque XC quadratum minus ret: angulo ACB . Sed, ob ellipsim, KC quadratum est ad MN quadratum , ut rectangulum ACB ad reactangulum AN B. Quare etiam MN quadratum minus erit rectangulo AN B : ct propte- Tea , quum, propter circulum, PN quadratum sit. x quale rectangulo AN B ; erit PN major, quam MN. Κ a Eu-
167쪽
r i SECTI ONUM CONI CARu MEadem ratione , quoniam ΑΗ maior cit, quam KL ; erit quoque AC quadratum malui rectangulo ΚCL . Sed , ob ellipsim , AC quadratum est ad Mo quadratum , Ut rectanissulum ΚCL ad rectangulum ΚOL. Quare etiam Mo quadratum maius erat rectan laΚΟL : S propterea , quia, propter cuculum, . quadratum est aequale rectansul O HOL , erit m minor, quam Mo.
T subtensani , eamque velut suam ordinatam agnoscit I iungaturque B M.
Quia igitur AC est ad CB, ut Ao ad OM arit B M ipsi EF parallela : moindeque
anaulus AMB erit aequalis angulo AUE, Quem diameter cum ordinata ad plagam unam constituit. Unde aliae ellipsis diametri cum ordinatis su is saltem ad partem unam non alios angulos continebunt, quam quos luiscipere post uni portione , in quas dividitur erulipsis ab axe majore. Nullum vero horum angulorum rectum esse posse,sed quemlibet obtutum existere uam exinde consequitur , quod circulus , qui dein scribitur super AB, velut diametro , totus ca. dat extra ellipsim . Eosdem autem malores semper , atque majores fieri . prout ipsorum vertices magis, atque magis ad axem murorem accedunt . tandemque maximor evaderet
168쪽
Si enim, demissa ad axem maiorem AB ordinata MN , capiatur CQ aequalis CN , Rad punctum et ducatur ordinata alta PQ ob aequalia rectangula AN B, AQB , erunt etiam sequalia quadrata ordinatarum , PQ: proindeque segmentum circuli, transiens peetria puncta A , M , B , transibit quoque per punctum P. Unde , stetiti segmentum istud eo minoris fit latitudinis, quo puncta M, & P ad
axem minorem magis accedunt ι sic & ipsi anguli AMB, APB eo majores evadunt, quo mi. nor est suorum verticum ab axe minore di stantia, XI. sed, ut ad eommunes diametrorum di aproprietates rursus revertamur, illud etiam omnibus accidit, ut ordisarae , quae aὸ duarum a que timetros ab alternis earum vera ribus ducastiar, dic Idane ipsis ἐiametros is Misiti, M
sint enim AB , EF duae quaeula diametri Fro.αρέellipsis AMB. Et ducatur ex vertice Ε ordiis nata EG ad diametrum AB . & ex vertiee Aordinata AO ad diametrum EF . D eo , sore, ut BG ad AG, ita po ad Eo. Extendatur .ordinata una Ao usque d nec occurrat ellipsi ad partem alteram in M, tumque agatur per punctum o recta OL, ipsi EG parallela , quae conveniat eum diametro AB in plincto L. Et quoniam subtensa Au pertinet adverticem A , eaque dividitur bifariam per re Ram EF, transeuntem per centrum C, erit ex
169쪽
iso sECTI Nuu eo NI Axu Msuperius ostensis , ut CL ad CG, ita CG ad CA. Unde, quum CL sit ad CG , ut est Coad CE ς erit ex aequali, ut CG ad CA , ita Coad CE. Q niam vero invertetido CA est ad CG , ut CE ad CO ; erit, per conversionem rationis, ut CA ad AG, ita CE ad EO; sc sumendo antecedentium dupla , ehit etiam , ut
AB ad AG, ita EF ad ΕΟ . Unde demum di. videndo erit, ut AG ad AG, ita FO ad ΕΟ.; XII. Huius autem proprietatis ope, facile etit, eui canaque euiuos diametri positio-
suarum ordinatarum definire. 0.n' 'ac diameter , cuius ordinataeis., c. quaeruntur. Ducatur intra ellipsim recta quae- FIO. 29. transeat per centrum. Tum,
secta ea bifariam in V , iungatur CV, quae extendatur in Ε, & p. Agatur porro ex vertiee A reaa AM, ipsi PΡ parallela , quae diametro EF occurrae
in O . Et squidem AB subinde secetur in G. , ut BG sit ad AG , veluti est FO ad ΕΟ : erit EG ordinata una ipsius AB . Si enim EG non sit ordinata ἰpsius An .st eius ordinata recta EA . Et quoniam ad diametros AB , Ep ex alternis earum verticia
hus ductae sunt ordinatae ΕΗ , Ao ς per proprietatem iam ostensam , erit, ut Bri ad ΑΗ, ita FO ad ΕΟ. Hinc , quum ex constructione po si haro, ut est BG ad AG ; erit ex aequali, ut BG ad AG, ita BR ad AH r propterea , quum componendo st, ut AB ad AG , ita AB aa AH ; erunt duae AG , AH aequales Inter se.
170쪽
ELEMENTA. arx Quod fieri non potest. XIII. Omnium quoque dIametrorum elirupis commune est, ut cujusque corivata dia-mser sit media proporrionalis inter ipsam , ct
Ellipsis enim AMB sit AB diameter ali. qin ; sitque etiam AD ejus parameter, &ΚLeiisdem diameter coniugata. Dico , fore , ut Fιo. 7. AD ad KL, ita KL ad AB. Quoniam enim KC est ord nata una Ip. sus ΛΒ , erit, ut AD ad AB , ita ΚC quadra- tun ad rectangulum ACB , sive AC quadratum. Sed , ob rectas AB , KL , hisectas sacentro C . KC quadratum est ad AC quadra- tvm , ut KL quadratum ad AB quadratum. Quare erit ex aequali, ut AD ad AB . ita KLq adratum ad AB quadratum: & proptereattes rectae AD , KL, AB continue proportiori
Hine, siquident KR sit parameter diamecer KL, cum iisdem AD, KL, AB erit etiam Continue proportionalis ΚR. Nam, scuti ΚLest coniueata ipsius AB , ita AB conjugata estipaus KL . Unde, quemadmodum KL media est proportionalis inter AD , & AB ; ita erit Ah media proportionalis inter KL,&ΚRr Proindeque quatuor AD,KL,AB, KR contiis
nue proportionales erunt. XIV. Commune itidem est accidens dIanetrorum omnium , ut rectae . ex cujusque