Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

171쪽

Isa SECTIONUM CONICARUMSit enim AB diameter aliqua ellipsisFLQ 3 Q ductis per punctum quodvis E psius .ellipsis rectis A X , BZ , conveniant eae cum aliqua ejus diametri ordinata MN in punctis P , ct Q. Dico, rectangulum PFQaequale esse quadrato ipsius MN. 'Ducatur si quidem ex puncto E ad emisdem diametrum AB ordinata alia EG; eritqia ΕG quadratum ad rectangulum AGB in rati, ne composita ex EG ad AG, S ex EG ad BGι sive etiam in ratione composita ex PN ad

Jam duae istae rationes componunt pa iter rationem, quam habet rectangulum PNE ad rectangulum AN B . Quare erit ex aequat,

ut EG quadratum ad rectangulum AGB , i:a rectangulum PNQ ad rectangulum ANB. Ob ellipsim autem, EG quadratum est ad rectangulum AGB , ut MN quadratum ad rectangulum AN B . Itaque erit rursus ex aequili , ut MN quadratum ad rectangulum ANI, ita rectangulum PNQ ad idem rectangultanAN B : & propterea MN quadratum aequilo erit rectangulo PN

tri determinantur.

, i. Uemadmodum in ellIpsi, ita etiaris, in hyperbqla omnes alite diame tri

172쪽

. ELEMENTA.

tri transeunt per punctum illud , quod hype

holae centrum appellatur.

Est autem hoc punctum id , quod bifariam dioidit diametrum principasim , sive quo Fia. et r. ex cono deducitur . Ut, si AB sit diameter . 'quam hyperbola sortitur in ipso cono, eadem que secetur bifariam in puncto C a vocabitur punctum istud C centrum ipsius hyperbolae. Sortitum est vero tale nomen istiusmodἔPunctum, quia omnis reMaper ipsum ducta, o utrinque ad Operbolas oppositas terminata, hia fariam in eo dividitur . Ducatur enim per punctum C recta quaevis EF , quae hyperboaIis oppositis occurrat in punctis E,& F. Dico, sectam istam EF secari bifariam in puncto C. Demittantur namque ex punctis Ε, & Fordinatae ad diametrum EG, FH. bumque ea inter se sint parallelae,aequiangula erunt trianrigula C EG, CFH: proindeque erit, ut CG quadratum ad CH quadratum, ita EG quadratum ad FH quadratum . Sed, propter hyperbolam, EG quadratum est ad FH quadratum, ut re.,

ctangulum AGB ad rectangulum AH B. --

re erit ex aequali, ut CG quadratum ad CH quadratum , ita rectangulum AGB ad rectan.

Hinc , subtrahendo termἰnos secunda rationis ex terminis primae, erit etiam, ut CG quadratum ad CH quadratum, ita in quadratum ad CB quadratum; ct consequenter latera horum quadratorum CG, CH,CA,CB paritee proportionalia erunt. Sed,ob eadem triangula

sequiangula CEG, GH . CG est ad CH , ueCE ad CF. Itaque erit ex aequali , ut CA ad

173쪽

- SECTIONUM CONICARUM CB, ita CE ad CF : & propterea , sicuti duae CA . CB inter se sunt aequales , sic & duae CE , CF similitet inter se aequales erunt. Π- II. Uerum quidem est , illud hie a nobIsis , uiset assumptum esse , ut recta , per centrum ducta, perbolarum oppositarum occurrit,..is debeat qgo se cum altera convenire. Sed faciis te erit, tum istud ostendere , tum alia etiam um ratione probare , quod rem, per centrum du--2 cta, ct ad hyperbolas oppositas terminata , bi Fio. 3 i. fariam in ipso centro secetur. Ducatur enim ex centro C ad unam ex

hyperbolis oppositis recta CE . Tum, demissa ad diametriim AB ordinata EG, capiatur CH aequaus CG. Erigatur deinde ad partem comtrariam ordinata alia HP. Ac denique iungatur recta CF. Quia Igitur aequales sunt inter se, tam duae CA, CB, quam duae CG, CH ; erunt pariter aequales duae AG, BH. Unde aequalia itidem erunt inter se , tam rectangula AGB , AHB , quam quadrata ordinatarum EG, FH, quae rectangulis iis proportionalia sunt. H ine, quum duo triangula CGΕ , CHPhabeant duo latera CG , EG aequalia duobus lateribus CH , FH , alterum alteri, & aequales

etiam angulos, sub iis lateribus contentos; omnia alia pariter aequalia habebunt.

Duae igitur CE, CF aequales erunt ἰnter se. sed eaedem , ob *quales angulos ECG, FCH, jacent etIam in directum . Quare recta

CE, producta versus centrum, conveniet cum

hyperbola opposita in F, totaque EF bifariam

secabitur in ipso centro.

174쪽

E L E M E N Υ A. IlI. Ut autem pateat, quod sit diameter 1it. hyperbolarum oppositarum recta quaelibet,ducta per centrum, S ad eas terminata; sendenis mdam es prius sequens theorema. Nimirum , quod si EF sit aliqua istarum rectarum , eaque hiseeet in O subtensam AM , pertinentem adverticem A,& demissa ad diametrum AB ordinata EG , huic per punctum o parallela ducatur OL i sit semper , ut CL ad CG, ita CG ad CA. Nee lane disse;Ie erἰt theorema istud ostendere . Nam , scuti AM dupla est ipsius Ao ; ita , ducta ad diametrum AB ordinata

alia MN , erit AN dupla quoque ipsus AL.

Unde , quum sit etiam diameter AB dupla i .sus AC ue erit tota NA dupla pariter toti ullLC : & propterea rectangulum AN B erit quadruplum rectanguli ALC.

Et quoniam MN dupla est etiam Iph uxOL; erit MN quadratum quadruplum qua drati, quod fit ex OL . Quare erit , ut Muquadratum ad rectangulum ANH, ita DL quadratum adrectangulum ALC Sed,propter hyperbolam, MN quadratum est ad retiang 1um ANB, ut EG quadratum ad rectangulum AGH . Itaque erit ex aequali, ut DL quadratum ad rectangulum ALC , ita EG quadratum ad rectangulum AGB; ac consequenter permutando erit quoque , ut OL quadratum

ad EG quadratum , ita rectangulum ALCadrectangulum AGB. Hinc , quum , ob trἰangula tequiangula

COL , CEG . DL quadratum sit ad EG qua Matum . ut CL quadratum ad CG quadratur δ

175쪽

1 ε SECTIO NuM 'co Nae AstuM tum; erit rursiis ex aequali , ut CL quadratum ad CG quadratum, ita rectangulum ALC ad rectangulum AGBi S propterea, subtrahendo

terminos secundae rationis ex terminis primae,

erit etiam , ut CL quadratum ad CG quadrais .. tum , ita rectangulum ACL ad AC quadra. tum, hoe est , ita CL ad AC i proindeque tres rectae CL, CG , CA continue proportionales

erunt.

N. IU. Inde vero sequitur prἰmο , quod si e P t M tu piinet s A , & Ε ducantur rectae AR, EI, ipsis iam is EG , AM parallelae , quarum prior AK con et veniat cum EF in puncto R, Si altera EI cum Fιμ 3 AB in puncto I; triangulum EGI sit aequata trapetio AGΕΚ .

Est enim ex ostensis , ut CL ad CG , Iis CG ad CA. Sed CL est ad CG,ut Co ad CEi

sive etiam , ut CA ad CL Quare erit ex aequaἀli, ut CG ad GA , ita CA ad CI: & propterea. quum tres resitae CG , CA , CI snt continua proportionales erit quoque, ut CG ad CI, ita CG quadratum ad CA quadratum. Iam , propter communem altitud nemtriangulorum CEG , CEI , CG est ad CI , ut est triangulum CΕG ad trIangulum CEI iItemque, ob similia triangula CEG, CKA,CG quadratum est ad CA quadratum , ut trianguωlum CEG ad triangulum CKA . Quare erie, rursus ex aequali , ut triangulum CEG ad triangulum CEI, ita idem triangulum CEGad triangulum CKA .

Hinc triangula duo CEI , CRA aequalia erunt inter se: & propterea , dempto ebl iis communi trianaulo CEG , supererit trianguΑ

176쪽

lum ΕGI aequale trapetio AGΕΚ. Et si aulais . ratur adhuc commune trapetium AGEX ; remanebit quoque triangulum XAI aequale triangulo XΕΚ. V. Iisdem positis, sequisursecundo, quod triangulum AOΚ sit aequale trapetio ΕΟ AI. Hum μι--Εst enim ex ostensis , ut CL ad CG , ita

CG ad C A . Sed CL est ad CG, ut Co ad CE ; itemque CG est ad CA , ut CE ad CΚ.

Quare erit ex aequali, ut Co ad CE , ita CEad CK : S propterea, quum tres rectae CO, CE , CK sint continue proportionales , erit quoque , ut Co ad CK, ita Co quadratum,d CE quadratum,

Jam , propter communem altitudinem

triangulorum CAO, CAΚ , Co est ad CK, ut est triangulum CAO ad triangulum CAΚ, Itemque, ob similia triangula CAO, CIE, Coquadratum est ad CE quadratum, ut trianguis tum C AO ad triangulum CIE . Quare erit rursuS ex aequali, ut trianguium CAO ad triangulum CAK , ita idem triangulum Goad triangulum CIE. Hinc triangula duo CAK , CIE aequalia erunt inter se: proindeque,dempto ex iis comis muni triangulo CAO , supererit triangulum AOΚ aequale trapetio EOAI. Id vero erui quoque potest ex aequalitate triangulorum X AI, XΕΚ superius ostensa . Nam, addito iis communi trapetio AOΕX , fiet trapetium EoAI aequale triangulo AOK. VI. Capiatur porro in hyperbola punctum vi. quodvis aliud P, ex quo ducantur ad diame.

trum AB duae aliae rectae PS, PQ, ipsis EI, , .m.

177쪽

3EcTIO NuM CONICA Ru M. EG parallelae. Et facile erit ostendere , quoa' triangulum P. su etiam aequale correspondenti trapetio AQRK. Quum enim similia snt triangula CAS. CGE ; erit, ut CA quadratum ad CG quadra tum , ita triangulum GK ad triangulum

CGE. Quare , subtrahendo antecedentes ex consequentibus, erit etiam, ut CA quadratum

ad reetangulum AGB , ita triansulum CAΚad trapetium AGEK. Eadem ratione, quum similia snt trian. gula CΑΚ , CQR , erit, ut CA quadratum ad CR quadratum , ita triangulum CAΚ ad

triangulum CQR . Unde, subtrahendo anteis cedente4 eκ consequentibus, erit quoque , ut

CA quadratum ad rectangulum AQB , ita triangulum CAK ad trapetium A QRK.

Hinc autem , Per aequalitatem ration sordinatam, erit pariter , ut rectangulum AGBad rectangulum Aus , ita trapetium AGEΚad trapetium AQRΚ et adeoque, quia, Propter hyperbolam, rectangulum AGB est ad rectangulum AQB . ut EG quadratum ad PQ quadratum , erit ex aequali , ut EG quadratum ad P quadratum , ita trapetium AGES ad tra . Petium AVRK. Et quoniam ex construmone parallelae sunt inter se , tam duae EG . PQ, quam duae EI , PS a triangula duo EGI , PQS similia erunt. Unde . quum sit , ut EG quadratum ad PQ quadratum, ita triangulum EGl ad triangulum PQS.; erit rursuε ex aequali , ut triangulum EGI ad triangulum Ρα, ita tra

178쪽

sum est aequale trapetioAGEΚ ἔ ita quoque erit triangulum PQs aequale trapetio AQR K. Notetur autem hic velim , quod si punctum P sumatur in hyperbola opposita , quae

transit per verticem alterum B ἔ tunc loco tr

petii AQRΚ capienda sit differentia trianguisiorum C AK , CQR , quam in omni casu trais petium illud adaequat. Et demonstratio adhuc

est eadem.

VII. Denique , si recta PS, ipsi EI paral-

Iela , conveniat cum recta EF in puncto V. malis negotio seudemus quoque , quod trianis ulum P VR sit aequale correspondenti trape tio EVSI. Ponamus etenim Primo , quod punctum Fio. 3r.

S sit supra verticem A , & quod punctum P existat inter Α, S E . Qitia igitur triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AG ΕΚ . Striangulum PQS aequale trapetio AQRΚ i si

ex triangulo austratur triangulum , ex trape intio trapetium, ex utroque autem commune

trapetium PQGZ , supererit trapetium ΕΖSI aequale trapetio PZER : proindeque , addito communi triangulo EZU , fiet trapetio EVSI aequale triangulum P VR. Ponamus secundo, quod punctum s sit Fιο-ῖ quidem supra verticem A , sed quod punctum it ad alteram partem puncti E relate ad eundem verticem A . Et rursus, quia triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGEΚt addito communi trapetio EG m, fiet trapetium EI QR aequale trapetio AQRΚ, sive etiam ' triangulo P. et S proinde, dempto communi

179쪽

reo SECTIO NuM CONICARUM ni trapetio VSQR , fiet trapetio ΕVSI rudi sus aequale triangulum P VR. Fio. et r. Ponamus denique , quod punctum s sit Infra verticem A . Et quoniam triangulum PQS ostensum est aequale trapetio AVRR: addito,vel dempto communi trapetio VSP, set triangulum P VR aequale trapetio ASV K. Sed, propter aequalitatem triansulorum X ΕΚ, XAI, superius ostensam, trapetium ASVΚest aequale trapetio ΕVS l. Quare etiam triangulum P VR aequale erit trapetio EUSI. Hic quoque notare oportet , quod spunctum P capiatur iu hyperbola opposita ;tunc loco trapetii EVSI sumenda sit disserentia triangulorum CEI , CVS , quam in omni casu trapetium illud adaeqxiat. Nec diversa erit

demonstratio.

VIII. His praemissis, facile modo erit osten-misa . .is dere , quod sit diameter Θperbolarum Opposita- qualibet,ducta per centrum,ct ad earo ad Θν.j: terminata . Ut enim talis esse possit, duo qui- requiruntur . Primum , ut hi secet rectastaintaiamε- omnes,alicui aequi distanter ductas, S utrinquet r m. ad eandem hyperbolam. Deinde, ut quadrata ex semissibus istarum rediarum sint, ut rectangula , quae sub correspondentibus ipsius portionibus continentur.

Fio et i Urum utrumque facili negotio de- ' monstrabitur . Quantum enim ad primum , sit

EF recta quaevis ducta per centrum C , eaque hi secet in O subtensam AM, pertinentem adverticem A diametri principalis . Dico , eandem EF secare quoque bifariam in V , quamvis aliam re tam PP , quae ipsi AM parallela,

utrim

180쪽

ELEMENTA. 16 Lutrinque ad unam hyperbolarum terminatur. Posicis enim omnibus , ut supra erit utrumque triangulorum P UR, PUR aequatuita petio EUSI .Qtiare aequalia erunt inter se ipsa duo triangula PVR, PUR. Sed eadem triangula, vel tu similia , sunt, ut quadrata laterum homologorum P U , PU. Itaque, late ia isthaec homologa PU , PV erunt pariter se. qualia ; consequenter tota PP buatiam se erit in V.

IX. Quantum vero ad secundum , nec IX. etiam magno mentis acumine opus es, at illud ostendendum . Maneant enim Omnia adhuc, ut supra. Et dico insuper, quadrata ipsarum AO, ιον ἐιaa evi u-P V esse inter se , ut red tangula correspondentia EO F, EU F. Quum enim similia sint triangula CLI, COA ; erit , ut CE quadratum ad Cca quadratum , ita triangulum C EI ad triangulum . COA . Quare , subtrahendo antecedenteS EX consequentibus, erit etiam , ut CE quadratura

ad rectangulum EOF , ita triangulum CEI ad trapeti uni EOAl. Eudem ratione , quum similia sint triangula CEI , CVS 3 erit , ut CE quadratum ad CV quadratum, ita triangulum CEI ad trian gulum CVS . Unde,subtrahendo antecedentes ex consequentibus , erit quoque , ut C E quadratum ad rectangulum EVF , ita triangulum

C Et ad trapetium EVSI.

Hinc autem, per aequalitatem rationiS ordinatam , erit pariter , ut rectangulum Eo Fad rectangulum EVF , ita trapetium EOAI, ad trapetium LVSΙ: adeoque , quia trapetia. Tom. I. L ista