장음표시 사용
181쪽
a SECTIONUM CONICA Ru Mista ostensa sunt aequalia triangulis A ΟΚPUR; erit ex aequali, ut triangulum AOK ad triangulum P VR , ita rectangulum ΕΟFad tedtangulum EVF. Quoniam vero ex constructione parali Iae sunt inter se, tam duae ΑΚ,PR, quam duae AO, PU ι triangula duo ΑΟΚ , ΡVR similia Orunt. Quare , quum sit, ut ΑΟ quadratum ad PV quadratum , ita triangulum AOK ad triangulum P VR ; erit rursus ex αquali, ut Ao quadratum ad P U quadratum . ita rectangulum Eo F ad rectangulum ΕVF.
X. X. Non inscior , illud hic a nobis assumptum esse , ut recta, quae intra unam Ibpera kaiarum fuΘ loriam fuit ense ducitur aquidistanter , utrinis αυι'ana que ad eandem ιγperbolam terminetur . Sud .. - haud dissicile erit , tum istud osteiidere, tum
is, narων . alia etiam ratione probare, quod rectae omnes,
Fio. 38. ipsi AM aequid istantes , & ad eandem hyper-holam utrinque terminatae , bifariam secentura recta EF. Jam enim de rectis , quae ducuntur intra segmentum hyperbolicum ΑΕM, res est extra omnem dubitationis aleam posita . Itaque ducatur extra illud segmentum recta quaevis P V, ipsi AM parallela . Et, si seri potest, occurrat hyperbolae tantum ex una parte in P. Extendatur ea ad partem aliam versus V ,&fiat VP aequalis ipsi PU . Ostendendum est igitur, hoc aliud punctum P esse etiam in hypei bola. Ponantur omnia , ut supra . Et quoniam duae PV. VP inter se sunt aequales, erit trian
182쪽
se triangulo PUR., quod cxistit ad partem alteram . Sed illud , propter hyperbolam , est aequale trapetio ΕUSi , sive etiam ASU Κ. re uidem trapetio ASVΚ hoc etiam aequale erit i Sc propterea utruntque triangulorum P. erit aequale correspondenti trapetio
AQRΚ ; eritque adeo , ut triangulum P a Sad triangulum , ita trapetium AQRΚ . ad trapetium AQR K. Jam , ob similituditiem trIangulorum
PQS. Pin . triangulum P in est ad triangulum P in , ut PQ quadratum ad PQ quadratum. Itemque, ob diametrum AB, hi lectam incentro C , trapetium AQRK eit ad trapetium A QRΚ , ut rectangulum AQB ad rectanguis tum AQB . in re erit ex aequaιι, ut ΡQ quadratum ad PQ quadratum, ita recta lagalum AQB ad rectangulum Auri : S propterea, sicuti punctiam unum Ρ est in hyperbola , sic etiam locabitur in hyperbola punctum aliud P. Verum quidem est , quod recti P V ducta sit a nobis intra eandem illam hyperbo tam , in qua reperitur si leuia A M. Sed facile erit , eandem demonstrationem ad eas etiam rectas transferre , quae intra hy ,erbolam aliam duc uimur aequid istanter ipsi, AM , si recordemur , quod in eo casu loco trapetii
AQRΚ capienda sit disserentia triangulorum CAΚ, CQR r, di loco trapetii EUM differentia trianguiorum CEI, CVS . XL Non ergo dubitari potest, quin recta X
EF . ducta per centrum C, ct utrinque ad hy- ι-- νὰ iaperbolas oppositas terminata , sit diameter ipsarum . Nam & bifariam dividit rectas Oin- ριarum alia 'L a neSa
183쪽
tri σης ttir . Et quadrata ex semissibus istarum recta....Mων. rum servant inter se eandem rationem , quam
FiG. 3 r. habent rectangula , sub correspondentibus 3 t. ipsius EF portionibus contenta. Sed facile erit etiam ostendere , quod praeter eas, qua transeunt per centrum ad I perbolas 'oppositas terminantur, nulla alia resta linea pο sit esse diameter illarum. Ut enim recta aliqua esse queat diameter hyperbolarum oppositarum , illud primo requiritur , ut bifariam secet recitas omnes, alicui aequi distanterdudias, S ut linque ad unam ex ipsis hyperbolis terminatas . Unde , si ostendi possit, accidens istud iis tantummodo rediis competere quae transeunt per centrum , & ad hyperbolas oppositas terminantur 3 iam veritas ejus , quo agitur , liquido constabit. Id vcro ostendetur in hunc modum . Sit ΤY recta positione data , cui debent esse parallelae eae omnes, quae bifariam a diametro dividuntur. Jamque, si ea parallela est ordin iis diametri principalis AB ; secabit diameter illa AB bifariam rectas omnes , quae ipsi TΥ te quid istantes , utrinque ad unam hyperbolarum oppositarum terminantur.
Quod si autem recta TY non si paralleis Ia ordinatis diametri principalis AB i utique ejus positio debet esse talis , ut quae ei intra
unam hyperbolarum ducuntur parallelae , ad eandem hyperbolam utrinque terminentur. Aliter enim nulla erit diameter , cujus ordiana tae parallelae Ierunt rectae TΥ , quum ordis
184쪽
. ELEMENTA. natae cuiusque diametri debeant utrinque ad eandem hyperbolam terminari. Id vero quum ita sit, necesse est, ut recta AM , ducta ex vertice A aequid istanter ipsi TY , secet hyperbolam, transeuntem per eundem verticem A, in alio puncto M. At, rectas omnes , ipsi AM parallelas, Sc utrinque ad
eandem hyperbolam terminatas , ut modo viis dimus, non alia hi secat recta, quam quae transit per centrum C, ct bifariam dividit subtensam ipsam A M. XII. Sed non abs re erit, hic paucis in- XII. ere, qualis esse debeat sarae recta positio,
ut quae ei ducastur aequidsanter intra anam recta , Hyperbolarum, atrisque ad eandem Oper,
Sit igitur TY recta data , quae non sit parallela ordinatis diametri principalis AB. Et
oporteat, positionem definire, quam ea debet v. habere , ut tectae , eidem aequi distanter ductae intra unam hyperbolarum, possint ad eandem hyperbolam utrinque terminari. Ducatur ex vertice A recta AX, ipsi TY parallela . Et siquidem ista hyperbolam, transi euntem per eundem verticem A , secet in alio puncto M ; per ea , quae paulo ante ostensa sunt. Omnes rectae, quae intra unam hyperbolarum ducuntur aequid istanter ipsi AM , cum eadem hyperbosa utrinque convenient. Jam ex superius ostensis recta AX sectia hit in puncto alio M hyperbolam,transeuntem Per verticem A , quotiescumque portio DF, quam ea abscindit ex recta DE , diametro BR, Parallela, minor est ea, quae media est propor-
185쪽
Democrra statis Aeteris mination spiscedent a.
166 SECTIONUM CONICARUM tionalis inter diametrum AB , & paranaetrum ejus AD. Unde non alia esse debui positio ipsius TY , quam ut redia AX , ei aequiuis anter diacta , qu sceniodi potiionem ex ipsa DE
ahlcindere valeat. XIII. Neque vero arduum erit, et eritatem
hujus determinationis ostendere . Ponamus etenim primo , portionem DF mediana illam proportionalem adaequare , punictiimque adeo M, in quo recta AX Iccubat hyperbolain , transeuntem per verticem A . in infinitum
Si fieri potest, recta HR , ipsi ΑX aequi-
distanter ducta , secet aliquam hyperbolarum, puta candem illam . quae transiit per verticem A, in duchus pundiis H, S Κ , ex quibus ordinatae ad diametrum demittantur GI, KL. Et producatur eadem HR , usque donec conveniat cum diametro AB in pundito R.
. Qitia istitur DF cst: media proportionalis inter AB , S AD; erit DF quadratum aequale rectangulo DAB:& propterea AD quadratum erit ad DF quadratum . ut est idem ADqupdratum ad rectangulum ADB et sive etiam, ut est AD ad AB. Jam AD quadratum .est ad DF quadratum , ut est HI quadratum ad RI quadratum; itemque AD est ad AB , ut est idem HI quadratum ad rectangulum AIB . Quare . qutunsi RI quadratum aequaIe rectangulo AIB a. erit, ut BI ad RI, ita Ri ad AI; & dividet,do, ut BR ad RI, ita AR ad AI. Simili ratione ostendemus , R L quadra tum esse aequale rectangulo HLBMitq;adeo BLessu
186쪽
esse ad RL , ut est RL ad AL; sive etiam clividendo, BR esse ad RL , ut est AR ad A L.
Unde, quum ordinando sit, ut RI ad RL , ita Al ad AL; erit converte iido , ut Rl ad I L . ita AI ad eandem I L. Quod fieri non potest. Ponamus secundo , portionem DF majorem esse ea, quae media est proportionalis inter diametrum AB,& ejus parametrum AD: ita , ut plinctum M migret in hyperbolam oppositam . Quumque in hoc casu recta AX magis ad diametrum inclinetur; multo minus reincta HR , ei aequid istanter ducta , secare potetit in duobus punctis eandem hyperbolam. XIV. Hinc autem Hlud prono alaeo xiv. tur , quod si intra aliquam hyperbolarum op
positarum , velut intra eam , quae transit per eoναι.ae .
verticem A , ducatur rem HK utrinque ad eam terminata , nec aequia istans ordinatis dia- Fis. 33.
metri AB ; semper ex vertice A duci possie recta alia AX , quae ei parallela , secet in puncto alio eandem hyperbolam. Si enim fieri potest , recta AX non se eet In puncto alio hyperbolam, transeuntem perverticem A . Itaque per ea , quae mox ostensa sunt, etiam recta ΗΚ, quae ei est parallela . secabit in unico puncto eandem hyperbolam. Sed ex hypothesi recta ΗΚ utrinque ad hyperbolam illam terminatur; adeoque eam secat in duobus punctis. are etiam recta AX eonveniet cum hyperbola illa in puncto alio . Id vero quum ita sit, peripicuum est quoque , non poste rectam aliquam utrinque ad unam hyperbolarum terminari , nisi Omnes aliae, quae ei ducuntur aequidistantes , utrinis
187쪽
ic SECΤIONuM CONICARUM que etiam conveniant, vel cum eadem hypere hola , vel cum ejus opposita. Pliod tamen intelligi debet , ubi aliae istae rectae intra aliquam ipsarum hyperbolarum ductae fuerint.
XL praecedenti capite, hyperA. iamεεν bolam , praeter cam diametrum , quam in ipso cono sirtitur , alias etiam innua. meras habere , quarum ouaeli t transit per
. re isti ,-- centi um s Sc tum ad ipsam, cum ad ejus oppo
sitam terminatur. Sed haram diametrorum , operae pretium est, ut paulo distinctius prosequamur. Quem in finem sit AB diameter principalis hyperbolae, centrum Pun ctum D ,& EF alia quaevis diameter. Primo igitur , quemadmodum diameter principalis AB suas habet ordinatas ; ita suis quoque refertur ordinutis diameter alia EF, Sunt autem ex ostensis ordinatae istae rectae iutae OmneS, quae ducuntur aequid istanter subistensae AM , quam ab ipsa EF suppono bise. Etam in puncto O. Deinde , quemadmodum quadrata ordi ratartim diametri principalis AB sunt inteese, ut rectangula , sub correspondentibus ejus portionibus contenta 3 ita S quadrata ordin
188쪽
tarum alterius diametri EF sunt proportiona, dia rectangulis , quae continentur sub portionibus correspondentibus ipsius EF. Unde porro , si per vertieem E dueat uerecta ΕΗ ordinatis aequidistanter , quae sit talis longitudinis , ut quadratum uniuS ordina-- ae Ao sit ad rectangulum EOF , veluti est EH ad EF ; erit in hae eadem pariter ratione squadratum euiuslibet alterius ordinatae ΡUad te tangulum EVF.
- Εt quemadmodum rectam istam ΕΗ ap. pellare licebit parametrum diametri EF ; ita si jungatur FH , cum qua conveniat in X ordia nata quaevis P U ; erit PU quadratum aequale rectangulo EUX , ct consequenter majus re Etangulo , quod fit ex para metra ΕΗ in ahia scissam correspondentem EV-Quin & excessus, ipsus P U quadrati super rectangulum HEU erit similiter rectanguialum aliud quod habens pro sua latitudIne ean, dem abscissani EU,est simile, similiterque positum ei, quod fit ex parametro ΕΗ in ipsam
H. Haro quum ita sint, perspicuum est,
omnes illas proprietates, quae Θperboue compe ει - - tant relate ad diametrum principalem , obtinere etiam , quam a s aliam quamvis diametram νεrisis δε-
perbola ipsa refertur. Hinc ulterius , sicliti describitur hyperabola in plano, per solas rectarum longitudines, data magnitudine. S positione, tam diametro principali AB, quam paeametro ejus AD t se etiam describi poterit eadem hyperbola , ubi magnitudine, positione datur, tum alia quo
189쪽
vis diameter EF , cum illius parameter EH. Et sicuti recta AD , ducia per verticem A ipsius diametri principalis AB, aequi distan- ter suis ordinatis , contingit hyperbolam in solo puncto A ; ita etiam recta ΕΗ, ducta perverticem E alterius cujuslibet diametri EF, similiter ordinatis suis aequid istanter, dumtaxat in puncto E tanget hyperbolam. Quin imo , sicuti omnis alia recta , quae ducta ex eodem vertice A,angulum constitute cum AD, non solum in A , sed in alio quoque puncto secat aliquam hyperbolarum oppositarum; sic pariter quaelibet alla recta , quae
ducta ex eodem vertice E angulum continet' cum ΕΗ , non modo in Ε, verum etiam in
puncto alio occurret alicui ex iisdem hyper bolis. Unde etiam , si in plano ipsarum hyper holarum detur positione recta aliqua,quae non sit parallela ordinatis euiuslibet alterius diametri EF, semper ex vertice E duci poterit recta alia, quae ei parallela, unam ex iis hyperbolis secet in alio puncto ς quum non aliter esse
queat illi parallela , nisi angulum contineat cum ΕΗ . iii. III. Sed ,his ita se habentibus, liquet quo- sicuti ex diametra priscipali transire νὸν M aia. Iicuit ad alias diametros; sic vici ex qualiabet alia diametro , tum ad ipsam principalem,
omnea anari cum ad alias omnes progredi licebit.
Nam semper ac eaedem sunt diametrorum omnium proprietates , theorema illud fundamentale , quia praecedenti capite ostensum est relate ad diametrum principalem, Posterit
190쪽
ELEMENTA. I Iterit eadem omnino ratione demonstrari de quavis alio diametro EF.
Itaque , si per centeum hyperbolae C ducatur iecta aliqua AB , quae hi secet in G subistensam PE , pertinentem ad verticem Ε, & dminissa ad diametrum EF oedinata PU , lini cper G parallela agatur GR., erit , ut
Unde , quam omnes illae aequalitates etiangulorum , trapetiorumque . quas superioti capite prosecuti stamus relate ad diametrum principalem, obtineant quoque respecta ipsius diametri EF a facile erit ostendere , reis
Aasti tuam Asi esse diametrum quoque ipsius
χyperbolae. lnde enim conscitur , Ipsam ΑΒ leeare hintiam rectra omnes , aequid istantee ductas subtensae PE, ae utrinque terminatall ad unam hyperbolarum; iteinque quadrata ex semissibus istarum rectarum proportionalia esse rectanguintis , quae sub coelespondeatibus portionibus ipsius AB conti irentur. IV. Habent igitur omnes at ae hyperbolae diametti easdem omnino proprietat
cum diametro principali ue Ee ex qualibet earum , tum ad ipsam prIncipalem . cum ad alias omnes progredi licet . Sed hyper in diametri , praeωr hactenus recensitas proprie-
rates . plures alias commuises Babent, qua1 non abs re erit hic breviter ostensas exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est
Ostendendum , quod quisu set diameter nos alias rectas, utrinque ad unam hyperbolarum suevisatas , dividat Mariam , quam γα.