장음표시 사용
191쪽
r a SECTIONUM eo NICARUM dinatim ad ipsam diametrum applicantur. Sit enim AB hyperbolae diameter quae vis , sitque etiam AB recta illa, cui omnes pio.32. ejus diametri ordinatae sunt parallelae. Dueatur intra unam hyperbolarum recta P P , quae utiliaque ad hyperbolam illam terminata, non sit ordinatim applicata dIametro AB . Dico, eam ab ipsa diametro AB non posse secari bl-fariam .
Si enim seri potest , secetur tecta PPadiametro AB bifariam in S . Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB 3 per ea, quae ostensa sunt in calce capitis praecedentis, duci poterit per verticem A resta alia , quae ipsi PΡ parallela, secet in puncto alio hyperbolam,transeuntem per eundem verticem A. Ducatur itaque recta ista, Se sit A M. Tum,hi sectaea in puncto O, jungatur Co, quae extendatur usque donec occurrat hyperbolis oppositis in punctis E , & F. Quia igitur recta EF transit per centium C , Et biseeat in o subtensam AM, pertine tem ad verticem A a per superius ostensa, secabit quoque bifariam in V rectam PP , ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta P Psecatur bifariam in S . Quare eadem PΡ bisecta erit, tam in puncto S , quam in puncto V. Quod fieri non potest. V. Ex eo autem, quod quaelibet diameteraista bonis eas tantunimodo rectas,utrinque ad unam hyperbolarum terminatas, bifariam dividat, quae inam.ier ordinatim ad ipsam diametrum applicanturi sequi tur per contrarium, ut si aliqua diametar- .isecet rcuam oliquam h atris as urinnato
192쪽
E L E M E N T A. 1 3aὰ unam hyperbolarum , hac se debeat diam iri illius ordinata. Unde ulterius consequitur , ut si re aliqua bisecet alias duas aquidistanter , qua νum quaelibet ad unam Θperbolarum sit utrinque terminata , ea esse debeat diameter , atque odeo transire per centrum. Nam aliter , du-
per punctiim bisectionis unius ex rectis aequid istantibus , ct centrum recta alia , haec velut diameter bisecabit quoque rectam aliam sequid istantem . Quod fieri non potest. Id vero quum ita sit, facile erit, cujus tibet datae Θperbolae , site centrum , sive diametrum aliquam reperire. Neque enim aliud fieti debet, quam ducere intra datam hyper-holam , vel etiam intra ejus oppositam rectas duas aequid istantes, & utrinque ad eandem terminatas. Nain,sicuti recta, quae eas hi fariam
dividit, diameter erit; se & punctum, quod
hi secat diametrum istam , eiusdem centrum exhibebit. VI. Speciatim In omni hyperbola reperire vi. licet diametrum , quae cum fuis ordinatis reis, Hos angulos constituat . Inveniatur squidemiptas datae hvperbolae diameter quaevis EF,
ordinatae debent esse parallelae . Jamque , si angulus FE H fuerit rectus , erit ipsa EF diamein I ιιuae. ter optata . Quod si secus contigerit, inventia FIG. 36.emus diametrum, quam quaerimus, sequenti
Super diametro EF versus eam partem. In qua recta ΕΗ constituit cum eadem EF anissulum acutum, describatur semicirculus EPF,
193쪽
s'. SECTIONUM CONICARUM qui necessaris secabit hyperbolam , transeuntem per verticem Ε , in puncto aliquo Ρ -Jungatur deinde redia PE , quae secetur bifariam in puncto G . Agatur porro per punctum istud G diameter AB , atque haec eam, quam quaerimus, exhibebit.
Ob tectas enim P Ε, EF bisectas in punis ctis G, S C, GE est ad G Ρ, ut CE ad CF. Quare , juncta recta PF, erit diameter AB ipsi PF
parallela ; adeoque angulus CGE aequalis erit angulo FPE . Sed, propter semicirculum , ai gulus FPΕ eli rectus Itaque etiam angulus CGE tectus erit; & consequenter diameter Aticum suis ordinatis rectos angulos constituet . Quod autem semicἰrculus, descriptus si per diametro EF versus eam partem , in qua tecta EH constituit cum ipsa EF angulum acutum decate debeat hyperbolam, transeuntemper verticem E , in puncto aliquo P ; facili quidem negotio Ostendetur. Quum enim angulus FE H non sit major Omni angulo acuto rectilineo, potest quidem ex puncto E duci recta alia , quae constituat cum eadem EF angulum acutum , majorem angulo FEH . Sed recta ista secare debet, tum
hyperbolam , transeuntem per verticem Ε, cum ipsum semicirculum . Quare semicirculus, & hyperbola etiam inter se mutuo convenient. VII. In qualibet igitur hyperbola existit diameter , quae rectos cum suis ordinatis ania gulos constituit . Diametrum istam vocab-mus in posterum axem ipsius hyperbolae . Et facile erit ostendere, quod circulus, super axe Delut diametro descriptas, medius cadat knter
194쪽
atramque hyperbolam , nec alii istorum oecuris raro possit. Sit enim AB axis hyperbolarum opposi- Fio. et '.
tarum , super quo velut diametro circulus de scribatur . Dico , circulum istum nulli earum hyperbolarum Occurrere. Ouoniam enim axis AB rectos eum suis ordinatis angulos constituit I perpendiculares , quae super ipso eriguntur ex punctis A, & B, velut parallelae ejus ordinatis, dumtaxat in punctis illis contingent hyperbolas. Sed eaedem perpendiculareS cadunt etiam ex tra circulum . Quare mediae erunt inter circulum , S hyperbolas , circulo adjacentes: proindeque ipse circulus cum neutra hyperinholarum conveniet.
VIII. Jam , ut aliqua dicamur de angulis. suos aliae hyperboia diametri cum ordinatis suis constituant, sit AB axiS ι pilus nyperbolae; p.,3.ia inis & ducta ex vertice ejus A subtensa quavis Α M, sit EF diameter, quae bisecat in o istam .. ιιιλαι. subtensiani , eamque velut suam ordinatam FIO. 37. agnoscit; iungaturque B M.
Quia igitur AC est ad CB , ut AO ad OM , erit B M ipsi EF parallela et proindeque
angulus AMB erit aequalis angulo AOC, quem diameter cum ordinata ad plagam unam, constituit . Unde alἰae hyperbolae diametricum ordinatis suis , saltem ad partem unam, non alios angulos continebunt, quam quos Continent rectae , quae ex verticibus axis ad ipsa byperbolae puncta ducuntur. Nullum vero horum angulorum rectum
esse posse, scit quemlibet acutum existere ue jam
195쪽
Fio. 37 ν 6 SECTIONUM CONICA Ru Mexinde consequitur , quod circulus , qui M'. scribitur super AB , velut diametro , ni edi uxcadat inter ipsas hyperbolas , nec ulli earum
occurrat . Eosdem autem minore1 semper , ac minores fieri , prout ipsorum vertices magis , atque magis ab ipso axe recedunt , tan demque prorsus evanescere , quum infinite
distant ab eodem axen haud difficile erit ostenderes
Si enim , d missa ad axem illum AB oris dinata MN , capiatur CQ aequalis CN , de ad punctum Q ducatur ordinata alia PQ.; ob aequalia rectangula AN B, AQB , erunt etiam
aequalia quadrata carum ordinatarum MN,
P proindeque segmentum circuli , transiens per tria putasta A, M, B, transibit quoque per. punctum P. Unde , sicuti segmentum istud eo majoris fit latitudinis , quo puncta M , & Ρmagis ab axe recedunt ; sic & ipsi anguli AMB , APB eo minores evadunt , quo mi.
nor est suorum verticum ab eodem axe diis stantia. IX. Sed , ut ad communes diametrorum proprietates rursus revertamur, illud etiam omnibus accidit , ut ordinata, qua ad duas quascumque diametros ab alternis earum vertia cibus ducuntur , dividant ipsas diametros is, eadem ratione.
Sint enim AB , EF duae qti vis diametri. hyperbolae. Et ducatur ex vertice Ε ordinata. FG ad diametrum AB, S ex vertice A ordinata Ao ad diametrum EF. Dico, fore,
Extendatur ordinata una AO,usque do
196쪽
, L E M E N T A. ' i'ν 'nec occurrat hyperbolae ad partem' alteram in
M ; tumque agatur per punctum o recta OL, ipsi EG parallela, quae conveniat cum diame tro AB in puncto L. Et quoniam subtensa AM pertinet adverticem A , eaque dividitur hi fariam per rectasin EF, transeuntem per centrum C; erit exsuperius ostensis, ut CL ad CG , ita CG affCA . Unde, quum CL sit ad CG , ut est Coad CE ; erit ex aequali , ut CG ad CA , ita
CO ad CE . . Qusniam vero invertendo CA est ad CG , ut CE ad Co ; subductis aut ecedentibus ex consequentibus, erit, ut CA ad AG, ita CE ad EO; S sumendo antecedentium dupla , erit etiam , ut AB ad AG, ita EF ad ΕΟ . Unde demum componendo erit, ut BG
X. Huius autem proprietatis ope , sacile κ. erit, in B perbolis oppositis cuiuscumque diametri positionem fuarum ordinatarum definire. Da Sit enim AR diameter , cujus ordinatae quaeruntur . Ducatur intra unam hyperbolarum recta quaevis P P . Tum , secta ea bifa- F10-ῖ7 riam in V , iungatur CV, quae extendatur in
Agatur porro ex vertice A recta AM . ipsi P P parallela , quae diametro EF occurrat in o. Et siquidem AB subinde protrahatur in G, ut BG sit ad AG,veluti est FO ad ΕΟ; erit EG ordinata una ipsius AB . Si enim EG non sit ordinata Ipsius AB , sit ejus ordinata recta ΕΗ . Et quoniam ad diametros AB , EF ex alternis earum vertici- Tom. I. M hus
197쪽
1ν SECTIO NuM CONICA Ru Mbus ductae sui it ordinatae EH , ΑΟ ; per proprietatem jam ostentam , erit, ut Bri ad AH,
Hinc , quum ex constructione Fo sit ad Eo , ut est BG ad AG ; erit ex aequali, ut BG ad AG , ita BH ad AH : Sc propterea , quum dividendo sit . ut AB ad AG , ita AB ad AH ; erunt duae AG , AH aequales inter se .
Quod fieri non potest. . xl. XI. Commune itidem est accidens dia..uia: tis metrorum omnium , ut rectae , eat esu ue ρο πω verticibias per panctam aliouod Θperbolae du-
ιe quadrato ipsius ordinata. Fio dismetςr aliqua hyperbolhr.' Et , ductis per punctum quodvis E ipsius hyperbolae rectis AX, BZ, conveniant eae cum aliqua ejus diametri ordinata MN in punctis P,& Q. Dico , rectangulum PNQaequale esse quadrato ipsius MN. Ducatur siquidem eκ puncto E ad eandem diametrum Ad ordinata alia EG ; eritque EG quadratum ad rectangulum AGB in ratio.. Ne composita ex LG ad AG, & ex EG ad BG;
sve etiam in ratione composita ex PN ad
Jam duae istae rationes componunt pari. ter rationem, quam habet rectangulum PN ad rectansulum AN B . Quare erit ex aequali,
ut EG quadratum ad rectangulum AGB . it rectangulum PNQ ad rectangulum AN B. Ob hyperbolam autem , EG quadratum est ad rectanguliim AGB , ut MN quadratum ad
198쪽
ELEMENTA. I sad rectangulum AN B. Itaque erit rursus exaequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita rectanguluni PNR ad idem rectangulum AN B : & propterea MN quadratum aequale erit rectangulo PN
De conjugatis diametrorum , perbolae ; π de curvis, ad
1. 1 N hyperbola, non secus ac in ellipsi, Lit unaquaeque diameter suam habet conjugatam . Sed conjugatae istae diametri, etsi transeant per centrum aequidistanter Rrdinatis diametrorum , ad quas velut cunjugaim reseruntur ἔ ad hyperbola tamen oppositas minime terminantur, sed extremitatibus suis binas alias hyperbolas constituunt, quae priorum conjugat' dicuntur. Quod te itur hae in re primo nobis est ostendendum , illud est, quod si per centrum perbolarum oppositarum recta ducatur , parallela ordinatis alicujus diametri, ea cum πςutra Θperbolarum possit convenire. Id vero facili quidem negotio ostende- FIG. 39. mus. Sit enim AB hyperbolarum oppositarum diametur aliqua , dique etiam C centrum earumdem. Ducatur per centrum C recta Κ L. parallela ordinatis ipsius diametri AB . Dico, rectam istam XL eum nulla hyperbolarum posse convςntre. M a Nam,
199쪽
1 o SECTIONUM CONICARUM Nam, si per vertices diametri A , S B du- eantur duae aiiae rectae , iisdem ordinatis aequi- distantes; eae, per superius ostellia,contingunt hyperholas in iis tantummodo punctis, Sc totae cadent extra eas . Sed recta KL interjicitur inter binas illas rectas , & velut iis parallela, easdem numquam egreditur . QSare etiam re Eta KL cum nulla earum hyperbolarum pQ-eterit convenire.
Ex ipsa autem demonstratione perspiacuum est,accidens illud non tantum competere rediae EL , quae ducitur per centrum C aequi distanter ordinatis diametri AB ; sed cuilibet alteri rectae , quae parallela adhuc iisdeniordinatis , transit per quodvis aliud punctum intermedium ipsius AB. Nam, non secus ac rein . cta ΚL , ista quoque interjicitur inter rectas, quae per vertices A , S B ducuntur aequi diis stanter ordinatis diametri AB, nec unquam
r. II. Ostendemus deinde , quod etsi recta,
quae ducitur per centrum hyperbolarum opinamMa . di 'positarum aequid istanter lordinatis alicujus a diametri , cum neutra earum hyperbolarum convenire ; dividat tamen bifariam re-Has omnes, diamerro parallelas, O ad hyperbo-FIG. 39. las oppositas terminatas. Maneant enim omnia, ut supra , Sc ducatur recta VP , ipsi AB parallela , quae conVeis niat cum hyperbolis oppositis in punctis M. S P . Dico , rectam istam MP secari bifariam in V ab ipsa ΚL. Demittantur si quἰdem ex punctis M , Se P ordinatae ad diametrum MN , PQ. Et quo
200쪽
niam istae , velut parallelogrammi M latera opposita , inter se sunt aequales ἔ erutri aequalia pariter rectangula AN B , A quae illarum quadratis proportione corrci pondent.
Hinc, addendo rectangula ista aequalibus quadratis C A , CB , aequalia eriunt quoque tota quadrata CN , CQ ; atque adeo aequalia etiam ipsa horum quadratorum latera CN, Cin Sed, propter parallelogramma CM, CP. duae CN , C sunt aequales duabus M V,P Itaque M V, Ρ U etiam inter se aequales eruntet Et propterea tota PM bisecta erit in V. IlI. Verum quidem est , illud hic a nobis Iti. assumptum esse , ut , diametro psrallela,
quae uni operbolarum oppositarum occurrit, vati.ια, ε debeat quoque cum altera convenire. Sed haud dissicile erit, tum istud ostendere, tum alia minrit,aeis .etiam ratione probare, quod recra , quae duc
tur aequi distanter diametro AB , S ad hype holas oppositas terminatur , bifariam secetur
Sumatur enim in altera hyperbolarum
punctum quodvis M. Tum,demissa ad diamq-tium AB ordinata MN , capiatur CQ aequalisCN . Erigatur deinde ad eandem partem ordi nata alia QP , ct iungatur MP . Dico, rectam istam MP , quae ad hyperbolas oppositas ter minatur , parallelam esse diametro ΑΒ , & Ω- cari hi satiam in U a recta KL. Nam , quum sint aequales inter se, tam duae CA , CB , quam duae CN , Cugerunt Pariter aequales duae AN , Unde aequalia itidem erunt inter se , tam rectangula AN B, AQB , quam quadrata ordinatarum MN, PQ,