장음표시 사용
201쪽
dent: S propterea, quum duce MN , pQ inter se sint aequales , ct parallelae I erit etiam L P diametro AB parallela. Deinde , propter parallelogramma CM, CP, duae CN, C Bunt aequales duabus M GPV . sed ex constructione duae CN , C n.
ter se sunt aequales . Quare etiam inter se ae in quales erunt duae M V , PV: proindeque re- Aa MP , non modo parallela erit diametro AB, sed bifariam quoque secabitur in V a recta KL. IV. Et si autem recta , quae ducitur per centrum aequid istanter ordinatis alicujus dia, bifariam dividat eas omnes , ouae dia-
α πιν νωa metro parallelae , utrinque ad hyperbolas o positas terminantur 3 attamen, nisi ei vertices,
suamque adeo longitudinem praescribamus , multum abest , ut conjugatae diametri vices subire possit, quemadmodum contingit in eru
Praescribendi vero sunt ei vieriiser ea le- ut bifecta in ipso centro, media evadat noportionalis inter diametrum , ad quam refertur , ω parametrum ejus. Nam meminisse oportet, in ellipsi conjugatam cujusquc diametri esse rectam illam , quae ducitur per dentrum ordinatis eius aequid istanter, quaeque bifariam ibidem secta, media est proportionalis inter ipsam diametrum, & parametrunt suam. Itaque , manentibus omnibus , ut supra.
Fis. 39. dicetur recta KL conjugata diameter ipsius An , siquidem duae CR, CL sint aequales ii ter se ἔ tumque etiam tota KL media sit pro
202쪽
ELEMENT'. Is portIonalis inter diametrum AB , ct paramettum ejus AD. Qua ratione quadratum cujusvis ordinatae MN ad rectangulum ei coris respondens AN B , non modo erit , ut AD ad AB , verum setiam , ut KL quadratum ad AB
U. Praescript s verticibus conjugam diametro , si velut ejus orsaratas habere velimus semisses earum rectarum , quae ad hypurbolas oppositas terminatae,bifariam ab ipsa lecantiit; proprietas 'ejus alia quidem erit ab ea , quae competit diametro, ad quam ipsa velut com jugata refertur.
Nimirum aceidens ipsius AB est , ut quadratum cujusque ordinatae MN sit ad rectan. gulum AN B , sive etiam ad differentiam quadratorum CN, CA. ut est KL quadratum ad AB quadratum . Sed proprietas conjugatae KL eit , ut quadratum cujuslibet ordinatae MU sit ad summam quadratorum C U , CK, veluti est AB quadratum ad KL quadratum. Id vero Osteiidetur in hunc modum . Qtradratum ex MN est ad rectangulum AN B, ut est KL quadratum ad AB quadratum ; sive etiam , ut est in quadratum ad CA quadratum . Quare invertendo erit , ut rectangulum
AN B ad MN , suo CV quadratum , ita CA
quadratum ad CK quadratum . Et, addendo terminos secundae rationis terminis primae. erit quoque, ut AN , sive M V quadratum ad summam quadratorum CV, CK , ita in quadratum ad CK quadratum; sive etiam, ita AB quadratum ad KL quadratum . VI. Id autem mirum esse non debet. Neo
203쪽
VI qtie enim semisses earum rectarum, quae ad hy ain. . ia , perbolas Oppositas terminatae, bifariam a coli. O' jugata diametro dividuntur , s uni vera elut
ε iliarum, ova suos habent terminos iu HA
Plane enim ad easdem illas hyperbolas,' in quibus existunt vertices diametri AB, ter. minantur quoque diametri ejus ordinatae. Sed aliter obtinet in conjugata diametro KL. Re.ctae siquidem, quas bisecat,& quarum seniisses ut ordinatas ejus habuimus, suos habent terminos in hyperbolis oppositis ἔ-in iis vertices. ipsius KL minime consistunt.
Hiiic non abs re erit , earum cumarum,
in quibus conjugatae diametri ertices Iocauis tur, determinationem hic aggredi . Hunc in finem , sit EF alia quaevis diameter hyperbo Iarum oppositarum. Et sicuti ipsius AB est KL coniugata diameter; ita alterius hujus EF sit ΡR diameter conjugata . Inquirendum cst ergo , cujus naturae sint curvae illae , quae transeunt per extremitates ipsarum KL , PR. VII. Jam in hac inquisitione , ostende dum es prius sequens Ioeorema. Nimirum, Dis M. quod sicuti diametri hyperbolarum opposita- ω. ..,oia rum AB , EF dividuntur in eadem ratione ab ordinatis EG, AO, quae super iis demittunt uti λ'qQ ex alternis earum veri cibus ς ita ipsae ordina tae EG, AO sint inter se, ut conjugatae ΚL, P R earundem diametrorum. Id vero ostendemus in hunc modum
Quoniam BG est ad AG , ut FO ad Eo; erit
204쪽
divulendo, ut AB ad AG, ita EF ad ΕΟ. Una . de , quia permutando AB est ad EF , tam ut AG ad ΕΟ , quam ut BG ad FO ; compositis
rationibus, erit quoque, ut AB quadratum ad EF quadratum , ita rectangulum AGB ad reis diangulum ΕΟF ς & rursus permutando , AB quadratum erit ad rectangulum AGB , ut est EF quadratum ad red tangulum ΕOF. Quia autem , propter hyperbolam , KL quadratum est ad AB quadratum, ut m quadratum ad rectangulum AGB ; erit etiam per mutando, ut KL quadratum ad EG quadratum , ita AB quadratum ad rectangulum AGB . Et similiter , quia ratione ejusdem hyia perbolae , PR quadratum est ad EF quadratum, ut AO quadratum ad rectangulum EOFaerit adhuc permutando , ut PR quadratum ad Ao quadratum, ita EF quadratum ad rectanis gulum ΕΟ F. Hinc, quum ex aequali ΚL quadratum sit ad EG quadratum , ut est PR quadratum ad AO quadratum ; latera holum quadratOtum KL, EG, PR , Ao erunt pariter proportiorealia. Erit igitur, ut KL ad EG, ita PR ad AO & propterea permutando ordinatae duae EG, Ao erunt inter se , ut coniugatae diameistrorum KL, PR. VIII. Inde vero ptara colligi possunt quae ad eias , quod quaerimur , .etermirationem sensim nos manusicent. Nimirum sequitur primo, quod ducta ad
coniugatam KL recta PQ , ipsi AB parallaia , CK sit ad CR, ut est CE ad Co . Nam CK
ad CP rationem habet compositam ex CK ad CP
205쪽
. KL ad PR; sive etiam,ex theoremate ostenso,
ut EG ad AO . Et , ducta OS , ipsi EG paralis tela, CP est ad CQ, ut ΑΟ ad OS . Itaque erit CK ad CQ in ratione composita ex EG ad AO , & ex AO ad OS ; hoc est in simplici ratione , quam habet EG ad OS , vel etiamCE ad Co. Sequitur secundo , quod ducta ad coniugatam PR recta ΚΗ, ipsi EF parallela, CP sit ad CH , ut est CA ad CG . Nam CP ad CH rationem habet compositam ex CP ad in , Sex CK ad CH. Sed CP est ad CK, ut PR ad
KL 3 sive etiam , ex theoremate ostenta , ut
AO ad EG . Et, ducta GU, ipsi ΑΟ parallela, CK est ad CH , ut EG ad GV . Itaque erit CP ad CH in ratione composita ex ΑΟ ao EG , dc ex EG ad G V ; hoe est in simplici ratione , quam habet AO ad GU , vel etiam in ad CG. Ex quibus sequitur ulterius , CP esse ad CH, ut est CK ad CQ. Quum enim ordinatae EG , ΑΟ dividant diamettos AB , EF in eadem ratione 3 erit, ut BG ad AG , ita Fo ad ΕΟ ; Se dividendo , ut AB ad AG , ita EF ad
EO. Sed,capiendo semisses antecedentium,CAest ad AG, ut CE ad ΕΟ. Itaque, addendo antecedentes consequentibus, erit etiam, ut CAM CG, ita CE ad Co . Jam vero , ex ostensis.' CA est ad CG, ut CΡ ad CH; itemque CE .est ad CO . ut CK ad CQ. Quare erit ex aequali. ut CP ad CH, ita CK ad CQ.
IX. Ducatur nunc, tam ad diametrum
ΑΒ recta EI, ipsi PR parallela, quam ad con.
206쪽
ELEMENTA. ir jugatam ejus KL recta PT , aequidulans ipsi is --MuΕF . Et sicuti ex eo, quod CA sit ad CG, veluti est CE ad Co, ostendemus . rectangulum Fia.ψοι AGB aequale esse redhaligulo CGI, ita quoque ex eo, quod CK sit ad CQ, ut est CP ad CH, Delli negotio demonsrabimus , rectangulum KQL esse aequale rectangulo CQT. Quoniam enim eidem PIL parallela est, tam retia EI, quam recta Ao , erunt duae EI. ΑΟ parallelae etiam inter se t proindeque erit
ut Ct ad C A , ita CE ad Co . Sed CE est ad Co , ut CA ad CG . Quare erit eκ aequali, ut CI ad CA, ita CA sid CG et & proptere
CA quadratum aequale erit rectangulo ICG. Hinc, addito communi rectangulo AGB, erit etiam CG quadratum aequale duobus reiactangulis ICG , AGA . sed CG quadratum aequale ea pariter duobus rectangulis ICG , CGI . Itaque duo ista rectangula ICG , CGI duobus illis ICG , AGB aequalia erunt i &proinde, ablato communi rectangulo ICG, remanebit rectangulum CGI aequale rectangulo AGB. Eadem autem ratὶone , quonἰam eidem EF parallela est, tam recta PT, quam recta RH ; erunt duae ΡΤ, ΚΗ parallelae etiam inter
se di proindeque erit, ut CT ad CK , ita CP ad CH. sed CP est ad CH . ut CK ad CR. re erit ex aequali, ut CT ad in , ita CK ad C : & propterea CK quadratum aequato erit rinangulo Tm. Hine, addito communi rectangulo KQD,
erit etiam C quadratum aequale duobus re
stangulis TCQ, Κ . Sed in quadratu
207쪽
i 3 SECTIO NuM CON1cARuuaequale est pariter duobus rectangulis TCQ1CQT . Itaque duo ista rectatagula TCQ,CQT duobus illis TC ,ΚQL aequalia erunti& proinde,ablato communi rectangulo ΤCQ. remanebit rectangulum CQΤ aequale rectangulo KQL. X. Atque hinc modo , sicuti EG quadra. tum est ad rectangulum AGB , vel ei aequale rectangulum CGl, ut est KL quadratum ad AB quadratum 3 ita quoque nullo negotio ostendemus, P quadratum esse ad rectanguintum KQU, vel ei aequale rectangulum CQT. ut est AB quadratum ad KL quadratum. Nam ΕG quadratum ad redianguIum CGI rationem habet compositam ex EG ad CG, Sc ex EG ad I G . Sed, ob triangula aequiis
angula CGE , PQT, EG est ad CG , ut TQ
ad PQ. Itemque , ob triangula aequiangula
Quare EG quadratum ad rectangulum CGIerit in ratione composita ex TQ ad PQ, &ex
Jam duae istae rationes componunt part ter rationem , quam habet tectangulum CQT ad PQ quadratum. Itaque erit ex aequali, ut FG quadratum ad rectangulum CGI, ita re
ctangulum CQT ad PQ quadratum. Sed EG
quadratum est ad rectangulum CGI,sive AGB, ut KL quadratum ad AB quadratum . Quare erit rursus ex aequali, ut rectangulum C ad PQ quadratum , ita KL quadratum ad Anquadratum ς adeoque invertendo PQ quadra tum erit ad rectangulum CQT , ut AB quaqdfatum ad KL quadratum.
208쪽
EX eo autem , quod PQ quadratum sit ad rectangulum CQT, sive ΚQL, ut est AB quadratum ad KL quadratum ἔ liquet, punctum P locari in hyperbola, cujus ΚL est diameter primaria , & AB ejus conjugata. Sed in ejusdem opposita locabitur quoque punctum R; quandoquidem , ducta RZ, eidem AB parallela, ostendemus eadem ratione, R Z quadratum esse ad rectangulum ΚZL, ut est AB quadratum ad KL quadratum . XI. Quod quum ita sit, manῖfestum est , per extremitates earum rectarum , quae sunt conjugatae diametrorum in operbolis oppositis, non alias curvas transire , quam sinas alias oppositas byperbolas. Atque hinc est, ut aliae istae binae hyperbolae priorum conjugatae di eantur ; quia scilicet diametri priorum hyperbolarum non aliaS rectas , velut suas conjugatas, agnoscunt, quam quae ductae per centrum, ad alias istas hyperbolas terminantur. Jam in aliis hisce binis hyperbolis , quae priorum conjugatae dicuntur,KL est diameter primaria , S AB eius conjugata . Unde eadem ratione hyperbolae,quae ipsarum conjugatae dicendae sunt,necesse est,ut haheat AB velut diametrum primariam, &KL velut ejus conjugatam: & ea propter non aliae erunt, quam ipsae Priores hyperbolae . Ex quo patet, quod sicuti priorum Θperbolarum conjugatae diametri ad alias fas terminantur, A per contrarium coniuratae diametri saram in iis Dos terminos debeant habere.
Quin etiam , si deseriptis ali Is hisce duabus hyperbolis, fuerit cujus' is alteriuS diame. tri
209쪽
Iso SECTIONUM CONICARUM tri EF priorum hyperbolarum P R conjugata diameter; erit per contrarium EF diameter eonjugata ipsius P R in qliis istis hyperbolis. Jam enim per id, quod modo ostensum est, ad Priores hyperbolas terminari debet istiusmodi coniugata diameter . Itaque, si ostendi possit, ipsi EF parallelas esse ordinatas diametri PR, proculdubio erit EF diameter ejus conjugata. Id vero demonstrabimus in hunc modum. Quoniam ,ex superius ostensis, CK est ad CQ , ut CP ad CH ; subducendo antecedentes ex consequentibus, erit quoque, ut CK ad Κὶ ita CP ad PH. Sed , sumptis antecedentium duplis , est ad Κ 1 ut PRad PH . Quare componendo erit pariter, ue LQ ad
Κὶ ita RH ad PH : Sc propterea , quemadmodum PQ est ordinata diametri KL ; ita Se ΚΗ , quae est ipsi EF parallela, ordinata erit diametri P R. Patet igitur, quod sicuti duae hyperbolae
nequeunt esse conjugatae duarum aliarum hyperbolarum,nisi ct istae etiam sint illarum conjugatae; sic in quatuor hisce hyperbolis nequeat diameter una conjugata esse alterius
diametri , nisi & ista pariter si conjugata illius. Hinc, quum duae hujusmodi diametri sub
contemplationem venient , non modo alteram
alterius conjugatam , sed amhas simul conjugatas diametros appellabimus. XII. Cpeterum , priusquam huic capiti finem imponamus , notetur velim, theorema inlud, superius ostensam in hyperbola, de ordinatis , qua ducuηtur ad binas diametros ex alterris earum verticibur, obtiηere etiam in ellipsi.
210쪽
Ellipsis enim ALB sitit AB, EF duae
quaevis diametri , ad quas ex alternis earum verticibus ducamur ordinatae EG, Aoue sintque etiam KL, P R earum diametrorum conjugatae. Dico, ordinatas EG , AO habere inter se ean
Fis. r. dem rationem,qua habent conjugatae I L,PR.
Quoniam enim ordinatae EG , AO dividunt uiametros ΑΒ , EF in eadem ratione; erit, ut BG ad As , ita FO ad Eo i proinde que componendo AB erit ad AG , ut est EF ad Eo . Sed permutando AB est ad EF , tam ut AG ad Eo , quam ut BG ad FO . are, sompositiS rationibus , erit quoque , ut AB'quadratum ad EF quadratum . ita rectangulum AGB ad rectangulum E OF ; & rutius permutando erit, ut AB quadratum ad rectangulum AGB , ita EF quadratum ad rectangu
Quia autem, propter ellipsim , KL quadratum est ad AB quadratum , ut EG quadratum ad rectangulum AGB , erit etiam permutando , ut KL quadratum ad EG quadratum, ita AB quadratum ad rectangulum AGB . Et similiter , quia ratione ejusdem ellipsis, PRquadratum est ad EF quadratum, ut AD qua 'dratum ad rectangulum Eo F ; erit adhuc permutando , ut PR quadratum ad Ao quadratum, ita EF quadratum ad rectangulum ΕOF. Hinc , quum ex aequali ΚL quadratum sit ad EG quadratum , ut est BR quadratum ad AO quadratum, latera horum quadrato rum KL, EG, PR. Ao erunt pariter propor eionalia . Erit igitur, ut KL ad EG, ita PR ad AO : S propterea permutando ordinatae duae ΕGν