장음표시 사용
211쪽
s EeTIO NuM CONICARUM EG, AO erunt inter se in eadem omnino ratione , quam habent conjugatae diametro. rum KL, PR.
CAP. VI. Parabolae omnes aliae diametri
I. I. U Tsi parabola, perinde ae ellipsis, Rranda ... nyperbola,praeter eam diametrum, . quam in ipso cono sortitur , infinitas alias,. .ι. ., ' diametroS habeat; in ea tamen omnes aliae istae AE me νυσ' diametri, non convergunt ad punctum ullum,
ut contingit in hyperbola, ct in ellipsi , sed sunt omnes tam inter se , quam cum Ipsa diametro principali parallelae. Ut autem pateat, quod si diameter parabolae recta quaelibet , ducta aequidistanter diametro principali; osendesdum es prius foquens theorema . Nimirum, quod si AB sit parabolae diameter principalis , S aliqua ejus parallela EF hi secet in o subtensam ΑM , pertinentem ad verticem A; quod ,inquam, demissa ad diametrum ordinata EG, S ducta per punctum o recta OL, ei parallela, si semper AG aequalis ipsi GL. Nec sane disseile erit , theorema istud ostendere . Nam , scuti AM dupla est ipsus Ao ι ita , demissa ad diametrum ordiis nata alia MN, erit quoque, tum AN dupla ipsus AL, cum MN dupla ipsius OL, sive EG:
212쪽
proIndeque MN quadratum erit quadruplum quadrati, quod sit ex EG . Sed, ob parabolam, . MN quadratum est ad EG quadratum, ut AN ad AG . Quare etiam AN quadrupla erit ipsius A Gr& propterea , quum sit AL dupla ejusdem AG; duae AG, GL aequales crunt ininter se.
II. Inde verosequitur primo, quod si expunctis A, & Ε ducantur rectae ΑΚ, ΕΙ, ipsis νενον mali, EG, AM parallelae , quarum prior AK conve- allat cum EF in puntio Κ , S altera EI cum FIG.42. ΑΒ in pulicto I; triangulum EGI sit aequale Parallelogrammo AGin. Est enim , ex theoremate ostenso , AG aequalis G L. Sed GL est aequalis ipsi EO , seu Al. Quare duae AG , AI etiam inter se aequa--les erunt: proindeque tota GI dupla erit ipsus A G. Jam triangulum EGI , & parallelogram mum AGEΚ sunt in iisdem parallelis . Qilare, quum basis trianguli GI dupla sit basis parallelogrammi AG ; erit triangulum EGI aequato Parallelogrammo AGER. Et hinc patet, aequalia esse etiam triangula XAI, XEΚ ; quandoquidem, si ex triangulo EGI, & ex parallelogrammo AGΕΚ au
feratur commune trapetium AGEX , nonnisi duo illa triangula remanebunt.
III. Iisdem positis, quod triangulum AOK sit aequale parallelogrammo EOAI.
Est enim, ex theoremate ostenso, AG ae- FIG. 2.
qualis GL . Sed AG est aequalis ipsi ΕΚ , SGL est aequalis ipsi ΕΟ. Itaque duae ΕΚ , EO
213쪽
is 4 SECTIO NuM co NICA Ru Metiam inter se aequales erunt: proindeque tota ΚΟ dupla erit ipsius ΕΟ.Jam triangulum ΑΟΚ , Sc parallelogram. mum ΕΟΑΙ sunt in itidem parallelis . Quare, quum basis trianguli ΚΟ dupla sit basis paraulelogrammi ΕΟ; erit triangulum AoK aequale parallelogrammo EOAi. . . 'Potest etiam id erui ex aequalitate trianis gulorum XAt, XEΚ, superius ostensa . Nam, si cis addatur commune trapctium A UEX, fiet parallelogrammum EOAl aequale triangulo AOK. IV. Capiatur porro in parabola punetum c μ' - quodvis aliud P , ex quo ducantur ad diametrum AB duae aliae rectae PS , PQ, ipsa EI, FIG. 42. EG parallelae . M Dςile erit ostindore , quod 43. triangulum PQS sit etiam aequale corrospondenti parallelogrammo AQRK. Ouum enim , ex constructione, parallelae snt inter se , tam duae EG , PQ , quam duri El,PS; triangula duo ΕGI,ΡQS similia eruntοῦ. Proindequου erit, ut EG quadratum ad PQ quadratum , ita triangulum EGI ad triangulum PQS . Sed , propter parabolam , EG quadratum est ad PQ quadratum , ut AG aa A Q. Itaque erit ex aequali, ut AG ad A Q. ita triangulum EGI ad triangulum PQS. Jam parallelogramma duo AGEK,AQRK
habent eandem altitudinem . Unde, quum sint inter se in eadem ratione rectarum AG , AQ; erit riirsus ex aequali, ut triangulum EGI ad triangulum PQS. . ita parallelogrammum
AGEΚ ad parallelogrammum A QRΚ: & pro- Pterea,quemadmodum triansulum EGI
214쪽
sum est aequale parallelogrammo AGΕΚ i Itaquoque erit triangulum Pin aequale parallelogrammo AQRK. V. Denique, si tecta PS, ipsi EI parallela, v. conveniat cum recta EF in puncto V, nullo, negotio ostendemus quoque , quod triangulum tum.
PVR sit aequale correspondenti parallelo grammo EVSI. Ponamus etenim primo , quod punctum Fici S sit supra verticem A , S: quod punctum Ρexistat inter A, S: E . Quia igitur triangulum EGI ostensum est aequale parallelogrammo AG ΕΚ , ct triangulum P S aequale inrallelogrammo AQRΚ , si ex triangulo auferatur triangulum , ex parallelogrammo Parallelo- .
grammum , ex utroque autem commune train
petium PQGZ ; supererit trapetium ΕΖSI aequale trapetio PZER : proindeque , addito , communi triangulo EZV, fiet parallelogrammo EVSI aequale triangulum PVR. Ponamus secundo , quod punctum S sit Fia.42. quidem supra verticem A , sed quod punctum D st ad alteram partem pundii Ε relate ad
eundem verticem A. Et rursus, quia triaugu-
tum EGI ostensum est aequale parallelogramismo AG ΕΚ:addito communi trapetio ΕGQR, fiet trapetium EI R aequale parallelogrammo ΑΘΚ , sive etiam triangulo PQS : & proinde , dempto communi trapello VSQR , fiet parallelogrammo EVSI rursus aequale trianis gulum P VR. Ponamus denique , quod punctum S sit Fia. 3. infra verticem A . Et quoniam triangulum PQs ostensum est aequale parallelogrammo
215쪽
43 a1 16 SECTIONUM CONMΑRu MAQRK r addito , vel dempto communi trape tio VSQR, fiet triangulum P VR aequale trapetio ASV K. Sed, propter aequalitatem triangulorum XΕΚ , XAI, superius ostensam , tra petium ASVΚ est aequale parallelogrammo EVSI. Quare etiam triangulum P VR aequale erit parallelogrammo ΕVSI. VI. His praemissis, facile modo erit ostendere, quod sit diameter quoque parabola reincta quaelibet , ducta aquidsanter diametro principali . Ut enim talis esse possit , duo quidem requiruntur . Primum , ut hi secet restas omnes , alicui aequi distanter ductas , S utrinque ad parabolam terminatas . Deinde , ut quadrata ex semissibus istarum rectarum sint, ut ipsius portiones correspondenteS. Jam horum utrumque iacili negotio demonstrabitur. Qitantum enim ad primum , sit
EF recta quaevis , ducta aequid istanter diameistro principali AB a eaque hi secet in O subtemsam A M. pertinentem ad verticem A ejusdem diametri . Dico, eandem EF secare quoque bufariam in V quamvis aliam rectam P P , quae ipsi AM parallela , utrinque ad parabolam terminatur.
Postis enim omnibus, ut supra erit utrumque triangulorum P VR , PVR aequale iparallelogrammo ΕVSI. Quare aequalia erunt inter se ipsa duo triangula PVR , PUR . Sed eadem triangula , velut similia , sunt, ut quadrata laterum homologorum P V, ΡU. Itaque Iatera isthaec homologa PV , PV erunt pariter aequalia ; & consequenter tota P P bifariam secta erit in V.
216쪽
ELEMENTA. Is VII. QEantum vero ad secundum , nec etiam magno labore opetr es , os illud ostendeου-
dum. Maneant enim omnia adhue , ut supra.
Et dico insit per , quadrata ipsarum AO , P Uesse inter se . quemadmodum sunt portiones Correspondentes EO, EU. Quum enim triangulum AOK ostensum sit aequale parallelogrammo ΕΟ AI , S triangulum ΡVR aequale parallelogrammo EUSI; erit , ut triangulum AoK ad triangulum PVR , ita parallelogrammum EOA I ad parallelogrammum EUSI..Iam vero,ob similitudinem tr angulorum
AOg . PVR , triangulum AOΚ est ad trianis gulum P UR , ut ΑΟ quadratum ad PU qua
dratum. Itemque, ob communem attestudinem
parallelogrammorum ΕΟ AI, EVSI, paralleis logrammum ΕΟRI est ad parallelogrammum EUSI, ut ΕΟ ad EU . Quare erit ex aequali, ut Ao quadratum ad PV quadratum, ita Eoad EU, VIII. Non inscior, illud h ic a nobis assumptum esse , ut intra parabo iam Dbeessae ducitur aquidistanter,utrinque ad ipsam
parabolam terminetur. Sed facile erit , tum istud ostendere , tum alia etiam ratione proba in re , quod rectae omnes , ipsi AM aequid istantes , S utrinque ad parabolam terminatae , bi- satiam se centur a recta EF., Jam enim de rectis , quae ducuntur latra segmentum parabolicum AEM , res est, extra omnem dubitationis aleam posita . Itaque ducatur extra illud segmentum recta quaevis
217쪽
33S SECTIONUM CONICARUM currat parabolae inritum una parte in P . Extendatur ea ad partem aliam versus U , ct fiat VP aequalis ipsi PV. Ostendendum est, hoc aliud punctum P esse etiam in parabola. Ponantur omnia , ut supra . Et quoniam duae PV, VP inter se sunt aequales; erit trian. gulum P VR, ad unam partem existenS, aequale triangulo PVR , quod existit ad partem alteram. Sed illud, propter parabolam , est aequa te parallelogrammo EVSI, sive etiam trapetio ASVΚ . Quare eidem trapetio ASVΚ hoc etiam aequale erit : & propterea utrumque triangulorum P. erit aequale correspondenti parallelogra inmo AQBΚ; eritque adeo, ut triangulum PQS ad triangulum PQS , ita parallelogrammum ARI K ad parallelogram-mum A QRΚ . Jam , ob smilitudinem triangulorum
PQS , P., triangulum P in est ad trianguinium P in , ut PQ quadratum ad PQ quadratum; itemque, ob eandem altitudinem parallerilogrammorum A QRΚ, AQRΚ . parallelogrammum A QRΚ est ad parallelogrammum ΑQRX, ut est A Q ad A Q. Quare erit exaequali, ut PQ quadratum ad PQquadratum, ita Adad AQ: ct propterea , scuti punctum unum P est in parabola . sic etiam locabitur,2 pq r. bola punctum aliud P. - IX. Non ergo dubitari potest,quin recta EF, ducta aequi distanter diametro principali AB,
aia. st etiam diameter parabolae. Nam, & bifariam rectas omne , quae subtensu AM aequid istantes , utrinque ad Parabolam terminam
τ' . quadrata ex semissibus istarum rect
218쪽
rtim servant inter se eandem rationem , quam habent correspondentes portiones ipsius EF.
Sed facile erit etiam ostendere , quod praeter eat , qua ducuηtur aequidsavter diametro pri=scipali, sulla alia reisa liuea pulsit esse Lameter parabolae . Ut enim recta aliqua ense queat parabolae diameter , illud primo requiritur, ut bifariam secet rectas omnes,alicui aequid istantet ductas, Eti utrinque ad parabOlam terminatas. Unde, si ostendi possit accidens istud iis tantummodo rectis competere , quo ducuntur aequid istanter diametro principali; iam veritas ejus, de quo agitur , liquido conis stabit. Id vero ostendetur in hunc modum . sit D ri. a TY recta positione data , cui debent esse pa-' rallelae eae omnes, quae bifariam 1 diametro di viduntur. Jamque , si ea parallela est ordinatis diametri principalis AB ; secabit diameter ista iAB bisariam rectas omnes, quae ipsi TY aequi distantes, utrinque ad parabolam terminantur. Qisd si autem recta TY non sit parallelaord Inatis diametri principalis AB; per ea, quae superius ostensa sunt, semper ex vertice Aduei poterit tecta alia AM , quae illi parallela, parabolam laeet in alio puncto. At rectas omnes, Ipsi AM aequid istanter ductas,& utrinque ad parabolam terminatas , ut modo vidimuS, non alia bisecat recta , quam quae parallela est diametro principali AB , ct hisariam dividie subtensam ipsam A M. X. Caeterum theorema , hoe capite a nobis mesensum,peo detreminaudis aliis parabolae dia
219쪽
aeo SECTIO NuM CONICARUM sum corro' demonstravimus , tum in ellipsi, cum in hyper- definiendis Baram curvarum diame
., Tam enim in cllipsi , quam in hyperbola, μ/i posito, quod AB sit diameter principalis, Fiψ δῖ' centrum punctum C , si EF sit recta quaevis Sy ' per centrum ducta , quae hi secet in o subtensam AM , pertinentem ad verticem A , & demissa ad diametrum AB ordinata EG, huic perptindi um o parallela agatur OL; erit,ex superius ostensis, ut CL ad CG , ita CG ad CAῶ
atque adeo subducendo , vel antecedentes ex consequentibus , vel cons uenteS ex antecedentibus, erit etiam, ut CL ad GL, ita CG ad AG. Jam,abeunte in infinitum puncto B, altero diametri vertice, tam ellipsis , quam hyperbola vertitur in parabolam . Et, quia in infinitum etiam abit centrum C , quod hi secat diametrum AB r quemadmodum duae AC, ECparallelae sunt inter se ; sic utraque ipsarum CG, CL infinita evadet. Unde, quum carum differentia GL sit sinita ue eaedem erunt aequales inter se: & propterea , quum sit, ut CL ad
GL , ita CG ad AC; etiam AG ipsi GL aequalis erit.
i. XI, XI. Q n, Sc confectaria e Urim tbeorematis correspondent quoque iis , quae in ellipsi , Or. η'A. eodem illo trioremate deduximatis ista in Nam,ubi centrum C in infinitum abire stipponitur , quemadmodum parallelae fiunt duae AC , ΕC ς sic omnia illa trapetia , quibus ae qualia demonstravimus correspondentia tria i 'gula, in parallelogramma totidem vertuntur.
220쪽
E L E M E N T R. a. IAtque hinc etiam vera ratio elucescit,ca in parabola diametri omnes inter se sint parat-leloe . Nimirum, quia ita ea centrum est in infiis uita distantia a vettice principalis diametri , adeoque ejus diametri convergunt ad pun- infinite distans ab eodem vertice. Sed ex eo , quod centrum in parabola siein infinita distantia a vertice diametri principalis, liquet quoque, is eadem cuma son posse Deum habere conjugataram diametrinam conis semplatissem, quippe quae suas positiones hahent similiter in infinita ab eodem vertice diis stantia. In postreum ergo considorabimus parabo Iam , non modo, ut ellipsim , ct hyperbolam, cujus diameter est infinitae longitudinis ; v xum etiam, ut ellipsim , hyperholam , Harcentrum es in insulta L santia a vertice dimis metri . Nani, utraque consideratione parab is proprietates ex iis, quae ellipsi , ct hyper-hota coinpetunt, deducuntur.
CAP. VILDiametrorum parabolae com- munia quaedam offendamur.
I. V X ια , quae ostensi sunt m capite i
I praecedenti, abunde liquet , para holam , praeter eam diametrum , quam in ipsis cono sortitur , alias etiam innumeras habere, M