장음표시 사용
221쪽
u ira. eum ipsa diametro principali. Sed communia diametrorum operae pretium est , ut
0 - ' paulo distinctius prosequamur. Q Em in finem parabolae AM si AB diameter prineipa lis , & EF alia quaevis diameter. Primo igitur , quemadmodum diametee
principalis AB suas habet ordinatas ; ita sitis quoque refertur ordinatis diameter alia ΕF. Sunt autem, ex ostensis , ordinatae istae rectae illae omnes, quae ducuntur aequi distanter subistensae A M. quam ab ipsa EF suppono bisectam in puncto Ο.
Deinde , quemadmodum quadrata ordinatarum diametri principalis AB sunt inteest . ut portiones eius correspondentes , a verritice sumptae ν ita & quadrata ordinatarum aiaterius diametri EF proportionalia sunt corre spondentibus eius portionibus, similiter a veristice sumptis. Unde porro, si per verticem g ducatu erecta ΕΗ ordinatis aequidistanter, quae sit talis longitudinis , ut quadratum unius ordinatae Ao sit aequale rectangulo M ΕΟ ; vocari poterit recta ista ΕΗ parameter diametri EF , se erit quadratum cuiusvis alterius ordinatae PVfimiliter aequale rectangulo HEU. quum ita sint, perspicuum est, Mois μοι onrnes ἰllas proprietates, quae parabola compe- relate ad diametrum ,incipalem ε obtine
FIO.4 . Hinc ulterius, sicuti defeeibitur parabo ἰla in plano , per solas rerutum longitudines. data diametro principali AB cum niagnitudiei a t
222쪽
ne , Sc positione parametri AD, quae ad ipiant resertur; sic etiam describi poterit eadem parabola , ubi una cum alia quavis diametro EF magnitudine , & positione datur illius para- meter EH. Et sicut I recta AD , ducta per verticem A ipsius diametri principalis AB aequidistanter suis ordinatis, contingit parabolam in sol puncto A; ita etiam recta ΕΗ,ducta per verticem Ε alterius cujuslibet diametri EF , similiter ordinatis suis tequid istanter , dumtaxat in puncto E tanget parabolam. Quin imo , sicuti omnis alia recta , quae ducta ex eodem vertice A,angulum eonstituituum AD, non solum in A. sed in alio quoque puncto secat parabolam a pariter quaelibet
alia recta , quae ducta ex eodem vertice E, anis gulum continet eum ΕΗ, non modo in E , verum etiam in puncto alio occurret eidem parabolae.
Unde etiam , si in plano ipsius parabolaedetur postione recta aliqua , quae non sit Parallela ordinatis cuiuslibet alterius diametri EF , semper ex vertice E duci poterit recta alia , quae ei parallela , parabolam secet in alio puncto I quum non aliter esse queat illi parallela, nisi angulum contineat cum ΕΗ.. III. Sed his, ita se habentibus, liquet quoque, quod sicuti ex diametro principali trans-νe licuit ad alias diametres uesie vici ex qua- Iibet alia diametro , ram ad ipsam principatim,
cum ad aIiar omnes.pmtredi licebit. Nam semper ac eadem sunt diametrorum omnium Proprietate1 , theorema aliud fund
223쪽
1 4 SECTIONUM CONICARUM mentale , quod praecedenti capite ostensum est relate ad diametrum principalem,poterit eadem omnino ratione demonstrari de quavis alia diametro EF. Itaque, si ducatur recta at qua AB,diame; tro EF aequi distanter , quae hi secet in G subintensam ΡΕ, pertinentem ad verticem E; & demissa ad diametrum EF ordinata PU, huic perpulictum G parallela agatur GR; duae ER , R aequales erunt inter se. Unde , quum omnes illae aequalitates triangulorum , parallelogrammorumque, quas superiori capite prosecuti sumus relate ad diametrum principalem, obtineant quoque respoctu ipsuis diametri EF ; facile erit ostendere, rectam illam AB esse diametrum quoque ipsius parabolae. Inde enim conscitur, ipsam AB secare bl-fariam rectas omnes,aequid istanter ductus subistensae PE , S utrinque terminatas ad parabo lani; itemque quadrata ex semissibus istarum rectarum proportionalia esse correspondentiis bus portionibus ipsius AB, sumptis a termino A. iv. IV. Habent igitur omnes aliae parabolae diametri easdem omnino proprietates cum dia
νοννιερηι metro Principali; S ex qualibet earum,tum ad' ipsam principaIem , cum ad alius omneS progredi licet. Sed parabolae diametri , prater ψ - ' hactentis recensitas proprietates , plures olio
communes habent, quas non abs re erit hichreviter ostensas exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est: ostendendum , quod qualibor diameter par
224쪽
minatas, dividat bifariam , quam qua ordinatim ad ipsam diametrum applicantur. Sit enim AB parabolae AM diameter quaevis , sitque etiam AD recta illa , cui omnes ejus diametri ordinatae sunt parallelae. Dueatur in parabola recta P Ρ , quae utrinque a ficurvam terminata , non sit ordinatim applicata diametro AB . Dico , eam ab ipsa diametro ΑΒ non posse secari bifariam. Si enim fieri potest , secetur recta PP a diametro AB bifariam in S . Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB; ex supe- rius ostensis, duci poterit per verticem A recta alia , quae ipsi P Ρ parallela , parabolam secet in alio puncto . Ducatur itaque recta ista , &st A M. Tum, bisecta ea in puncto O, ducatur,
per punctum istud recta EF, ipsi AB parallela.
Quia igitur recta EF ducta est requi distanter diametro AB , S bisecae in o subtensam AM , pertinentem ad verticem A ; per superius ostensa , secabit quoque bifariam in Vtectam P P, ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta PΡ secatur bifariam in S. Quare eadem P Ρ bisecta erit, tam in puncto S , quam in puncto V. Quod fieri non potest.
V. Εκ eo autem, quod quaelibet diameter . parabolae eas tantum rectas , utrinque ad curis vam terminatas, bifariam dividat, quae ordina- itim ad ipsam diametrum applicantur οῦ sequitur νορυν repo Per contrarium, ut si aliqua parabolae diameter Bisecet rectam aliquam , utrinque terminatam,
ad parabolam , haec esse debeat diametri illius
225쪽
Fia, S. aes SECTIONUM CONICA Ru MUnde ulterius consequitur, ut si rem aliqua bisecet alias duas aquidistantes , Outrisque ad parabolam terminatas, ea esse de beat diameter ipsius parabola, atque adeo cuicumque alteri diametro parallela. Nam aliter, ducta per punctum bisemonis unius ex rectis aequid istantibus recta alia, cuivis diametro parabolae parallela , haec velut diameter bisecabie quoque rectam aliam aequidistantem. Quod fieri non potest. Id vero quum ita sit, facile erit, cuiusliabet datae parabolae diametrum ali quam reperiare,'coxsequenter positionem determinare omnium aliarum diametrorum . Neque enim
aliud fieri debet, quam ducere intra datam parabolam rectas duas aequidistantes , Sc utrinque ad curvam terminatas . Nam, sicuti recta, quae eas bifariam dividit, diameter erit parabolae ; ita & eadem positionem Omnium aliam rum diametrorum exhibebit. VI. Speciatim in omni parabola reperire licet diametrum , quae cum suis ordinatis remuangulus consituat. Inveniatur si quidem ipsius datae parabolae diameter quaevis EF, sitque ΕΗ recta illa , cui omnes istius diametri ordinatae debent esse parallelae. Jamque, si angulus FE H fuerit rectus, erit ipsa EF diameter optata. Quod si secus contigerit, inveniemus diametrum, quam quaeri miis, sequenti ratione. Super diametro EF ex vertice ejus E perpendicularis erigatur ΕΡ . Et quoniam ea angulum continet cum Eld, cui parallelae sunt ipsius EF ordinatae, per superius Ostensa, ne
cessatio secabit parabolam in puncto alio P.
226쪽
Secetur ergo PE bifariam in G , ct dii Ela pee punctum illud recta AB, ipsi EF parallesa, erit AB diameter, quam quadrimus. QMd enim AB sit diameter paraboIae; id liquet ex eo, quod parallela sit ipsi EF, quae ex constructione est parabolae diameter. Quod
autem cum suis ordinatis rectos angulos conis stituat; patet etiam abunde. Nam ordinatae ejus
parallelae sunt rectae PE, quam ipsa dividit hia fariam :& propterea , sicuti rectus est angulus P EF ; sic etiam , propter parallelas AB , EF, rectus erit angulus PGB. VII. In qualibet igitur parabola existi e vii.
diameter, quae rectos cum suis ordinatis angulos constituit. Diametrum istam vocabimus δι-ο-
in posterum axem ipsius parabolae. Et faciluerit ostendere, quod in omni parabola nona issicus axis reperiotur, si enim fieri potest , parabola AM , prae- FIG.4s. ter axem AB, habeat quoque axem alium , qui sit u . Et quoniam duo isti axes, velut para in holae diametri, inter se sunt paralleli; illae eaedem rectae . quae uni axi perpendicularea sunt, erunt etiam normales ad axem alterum. Id vero fieri non potest . Quum enim uterque axis cum ordinatis suis rectos angulos constituat ὁ eaedem erunt utriusque axis ordinatae . Quare illa eadem recta 1 quae utrinisque ad parabolam terminata , dividitur bifariam ab axe uno , bd secabitur quoque ab axe altero. inod plane repugnat. VIII. Jam aliqua dicamur de angulis, quot alia parabolae diametri cum ordiratis fuis
sa ituunt, sit AB axis ipsius parabolae. Et
227쪽
os SECTIONUM CONICARU Μducta ex vertice ejus A subtensa quavis sit EF diameter , quae bisecat in O subtensam istam , eamque velut suam ordinatam agnoscit. Quia igitur AB, EF, velut parabolae diametri , inter se sunt parallelae , erit angulus BAM aequalis angulo AΟΕ , quem diameter
cum ordinata ad plagam unam constituit. Unis de aliae parabolae diametri cum ordinatis suis, saltem ad partem unam , non alios angulos continebunt, quam quos subtensae,pertinentes ad verticem axis,cum ipso axe constituunt. Nullum vero horum angulorum rectum esse posse, sed quemlibet acutum existere, jam exinde consequitur,quod perpendicularis,erecta super axe ex vertice eius , velut parallela ordinatis ipsius axis , tota extra parabolam cadat . Eosdem autem minores semper, ac minores fieri, prout longitudo earum subtensarum maior semper , atque major evadit; notius est, quam ut ulla egeat demonstratione. IX. Sed , ut ad communes diametrorum proprietates rursus revertamur , illud etiam omnibus accidit, ut ordinatae, quae ad duas quascumque diametros ab alternis earum verticibus ducumur, aequales ex ipsis diametris portiones abscindant. Sint enim AB , EF duae quaevis diametri parabolae AM . Et ducatur ex vertice Ε ordinata EG ad diametrum AB ,&ex vertice Aordinata AO ad diametrum EF. Dico, portionem AG aequalem esse portioni ΕΟ. Extendatur ordinata una Ao usque donec occurrat parabolae ad partem alteram in
M ; tumque agatur per punctum O recta OL,
228쪽
Ipsi EG parallela , quae convemat cum dia in eistro AB in puncto L. Et quoniam subtensa AM pertinet advertieem A , eaque dividitur bifariam per rectam EF, ductam aequi distanter diametro AB; duae AG , GL, ex superitis ostelliis , aequales erunt inter te. Sed, ob parallelogrammum ΕL, aequales quoque sunt duae GL, Eo. Quare etiam AG ipii Eo aequalis erit. X. Hujus .iutem proprietatis ope , facile, erit, cujuscumque parabolae diametri positonem suarum ordimatarum definire. Sit enim AB diameter, cujus ordinatae quaeruntur. Ducatur intra parabolam recta quaevis PP , quae utrinque ad ipsam terminetur . Tum , secta ea bifariam in V, agatur per
punctum istud U recta EF , diametro AB pa
Ducatur porro ex vertice A recta AM, Ipsi P P aequid istanter , quae diametro EF oecurrat in V. Et, siquidem ex AB abscindatur portio AG aequalis portioni Eo, jungaturque EG; erit EG ordinata ipsius AB. Si enim EG non sit ordinata ipsius AB, sit eius ordinata recta EH. Et quoniam ad diametros AB, EF ex alternis earum verticibus ductae sunt ordinatae ΕΗ, ΑΟ; per proprieta tem jain ostensam, portiones duae AH , ΕΟ aequales erunt inter se. Sed ex constructione eidem ΕΟ aequalis est portio AG . Quare erunt pariter aequales inter se duae AG, AH . Quod fieri non potest. XI. Omnium quoque diametrorum Parabolae commune est, ut 3peν aliquod parabolae. m. I. o pun-
229쪽
punerum rei a duae ducantur . quarum una lpertineat a. verticem alicujus diametri, altera sit ei parallelari eae abscindant ex qualibet diametri ordinata portiones duas, qua res anguisium continent,aequale quadrato ipsius ordinatae. Sit enim AB diameter aliqua parabolae
A M. Et, ductis per plinctum quodvis E ipsius parabolae rectis A X , FZ , quarum prior AX
pertineat ad verticem A , altera sit ipsi diameta tro parallela , conveniant eae cum aliqua eju L.
dem diametri ordinata MN in punctis Ρ , &O . Dico, rectangulum P Ninequale esse quadrato ipsius MN. Ducatur si quidem ex puncto E ad ea nisdem diametrum AB ordinata alia Ε ἰς eritque. propter parabolam , ut EG , sve QN quadratum ad MN quadratum , ita AG ad AN . Sed i
que erit ex aequali, ut QN quadratum ad MN quadratum, ita QN ad PN: & propterea, quum tres rectae QN . MN, PN sint continue i propori onales ; erit MN quadratum aequale
Patet autem , hujusmodi communem idiametrorum omnium parabolae proprietatem correspondere ei, quam postremo loco, tum in ellipsi , cum in hyperbola superius demonstravimus . Nam , ubi punctum B , alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur quemadmodum , tam et Iipsis , quam hyperh la vertitur in parabolam ita recta BX , convergens ad punctum B, abit in rectam aliam, idiametro AH parallelam. XII. Denique omnibus etiam parabolae dia-
230쪽
ELEMENTA. , Irdiametris accidit , ut si ad aliquam ex iis tres xir ordinatae continue proportionales demittantur,
quarum extrema tensaut ad contrarδas partes, νωνjisias
recta, conjungens terminor sarum, transire dein beat per punctum diametri , cui ordinata meis M. dia correspondet. FIO. 7. sit enim AB diameter aliqua parabola: AM, ad quam demittantur tres ordinatae E G. MN , HL , ita ut ipsarum extremae EG , HL tendant ad partes contrarias . Dieo , rectam ΕΗ , conjungentem terminos istarum, transire per punctum N, cui correspondet ordinata media MN. Est namque , propter parabolam , ut FG quadratum ad MN quadratum , ita AG ad AN . Et similiter , ut MN quadratum ad HL quadratum , ita AN ad A L. Quare, sicuti tres ordinatae EG, MN,HL sunt continue proportionales ς ita erunt etiam in continua propo tione tres abscissae AG , AN , AL, quae cum
quadratis earum ordinatarum eandem habent rationem.
dium ergo AG se ad AN, ut est AN ad AL ; erit dividendo , ut GN ad AN , ita LN ad AL ; & permutando , ut GN ad LN, ita AN ad A L. Sed AN est AL , ut MN quadratum ad HL quadratum , sive etiam , ut EG ad HL . Quare erit ex aequali, ut GN ad LN, ita EG ad HL: proindeque , quum duae EG , HL parallelae sint inter id , telia ΕΗ transibit Per punctum N. XIII. Sed comversum Bujus proprietatis xui. pariter obtinet. Nimirum, quod si ducatur intra parabolam recta quaevis ΕΗ, quae ο o a curis