장음표시 사용
231쪽
F1G. 7 xxx SECTIONUM CONICARUM currat parabolae quidem in punctis E, & Η, alicui autem ex ejus diametris AB in puncto N, ordinata MN, huic puncto correspondenS, sit inedia proportionalis inter ordinatas ΕG. HL , quae ex iis punctis super diametro AB
Si enim EG non sit ad MN , ut est MN
ad HL; capiatur ad eandem partem cum H L. ordinata alia ΚI, quae sit tertia proportionalis post duas EG, MN . Itaque, per proprietatem jam ostensam, recta ΚΕ transibit per punctum Ni ct propterea, vel idem habebit segmentum cum recta EF , quae similiter transit per punctum N , vel cum ea spatium comprehendet.
Non igitur esse potest , ut EG ad MN. Ita MN ad K I. Quare erit, ut EG ad MN. ita NN ad HL : & propterea tres ordinatae EG,NN, HL continue proportionales erunt. Sed, quemadmodum sunt continue proportionales tres ordinatae EG, MN,HL; ita quoque erunt in continua proportione tres abscissae AG , AN, AL: quippe quae, ob parabolae naturam, Cum quadratis earum ordinatarum eandem habent rationem.
232쪽
LIBER IV. 'Me Mutua Diametrorum, minrametrorumque Compa
DEmoti stravimus praecedenti libro . conl-cas sectiones , praeter eam diametrum. quam in ipso cono sortiuntur, innumeras alias habere , quarum quaelibet, ad instar principa ilis, suam quoque parametrum habet. Sed non abs re erit, inter se mutuo conserte, tum ipsas sectionum conicarum diametros , cum para- metros earundem . Itaque de mutua ista d ametrorum , parametrorumque comparatione agendum nobis erit hoc libro.
EIli is diametri omnes interi mutuo comparamur.
I. π Τ dimus superius , in qualibet ellἰ- LV psi hinas diametros extare , quae
cum ordinatis suis rectos angulos constituunt. Binas hasce diametros vocavimus axes ipsius ellipsis . Et demonstravimus quoque, elia mima
liplim abire in circulum , quum duo nu F iiuter se sunt aequalea.
233쪽
, 4 SECTIONUM CONICARUM Id quum ita sit , omnino necesse est, ue lex duobus axibus ellipsis unus quidem sit ma- ljor, alter vero minor. Sed facile erit etiam ostendere, diametrorum omnium ellipsis maximam quidem esse axem majorem , minimam ve
Ellipsis enim AKBL sit AB axis maior, ct ΚL axis minor. Sit autem EF alia ejus dia-
meter . Dico , aliam ' istam diametrum EF minorem esse axe majore AB, majorem vero axe minore KL.
Demissa siquidem ad axem majorem AB ordinata ΕGῖ erit, ob naturam ellipsis, ut KL quadratum ad AB quadratum , ita ΕG quadratum ad rectatigulum AGB. Sed ΚL quadratum minus est quadrato ex AB . Quare etiam EG quadratum minus erit rectangulo AGB. Hinc, apposito communi quadrato ex CG , erit pariter CE quadratum minus quadrato , quod fit ex CA : & propterea , sicuti CE minor est, quam CA ; ita quoque erit EF minor , quam AB. Eadem ratione . demissa ad axem minocrem KL ordinata EI; erit, propter ellipsim,ut AB quadratum ad KL quadratum , ita EI lquadratum ad rectangulum X L . Sed AB lquadratum majus est quadrato ex ΚL . Qua- ire etiam Et quadratum majus erit rectanguinto KIL. Hinc, apposito communi quadrato ex CI, erit pariter CE quadratum majuS quadra- ito, quod fit ex CK : ct propterea , scuti CE major est, quam CK a ita quoque erit EF maior, quam M. u. NuI-
234쪽
ELEMENTA. II. Nullo itidem negotio ostendi potest. quod om sium aliarum diametrorum illa quidem sit major, quae vel minus disat ab axo maiore, vel magis recedit ab axe minore. Quum enim CA quadratum sit aequalcrectangulo AGB una cum CG quadrato , SCE quadratum sit aequale duobus quadratis EG, CG ; erit excessus , quo CA quadratum superat CE quadratum, aequalis excessui , quo rectangulum AGB superat EG quadratum. Quia autem retiangulum AGB ad EG
quadratum datam habet rationem ; habebitidem rectangulum AGB datam quoque rationem ad excessum ejus super EG quadratum: proindeque , quum minuitur redhanguinium AGB, necesse est, ut ille pariter excessus
Hinc etiam excessus , quo CA quadratum superat CE quadratum, minor fiet, quotiescumque minuitur rectangulum AGB. Leinde limi ido patet, diametrum EF eo esse majorem , quo minus distae ab axe majore AB. Nam minui nequit distantia ista , nisi simul minuatur quoque rectangulum AGB.
Ostendi id ipsiim potest , adhibito axe minore KL . Quum enim CE quadratum sit aequale duobus quadratis EI, CI ; & CΚ quadratum sit aequale rectangulo KIL una cum CI quadrato ; erit excessus , quo CE quadratum superat CK quadratum, aequalis excessui, quo quadratum ex Et superat rectangulum κIL Quia autem data est ratio Inter Et quadratum , & rectangulum ΚIL , dabitur etiam
235쪽
SECTIO NuΜ CONICARUM ratio inter excessum, quo Et quadratum superat rectangulum ΚIL , & ipsum rectangulum KIL : proindcque , quum augetur rectangulum istud , necesse est, ut ille pariter excessus
Hinc et a m excessus , quo CE quadratum superat CK quadratum , major fiet, quo tiescumque augetur rectangulum XI L. Et inde liquido patet, diametrum EF eo esse majorem , quo magis distat ab axe minore ΚL. Nam augeri nequit dista uia ista , nisi simul augeatur quoque rectangulum ΚIL. Ellipsis igitur diametri in recessu ab
Aiam ινι νον axe majore minores evadunt, maXimamque patiuntur diminutionem , quum maxime distantctis/ ex ver. ab axe maiore, hoc est , ouum ad axem mino
stim , .i;. rem perveniunt. Interim , dum eae minuun,
, aligentur ipsarum conjugatae . Quod uto. . liquido constet , ostendendum est prius se FIG. 4 I. quenS theorema. Nimirum, quod scapiantur in fissi h na quatis coniugatae diametri , eae dividantur in eadem ratione ab ordinatis , quae supen lirdemittuntur ex verticitus duariam suarumlialiarum similiter conjugataram diametrorum. i Neque vero dissicile erit, theorema istud ostendere, si eorum recordemur . quae superius Ostensa suiu . Ellipsis en ni AKBL sint AB, XL duae quae vis. conjugatae diametri . Deo mittantur ad eas ordinatae EG , PQ ex verticibus duarum quarumvis aliarum similiter Conjugatarum diametrorum ΕΓ , PR . Dico,
fore, ut BG ad AG. ita LQ ad Κ Ducatur si quidem ad diametrum EF urin
236쪽
dinata ΑΟ. Tum per pulictum o agatur recti OS , ipsi EG parallula. Et jam CK ad CQ r eionem habebit compositam ex CK ad CΡ , Rex CP ad Cri Sed CS est ad CP , u CKL ad
PR, sive etiam , ut EG ad AO ; itemque CP est ad CQ, ut AO ad OS . Itaque erit mad CQ in ratione composita ex EG ad AO, Seex AO ad OS. Et quoniam duae istae rationes componunt Pariter rationem , quam habet EG ad m, sive etiam CE ad Co ; erit ex aequali, ut CK ad C . ita CE ad Co ; S convertendo, ut CK ad KQ , ita CE ad ΕΟ .' Sed , sumptis antecedentium duplis , Κ L est ad gQ, ut EF ad Eo . Quare dividendo erit, ut L. ad KQ, ita FO ad EO : & propterea, quum Fo sit ad EO , ut est BG ad AG ; erit rursus ex aequali,
IV. Ex isto autem theoremate prono aia ueo fuit, quadratum quidem ordinatae EG ese ν ιν se aequale rectangulo ΚQL ς quadratum vero Ordinatae PQ aequale esse rectangulo AGB. ν νωινω.
Quum enim BG sit ad AG , ut est L ad Κὶς Itie componendo, ut AB ad AG, ita KL ad KQ. Unde, quia permutando AB est FHὸ Αι. ad ΚL , tam ut AG ad KQ , quam ut BG ad LQ ; compositis rationibus, erit, ut AB qua- dr.itum ad KL quadratum , ita rectangulum AGB ad rectangulum KQL. Jam, propter ellipsim, AB quadratum est ad KL quadratum , tam ut rediangulum AGBad EG qtiadratum , quam ut PQ quadratum ad recta ligulum ΚQL . Quare ex aequuli, primo quidem erit, ut rectangulum AGB ad re
237쪽
113 SECTIO NuM CONICARUMHangulum KQL, ita idem recta ligulum A Gaad EG quadratum . Deinde vero , ut rectan gulum ACB ad rectangulum KQL , ita Poquadratum ad idem rectangulum Κ2L r &propterea rectangulo quidem KQL aequale erit EG quadratum , rectangulo vero AGBk erit aequale PQ quadratum.
V. Atque hinc ulterius nulIo etIam nego 'o deducitur, quadrata, quae sunt ex binis diametris conjugatis , simul sumpto isti Hiam eon cm ubiquo fummam cossit aere , hoe est quadrata duorum axium coinciant. FIG. r. qnim ΑΒ , KL axes ipsius elli piis , ita ut ordinatae EG , PQ rectos cum II sangulos constituant. Ostendendum est igitur. quadrata , quae fiunt ex axibus AB , KL , aequalia esse quadratis , quae fiunt ex aliis conis augatis diametris EF, ΡR. Id vero ostendemus in hunc modum. Quadratum ex CA est aequale rectaneulo AGB una cum CG quadrato . Pariterque quadratum ex CK est aequale rectangulo KQL una cum CR quadrato . Duo igitur quadrata CA , CK aequalia erunt duobus rectangulis AGB , KQL una cum duobus qua
Quum autem rectangulo AGB ostensumlit aequale quadratum ex PQ, ct rectanguio K aequale quadratum ex EG; orunt duo aequalia duobus rectat guiniis ACB , KQ L, ct ideo quadrata duo CA . K aequalia erunt quatuor quadrati I , quae
fiunt ex PQ, EG, CG,CQ. 'Jam ex quatuor hisce quadratis duo PQ,
238쪽
Ca iunt aequalia q drato ex CP; alia verS duo EG, CG sunt aequalia quadrato ex CE. Quare eadem quadrata CA,CK aequalia erunt duobus quadratis CE , CP ; atque adeo qu 'drata ex totis AB , KL, aequalia erunt pariter iis . quae fiunt ex totis EF, PR,. I. Ex eo autem , quod quadrata . quae fiunt ex binis ellipseos diametris conjugatis,
simul sumpta, eandem ubique summam consti- ω--- ,
tuant, facile modo erit ostendere id, quod no- his ab initio proposuimus et nimirum , quoddam primariae diametri minuamur in oce ab axe majore, vicissim conjugatae ipsarum ougeantur. Maneant enim omnia, ut supra, adeo
nempe, ut AB sit axis major ellipsis, KL axis minor, & EF diameter qu evis . Sit autem PRconiugata diametri hujus EF . Dico, non ponse diametrum EF minorem fieri , nisi ipsius conjugata PR vicissim augeatur. Nam quadrata ex ipsis EF . PR smul sumpta debent ubique aequalia esse quadratis. quae sunt ex axibus AB , KL . Quare ex Litus , quo AB quadratum superat EF quadra tum , erit semper aequalis excessui, quo vicis sim BR quadratum superat ΚL quiaratum pS propterea nequit excessus ille augeri , nisi
iste pariter augeatur. Jam , ubi per recessum ab axe maiore AB minor evadit diameter FF , tunc augetur exiscessus , quo AB quadratum superat EF quain 'dratum. Quare in eodem recessu necesse est, ut augeatur etiam excessus, quo PR quadratum superat ΚL quadratum i S propterea ipsi major evadet . VIL Non
239쪽
terea ac primariae diametri minuuntur in re-
Taia--,, νη ru , vicissim conjugatae ipsa--- , .a rum augeantur . Inde autem , sicuti clare pa- conjugatus d. ametros ad axem Fio. 8. moserem, ubi primoriae, ad quas velut coninga- tae referuntur , ab eodοm e recedunt 3 sic' etiam non obscure colligi possunt sequentia duo theoremata. t Nimirum primo, quod axis major AB ad axem minorem ΚL majorem dabeat rati nem , quam diameter quaevis alia EF ad uam conjugatam PR. -
Quum enitn AB maior sit, quam Εἴ; ha-hebit AB ad KL majorem rationem , quam EF ad KL . Sed ΚL minor est, quam PR 3 atque adeo EF majorem habet rationem ad ΚL , quam ad PR . Itaque ratio , quam habet' iΑΒ ad ΚL multo major erit ratione , quam 'habet EF ad PR. lἱ, Secundo , quod diameter EF, axi majori iPropinquior , majorem habeat rationem ad j suam coniugatam PR, quam diameter DH, ab ieodem illo axe remotior, ad conjugatam tuam j
i. i Quum enim EF maior st, quam DH; habebit EF ad PR majorem rationem , quam DH ad PR. Sed PR minor est, quam QS ; atque adeo maiorem habet rationem ad PR, quam ad . . Itaque ratio , quam habet EF ad PR multo major erit ratione , quam habet
IE' - C terum , ut alia quam plurima , --ἡ--locum habent in comparatione diametro- l
240쪽
ELEMENTA. ,1 iriam ellipsis, tum hic, cum in sequentibus sa- αιυ - .cilius prosequi valeamus, juvat hic advertere, quod locus diametrorum omnium ellipsis per ...iati cujusdam circuli portionem pissit exhiberi. Referant namque rectae duae AC , BG η m. axes ellipsis , hoc est AC axem majorem , & FBC axem minorem ; junctisque iis ad angulos rectos , describatur super AB semicirculus
ACB , ct agatur per punctum C recta CD ,
ipsi AB parallela , quae occurrat circumserenistiae ad partem alteram in D . Dico, portionem ejusdem circumserentiae CED considerari posse veluti locum omnium diametrorum elisi ipsis. Primo enim,ex superius ostensis,quaelibet ellipsis diameter debet esse minor axe majore AC, ct major axe minore BC , vel AD . Sed omnes rectae , quae ducuntur ex puncto A ad portiorrem circum furentiae CED , minores iunt recta AC , majores vero recta AD . Itaque poterunt rectae istae omnes ellipsis diametros exhibere .
Deinde , ostensiunmst quoque, quadrata ex binis ellipseos diametris conjugatis , simul sumpta, aequalia esse quadratig axium AC, .
BC . Sed , inclinatis ad punctum quodvis Eejusdem portionis CED rectis AE , ΒΕ , quadrata istarum , vehit aequalia quadrato ex AB, adaequant quadrata , quae fiunt ex ipsis AC, BC. Itaque, si AE teserat diametrum aliquam primatiam ellipsis, erit BE ejuS conjugata. , IX. Hoc jacto principio , iam circa comparationem diametrorum ellipsis duo alia