Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

241쪽

SECTIONUM CONICΛRUM primum est , quod rectangulam ex binis ellialta '' eos diametris conjugatis eo majus evadat, quo magis ipfae riametri ad aqualitatem accedanι; θ' maximum fiat, abi omniso inter se sunt quales. Ut enim rectae AC, BC referunt axes ellipsis , sic tectae AE , ΒΕ reserant binas eius diametros conjugatas . Dico , rectangulum ΑΕΒ eo maius esse relate ad rectangulum ACB, quo duae AE, BE minus a se mutuo differunt; Sc maximum fieri, quum eaedem AE, BΕ inter se sunt aequales. Demittantur siquidem super AB perpendiculares CF , EG . Jamque istarum quadrata Proportional a erunt rerungulis AFB , AGB, quae iis quadratis sunt aequalia. Sed rectanguis

tum AFB est ad rectangulum AGB in ratione composita ex AF ad AG , ct ex BF ad BG.

Itaque in hac eadem composita ratione erit

pariter CF quadratum ad EG quadratum. Jam , assumpta communi altitudine AB, AF est ad AG , ut rectangulum B AF ad reis E angulum BAG . sive etiam , ut AC quadratum ad AE quadratum. Et similiter, assumpta eadem communi altitudine AB, BF est ad BG, ut rectangulum ABF ad rectangulum ABG, sive etiam , ut BC quadratum ad BE quadratum. Quare CF quadratum ad EG quadratum habebit rationem compositam ex AC quadrato ad ΑΕ quadratum, & eX BC quadrato ad BE quadratum. Hinc, capiendo Iatera omnium horum quadratorum , habebit quoque CF ad EG ta- , 3ionem compositam ex AC ad AE, S ex

242쪽

ELEMENTA. aa BC ad ΒΕ . Sed duae istae rationeS compo nunt itidem rationem , quam habet rectanguis

tum ACB ad rectangulta in AEB . Quare erit ex aequali , ut CF ad EG . ita rectangulum ACB ad rectantulum AEB ex quo facili negotio propositi theorematis veritas constat. X. Alterum theorema est , quod summa quoque ex binis ellipseos diametris conjugatis eo major evadat , quo magis ipsa diametνi adaequalitatem accesunt; θ' maxima itidem flat, tibi omnino inter se faut aequales. Maneant enim omnia, ut supra . Dico , summam ex diametris conjugatis AE , ΒΕ eo majorem esse relate ad summam axium AC . BC, quo ipsae AE , BE minus a se mutuo dise erunt , Sc maximam fieri , quum eaedem AE, BE inter se sunt aequales. Ex praecedenti theoremate rectangulum ΑΕΒ tela te ad rectangulum ACB ea quidem lege augetur . Itaque etiam duplum illius rectanguli eadem lege augebitur relate ad duis plum istius . Et , addendo iis commune quadratum ex AB , eadem pariter erit lex incrementi quadrati ex AB una cum duplo tectanis

gulI AEB relate ad idem AB quadratum , auctum duplo rectanguli ACB. Quoniam autem AB quadratum est ieis quale duobus quadratis ΑΕ . ΒΕ ; erit AB quadratum una cum duplo rectanguli AEBaequale quadrato , quod fit ex summa ipsiatum AE, BE . Et similiter, quia AB quadratum est aequale duobus quadratis AC, BC, erit AB quadratum una cum duplo rectanguli ACB

αquale quadrato, quod fit ex ipsis AC, BC simul sumptis. Id

243쪽

SECπIONUM CONICARUM Id vero quum ita sit, necesse est ut eadem illa lege augeatur quoque quadra tum, quod fit ex summa ipsarum AE , ΒΕ, relate ad quadlatum , quod sit ex ipsis AC, BC sintvl sumptist & propterea eadem erit Pariter lex , qua summa ex coniugatis diameis e tris A E, BE augetur relate ad summam axium AC, BC. xl. XI. Neque vero dissicile erit ostendere , dari qualibet ellipsi binas diam:tros conju- ἡπὸ gator aequales inter se , ad quas quo magis accedanν binae aliae conjugatae, eo minus a sc mutuo ιisiis 'o disserant.

μ' Ellipsis namque ΑΚBL si AB axis ma-Fia. 8. jor , & ΚL axis minor . Jungantur subtensae ΑΚ, AL ue Et, bisectis iis in punctis Ο , & U, agantur per puncta ista diametri EF, ΡR. Diaco primo, diametros istas aequales esse inter se. Quoniam enim axis major AB secat ordinatas suas,non modo bifariam , verum etiam ad angulos rectos ; idem axis adeo quidem dividet ellipsim in duas partes ΑΚΒ , ALB , ut

una alteri superimposita , congruent omnino. Sed in hac superimpositione congruunt etiam,

tum subtensae AK , AL , cum diametri EF, PR . Itaque binae istae diametri EF , PR aequales erunt inter se. Dico secundo , earundem diametrorum EF, PR alteram alterius coniugatam esse. Juv-,gatur enim subtensa alia BL. Et,ob axes AB,

KL hi sectos in centro C , duae ΑΚ , BL parallelae erunt inter se. Sed , quum sit, ut A Vad VL, ita AC ad CB ; eadem BL parallela est.

quoque ipsi PR. Quare & PR ipsi AK parati

244쪽

tela erit; & coiisequenter PR coniugata crit ipsius EF . Dico denique , quod si DH , QS suerinthinae aliae cli ipsis conjugatae diametri; eae tanto minus a se mutuo differant, quo magiS aco cedunt ad ipsas EF, PR . Nam , ex superius ostensis , si una DH minuatur in accessu ad EF , altera in augebitur accedendo ad PR. Et per contrarium si illa augeatur , hanc minui oportebit. XII. Nolim autem hoc loco reticere, quod XII. etsi tecta lagulum ex binis ellipseos diametris, Σ

Coniugatis eo maius evadat, quo mastis ipsae citametri ad aequalitatem accedunt , ct maxi- 3 ara, ata. mum fiat, ubi omnino inter se sunt aequales;

corivatas diametros descriptum, sit ejusdem V 2 ' rubique magistudinis, hoc es αρ ais fompor Fio. so rectangulo , quodsub ipsis axibur continetur. Ellipsis enim AKBL sit AB axis major, S KL axis minor. Sint autem EF, PR binae . eius conjugatae diametri. Ducantur per puncta E, & F rectae QS , TU, ipsi PR parallelae; tum item per puncta P , R rectae QV , TS.

aequid istantes ipsi EF r ita , ut circa diametros conjugatas EF , P R descriptum sit parallelogrammum QSTU . Dico , parallelogrammum istud aequale esse rectangulo, quod sub axibus. AB, KL continetur. Demittatur , tum ad axem AB ordinata EG, cum ad diametrum EF ordinata Ao. Et, cx superius ollensis , erit , ut EG ad AO , ita

KL ad PR; sive etiam , ita CK ad CP . Sed, demissis iupet CE,CP perpendicularis A I. ΕΗ, - Tom. I. P EG

245쪽

x16 SECTIONUM CONICARUM EG est ad Ao in ratione composita ex EG ad AI. & ex AI ad AO , hoc est in ratione comis

etiam CK ad CΡ rationem habebit composio tam ex EH ad CE , & ex CE ad CA Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet FH ad CA . Quare erit ex aequali, ut CK ad CP, ita ΕΗ ad CA . S propterea rectangulum ex CP in ΕΗ , hoe est parallelogrammum PCEQ, erit aequale re. Eiangulo, quod fit ex CA in CK. Sed parallelogrammum RSTV est quadruplum paralle logramini PCEQ, S rediangulum sub axibus AB, KL est quadruplum rectanguli ACK.

Quare ut iam parallelogrammum RSTV pe- qu le erit rectangulo sub axibus AB , KL. xm. XIII. Hinc vero plura deducuntur circa ellipseos couiugata diametri o

ισέ-- cursu mutuo in centro construunt.

Nimirum primo , quod sinus anguli , sub

ι σε tr duabus quibuslibet conjugatis diametrii con-

, sit ad radium , ut est νιξ angulum fabaxibus ad id , quod sub ipsis diametris cuntiis

Post ἰs en m omnibus , ut sirpra , sinus anguli ECΡ est ad radium, ut FH ad CE ; sive etiam , ut rectangulum ex CP in E H ad rectangulum ex CP in CE . Sed rectangulum ex CP in ΕΗ ostensum est aequale rectangulo ACK: quod quidem est ad rectangulum ex CP in CE , ut rectangulum ex AB in KL ad rectangulum ex EF in P R . Quare erit ex aequali, ut sinus anguli ECP ad radium , ita re diangulum ex ΑΒ in KL ad rectangulum ex . EF in P R. . Se-

246쪽

Secundo , quod sinus angulorum , quor

Mugatae diametrDoccursu mutuo in centro

constituunt, mi reciproce. ut rectas uti , quatiunt ex ipsis diametrii covjugatis. Jam enim ostensum est, quod snus anguli , quem duae quaevis conjugatae diametri Continent, sit ad radium , ut est rectangulum sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris Continetur . Quare , ex aequo perturbando. sinus anguli duarum conjugatarum erit ad sinum anguli, quem aliae duae conjugatae comis

Prehendunt , ut cit rectangulum istarum ad id , quod ex iis essicitur. Denique , quod avsist acutus , sub βλmis ellipseos diametris conjugatis comprehen- fur , eo minor evadat , quo magis ipsae diametri ad aequalitatem accedunt; O minimus fiat, ubi omnino inter se funt aquales.

Nam, ex superius ostensis, rectangulum, quod binae ellipseos coniugatae diamerri conia tinent, eo majus evadit, quo magis eae diameatri ad aequalitatem convergunt. Sed ei rectan gulo est reciproce proportionalis sinus anguiali , subiis leni diametris contenti. Quare Percontrarium, tam sinus, quam ipse angulus acu tus, ad quem sinus resertur, necesse est, ut eo minor fiat, quo magis conjugatae diametri ad aequalitatem accedunt.

247쪽

ΣΣ3 SECTIONUM CONICARUM

CAP. II.

Parametri diametrorum elli Dis inter se mutuo confe-

runtur.

Omparatis inter se mutuo diamcopsti Rume. tris ellipsis , sequitur, ut para me Ipsarum ad invicem conseramus . Et pri- -- ρη ino quidem, quum conjugatae fuerint ea diame- ..is tri , quarum parametros simul conferre oportet, parametris diiudicare. Ora αν αρὸν In parametris eirim , quae ad duas diame, tros conjugatas referuntur , istud obtinet

FIG. si . the Q rema, quod ipsae diametri continuam eum eis proportionem constituant, ubi inverso ordine inter illas collocantur. . . . Ellipsis namque AKBL sint AB , Κ L hianae eius diametri conjugatae. Sit autem AD parameter unius AB , & ΚI parameter alterius KL. Dico, diametros AB, Κ L, inverso ordine positas inter suas parametros AD, Κ I, conti-

uuam cum eis proportionem constituere.

Quoniam eniin KL est conjugata ipsius AB; erit, ut AD ad KL, ita ΚL ad AB. Et similiter, quoniam AB est conjugata ipsius ΚL; erit ut KL ad AB , ita AB ad Κ l. Gre quatuor AD , KL , AB , Κ I continue proporti

nates erunt.

ii Il. Hinc autem plura deducuntur circa Gn.poratio parametror, qua ad duas diametros conjugatas

248쪽

ELEMENTA. Nimirum primo, quod si duae conjugatae diametri AB , KL inter se sint aequales ; etiam parametri AD, KI debeant esse aequales , tam inter se, quam cum diametris suis. Secundo , quod si vicissim duae coniugatae diametri AB, KL sint inaequales ἴ parametri quoque AD , Κl debeant esse inaequales, tam inter se , quam cum qualibet earum diarimetrorum.

Tertio , quod ex diametris AB , KL ea,

quae major est, habeat parametrum , tum ipsi, cum diametro altera minorem ἴ illa vero, qtiae minor est , parametrum habeat, etiam altera diametro majorem.

Quarto , quod quum inaequales sunt diametri AB , ΚL , ct inaequales adeo ipsarum parametri AD, Κ I, summa parametrorum major sit semper summa diametrorum. Et denique, quod si capiatur differentia , tam inter diametrum AB , & parametrum suaru AD, quam inter diametrum KL , &suam parametrum ΚI; ea quidem differentia sit major, quae ad minorem diametrum , majoremque adeo parametrum refertur.

i III. Ubi autem diametri non suerint conjugatae , poterit de parametris ipsarum judicium ferrI, ostenso prius hoc theoremate, quod si quadrato alicujus diametri figura ejus adjiciatur, summa,quae inde oritur,eadem ubique erit. Maneant enim omnia , ut supra . Dico , quod si ad quadratum diametri AB apponatur figura ejus , quae constituitur per rectanguintum DAB; summa, inde conseAa , sit semper

metro furatas re. friantur .

249쪽

aro SECTIONUM CONICA Ru M- eadem , quocumque in loco capiatur diameter AB.

Ex superius si quidein ostensis , eadem ubique summa conficitur , si ad quadratum diametri AH adjiciatur quadratum , quod fit ex ejus coniugata. KL. Sed quadratum ex KL est aequale rectangulo DAB . QDre, si eidem AB quadrato apponatur rcetangulum DAB , summa inde orta pariter eadem ubique

crit.

.iiths, IV. Inde vero inferre licet , duas quasvis ellipsis reciproce proportionales σε φ...e ννο- summis huerum suarum figurarum. enim diametri A B parameter est AD 1. -m fisa ita st FH parameter cujusvis alterius diametri EF . Dico . AB esse ad EF , ut est summa

F1G. SI ipsarum EF, ΕΗ ad summam ex ipsis AB,AD. ob ostensum namque theorema s eadem summa oritur , tam si ad AB quadratum adjiciatur rectangulum D AB,quam si ad EF qua dratum apponatur rectangulum H EF . Itaque AB quadratum una cum rectangulo DAB aeis quale erit EF quadrato una cum rectangulo HEF. Jam AB quadratum una cum rectangu Io DAB tantundem valet , ac rectangulum ex

AH in summam ipsiarum AB, AD . Et similiter EF quadratum una cum rectangulo HEF perinde est . ac rectangulum ex EF in summam, ex ipsis EF, ΕΗ . Quare , quum aequalia sint inter te duo ista luctangilla ; erit, ut AB ad EF, ita summa duarum EF , Eld ad sultimam duarum AB, A D. V. . Axque hinc modo facile erit ostenda.

250쪽

' E L Ε Μ E N T Α. a tae, quod ex hinis ellipnor diametris ea , ouae V. Quor est , minorem parametrum Babeat. atavi.seti, Maneant enim omnia, ut supra. Et Pon - :mus , diametrum AB maiorem esse diametro est . malo. EF . Dico, parametrum AD, quae refertur ad diametrum majorem, esse vicissim minorem pa b ι .rametro EH , quae refertur ad diametrum mi- F1G. sta

norem

ostensiim est namque, quod diameter AB sit ad diametrum EF , ut est summa ipseorum EF , ΕΗ ad summam ex ipsis AB , A D. Quare , sicuti AB major est, quam EF , ita Scduae EF , ΕΗ majores erunt duabus AB, A D.

Parameter igitur EH , adsciscens suam diametrum EF , majorem summam constituit, quam parameter AD , assumens diametrum s iam AB . Sed EF minor est . quam AB . Ita . que ΕΗ multo major erit, quam AD . ur. VI. Id quum ita sit, perspicuum est, quod

si euti omnium diametrorum ellipsis maxima να , Ma aa est axis major, minima vero axis minor; sic vicissim omnium parametrorum minima quidem omnes ν D-

sit illa , quae refertur ad axem majorem , maxi- T C 'mo vero eo , qua refertur ad axem minorem. -' Liquet etiam, quod sicuti diameter in recessu ab axe majore , ct in accessu ad minorem continuo minuitur , maximamque Pa titur diminutionem , quum ad ipsum axem minorem pervenit; sic vicissim ejus paνameter continuo augeatur , maximumque incremesorum subeat in ipso axe minore. Quia autem ostensu ni est, parametrum eius diametri, quae conjugatam habet aequalem, adaequare diametrum suam ; Iiquet de-