장음표시 사용
251쪽
x3a SECTIONUM CONICARUM Olm , parametrum minoνem esse diametro, ad quam refortur, ab axe majore usque ad eum Discum, in quo aqualitatis diameter reperitur , e sese et ero majorum , ab eo loco usque ad axem mi
v H. VII. Sed nolim hic teticere, quod sicuti locus omnium diametrorum ellipsis exhiberi potest per dati cujusdam circuli portionem; sic sicas omnium parametrornma sit portio recta lia circuli ejus circumferentiam tu dato
is sis ιεὼν . ' qaodam puncto contingit. .
Fio. 9. Si enim rectae AC , BC reserant axes eul ipsis, hoc est AC axem majorem, S BC axem minorem; junctisque iis ad angulos rectos, describatur super AB semicirculus ACB , S ducatur per punctum C recta CD , ipsi AB p rallela; erit, ex superitis ostensis, portio CEDlocus omnium diametrorum ellipsis. Jam , si ex puncto B erigamus super AB perpendicularem ΒΗ , cum qua conveniat, tum axis major AC in puncto H , cum axis minor AD in putidio I: quemadmodum recta ista BH contii, g et circumferentiam in puncto B ; ita portio huius tangentis HI erit nobis veluti locus omnium parametroium ullipsis. Est enim portio circumferentia: CED Iocus omnium diam utrorum cli ipsis , quia quaelibet ellipsis diameter exhiberi potest per rectam , quae ducitur ex puncto A ad eam portionem. Et, ob eandem rationem , erit portio tangentis Hi locus omnium parametrorum3 quia, si AE suerit diameter quaevis, ea denique extendatur, usque donec tangenti occurrat in
Κ, erit ΕΚ parametur ipsius ΑΕ. VIII. Neis
252쪽
r ELEMENTA. 13, VIII. Neque vero difficile erit, rei hujus veritatem ostendere , tam relate ad ipsos axes AC, AD, quam respectu cuiusvis alterius diametri AE , si ejus recordemur, quod supra demonstravimus , nimirum conjugatam diametri AE esse rectam alteram ΒΕ , ductam ad idem punctum E ex termino altero B., Est namque triangulum ABH rectangulum in B . Quare , quum ex angulo recto demissa sit sit per hypotheimsam AH perpendiacularis BC ς erit, ut AC ad BC , ita BC ad
CH. Sed parameter axis majoris est tertia proin portionalis post ipsum axem maiorem,& axem alterum minorem . Itaque erit CH parameleeaxis maioris A C. Eadem ratione , quoniam triangulum
ABI tectum habet angulum in B , & ex angulo tecto deinissa est super hypothenusam AI perpendicularis BD ; et it ut AD ad BD, Ita
BD ad DI . Sed parameter axis minoris est tertia proportionalis post ipsum axem minorem , S axem aIterum majorem . itaque erit DI parameter axis minoris A D. Denique , quia triangulum ABK est tectangulum in B , S ex angulo recto demissa est super hypothenusam AK perpendicularis BE; erit ut AE ad ΒΕ, ita BE ad ΕΚ. Sed parameter diametri AE est tertia proportionalis post ipsam diametrum AE , ct ejuS conjugatam . itaque quum sit BE coniugata diametri ΑΕ, erit in parameter ejusdem diametri AE. IX. Id quum ita sit , iam veritar rerum omnium , quae paulo ante a nobis ostensa Iuxtcirca parametror diametrorum ellipsis , rursus v rebit. Proia
253쪽
FIO. 9 134 SECTIONUM 'CONICARUM Protractis si quidem ad tangentem usqueBH rectis omnibus , quae ducuntur ex puncto A ad circumferent lam CED , perspicuum est, ex portionibus ipsarum, quae tangente, Sceirculo intercipiuntur, minimam quidem esseCH , maximam vero DI. Itaque parametro. rum omnium ellipsis minima quidem erit illa. quae refertur ad axem majorem AC , maxima vero ea, quae resertur ad axem minorem AD. Deinde perspicuum est quoque , easdem illas portiones eo magis augeri , quo magis a puncto B removentur, atque adeo, quo mino res sunt rectae, cum quibus jacent in directum. Quare similiter parametri ellipsis tanto qui isdem majores erunt, quanto minores sunt diametri, ad quas eae reseruntur .
Ad haee , si duae ΑΕ, ΒΕ suerint inter se mutuo aequales , utrique ipsarum erit aequalἰa quoque ΕΚ ; quum sit, ut AE ad BE , ita BE ad ΕΚ . Unde rursus liquet, parametrum ejus diametri , quae conjugatam habet aequalem. Iongitudine sua , tum ipsam diametrum , ad
quam refertur , eum conjugatam ejus adaequare.
Denique, quum tres AE . BE . ΕΚ sino
continue proportionales , erit ΕΚ minor . quam AE, quotiescumque AE superat ΒΕ, urit vero major, quum vicissim BE superae AE. Unde rursus apparet, ab axe majore usque ad diametrum , quae conjugatam habet aequalem , esse parametros minores suis diametris, esse vero majores , ab ea diametro usque ad
X.. Exinde etiam colligi denuo potest ve
254쪽
ritas theorematis, superius ostensi ,κiuod duae m. ellip sos diametri t reciproce proportionalas fammis laterum suarum figurarum . Si enim AE teferat ellipsis diametrum aliquam; protracta ea usque ad tangentem BH , fiet ΕΚ parameter eius . Unde erit AK uis summa laterum suae figurae. Sed AK est ad AB.ut AB ad AE . Quare rectangulum, quod FaG. 9.se ex diametro AE in summam laterum suae figum, aequale erit quadrato ipsi ua AB. Simili ratione ostendemus , eidem AB quadrato aequale esse rectangulum , quod si ex quavis alia diametro in summam latearum figurae suae . Quare aequalia erunt inter se rectangula , quae fiunt ex duabus quibusvis diametris in summas laterum suarum figurarum e & propterea summis istis reciproce proportionales erunt ipsae diametri. - XI. Quamquam autem vi huius theoreismatis . summa laterum figurae diametri eo stis a. h. minor, quo magis ipsa diameter ad majorem axem accedit; differentia tames eorundem la- νε-
ιerum eo minor evale, quo moras fometer sic Niotari. cedit ad eam , quae tum parametrum, cum cos
jugatam habet de nate 4 Sit enim AE diameter illa, cui aequalisust, tam parameter EΚ , quam conjugata BE.
Jamque, ex superiRSostentis, parametri minois res erunt sui3 diametris ab axe majore usque ad AE ; erunt vero per contrarium majores ab AE usque ad axem minorem. Ita autem in accessu ab axe maiore ad ipsam AE , parametri quidem augentur , dia metri vero minu-turὁ omnino necesse est, ut in
255쪽
e 36 SECTIONUM ' CONICA Ru Man accessu isto decrescat differentia laterum figurae . Sed decrescet quoque in accessu ab axe minore ad eandem AE; quia hic per contrarium diametri quidem augentur , parametri vero diminutionem patiuntur.
Ob aequales porro ΑΕ, ΕΚ, liquet, disse
rentiam laterum figurae diametri , tam in acincussu ab axe majore ad ipsam ΑΕ , quam in ae- sessu ab axe minore ad eandem AE , decrescere eo usque , ut tandem evanescat. Et quamquam eadem .differentia maximum subeat inis prementum sub ipsis axibus; per ea tamen, qu* superius ostensa sunt, major est sub axe minore, quam sub axe majore.
X u. Quod ostensum est de disserentia laterum figurae, verum est quoque de disserentio quadrutorum , quae fiunt ex figurae later
bur ; idque eadem omnino ratione demonstratur. Quantum vero ad summam eorundem quadratorum duo sunt casus distinguendi. Primus casus est, quum quadratum ex axe majore non maius est dimidio quadrati, quod fit ex summa laterum suae figurae . Et quum id contingit , quadrata ex lateribus figurae diametri, simul sumpta , eo minorem summam conficient, quo ipsa diameter magis aecedit ad axem majorem. Alter casus est, quum per contrarium est majuS . Et tunc, comperta diametro, cuius quadratum aequale sit quadrato , quod sit ex summa laterum suae figurae; eo minorem constituent summam quadrata ex lateribus figurae alterius diametri, quo magis altera ista
diameter ad priorem illam accedit . XIII. Penin
256쪽
XIII. Pendet autem iitriusque demo stratio ex pulcherrima isa circuli proprietate, quod si ex extremitate diametri A ducatur ad tangentem AH recta AM talis longitudinis, ut AN quadratum aequale sit dimidio quadrati ipsius AM , summa quadratorum AE , ΕΚ eo quidem sit minor, quo magis AK accedit ad A M. ιPonamus etenim primo , quod AC quadratum non sit majus dimidio quadrati , quod fit ex AH. Et quia AC est ad AH , ut AF ad AB ; nec etiam AF quadratum majus erit dimidio quadrati, quod fit ex AB. Quare, si fiat ΑΟ quadratum aequale dimidio quadrati ipsus AB, non erit Ao minor , quam AF ; sed vel aequalis, Vel maior . . Erigatur itaque ex puncto O perpendi eularis ON , circumferentiae occurrens irrpuncto N, per quod agatur recta AM. Et quia
Ao est ad AB , ut A N ad AM ; etiam AN
quadratum aequale erit dimidio quadrati , quod fit ex AM . Quare , per eani circuli Proinprietatem , summa quadratorum AE , ΕΚ eo minor erit, quo magis ΑΚ accedit ad AM , Sconsequenter ad AH. Ponamus. secundo, quod AC quadratum majus sit dimidio quadrati, quod fit ex AH. Et quia etiam AF quadratum majus erit dimidio quadrati, quod fit cx AB di, si fiat, ut huic dimidio aequale sit Ao quadratum , erit Aominor , quam AF . Unde , erecta perpendicu liri ΟN, dabitur diameter AN, cujus quadratum adaequat dimidium quadrati, quod fit ex summa laterum suae figurae οῦ & propterea , per
257쪽
at 3 SECTIONUM CONICA Rura eandem circuli proprietatem , summa quid ratorum ex lateri hus figurae cujusvis alterius diametri AE eo minor erit, quo magis altera ista diameter accedit ad AΕ. xlU. XIV., Si autem consideremus, angulum quemvis rectilineum, ubi vertitur circa verti cem suum, eo minorem ex recta positione da-' ta cruribus siris portionem abscindere , qu FIG. sa. magis accedit ad eam positionem , in qua crura eius aequalia fiunt; haud difficulter praefata proprietatis, qua circulo competit , veritatem demonstrabimus. Si enim sit G centrum circuli;erunt qua
drata duo AF, BF dupla quadratorum , quae sunt ex AG, GF , ct consequenter dupla quoque quadrati , quod sit ex EF. Unde , quemadmodum summa quadratorum AC, CH est ad summam quadratorum ΑΓ , BF , ut AC quadratum ad AF quadratum , sive etiam , ut AB ad AF ἀ ita eadem summa quadratorum AC , CH erit ad duplum quadrati, quod fit ex EF, si iii iliter ut AB ad A F. Jam , si fiat angulus FES aequalis angulo
deque,quum EF quadratum sit aequale rectanis gulo AFS ; erit adhuc , ut summa quadrat intum AC . CH ad duplum rectanguli AFS, ita AB ad AF i S propterea , quia AB est ad AF, ut rectangulum ex AB in FS ad rerungulum ΑFS ; erit summa quadratorum AC , CH ο qualis duplo rectanguli, quod fit ex AB in ipsam FS .
Simili autem ratione ostendemus, quod
si fiat angulus GER i sequalis eidem angulo
258쪽
ELEMENTA. Ε AF , summa quadratorum AN . NM sit ae . qualis duplo recta liguli , quod sit ex AB in OR . Unde erit, ut summa quadratorum AC, CH ad su minam quadratorum AN , NM , ita. FS ad OR : proindeque , quia duo anguli FES , OER , qui cruribus suis abscindunt eae ΑΒ portiones. FS, O R. sunt aequales inter se;
iam incidimus in eum casum , in quo angulus rectilineus vertitur circa verticem suum, & ex recta positione data cruribus suis portionem abscindit. Id quum ita sit, eo res redit, ut ostendaismus, angulum istum , quum abscindit portio. nem O R, talem positionem habere , ut aequalia sint crura ejus ΕΟ , ER . Id vero liquet abunde . Nam . quemadmodum AN quadratum adaequat dimidium quadrati, quod sit ex AM . ita AO quadratum aequale erit dimidio quadrati, quod fit ex AB.Sed AE quadratum, velut aequale quadratis AG , EG , dimidium istud similiter adaequat . Quare duae AE , AO aequales erunt inter se: & propterea , ob trianis gula aequiangula A ΕΟ, ΟΕR , erunt etiam aequales duae EO, ER.
Problemata quaedam circa ellimis diametros , re para-
I. Irca diametros ellipsis , earundemque parametro1 Plura possunt pro-hleis
259쪽
-a4o SECTIONUM CONICΛRUM hiemata institui, elegantia quidem per se ipsa, etiam apprime utilia . Eo hoc capite cum iv , sini prosequi , haud equidem gravabimur; eo-ITI, ... que magis , quod nullo negotio resolvantur, postquam nobis innotuit, diametros omnes 40 ellipsis in dati cujusdam circuli portione reperiri; easdemque, ad datam usque tangentem productas, parametros nobis exhibere. Primum itaque problema hoc eriti datis axibus ellipsis, invenire duas diametros conjugatas , quae datam habeant rationem inter fo. Reserant ergo rectae duae AC , BC axes ellipsis , hoc est AC axem majorem , & BC axem minorem . Jamque , si juntiis iis ad angulos rectos , describatur super AB semicirculus ACB, ducaturque redia CD, ipsit AB parallela; erit , ex superius ostensis , portio circum- serentiae CED locus omnium diametrorum
. Quia autem,ex superius ostensi S,axis maiajor ad axem minorem habet majorem rationem , quam quaevis alia diameter ad suam conis jugatam , utique data ratio, tum directe, cum inverse sumpta, minor esse debet ea, 'quam hahet AC ad BC . Itaque , si fiat primo , ut AC si ad CR lii data illa ratione: erit CR maior, quam BC. Et si sat secundo, ut BC sit ad AC, veluti est AC ad CS;erit CR minor, luam CS. Hine , iunctis rectis AR, AS, erit angulus ARC minor quidem angulo ABC , major
vero angulo AS C. Sed , ob triangula aequi angula ABC, ACS,angulus ASC aequalis est angulo BAC , Rive ABD . Quare idem angulus ARC, ut est minor angulo ABC , sic major
260쪽
E L E M E N T A. 34 rorit angulo ABD: & propterea, si fiat angulus ΑΒΕ , aequalia angulo ARC ; recta BE cadet inter duas BC , BD, adeoque terminabitur ad portionem circumserentia: CED. Inde vero consequitiir , rectas duas AE, BE esse diametros conjugatas eius ellipsis , cujus axes sunt rectae AC, BC . Et quoniam . obtriangula aequiangula AEB, ACR , ratio ipsarum AE , BE aequalia est ut, quam habet AC ad CR; liquet, easdem AE , BE esse etiam in
data ratione . Unde diametri conjugatae , quae proposito problemati satisfaciunt, eae ..ςrulit, quas exhibent ipsae-BE. II. Secundum problema ita se habet: da- 1Lris axibus ellipsis, invisagire duas diametros con tutatas , qua datum reGangulum contineant Reserant adhuc rectae duae AC , BC axe sellipsis et adeo, ut iisdem, ut supra, peractis, sita portio circumferentia: CED locus omnium diametrorum ullipsis. Et quoniam, ex superius oste ii sis , rectangulum sub binis ellipseos diametris conjugatis eo majus evadit, quo magis ipsae diametri accedunt ad eas , quae inter se sunt aequales; utique datum rectangulum, nec minus csse debet eo , quod sub axibus AC, BC continetur, nec majus illo, quod conjuga-t:e aequales comprehendunt.
Jam , demissa super AB perpendiculariCF, rediangulum sub axibus AC, BC aequale aest ei, quod fit ex AB in CF ; quandoquidem 'triangula ABC, BCF inter se sunt aequi angula; adeoque AB est ad AC , ut BC ad CF . Et
quoniam coniugatae aequales sub eo circumserentiae puncto reperiuntur, quod bi satiam di-