장음표시 사용
261쪽
14, SECTIONUM e ONICA Ru Muidit portionem CED; rectangulum, sub ipsis
contentum, ob elndem rationem , erit aequale
et , quod sit ex Ad in circuli radium . Gare
datum rectangulum , nec minus esse debet eo,
quod fit ex AB in CF , nec majus illo , quod fit ex AB in sui ipsius semissem. Hinc, si datum rectangulum aequato Ponatur ei, quod fit ex AB in rectam AZ , eris recta ista XZ major , quam CF , minor Vςr semisse ipsius AB. os ex puncto A eritatur super Ad perpendieularis AP, aequalis ipsi X Z , ct per punctum P dueatur recta PE , eidem AB parallela , haec secabit porti nem CLD in puncto aliquo E . iungantur rectae AE , BE . Et rectae istae exhibebunt nobis diametros quaesitas. Nam , propter triangula aequiangula ABE , AEP, erit ut AB ad BE, ita AE ad AP, sive XZ i ct propterea recta gillum sub ipsis AE, BE aequale erit rectans io, quod fit ex AB in XZ. In. III. Tertium problema in hunc modum t.' ait et concipituri datis axibus ellipsis, iuvenire daas
ιανεαι,ν ' diametros conjugatas , qua datam fummom co . Sed istud problema Deili negotio ad 1 t - , prxcedens reducitur . Ubi enim data est summa diametrorum , dabitur etiam quadratum, μ' ' qvi clint ex summa illa . Sed quadratum istud est aequale quadratis diametrorum una cum rectangulo , bis sub ipsis diametris contento. re , quod constituunt quadrata ex diameis tr ι S una cum rectangulo, bis sub eis comprehenso, illud utique datum erit. Et quoniam, per superius ostensa,quadrata diamςtiorum si hiul sumpta datam summam
262쪽
E L ε Μ E N Υ Α.eonst tuunt, nimirum eandem illam, quam exhibent quadrata axium , constituet quoque datam summam dupluni rectos uti . quod iii bipsis diametris continetur . Quare datum erit rectangulum istud : S: propterea propositum problema ea reducetur , ut datis axibus et Iipsis , inveniantur binae diametri conjusatae , quae datum rectangulum contineant. Quemadmodum autem , quum quaeruntur hinae diametri conjugat* , qu* datum rectangulum comprehendant, oportet, ut re Oangulum datum , nec sit minus e . , quod continetur sub axibus , nec maius illa , quod sit ex diametria coniugatis aequalibus I ita quoque , quum inveniendη sunt duae conjirgatae diametri, quae simul datam rectam ad*qiient: per ea, quae sit perius ostensa sunt. n cesse est , ut recta data , nec summa axium sit
minor, nec major summa conjusatarum *qu lium at V. Quartum problema huiusmodi erIt: datis axibus ellipsis , invenire duas diametros conjugatas , quarum differentia sit data . Sed hoc quoque problema facili negotio ad secundum revocabitur, si consideremus,quod perseptimam secundi Elementor uni quadratum ex differentia duarum conjugatarum diametto. τam, una cum rectangulo, bis sub ipsis contei eo, aequale esse debeat quadrati. earundem; a que adeo quadratiS axium. Hinc enim fit, ut siquidem ex summa quadratorum , quae fiunt ex axibus, auseratur quadratum datae differentiae ; id , quod superest, sit duplum rerunguli, quod quaesitru d.a- . a meis
263쪽
s 44 SECTIONUM CONICARUM metri continent. Unde , quum datum sit reis siduum istud , dabitur etiam dimidium ejus, hoe est rectangulum , sub quaesitis diametria contentum; S consequenter eo res redit, ut inveniantur duae diametri conjugatae, quae datum rectangulum comprehendant.. Caeterum , quum inveniendae sunt duae diametri conjugatae, quarum differentia sit data 3 illud quidem requiritur , ut data ista disserentia non sit maior differentia axium . Nam, ex superius ostensis , omnium diametrorum maxima quidem est axis major , minima vero axi S minor. Quare omnino necesse est, ut di ferentia duarum conjugatarum diametrorum minor sit differentia ax ium. v. Quintum problema ita proponetur :- - datis a thus ellipsis , invenire duas diametroseonjugatas , quarum quadrata disserant a se δ. Mutuo per datam disserentiam . Rus autem re- nullam dissicultatem involvit. Quum νη 'elaim eadem quadrata simul aequalia esse de-
diarii a se beant quadratis axium ς utique data erit, tam ain ..,iavi qu.m di mrentia eorum quadratorum.
Hinc , siquidem ad dimidium summae addatur dimidium disserentiae, habebitur quadratum diametri majoris . Quod si autem ex dimidio summae auseratur dimidium distere tiar, orietur quadratum diametri minoris. Quare diametrorum quadrata data etiam erunt seorsim; S consequenter dabuntur quoque, apsae diametri, quas oportet invenire. Sicliti autem, quum quaeruntur binae diametri coniugatae, quarum differentia sit data, necesse', ut data ista difforentia non. , sit
264쪽
ELEMENTA. a ες maior disserentia axium ; ita quoque , quum invenire oportet, binas conjugatas diametros, quarum quadrata differant a se mutuo per datum differentiam, illud quidem requiritur , ut istiusmodi data differentia non sit maior quadrato, quod fit ex differentia axium. VI. Sextum problema hunc in modum esse remus: datis axibus ellipsit , invenire duas Me diametros conjugatas , quae datum angulum , ,... eontiueant . Sed facile erit, problema istud
ad secundum revocare , in quo datis axibus ' satis . quaeli ipsis , quaeruntur binae diametri conjugatae, quae datum rerungulum comprehendant. Nam semper ac datus est angulus, quem quaesitae diametri continent; data erit ratio , quam habet eius sinus ad radium. Sed ratio ista est aequalis ei, quam habet rectangulum sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris 'continetur . . re etiam haec alia ratio data erit: & propterea , quum datum sit rectan gulum sub axibus; dabitur quoque rectangualum , quod continent quaesitae diametri. Quemadmodum autem , quum quaerunatur hinae diametri coniugatae , quae datum rectangulum comprehendant, necesse est, ut rexctangulum datum non sit inajus eo, quod sub conjugatis aequalibus continetur ; ita , quum inveniendae sunt duae diametri coniugatae , quae datum angulum contineant, oportet, ut ratio sinus anguli dati ad radium non sit mi .nor ea , quam habet rectangulum sub axibus ad id , quod conjugatae aequales comprehenm
265쪽
a 4ε SECTIO NuM CONICARUM quaeremus,qua ratione datis axibus empsis, in venire liceat diametrum , quae datam parame trum babeat . Solvemus autem problema istud in hunc modum. Manentibus omnibus , ut supra , erigatur super An perpendicularis quae dimidium datae paranteiri adaequet. Tum iuncta Ain describatur centro Q. intervallo Gue circuli circumserentia , cum qua ipse
Aiu conveniat ita pii iactis T , R V . Denique in angulo ABH applicetur recta Ag, aequalis ipsi AU. Et erit ΑΕ diameter quaesita . dam enim eidem AB quadrato aequale est , tam rectangulum EAΚ , quam rectangulum TAU . Qirare duo rectangula EA K , TAU aequalia erunt inter se: & propterea erit, ut AK ad A V, ita AT ad A E. Sed ex constructione duae AR , A U stini aequales inter se. Quare erunt pariter aequales duae AE,
AT ; atque adeo etiam ΕΚ ipsi TV aequalis erit . Sed TU , velut dupla ipsius Het , da
tam parametrum adaequat. Et igitur eidem parametro aequalis quoque erit ipsa Eg; ade que erit ΑΕ diameter, quam quaerimus. Constat autem , ex superius ostensis, pacrametr tum omnium ellipsis minimam quidem esse illam,quae resertur ad axem maiorem AC, maximam vero eam, quae pertinet ad axem minorem AD . OMare , ut propositu ni probi ma re ibi vi possit, omnino neeesse est , ut data
parameter , nec minor sit parametro axm matioris , nee major paramelm axiS minoris.
ViiI. Ad octavum problema quod attunet, quaeremtis in eo, qua ratione datis axibar cuipsis, invexiri diamatςr, qua ad para-
266쪽
ELEMENTA. a 4ν mirum suam datam habeat rationem. Eius ve- -isti maeo solutionem facili negotio obtinebimus , sis Hem , ut supra , manentibus , secetur A
subinde quidem in G , ut AG ad BG sit in da t et
ta illa ratione . Nam , erecta deinde pernendi Fio. 3.culati GE ad circumserentiam usque , fiet AK
diameter quaesita; quum sit , ut AE ad EK. ita AG ad BG.
Ex eo autem , quod diametrorum omnium ellipsis maxima quidem sit axis major, minima vero axis minor, parametrorum autem minima sit illa , quae resertur ad axem maiorem , maxima vero ea , quae pertinet ad axem minorem , liquet, rationem cuiusvis diametri ad suam parametrum, ea quidem, quam habet axis major ad parametrum suam . minorem ense , illa vero . quam habet axis minor ad suam parametrum maiorem esse debere . Unde, nisi ratio data his terminis contineatur, problema
erit Ibtutu impossibile. Idem problema potest etiam ad primum
revocari. Nam, semper ac data est ratio, quam quaesita diameter habere debet ad suam para. metrum , utique data erit pariter ratio , quam eadem quaesita diameter habebit ad suam con 'iugatam: quippe quae illius est duplicata. Una de vicissim primum problema ad octavum istud poterit reducit quaerendo nempe diameistrum , quae ad suam parametrum habeat rati nem subduplicatam ejus , quae inter utramquo diametrum esse debet. IX. Nonum problema eo se vertet , datis axibus ellipsis , inveniatur diameter ,
267쪽
siatiat is . tiam. Et quantuin ad priorem partem facili
restituetur ue quunt ιatis sit in anguloma ABH applicare rectam AK , quae datam illam summam adaequet. Quantum vero ad partem 'Iis alteram duo- sunt casus distinguendi . Nam 1 ' diameter quaesita, vel major esse debet sua pa- rametro per datam illam dissurentiam , vel per
In utroque autem casu resblvetur pro Ahiema in hunc modum . Extendatur tangens
B H ad partem alteram ver sus Mitta, ut fad B M aequalis ipsi AB . Tum juncta AM, erigaatur super ea perpendicularis MN , aequalis dimidio datae differentiae . Describatur deinde centro N , intervalloque NM circuli circumis ferentia MOR , cum qua conveniat recta
AN in punctis Ο, S R . Iamque , si in angulo ABH applicetur recta AK, aequalis ipsi Ao in primo casu , ct ipsi AR in secundo ue fiet AEdiameter qtraesita.
Quum en m AM quadratum duplum sit quadrati ex AB , sitque etiam rectangulum ΟAR aequale quadrato ex AM , rectangu Ium ΕΑΚ aequale quadrato ex AB ς erit reactangulum OAR duplum pariter rectanguli ΕΑΚ. Unde, secta AO bifariam in puncto S , erit , tam rectangulum ex o O in SN , quam, rectangultim ex AS in AR aequato rediangulo EAΚ : S propterea erit, non modo, ut Aoad AK , ita AE ad SN ; verum etiam , ut A Rad ΑΚ, ita AE ad AS. Pio .sῖ. Hinc, quum in primo casu duae ΑΚ , Ao
sint αqualta inter se,erunt etiam aequales dno .
268쪽
AE , SN: proindeque, si fiat AT, aequalis ipsi
ON: adeo nempe, ut si TN aequalis ipsi AO,seu' AK ; erit reliqua racequalis reliquae ΕΚ.Sed, ob aequales 'NR, AT, duae N R, TS sun eaequales ipsi AS, vel SO; atque adeo, apposita communi ON, et Iam duae o R, TS adaequant totam SN . Quare , sicuti SN superat TS per rectam OR, quae,velut dupla ipsius MN, ad aris quat datam differentiam 3 ita quoque diameter AE superabit parametrum suam Egi per disseis
rentiam datam. βIn secundo vero casu , quum snt aequales FIG-s Miae Ag, AR erunt etiam aequales duae AE, AS i proindeque reliqua ΕΚ reliquae SR pariter. aequalis erit . Sed SR superat AS , vel Soper rectam OR, quae, ves ut dupla ipsus MN,' est aequalis datae differentiae . Gare etiam parainetex ΕΚ superabit diamettum AE , ad
quam ipsa refertur,per differentiam datam. Caeterum per ea, quae superius ostensa sunt, sicuti data summa, quam constituere de-het diameter cum sua parametro, minor sit oportet summa ex lateribus figurae axis m noris , major vero summa ex lateribus figuraui axis majoris; ita etiam data ilia disserentia, per quam diameter a sua parametro difkrre debet, in primo casu necesse est,ut sit minor dissere tia laterum figurae axis minotia , in secundo: vero casu milior differentia laterum figurar
X. Decimum probIema illud ostendet, ata x. ratione, datis axibus ellipsis, insevire licear
diametrum, cujus parameter cum sunma ex D - --,ho
269쪽
mriis eum Eius vero solutioilem protinus obtinebimus,
, Tuis si utique ex tangente BH abscindamus por- , cuius quadratum datum illud re- ωngulum adaequet. Nam, iuncta AK , fiet Fio. 9. ΑΕ diameter quaesita. m enim diametri AE parameter quidem sit EΚ , summa vero ex lateribus figurae sit AK , erit AKE rectangulum , quod fit ex .
parametro eius in summain laterum suae figurae . sed rectanguliam ME est aequale qua drato ipsius ΒΚ. Unde, sicuti ΒΚ quadratum.
ex constructione, datum rectangulum adae quat;ita quoque eidem dato rectangulo aequa'.
le erit rectangulum AK Ε .Patet autem,quod,ut problema istud reis solvi possit, omnino neeesse sit, ut datum re .mngulum sit maius eo, quod fit ex parame..tro axis maioris in summam laterum suae sis. gutae, & minus illo, quod parameter axis munoris continet cum summa laterum suae figurae. Nam vidimus superius, tam parametrum .. quam summam laterum figurae eo magis augmri , quo magis diameter ad axem minorem ac cedit.
Hoc idem problema poterat etiam ad praecedens revocari Quum enim datum sit rectangulum , quod fit ex parametro in summam laterum figurae; si, ei addamus recta gulum aliud, similiter datum, quod fit ex dia metro in eandem illam summam , dabitur quo-- que quadratum ex figurae lateribus simul sum ἀ seia a S , consequenter ipsa. laterum summa etiam data erit . Unde eo res redit, ut quaer nura diametrum . quae cum sila parametro dam,
270쪽
E L E M E N T R. a Trani summam constituat. X i. In undecimo problemate ostendemus, XL
quo pino , datis axibus empsis , iuveniri possit diameter, cujus quadratum deerat a quadrato parametri per datam disserentiam. Atque hie
duo sit ni casus distinenendi. Primus est,quum quadratum diametri majus esse debet quadra- -.isto parametri. Alter, quum ulcissim debet esse minus . In primo casu data disterentia minor sit oportet differentia quadratorum, quae fiunt ex lateribus figurae axis majoris . In secundo vero casu debet esse minor differentia quadratorum ex lateribus figurae axis minoris. Quantum ad priorem casum Ivetur problema in hunc modum. Extendatur tam
gens AH ad partem alteram versus Mi ita , ut fiat B M aequalis ipsi AB. Tum iuncta AM, describatur super ea , velut diametro, semiciriaculus AN M , in quo applicetur recta MN t lis longitudinis, ut quadratum ejus datam disserentiam adaequet. Jungatur deinde AN. Jamque, si in angulo ABH applicemus rectam
AR , aequalem ipsi AN , erit AE diametee
Quum enim AK sit aequalis Ipsi Au ,
erunt quadrata duo AK , MN aequalia quadrato ex AM . sed quadratum ex ΑM, velut duplum quadrati, quod fit ex AB, est aequale duplo retianguli EAR . QSare quadrata duo ΑΚ . MN duplo rectanguli EAΚ pariter aequalia erunt: & consequenter, apposito communi quadrato ex ΕΚ , erunt tria quadrata