장음표시 사용
21쪽
et 8 Amblygonium, cujus obtusus est unus angu
α9 Oxygonium, quod tribus constat acutis.
Rectangula sunt, a I sceles, & E Scalenum : Amblygonia seu obtusangula sunt, D l sceles , & C Scalenum: Oxygonia seu Acutangula sunt, A AEquilaterum, C Is sceles, & p Scalenum. aEqui laterum perpetuo Oxygonium est. Reliquae spe cies Rectangulae, Amblygoniae, & Oxygoniae esse possunt. Post Trilateras se itur Quadtilaterarum diuisio uniuersa: quarum persectissima est Quadrata.
3o adrilaterarum autem Figurarum, Quadratum, est quod aequilaterum derectangulum est
. 3i Altera parte longius, est quod rechagulum quidem est, sed non aequilaterum.
r Figura Quadrilatera A B C D , cujus Diameter A D,est Quadrata constatq; duobus Triangulis I scelibus c si rectangulis, A B D & A e D. At Figura E F of ujus Diagonius K H, est altera parte langior, Constat duobus catenis E F H & E G Η, rectangulis.
3L Rhombus,est fiFra quadrilatera aequilater ed
33 Rhomboides vero, est quae ex opposito bina
22쪽
latera aequalia,binosq; angulos aequales habet: sed neque aequilatera, neque aequiangiala est.
Rhombus, quatuor habet latera aequalia, duasq; Diametros inaequales: ut inradrilaterum A B C D : atque hinc duos angulos aequales oppositos, obtusos:vt B A C & B D c: inde ve-τ ro duos oppositos aequales, acu
At Rhomboides habet bina latera opposita aequalia. Ut in E FCHFigura, duo latera E F &G H opposita, inter se sunt aequalia, duoq; E G & F H inter se. Caeterum in hoc conuenit cum Rh bo, quod duas Diametros inaequales: binos item angulos odi positos aequales, hinc obtusos, illinc acutos habet. - . rTα 3 ωυι ται Fixta λice ,
34 Praeter haec autem reliqua Quadrilatera, Trape
zia dicantur. εώ οῦ in his nulla est laterum definita Σ-
pter quod anormia sunt. Vt duo A dc B
3 1 Paralleli,seu aequi distantes lineae rectae,sunt quae in eodem plano exilientes, in utramque p/rtem pro
ductae neutrobi conueniunt. 'Quum Recta linea, rectas lineas secans psi saevasit superstatiam in
easdem aequaliter inclinatur, Vt quum anguli sectionum fuerint mutuo ae-
23쪽
is ELEMENT. EVCLI Distiteritq, angulus ACB aequalis angulo C Η c, duae A B & C D lineae, erunt paralleli: quia in utramuis partem protrahantur, nunquam
Lineae autem Circulorum, Paralleli di- cutur, quae super eodem centro ductae sunt. Vt duae lineae A B c & D E F siper eodem cetro G, aequidistant inter se.
i Ab omni puncto in omne punctum rectam ib
neam ducere. Duo puncta, ubicunque assignentur, in eodem plano esse Intelliguntur:atque ob id,ab uno ad alterum via est aliqua breuissima. Quapropter a puncto A ad punctum B nemo negaue rit lineam rectam duci posse: sic neque ab Aia c.Et quia eadem ratione B & C in eodem sunt plano:fit ut tria quaelibet puncta in e dem semper existant plano. Ex quibus Ω- perficies Triangula conflabitur: qualis est AB C. Atque haec est rerum colligatio. Hic enim bInarius ternarium : ternarius quaternarium, immo de senarium includit: quum unumquodque punctorum vice duorum sit. Quartum autem punctum erit septimum & aduentilium. Atque ideo ad . superficiem conflandam, quarto puncto non est opus, quod Senarius sit numerus persectus. Κῶ -m σΩμί--.. mansi ἐπ'. L Rectam lineam im minatam in continuum re
Inter in litates non datur tam magna, quin maior daria , o Possit; neque tam parua, quin minor. Re- cham itaque a B ad pactum e produci pos se
24쪽
Superficies plana in ambitum extendi infinite potest : sicut ab omni puncto in omne punctum recta linea duci: quo fit ut Circulus omni interuallo describi posse co-
Omnes angulos retios inter se aequalis esse.
Haec constat ex decima Definitione. Rectus enim angulus , fit quum recta linea in rectam lineam ad perpendiculum cadit: hoc est, aequaliter ipsi superstat. Id vero ex Circuli centro euidentissime arparet. Vt ex A B C D, qui duabus Diametris se in E centro secantibus diuiditur in quadrantes, qui quatuor angulos; qui ad
ue Quum in duas rectas lineas recta linea incidens, interiores & in eadem parte angulos duobus rectis minores secerit: rectas lineas productas tandem concurrere ad eam partem in qua anguli duobus rectis minores existunt. i
Vt si in rectas lineas a B & c D , recta incidens E F , & secans, 4psas in punctis G&H, duos angulos interiores ac H&DΗG Qmul sumptos fecerit duobus rectis minores: ipsae rectae lineae a B & c D concurrent versus duo pu Bec D.Si enim ponatur
25쪽
i8 ELEMENT. EVCLIDIsa B G perpendicularis ipsi a r : Selliceta anguli qui ad G , recti: sit autem D Η Cminor recto: erit , H inclinata super Erversus E: Atque ob id, angulus D H Gminor angulo D H F , ex conuersione decimae Definitionis : sicq; minor rector quoniam si esset aequalis, uterque esset rectus,per eandem Definitionemaeujus contrarium hic ponimus. Igitur ob inclinationem, ipse C D producta tandem conueniet cum A n : idq; ob eam causam , quod duo anguli BG H dc D H G , duobus rectis sunt minores. Hoc tamen Postulatum inter Definitiones reponi poterat. Exponit enim lineas non Parallelas, sicut decima Definitio Parallelos. Ad haec, quum in speciem Theorematis enunciaretur, nos in Postulatum redegimus. t
1 mae eidem sunt aequalia, & inter se sunt aequa
. Sa. Et si aequalibus aequalia addantur, tota erunt m qualia.
3 Et si ab aequalibus aequalia auferamur, quae relinquuntur erunt aequalia.
4 Et si inaequalibus aequalia adjiciantur, tota 'unt inaequalia.
ue Et si ab inaequalibus aequalia auserantur . reliqua
26쪽
σ Quae ejustem duplicia sunt, inter se sunt aequa
Et quae ejusdem sunt dimidium, inter se sunt aequalia.
8 Quae inter se ipsa conueniunt, & inter se sunt aequalia.
, Totum est sua parte majus. Και δυο άθεῖαι, χαHiscio Duae rectae lineae superficiem non concludunt.
Haec vero Axiomata per se sic manifesta sunt,ut nulla oste sone indigeanr. Horum tamen ultimum quidam in ordine Postulatorum posuerunt: neque omnino absq; ratione. Nam& Pomalari naturam sapit: & ad definitionem Rectae Lineae Consequitur, ut m antἡ minuimus. Sed in hoc non insist mus. Vtrobique enim Principij notissimi vim habet. De HypothesiDemon istione, Probumas ct
, Ypothesis, quantum huc attinet , est subjectio, seisi undamentum ratiocicationis. Hanc re existere noniast necessirium: probabilem esse suis est: eam. l l gem duntaxat habet , ne quid absurdi importet. Vt quum conuenerit Figuram Figurae esse aequalem, aut majorem , atque ex hoc deducatur argumentatio: ea aequalitas aut inaequalitas, Hypothesis est: A qua discedere,constante argumentatione, non licet. Demonstrationem vero appellant Dialectici, Syllogisinum qui faciat scire: nempὶ qui ex probatissimis concludat. Atque haec a Geometria intum habet. --mo omnis, quae ad verum perducit, probatio, Geometrica est. Vt verissimἡ dictum sit, neminem scire verum a talis disti guere, cui Euclides non fuerit familiaris. Quod siquis attemtius sciscitabitur, cui in demonstrandis Propositionibus non C 2 eius
27쪽
1o E L E M E N T. E U C L I D I s eluceat forma Syllogismi, sed tantum concisa quaedam membra Syllogismorum appareant: is sic habeat, praeter dignitatem esse, quae in scholis docentur, ea, quum in rem praesentem ventum sit, ex praescriptis formulis Obseruare. Neque enim orator, quum ad forum accedit, quae a Rhetore excepit dictata, in digitis collocat: immo id agit, ut quum praeceptorem maxime meminit, nihil minus quam Rhetoricen cogitare videatur. Sic in opere Geometrico, quum nil aliud spectemus , quam ut scopum exquisite assequamur, Syllogismi figuram omnino dissimulamus. Quae tamen si exigatur, c probationibus Geometricis ad viuum exprimitur. Sed nos ea resecam iis, quae repetita non modo raedium, sed etiam obscuritatem parerent. Quod inter Demonstrationes facito perspicient qui judicio praediti erunt. Demonstrationum autem conclusiones, sunt Problemata & Theoremata. Problemata, ortus Figurarum comprehendunt, sectiones,' additamenta: eaq, omnia in arte, quae iacienda proponuntur.
Atque, ut, in Philosephia, Problemata dicuntur dubia quae-. lam, quae nobis examinanda & soluenda proponimus: sic in Geometricis, Problemata vocamus Constructiones ex alae depromptas : a quibus speculationes oriuntur, seu Theoremata: nempe quae iactas Figuras comitantur, proprietates &affectiones: quaeq; scientiae ipsi inhaerent & ipsiun efficiunt. Nam in assertione consistunt praeceptorum scut Problemata in constitutione Figurarum. Ad summam, Problemata materiam quandam praxinq; artis reserunt: Theoremata , formam, scientiaeq; meditationem. Ex utrisque Euclides Elementa Geometrica contexuit, ut operi vicissim subseruiebant, ordine quiadem concinniori quam ante illum quisquam: licet neque Α chimedes, neque Ptolemaeus, neque Vllus antiquorum se o dini astrinxe it: nimirum quod institutiones Geometricae tam integrae dari vix possitit, quin aliquid desiderari, aut superesse,
aut conuenientiorem collocationem exigere videatur. Geometria enim perpetuam meditationis materiam alit. Sed haec in aliud tempus re- ponimus. Nunc Euclidem ex prosusta ducem sequemur.
28쪽
Super data recta linea, Triangulum aequilaterum consstituere.
Triangulum . aut aliam quamuis Figuram, super data linea constituere, est ex ipsi linea unum latus Figurae facere. Sit data linea, A B. Volo silper A a constituere Triangulum aequilaterum. Centro quidem A,spatio vero A B, describo Circulum BCDE, per tertiam Petitionem: Rursusq; centro B, de eodem spatio B A, describo alterum Circulum A E F c. Atque hi duo Circuli se mutuo secabunt in duobus punctis, ut in E & c: quum utriusque commu- nis si e Semidiameter AB. A duobus igitur terminis A &a , ad alteram interseditionum, ut ad C, duco A c & B clineas, per primam Petitionem. Dico jam A s h Triangulum super A B linea constitutum, este aequi-
Quoniam enim A Bre A C exeunt a centro A ad peripheriam B c Da: erit, per Centri 6c Circuli definitionem,A c ipsi A a aequalis. Rursus, quoniam B A & B C exeunt a centro a ad peri--eriam A E F C: erit,per eandem Definitionem, B C eidem B Aaequalis. Duae igitur A C & B c uni A B sunt aequales: ob idq; per primam animi Notionem, tres A B , A C, & B C inter se sunt in quales. Quare A a C Triangulum super A B linea constitutum, en aequilaterum: Quod faciendum fui P v L C H R E' Euclides primam ac simplicissimam Figur,rum cum ultima & capacissima conjunxit: scilicet Triangulum cum Circulo. Vtriusque enim usus immensus: Trianguli, ob
29쪽
ax ELEMENT. EUCLIDIs simplicitatem:Circuli,ob persectionem. Equilateri vero dumtaxat meminit , quod haec Trianguli species eadem semper sit&vniusmodi, ob laterum & angulorum aequalitatem: Reliquas duas species praetermisit, isosceles & Scalenum. Infinitae enim eorum figurae. Id unum tamen non omittam, Trianguli Isoscelis longe maximum esse usum. Nam quum in Geometricis omnia sere aequalitate & recto probentur, duorum autem aequalitas sitis sit ad tertium quippiam demonstrandum:quaecumque Demostrationes fiunt Trianguli aequilateri adminiculo, eae quoque per i sceles absoluuntur: l steli vero rectus angulus inesso Potest, AEquilatero nunquam. Quumq; Triangula nil aliud sint, quam dimidiae partes Quadrilaterorum : lso sceles dimidium erit Quadrati, AEquilaterum vero minime , sed solius RhombL AEquilaterum quidem hoc habet priuilegii, quod tres ipsius anguli perpetuo sint aequales: Isoscetis nunquam, sed duo tantum. Tres item anguli cujussi hel AEquilateri , tribus semper alterius AEquilateri singulatim aequales, quamuis singula unius latera, singulis alterius lateribus sint inaequalia. Sed haec ad demonstrationes parum conserunt. Praecipuus igiatur AEqui lateri usiis est in solidis: sed in superficiebus sere nutilus, nisi forte ad Figuras Circulo inscribendas, ubi etiamnum vi I sceles consideratur. Hac nos ratione inducti, Appendicem Campani non omisimus, quatenus I sceles Triangulum super data linea collocandum proponit. Scaleni vero positiornem, ut inutilem negleximus. per Lua recta lis ,-I eui Manente eadem AEquilateri descriptione, protrahatur Iunea A B data,donec utrimq- ρομtingat peripherias Circulorum in
punctis D & F. Tum centro A sp tio vero A F, describatur Circulus. F G H: rursusq; centro B,*atio v roa D, describatur alter Circulus D G K: quorum uterque alterum
secabit in duobus punctis, ut in G& H , non secus quam in iuperiorides
30쪽
Dico Triangulum a B a super A a linea constitutum, esse Iso-steles. Quum enim A a M A D lineae sint aequales, nempe utraque a centro ad periphoriam et eademq; ratione, B A & a r aequales: erunt duae A D & s F inter se aequales , per primam animi Notionem Quapropter, addixa communi A B, erunt, per secundam Notionem, A F & a D aequales. Sed A G ipsi A p aequalis: v-traque enim a cciitro ad peripheriam: quapropter & eadcma a ipsi a D aequalis. Atqui 3 c ipsi a D est aequalis, ex ipsa Cen- tri & Circuli definitione. Duae igitur A et & B G uni B D sunt aequales: ob idq; inter se aequales,per primam animi Notionem. Quare, quum utraque major sit quain A n major enim est a Dquam A Bὶ : erit Triangulum A a G Bbsceles.Quod erat iacien
Ad datum punctum, datae rectae lineae aequam rectim lineam ducere.