장음표시 사용
31쪽
latus D A. Dico A F esse ipsi B c aequalem. Duae enim C B & c E sunt aequales: quum sit utraque a cem tro ad peripheriam. Duae item D E & D F,eadem ratione aequales. Sed D C & D A aequales, ex constructione: quum fini latera Trianguli AEquilateri: aut isoscelis si placet. Si itaque auferantur D C & D A aequales, ex D E & D F aequalibus: remanebunt, per tertiam animi Notionem, C E & Λ F aequales. At B c ipsi C nostensa est aequalis. Duae igitur a C & A p ipsi c E aequales : ob idq; Ze inuicem aequales, per primam animi Notionem. Quare ad punctum Λ, ducta est F. A ipsi B C aequalis. Quod erat iaciendum. PROBLEMA 3, PROPOSITIO III. Δύο ci'θωων a. σω, --τ' εἰ, ου
Datis duabus rediis lineis inaequalibus , a majori li
neam minori aequalem abscindere.
Sint duae lineae a B & C D inaequales,quarum minor R B. Volo ex C D abscindere partem ipsi A B aequalem. Ad punctum e duco E c ipsi AB ae-A--R qualem, per secundam Propostionem-Αc centro C, interuallo vero C E , d seribo Circulum E FC : qui secabit m , jorem C D in aliquo puncto: de secet in F. Dico C p ςsse aequalem AB.
Est enim ipse aequalis lineae C E. Sed& A B eidem C E aequalis. Quare, per primam Notionem, C F aequalis A B. Quod erat faciendum. THEOREM A r, PROPOSITIO IIII. . - δυο sis ατιὰ δυο χλα-τιές abon et ἀρῆσσας η,. -υ ιυιάρα., - F μνώω- ista F -ο σσσω ista ἀν
, . si duo Triangula duo latera duobus lateribus et ii valla habuerim alietum alteri,& angulos binis aequis
32쪽
lateribus eoi tentos aequaleti basis vocita basi aequalis erit, ac reliqui anguli aequis lateribus contenis mucituo aequales: totum denique Thiangulum toti Trian
sitie aequalia duobus lateribus alie Ius : scilicet datus a B aequalet lateri D E: & latus A c lateri D F : sitq; angulus A aequalis angulo D. Dico basin a c basi E ν esse aequalem: Angulum item E an gulo E, & angulum c angulo F : ac totum Triangulum toti
e sis perdir. Eritq; , i r octauam ani-Η mi Notionem, ut nec anguli nec latera sese excedant. Cadent namque duo puncta B & c seper duo E&F. Sic'; linea Be super tiaram h ν cadens , exit ipsi aequalistatqueex rarsone angulus v aequiuis angulo E , M angulus e angulo ν &roluta trianorum roti triangulo aeqdale: quum et iter se se conueniant. Nam si non congruat linea a C cum linea B F, congruentibusIumctis a &c ipsis ε ειν punctis i sed cadat in raetriang ilumέ ut linea E c Raut extra: vi linea E N Fr duae ii
neae elaudent superiAem . contra ultimam antini Notionem mare duo triangula Ah e& DE ν omni ex patra inter qualia. Quod fuit is onstrandum. H c est vulgataotesiluis Interpretum Demonstratio , si modis haec Dertio fistratio dies debeat Nam vi linearum figura-rimi , Ghev clo hes in probationem recipiamus , tota fer. Geqnserela'hujutandi applicationibus erit refertar vixq, vlla occurret Propes tib quae hac ratione non possit probari. S euhesi enim ianslΚ3ε ac tertia, quas modo demonstrauimus,sc probari poterant. 'Nam si ad datum punctum , linea datae libeae Epalis ducenda sit: illico transsata linea ad ipsum punctum absolutum erit negotium: Applicatio vero .quamuis si popostis one sit tothrabines, tamen in Gebmoria repudiatur: immo ne lineam nitidε tiansportate lichr ,' r secundum *fit'
vitignitudinem, Circulum diatibamus: quili prius aequalss lud nea
33쪽
is E L E M E N Τ. E U C MI D I sura cliicta sit. Alioqui secunda prbrsus vacaret. Tum si a majo-ii litica, minor sit abscindenda: quid aliud quam majori minorem sit perponemus,ut quod superat resecemus' Sed hoc quam sit a Geometriae dignitate dilienum : eorum jddicto. relim quo qui Demonstrationis vim & energiam animo cocipiunt. Qui tergo huc ataremus a vi: Euclidem, deprehensioue vindice must Neq; enim ex tam paucis,quas hactenus praemisit,Propositionibus boc Theorema confirmari posse videtur. Huic objectationi, meo judicio, sic occurri poterit : ut dicamus , hoc T hcorcina per se clatum esse, neq; probatione egeret sed DG finitionis cujusdam loco habendum csse. Nam quum ge reali-qBatsermonem initi tui mi is, e nobis tacite per definitionem subit in axumuoi Non ei j in duas angulos aequales esse Cogitabo, nisi quid sit aequales csst: angulos concipiam. QAod respiciens Euclides, angulorum aequalitatem proponere, atque Eadem opera definire voluit: ut hoc Theorema pro Definitione haberemus. Nemo enim signisi 'tius explicabit; Uguloru aequa Martem, si am si dixeri*duos angulos aequale& fieri,quum duo laxera umina angulum continentia, duobus altesum a 'gulium continentibiis fiunt aequalia , bases, quae' lat in conriemetunt, aequales. Constat enim angulum tantum esset quanta est duarum linearum ipsum continentium apertio , seu diductio: hanc vexo tanxam esse quant est basis Rc est,tine ipsas co nectens. Atque, ut clare dicAm, tantus estangilius B A C,quanta est remouodyaex δε cab ipsa A si nia vero essi tur remo. tio , quantam exhibet lin-ns. . Hoc aptem in Jsos libus est euidentius. Sint enim duolsoscelia A B C & D E F: quorum unius duo latera A B S A c duobus D E dc D F alterius sint aequalia: an-
34쪽
' ii L I I E R I. I ἰ'-i 17gulorum enim magnitudo designatur ex arcubus Circulorum, qui per extremas lineas quae angulos continent, transeunt. Acconuerso modo . aequales anguli ,.qtque aequalibus lineis comprehensi quales Atendunt peripherias, Quu enim aequalia sint spatia B a & E F., ea aequalibus rectis Munis claudi oportet, propterea quod recta linea, est a puncto ad punctum via bram uissima. Atquealaud dissimili judicio, ex laterum ratione & b
suin, quanta sit angulorum magnitudo aestimabimus. Cur ergo Euclidexhoc inter Theoremata reposuit, non inter Princisia praemisit Nimirum,quum speciem quodammodo mixtam rincipij-Theoremati prae se ferret: principit, quod in c5muni animi iudicio eo steres: Theorematis, quod speciatim
triangula triangulis comparanda proponeret: maluit Euclides inter Theoremata reserre: praesertim quum multa haberet c pila, Principium vero simplex ac velut nudum esse debeat: Ex hoc praeterea axiomate, tanquam ex locupletissimo Demon strationum themate,multet Propositiones con qn debebant, eiusdem, prope iacilitatis & judicii: a quamquam erantino. tusimae; inter Principia annua inari mon tameniebat. Paucisentiri tincipiis Geometriam contentam esse oportebat: immo multa Principia consult4 supprimuntur, ne sit, .neroia multitudo: ut etiam quae exprimuntur, tantum ad exemplum
exprimi videantu . Flac accedit, quod primum Theorema fiscite, perspicuum ac obu urn esse debebat, pris Geome irriae lege, quae ex paruis humilibusq; initiis, is progressus a
Hujus iraque Propossionis. veritatem nonaliunde quam , communi judicio petemus: cogitabimusq; Figuras Figuris su perponere, Mechaniu m quippiam esseuntelligere ver id demum esse Mathematicum. lam vero, quum rit consessium duoariangula inuicem esse aequilatera, ipsi quoque inter se equalia site rixiii qecessuiuio. Etenim nulla evidentiori speciei aequalitas Figurarum dignoscitur, quam ex laterum aequalit te: quamquam Circulorum aequali ras ex diametris definitur: sed non aliam ob causam quam quod linea obliqua sui copiam adeo aperte non fias 'Vt rectar Cujus mensitam facile ca I-mus,ac per eam, liquarum inter se comparationem iacimus
ς At si haec sep expositio μgua Mione admi uenda sit
35쪽
xx E L E M E N T. TE V C U I D I srabiliot sane fiterit Me qui sequitur modor u ' btinente duorum triangulorum A B C & D A F conditione, Continuabo E D vique ad G punctum, per primam Petitionem: Ec ponam. D ci aequalem A a r fecunciam Propositionem. Α quentidem continuata UD; ponam pH aequalem A c.. Tum per puncto is, ducam duos Circulos: alterum spatio D G , alte rum spatio D H. Quorum prior innisesto tranue per puuctum. l i Ε, quum sint D EN DG aequales: alter vero per punctum
extra transeat, ut o M L aux: D N L: duae rectae lineae.con
cludent superficiem,contra ultimam animi Notionem. Itidem in eodem D puncto ducam lineam Ox': quae etiam incietur eadem cumlineanF, Ax demum linea Lx ducta effetetur e dem cum linea Es. Iam ver mantinum est lineam D Lesse ae qualem lineae D G, ac propterea ipsi A B, ex constructione &nimi Notione: lineam quoque D x esse aequalem D H , seu A Cratque angulum L DK esse minitem angulo E D F , immo eun. dem lac pseptet ea aequalem angulo B A C spatiumq; comprehensum a lineis D Lm D K,esse omnino aequale spatio compro nisa lineis AB.de A c. At spatium Συκ clauditux linea aequali,immo eadem cum linea E F. Et spatium igitur B A e clam detur linea aequali ipsi a F lineae. rare aequalis E F ipsi a c. Quod erat demonstrandum. Hinc patent reliqua Theorematis capitar nempe resisPro nun angulorum inter se,&duorum triangulorum aequalitas. Neque est γω contendat quis, eandem esse utrobique rati nem applicationis triangulorum. Alluc, nanque est, Triangula transponere, quam per simile & aequale demonstrare.Probatio enim haec ultima e Circuli pendet ossicio.
36쪽
I scelium Triangulorum qui ad basin sunt anguli, inter se sunt aequales: Et productis aequalibus lineis, qui sub basi simi anguli,inter si quoque sunt aequales,
Sit triangulum A BC, cujus duo lat a A a dein c sint aeqva lia. Dico angulum a B c aequalem esse angulo Ai e a : Et si proditrahantur A a & A Cot ad D & E puncti: angulum D B C aequalem esse angulo E C B. Ponam,per tertiam Propositionem lineam A D aequalem lineae A E : ductisq; D C & E B , inrelligam. duo. triangula. A B EAED. Et quoniam duo latera A B & A E trianguli A B E, sunt aequalia duobus lateribus A C Sc ID trianguli A c D :'&angulus Autrique communis: erit, per antecedentem, basis B E,basi e D aequalis angulus E angula D, ans
37쪽
Hic etiam obiter monebinius, hanespropontionem in comuni judicio positam esse, ut superiorem.Nam si duo triangu la pro mo intelligimus; scilicet trabn mihi A B ei, c. A C:& triangulum A C B, cujus basis A B : quum duo latera An dea c fissis', sin qualia dubbus C &- alis basi E : erit, ex definitione aequalitam angulorum, seu serantecedentem, A B C angulus, aequalis A Cm angulo SQuod est prius. Tum, ex posteriori nostra constructione , de duodbus angulis 3s et D idem erit iudicium quum probatae
fuerint bases D a quales. . ' . L I. . I
:ι Cujuscumque Trianguli duo anguli aequales se rint, duo quoque t tecti illos angulos subteridentia.ae-
38쪽
sia: γ.& nonnunquMa externis Piobationibus egerent, ut ins quentibus passim. unet.., i
i aus BC.Concurrent: citet namque pars toti aequalis. . Si ergo concurrant Vtra tuangu- . m. . aut alifra illarum secabit triangulum. nitru , aut neutra. E 'cet prius altera, nempe D.
39쪽
31 E L E M E N T. Eu C L: I D I squale. Erit igitur pars major toto: c d fieri non'potest.
Si vero neutra secuerit triangulumaeonnectam D C : & pro ', ducam sc&Eoad E &ppunctis,ut duo sint: 'Panguli Ec D&FDri subbas cti. Et quoniam duo latera A AD triant m in is Ac D 'iunt sequalia rerunt anguli Α'CD εί D C. per quintam Propositionem,aequales Rursus, quia duo latera n c & a D trianguli L. c ' , sunt aequalia: erviat duo ansuli E C DF D c 'b basi, aequales, per alteram par tem ejusdem. mia ergo angulus E C n minor est angulo Aco: ir angulus F D c minor angulo A D c. totum parte. in idem absiardum inaudetur, siquis A D & a o diserit conueoire intra
ς Si duo Triangula du' latera ducibus lateribus mu tuo aequalia habuerint,& basin basi aequalem: an illo, quoque illis aequis sate ibu Fontem' RO es de
40쪽
LIBERI. 3 dem partem,bInae suis conterminis erunt aeqitales: Quod per antecedentem fieri non potest. Hanc demonstrandi rationem in quarta hujus abunde resutauimus. Quare haec Propositio tamquam per se nota habenda est.Quis cnim negauerit duas Superficies csse aequales, quartam latera & quantitate & numero sunt aequalia Z Vel ea demonstrabimus ratione quam illic tradidimus. PROBLEMA , PROPOSITIO IX.
Datum angulum bifariam diuidere.
Sit datus angulus A a c, quem oportet in duo aequalia diutidere. Lineam A i, notabo puncto fortuito D: &ex linea B C resecabo,per tertiam Propositionem B E ipsi B D aequalem:& connectam D E. Tum super D E constituam, per primam Propositionem, triangulum aequilaterum D E Fducam B F lineam. Hanc dico esse quae diuidit angulum B datum in duo aequalia: scilicet duos angulos qui ad B, esse aequales. Intelligo enim duo triangula D B F & E B F. Ee quoniam duo latera a D et B F,rrianguli BDF, sunt aequalia duobus lateribus B E & B F , tria anguli a E p: illiusq; basis D F, hujus basi E F, aequalis: erit, per antecedentem, angulus D E F, angulo E B F aequalis: Quod ia
H A N c Demonstrationis formulam pene ad verbum adscribunt omnes: sed certe non satis firmam. Quid enim si aduersutus contendar num ex lateribus trianguli aequilateri super D E constituti cadere in alteram line rum A B aut C D: ut in subjecta Figura triangulum c DE sit aequilastrum Tunc non rit locus ducendae lineae B propterea quod elset eadem cum a C. Occurrendum iraque
fuit huic dubio per quintam hujus , positis bD A & E C aequalibus, ductaq; A E linea. illic enim probatum est, laterae D & c E aequaIta esse non posse: quum sint duo anguli C D E & c E D inaequales. Ac tum stabite Dem