Iacobi Peletarii Cenom. In Euclidis Elementa geometrica demonstrationum libri sex. Ad Carolum Lotharingum, principem, cardinalemque amplissimum

41쪽

Demonstratio: . .

Sed &ex hac posteriori constructione, pulchra ostenditur ratio hujuste Problematis demonstrandi. Quum enim duae li-ncae A E &C D tarsum ductae ad puncta opposita D&Esese manifesto secent: si ducatur linea ab angulo dato a ad punctum intorsectionis earum,ut linea B r: haec diuidet angulum ipsum in duo aequalia. Nam, per ea quae jbidem demonstrata sunt,& ex quarta hujus : sunt ambo triangula A D E & C E D inter se aequilatera & aequiangula: propterea quod duo anguli A D E & C E D ant, per secundam partem quintae , aequales: & duo latera AD & D E aequalia duobus C E M E D : ob idq; duo anguli CDENAED aequales.Vnde, per sextam, duo latera D F & E F, trianguli D E F, aequalia intellectis itaque duosus triangulis B D F & B E F, procedet Denisnstratio ut in priori descriptione. Sed & tota negotij hujus ratio e Circulo depromitur: hoe est, ab aequalitate. Vtrum enim super linea D E constituatur triangulum AEquilaterum an isosceles,nihil interest: modo ad concursum duorum laterum aequalium ducatur linea: quae hoc loco est linea BF. g rs, Punctum vero concursus, hoc est, punivium ν, in Interiectione duorum Circulo, tum aequalium situm erit: quorum Centra D & E:vt in postremo Schemate: in quo du- etis lineis o p & E F , constabit Demonstr tio. Nam quum duo lateras D M DF, trianguli, D F, sint aequalia duobus a RNE v trianguli a g rinasisqueBPutriquo communis tertini duo anguli qui ad a inter se in quales. Satis autem esse visum est si duorum Circulorum inte sectibnemappingeremus:sicut & deinceps iaciemus, compe

dii causa. . . a. H Gi.

Hic etiarn animaduertes, trianguli I scelis usum in Dem strationiblis firmiorem esse quam 2Equi lateri.

PROBLEMA PROPOSITIO X.

Datam rectam linetin terminatam in duo aequalia

42쪽

Sit data linea Α a secanda In duo aequalia. Super hanc Constituo triangulum AEquilaterum vel is sceles, in idem enim recidit) sitq; A B c. Cujus angulum C, pes antecedentem, diuido in duo aequalia, du ii cta linca C D. Dico lincam AB bipartito diuisana in puncto D. Intellectis enim duobus triangulis A c D & BCD: erunt duo latera' A C & e D, trianguli A C D, aequalia duobus BC 8c C D, trianguli BC Dr& angulus C unius, aequalis angulo Calterius. Quare, per quartam, erit basis a D aequalis bia D ErQuod erat iaciendum. H v I v s quόque Problematis compendium E Circulo pendet. Posti, enim centris ire Al&Bptinctis, libetisq; interuallis , sed aequalibus et quae v-trimque ad oppositas intersectiones ductatur linea,secabit A aper aequalia . Qualis est hoc Ioco linea c o, quae in puncto E ineam A a aequaliter diuidit. Imelliguntur enim duci A c & B c: ut fiant A E c-B A C triangula inter se aequilatera. PROBLEMA. ., PROPOSITIO XI. Τη σέση ἀθειαν ,γ---μείου, π- ώμας

Data re sta linea,a puncto in ea dato lineam My pena

pendiculum erigere

Sitia a resti linea A s, & in ea datum punctum c: a quo li 'ae G ine perpendicularis excitanda sit. Pono e a. qualem A C, Per terriam:& super totam A B, nstituo, per primam,triangulum A a D a quilaterum vel I sceles, semper ititelligo 2 Et a puncto e excito lineam C D. Hanc dico esse πςpdicularem ad Pynctum c. Quoniam enim duo triangula A C D N B C D , ex ipsa Con-ilauctione I sint intei se aequilatera, octauam , aequian- e α gulc

43쪽

ELEMENT. EUCLIDIS gulaterunt duo anguli qui ad c aequales, ac propterea recti, per decimam Definitionem. Quare, per eandem, linea C D perpendicularis: Quod erat faciendum. Hic etiam satis agnoscitur Circuli usias, eadem omnino descriptione obseruata qu m in superiore exhibuimus. illic enim anguli qui ad E, fuerunt aequales: ac propterea recti. . PROBLEMA , PROPOSITIO XII.

. Ad datam rectam lineam interminatam, a puncto extra ipsam dato perpendicularem ducere.

. Sit data linea interminata A B: punctum vero extra ipsim datum c : a quo ad ipsam A a sit ducenda perpendicularis.. Ponam centrum in puncto C , & describam Circulum , qui tantus sit, ut secet A B in duobus punctis,ut in D & E : Ductisq;. iri CD & CB, facio triangulum o CDε Cujus angulum e diuidat in m. a 3 . i. , duo aequalia,per nonam,linea cud I l .cis missa in D S latus , secans Ipsum in si puncto. Hanc dico esse perpendicularem super A B. Eritqῖ argument tio eadem quae in antecedente. Quum enim duo latera c D de C s,trianguli C n F,sint aequalia duobus lateribus C E & C F , trianguli C E F. , & angulus C

nius aequalis anῆulo Calterius: erit , per quartam, basis ' F mqualis basi E ν:& duo anguli qui ad F aequales, ob idq; ream, per decimam Desinitionem. Quare linea C F perpendicularis super A B: Quod erat constitutum. TAgo REM A c, PROPOSITIO XIII.

Quum recta linea se per rectam steterit: duos angu

los aut rectos, aut duobus rectis aequales efficiet. i Recta enim linea a B stet super rectam C D. Dico du's angu-

44쪽

37 LIBER Llos A a c & A a D, esse aut rectos, aut duobus rectis aequales. Nam si ipsa A a perpendicularis fuerit, satis liquet angulos esse rectos, per Conuersionem decimae Definitionis. Sinautem inclinet in limitem D: erigam super Ci, per undecimam, a puncto B perpendicularem B E. Ex qua jam structura satis patet propositio. Nam quum angulus A B Cranto in or sit angulo C B E recto quan- tus est angulus A a E : sitq, alter angulus A B D tanto minor angulo D B E itidem, recto, quatus est idem ipse angulus Asari ablato quod illi abutat, ut addatur quod huic deest: fient duo anguli recti. Scilicet, is angulo A ac obtuse , auseratur angulus ABE: manebit Casi rectus. Tum si idem AE E addatur angulo D B Aaculo: essicietur angulus D a B rectus. Quapropter bic non opus est alia argumentationis formλ Est enim ex iis quae inteulectum turbare potius quam iuuare possit. Satis enIm manifestum est,duos angulos, nempe A B C obtusum, & A B D acutum, aequale, immo unum & idem , complecti istium cum duobus angulis c .E &DBE rectis. - THEO REMA Ns Ps. o PasImo XIII L, Eαν--μ-δω-esta νὰ αὐτὰ μιάρη--τους-γωνιας .4- ορθα ς 1- mκοῦ-, ἐπ'

Si ad aliquod rectae lineae punebim duae rectaeneae coierint, duosq; angulos cum ipsa aut rectos, aut duobus rectis aequales secerint: ambae in continuum erunt & linea Vna. .

Sit linea recta A E : ad 'cujus punctum B duae rectae coeant,c a& D s:duoq; anguli c E A & n a A, aut sint recti,aut duobus rectis aequales. ' Dico ambas e a & ου D sibi esse in directum: scilicet,

C D esse lineam unam. in . ι

Si enim non sit linea una, tunc C B continuata,verbi gratia, ad punctum Ε, transibit iupra a Daut insta. Transeat ergo sa-pra,si fieri possit: ut sit c E linea una. - . Ο

45쪽

tectam C E cadat: erunt, per anteee- dentem duo anguli AB c&A B E,du bus rectis aequales. Rusius, quum duo' 'anglili A 'A c , A a b lint duobus rectis aequales, per hypothesin: erunt, per primam Notionem, duo anguli A B c & A B E, aequales duobus angulis A B C & ABD.Communis auferatur A B C : relinquetur angulus A B E , per tertiam animi Notionem, angulo A B o aequalis , pars toti : Quod est absurdum. Eadem ratione probabitur C a protracta non Cadere infra a D. Erit igitur: D linea villis uoci erat ostendendum. Sed de primo statim intuitu sic ratiocinabimur: Duo anguli C B Α & A a E sunt pars duorum e B A & Α a D. V B A & A B Dmr aequales duobus rhctis . per hypothesin. Quare non runt duo c a A & A B aequales duobus rectis, ne 'sit pars toti

Si tecta linea rectum duream secuetus angulos se

ctionis oppositos aequales iniciet. . x. sit recta linea A a, secans rectam c P in puncto 1. Dico a gulum A E C, aequalem este angulo D E E : &kς-gidum y αποῦ aequatiun angulo in E D. t. i dςcimamrertiam, duobus rectis sunt m quales : stemq; duo anguli C E B & D E B duo

albus rectis aequalcs: erunt, per primam No- ' in 'ε D E B, aequales

a Cona

46쪽

, L I B E R I. Conuet hujus decimaequintae adscripsimus in haec ver

Sι quature recta linea ab unopuncto ex mira, qWatuor angulos fecerim , quorum bini oppositi aequalesserint obinae adae Donea in rectam ui erunt, linea una. Situ quatuor lineae, As, AC, AD,&AE, exeuntes a puncto A, constituentes quatuor angulos ad ipsum A punctum: qu rum angulus B A c sit aequalis anguin D A E : & angulus B A D. angulo C A E. Dico BE&Co esse duas tantum lineas: hia est, duas a A & A E esse sibi in cotinuum, de unicam efficere lineam: duas itidem C A & Λ D Vnic m, . 4 Sin aliter: ppn tur,si fieri posse, E v linea. V una:& C si itidem una. um itaq; recta E A. i incida in C Grectam: erunt duo anguli Lae. . & E A G, Per decimamtertiam, duobus rectis, aequales. inumqi recta GA super rectam E sincidat : erunt,per 'dem, duo anguli a a cii ' F A G, duobus. rectis aequales. Communi igitur adlato E A G : erit per Communem. 2ρtentiam, angulus A C lualis 'ngulo F A G. Sed di ipse L. A ς Pp situs suit aeqv iis angvio B A D. Erie erh' B A D ipii F - c aequalis, pars toti: Quod esse non potest. Idem omnino proueniet absiardum, in quamcumque parrem protrahantur lineae. mare ax una est linea, & co una: mod fuit demanstra dum. . , . . ivvHEOR EN A is, ii PROPOSITIO XvL TIMmς rean Mi vir eruitu ης, ἡ ωι ς μνίοι

, . Omnis Trianguli uno latere praulucto exteriora elus inolibes interiori opposito major est.

m si Triangulum Asc, . Uus MeuaAB protrahatur ad punctum D tDico angulum D sic majorem utrolibet angulorum

. Diuidam ac aequaliter, perdecimam propositionem, ri ncto R: de conninam A E ; quam protrinam ad minum ni topa E E aequalem ipsi A ςt-: di s minam ρ η:

47쪽

ve duo sint triangula AE C&FEB. Primum itaque ostendemus ipsum DBC angulum,majorem esse angulo B c A interiori. Quoniam enim duo latera A E &E c , trianguli A E C, sunt aequalia duobus lateribus E F & E B, trianguli F E B : N angulus E Vnius, per antecedentem, angulo E alterius aequalis et erit, per quartam, angulus E B F equalis angulo E C A.Sed angulus DBC major est angulo E BF. Quare , per animi Notionem , erit &major angulo E C A : Quod erat probandum. Eadem ratione probabimus angulum C B D, majorem esse angulo C A B:

diuisa scilicet B A in duo sequalia, in puncto a , ductaq; C G Nprotracta ad punctum H, ut sint C c & H G aequales : ac demum connexa Η v, dc protracta in x punctum. intelligo enim duo triangula A C G ec G B Η : Quorum latera A ci de C a , lateribusa a & H o fimi mutuo aequalia: dc angulus G unius, per antecedentem , angulo: o alterius aequalis: Ac, per quartam, angulus o B H , angulo G A C : εc, per anteceden tem , dc animi N soneta, angulus b a It eidem G A c aequalis. At o B c major est

strandum. in

Linea ira protracta est ad xt quoniam adhuc non constat M B de B p esse in directum: quamuis res ipsa sic habeat. Sed est Mathein tiei, dubitationibus quibuscumque occurrere.

A LIT E R. Sit triangulum A E c , cujus latus a B protrahatur ad punctum D. ' Dico angulum DB o majorem esse utrolibet angulorum B A C dc A C B. - Quoniam enim duae lineae A c de a C coeunt in puncto C, ει

in ips s insidit Ah t. erunt, per

conuersum modum quintae Petitio- 'nis duo anguli interiores εἰ ex eadem parte scilicet A B c Ee c A B,duobus rectis minores.Sed anguli a B e εἰ DBC,: per decimam tertiam, duobus rectis

48쪽

L I B E R I. 42 Rngulus D B C major angulo B A C. Eadem ratione, quum duae lineae B A & C A Coeant in puncto A , & in eas recta incidat C B: 'Hunt duo anguli interiores A B c & A C a duobus rectis mino-Lies. Sed A B C & D B c duobus rectis sunt aequales. Sunt igitur Muo anguli A B c & D B C duobus A B C & A C B majores. Quare, ablato communi A B C, supererit Ut angulus D B C major sit an- lo A c B: Quod erat demonstrandum.

Bini anguli cujussib et Trianguli, quomodocum-

ue sumantur, duobus rectis lunt minores.

Poterat commode hoc Theorema cum antecedente connecti. Illo enim cognito, statim hoc notum euadit: sicut Euclides postea facturus est in ea Propositione quae est ordine tri- ges nin secunda. Vtriusque enim par est ratio & consecutio. 'Sit Titangulum A a C. Dico binos ipsi ila, quomodocumquest mantur, angillos minorcs Esse duobus rectis. . i Protracto enim latere D B ad punctum D , quum angulus Bexterior, sit, per an Sscedentem, maJor Vtrolibet angulorum o& C : idem ipse s exterior cum B interiori, sint, per decimam- tertiam, duobus rectis aequales: erunt, per communem N tionem , angulus A & angulus B interior, duobus rectis minores: similite que angulus e & idem 3 interior, dum bus rectis minores: Quod erat dem strandum. Sic igitur instituetiir argumentatio. Angulus Arnterior cum angulo B exteriori est aequalis duobus

rectis, per decimam tertiam : sed angulus A ut & angulus E cum angulo B interiori, per antecedentem , minor est duobus angulis B, interiori & exteriori. Est ergo angulus A ut angulus c) Cum angulo B interiori, minor duobus rectis: Quod erat:

semonstrandum . . . t.

Sed &, sine antecedetitis' adminiculo, argumentari possumus per onuersiam quintae Petitionis, cper decimani tertiam .

49쪽

1 ELEMEN-T. EUCLIDIs Propositionem: sicut in superiori secimus. THEOREM A ti, PROPOSITIO XVIII.

Majus latus cujustibet Trianguli, majorem subten

idit angulum.

Sit Triangulum A a C,cujus latus A C sit majus latere A B.DDco angulum A B C, maiorem esse angulo B C A. . Ex latere A C majori abscindam , per tertiam, A D aequale ipsi AE: dcconnectani BD. Intellectis igitur duobus Triangulis AB ra& B C D,erunt duo anguli A a D & A D B, Trian guli AB D, per quintam, inter se aequales. Α- qui angulus A D B major est, per decimamse ritam,angulo B C D interiori opposito:Ob id angulus A B D eodo angulo B c D m Or. Quare & angulus A B c totus, multo major ipsb v c D angulo: Quod erat ostendendum Quod si latus A a ponatur majus latere a C : iisdem argim imentis probabitur angulus C major angulo A: resecto AB ad 'aequalitatem a c. Ac in summa, binorum quorumcumque i terum comparatio iisdem rationibus nitetur, rescisso sempesmajore ad aequalitatem minoris. THEOREM A ti, PROPOSITIO XIX.

Major angulus cujussibet Trianguli, majori etiam Hlateri opponitur.

Sit Triangulum A BC, cujus angulus B major sit angulo C. Dico latus A C majus esse latere A B. 'Primum enim aequale esse non potest latus 'A c lateri A B : Esset enim, per quintam , angu Ius B aequalis angulo C,Contra hypothesin Mi- .nus etiam non erit: Minor enim estet angulus B angulo C, per antecedentem, contra hypothesin. Hoc Theorema annecti poterat superiori.

. THEOR

50쪽

O Duo latera cujussib et Trianguli reliquo sunt maj

'ra, quomodocumque sumpta.

Sit Triangulum A B C.Dico duo latera A B & A c simul sumpta, reliquo B C esse majora. Protraham B A ad punctum D,& ponam a D aequalem ipsi A C,per tertiam : & conne..etam C D. Et quoniam duo anguli A CD &A D c sunt, per quintam, aequales : erit B C I maior ipso a D C: quum sit major quam AC D. Vnde, per antecedentem, latus B D majus e-. xit latere a C. Atqui latus BD aequale est lateribus AB &Ac. Sunt igitur latera A B de Λ c majora latere B C : Quod suit do

monstrandum.

Eadem erit probandi ratio, si bina quaevis latera 'cum ter'

'alo comparentur.

Ex recto etiam demonstrabimus in hunc modumSit Τt angulum A B C: cujus latus B C , lucidioris doctrinae gratia, ponatur maximum trium laterum : ut quum probatum fuerit de maximo, nulla sit de utrovis reliquorum controuersia. Dico duo latera A a & A e simul sumpta, majora esse latere a C. Α puncto A in re tam B c, per duodecimam', demitto pe pendicularem A D:vt duo sint Triangula A BD & ADe. Et quia, uterq; angulus qui ad D rectus est: erir,per decimaseptima,an gulus A D B maJor angulo B A D : &,per de- A cimamnonam, latus ΑΒ majus latere BD, latusq; A C majus latere D C. Sed a n & D cconstituunt ipsum B C. Erunt igitur duo latera A B N a C majora latere B e : Quod erat demonstrandum. Quod fi linea perpendicularis sit eadem cum latere, c, tiim BC non erit maximum laterum, per decimamseptimam &decimamnonam. Quapruprer erit deducenda perpendicat tis ad Aa latus maximum. si'-5 aduersarius contendat, itineam Perpendicularem cadere extra triangulum, ut lineam fi L AE