장음표시 사용
51쪽
ELEMENT. EUCLIDIS major erit, per decimam sextam, angu-t interiori. Vnde A B. per decimam septu
A E: tum angulus A C Blo Λ E C recto, exterior imam de decimam nonam, majus esset utrolibet laterum A CB C, Contra hypothesin. Hoc nobis Theorema ratio magnitudinum praescribie P Nam quum super duos terminos A S B lineae A B statuerim duas lineas A G BC , quae sit nul junctae tantum sint aequales si ambae inclinari coeperint altera alteram verSus,stan- ι Ptibus fixis A & B punctistduo ipsa-S, . rum puncta, quae ad a, non prius , coibunt, quam sit per AB jaceant, , et i& unum punctum C essiciant.. od ex circulis secundum ambarum linearum qualitatem du- ctis, positisq; centris in A &η, est manifestum. Hi enim nus quam secant inter se, ut hic adstriptum vides : Ob idq; , ex his: tribus lineis nunquam conflabitur Triangulum .Dule enim Aci& aci circumductae nunquam egredientur peripheriam. In hoc etiam exrat praecipua quaedam Vis, &, ut sic dicam, auctori inritas Circuli e immo Naturae quaedam praestantia, quae in Geo-- 'metricis passina relucet.
3uobus terminis unius laterum Trianguli duae. lineae exeuntes, intra Triangulum coierint:hae reliquis duobus Titanguli lateribus minores erunt, & maj rem angulum continebunt.
Sit Triangulum A B C : & a duobus termi- 'nis B & materis B C . exeant duae lineae ED de C D , coeuntes intra Triangulum in puncto D. Dico duas, B D & C D, minores cste duabus A n& A Ci & angulum B D C majore angulo B AC. Producam h D donec secet a C in puncto E.
52쪽
. LIBERI. 4s Ee quoniam duo latera A B & A E Trianguli A B E, sunt, per viciesimam, majora tertio B E : Et, per eandem, D E & E C majora
a tertio D C: erunt quatuor AB, A E, D E, & EC, majora tribus B o, E, & D C. Commune auferatur D E et erunt tria A B, A F , &E CS ea fiant A s S A C in maiora duobus BD N D c : uiuod est prius. Altera pars sic probatur. Angulus BEC Trianguli B E major est, per decimam sextam, angulo B A C: Er, per eandem, . - angulus a D C major ipso BE C. Major ergo B D C ipse B A C: QLod erat demonstrandum. Prior pars facile patebat, descriptis duobus Circulis secundum spatium duarum s D & C D, positi Sq, Centris in B & C. Omnino enim duo Circuli secabunt hinc inde duo latera A n re AC. Ac tum erit aequalitas inter duo se gmenta duasq; B D & C D: Sicq; , per nonam notionem, erunt AB & AC. majores ipsis D 3 & o C. Neque enim transibunt Circuli per punctum. A, repugnante septima Propositione. - PROBLEMA 8, PROPOSITIO XXII. Eκ-ευ θειων,-1 13 reum y δεθείσαις ευθείους, --
Ex tribus rectis lineis, quae tribus datis rectis lineis . sint aequales, Triangulum perficere: Mod ὀ tamen duae: illarum , quomodocumque siumptae, reliqua sint majores: quoniam uniuscujusque Trianguli duo latera. omnifariam sumpta, reliquo sunt majora.
Sint tres lineae datae A, B, C, quarum duae quomodocumque sumptae,tertia sint majores. Alioquin aptae non essent ad Triangulum constituendum , per vigesimam . Volo ex tribus lineis, quae sint his tribus datis aequales, Triangulum confi
Ex linea quapiam interminata abscindo, per tertiam, DF aequalem lineae Λ : & F G aequalem lineae B : & c H aequalem li
53쪽
spatio vero G H . describo . Circulum H x M. Hi duo Claculi se omnino secabunt inter se. Ducta enim linea a centro p ad peripheria DKD, .non haberet quo concurreret cum linea ducta a centro C ad peripheriam H x H : sicq; essent ambae simul sumptae aut aequales ipsi F G, aut eadem minores, contra hypothetin. Sit itaque altera intersem:onum in puncto x. Ad quam duco F κ & C K. Dico tria latera Trianguli P si x tribus lineis datis esse aequalia. Quum enim F c linea, quae posita est aequalis lineae a , sit num laterum ipsius Trianguli: & latus p G sit aequale lineae F D, ex Centii definitione, quae posita est aequalis lineae A r erit de ipsum p c latus, per primam Notionem,ipsi K aequale. Demum, quum tertium latus G κ , eadem lege Centri, sit aequale lineae G H, quae ipsa, per eandem Notionem,aequalis est lineae cKomstat Propositio. Hoc Problema in hanc sententiam poterat proponi. Dato Triangulo Triangulum aquale is aquilateram conmisere. Ut si proponeretur Triangulum A E c, statuerem tres lineas in continuum ad aequalitatem trium laterum ipsius: Et procederet Demonstratio quam modo dedimus,adjumento octauae & quartae. Immo adeo poterat statim proponi a tertia Propositione, Bd seMus Circuli officio absolui. Quod autem de lineis proposuit Euclides, id nos docuit,ut
dignosceremus utrum ex tribus datis lineis confici possit Triangulum,an non: quod ex ipsis Circulis , si secuerint se inuI-
Proposita recta linea, ad datum in ea punctum d to angula rectilineo angulum aequalem constituere.
54쪽
sit data recta linea A s, datumq; in ea punctum A : datus ve- tb angulus rectilineus c D E. Volo ad datum punctum A anguium rectilineum dato angulo C D E aequalem constituere. E in recta D E signetur punctum liberum p : & connexa Cp,fiat Triangulum C D F. Iam . ex tribus lineis,quq sint aequales tribus lateribus D F, o C,& C F,constituo Triangulum Α G H. Quod quidem, ex ipsa constructione , manifesto aequale est Triangulo D c F : aut, si auctoritatem requiris, ex octaua. Ob idq; angulus A angulo D aequalis : Quod erat iacicndum. Hoc etiam ex recto perficiemus. Sit enim linea data A B. datumq; in ea punctum C: datus vero angulus D E F. Volo ad punctum e statuere angulum angulo D E F aequalem. Producor E in G punctum: Ac super punctum E erigo, per undecimam, ad rectos angulos lineam E H : Quae si congruat cum E D linea: erat datus angulus. redhus: Quapropter,ere ' m. Perpendiculari super C punctum,h
xl xl bebimus quaesitum. Sin aliter, eXCI- l tabo perpendicularem ad puctum Hr
v cum qua coibit,per quartam Petitio
nem, linea E D ducta .Est enim angulus D E H minor recto: quuc E H sit rectus - Concurrant igitur in puncto D. ut fiat Tria gulum D E H. Eodem modo erigo super punctum C datum,pe pendicularem C κ, quae sit aequalis perpendiculari E H : simulq; iuper punctum Κ, alteram perpendicularem x L, quae sit aequa- Iis perpendiculari H D: Et connecto e L. Dico itaque angu- Ium L C B aequalem esse angulo D E F dato. Sunt enim duo MED & KCLTriangula, per quartam, in- . ter se aequalia & aequi latera: & duo anguli L C Κ εc D E H aequales. Atqui duo B C K & F E H anguli suot aequales,uterque enim rectus. Quare, per secundam Notionem, erit totus angulus I. C B, toti angulo D E F aequalis: Quod erat constitutum.
Quod si perpendicularis extra angulum datum cecideri nempe si acutus fuerit: eadem erit probandi ratio, nisi quod pro secunda tertiam inducemus Notionem. 'THE REMA M, PROPOSITIO XXIIII. EG δυο ἱγιουνα τας δύο iurλαως τῆς δbs α ἀραρς ι ς
55쪽
Si duo Triangula duo latera duobus lateribus mutuo aequalia habuerint, angulorum vero sub illis aequis
lateribus contentorum alter fuerit altero maior: basis quoque majorem respiciens angulum altera bas major erit.
Sint duo Triangula A B c & D E p : simqt duo latera A B &' A C , duobus D E & D F mutuo aequalia: scilicet A B aequale D Ees: de A C aequale D F: sed sit angulus A major angulo D. Aio basin, B C majorem esse basi Ε r. Ponam enim, secundum doctrinam antecedentis angulum E D G aequalem angulo A : Et, per secundam, D G lineam aequalem A C lineae. Et connectam E G rectam: Quae aut transibit supra E F, aut super eandem, aut infra. Et cadat primum supra E p, ut secet ipsam D F in puncto H. Et manifestum est ex qua ta , Triangulum D E G aequale esse & aequilaterum Triangulo ,
Quoniam itaq; Trianguli os ciduo n ra o F & D G sunt aequalia:
o trumque enim aequale AC et erunt, .
per quintam, duo anguli DFG & . D ci v super basin, aequales. Quapropter major erit angulus DpG angulo F G E: ob idq; multo major angulus torus E F Gipso F G E. Majus itaque, per decimamnonam, latus E C latere
EF. Quare, quum E G sit aequale B C : major est B C basis , ipsas p basi : Quod fuit demonstrandum. ITEM aliter. Malor est angulus DFG , ut iam ostendimus, ipso p G H. Majus est igitur, per decimam nonam,si H latus ipso F H latere. Atqui E H & Η F per vigesimam, sunt majora E F. Quare multo majora sunt Ε Η & H id est E G ipso E F. ULtur & A c majus ipso E F : Quod fuit ostendendum.
Si vero E G transeat super E F : tum E p erit pars ipsius: Vnde E c major erit. Transeat jam E G infra E se duae D F & D G , quae posi sunt
56쪽
LIBER I. Assunt aequales , protrahantur ad H de Κ puncta , Ut D F sccedE G in puncto X. Eruntq; , per siccundani partem quintae, duo anguli sub basi scin de C FK inter se aequales. Maior itaque erit angulus G K angulo ECF ob idq; multo major Ε F G ipso E C F. Quare majus est, per decimam nonam, latus E C idem & BC latere E F : Quod erat demonstrandum. ALITER. Quum duo anguli PC H & C FΚ sint aequales: erit maior G F x ipso F G K. Majus itaque, per dcclinan nonam, latus x C latere F Κ. Sed E Κ & F R, per Vigesimam, sunt ma, jora E F. Quare multo majora sum E K de K c id est Ε cὶ ipsρE s: Quod erat ostendendum. R v R s v s ex Vigesimaprima. Duo latcra D G & E G sunt majora duobus D F & E F. Qi a re quum D c posita sit aequalis D p: supererit F C major E F. Sed, ut hic admonet Campanus, praestat prior demonstrandi ratio : Vt ex Vtraque parte quintae Propositionis ducatur argumentatio. Iucunda tamen illa varietas ingenium acuit, & memoriam exercet. THEOREM A ic, PROPOSITIO XXV. Dis δυο F ωνα τας δυο-γιῆς δυm nπλα me , ἶ- ais et M' ἐκώ ρα, τ βαειν , ἡ μιμονα υ S-ἡ γω
Si duo Triangula, duo latera duobus lateribus mutuo aequalia habuerint, basis vero unius basi alterius . fuerit major: angulus quoque majori basi oppositus, major erit angulo minori bas opposito.
tuo aequalia: sed bass v c major basi
E F. Dico angulum A majorem angulo D. Haec est Conuersa antnςedentis. Primum iraq, aequales hon erunt:
57쪽
o ELEMENT. EUCLIDI spothesin. Neque erit angulus A minor angulo D : Esset enim per antecedentem, basis E F major basi B C, Contra hypothesin. Superest igitur ut A sit major D : Quod fuit probandum. Maniscitum quoque fuit hoc Theorema ex quarta, immo ex seipso. Sed quia ex antecedentibus probationem recipit, cum caeteris in ordinem redactum est. THEOREM A i , PROPOSITIO XXVI.
Si duo Triangula, duos angulos duobus angulis mutuo aequales habuerint, latust unum uni lateri ae quale, siue quod aequii adjacet angulis, siue quod uni aequalium angulorum subtenditur: reliqua quoque latera reliquis lateribus mutud aequalia, & reliquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt.
Sint duo Triangula A B C & D E F, sitq; angulus B aeqiralis angulo E, & angulus C angulo F : Et sit aut latus B C aequale lateri B p : aut A B aequale D E : aut denique aequale D p. Aio reliqua duo latera, reliquis duobus cile lateribus aequalia: ac reliquum angulum A reliquo angulo D aequalem. . Primsim igitur sit latus B C , cui incumbunt duo anguli a &C, aequale lateri E F , cui incumbunt anguli E N F , positi aequa- . i i les ipsis B & C. Dico larus A B aequale esste lateri D E : & latus AC, lateri
D E sit D E majus:& rescindat tir a Eaequale ipsi A B : & connectatur F G. Eritq; , pet quartam, angulus E F G aequalis angulo C: quapro--pter & angulo E F D, pars toti: quod est absurdum. Erit igiturn si aequale ipsi A B : ob idq; per eandem, D F aequale Λ C : & an- gulus D, angulo A, sicut voluimus.
58쪽
LIBERI. Sint rursus duo anguli B & c aequales duobus E & s : sitq; latus A B , quod subtenditur angulo C , aequale lateri D E , quod subtenditur angulo F, cui positus est aequalis angulus C. Aio latus B c aequale est e lateri E F : latus A C latcri D F : & angulum
. Si enim n C & E F latera non fuerint aequalia, sit E F majus: eponatur E H aequale B C: & connc latur D H. Eritq;, per quartam , angulus D H E aequalis angulo A C B : ob idq, & angulo E F D, exterior interiori opposito, contra decimam sextam. Est igitur E p latus aequale B C lateri. Quapropter Δ D F, per quartam, aequale A C. &angulus E D F, angulo A. Sicq; patet Propositio. THEO REMA 18, PROPOSITIO XXVII.
Si duas rectas lineas recta linea secuerit, duosq; in- . teriores alternos angulos aequales fecerit: illae duae ib
neae erunt paralleli. , , , . f, . . Sit linea A B, secans duas lineas c D 'quidem in punctos, NE v in puncto H i sintq; duo anguli alterni D G H & E H C, aequai les. Dico duas lineas C D & g p esse parallelos seu aequid istantes ' Sin minus, concurrant protractae ad punctum K, si fieri possit:vist Triangulum' a κ H. Cujus angulus Κ C H interior', erit, ex positu , aequalis angulo E Hs exteriori opposito: quod in Triangulis fieri nequit, per decimam sextam. Non igsturcoh currunt c D&E r lineae. Sare per Definitionem Parallelorum Ipse aequidistant altera alteri: Quod erat demonstrandum. THEOREM A idi, PROPOSITIO XXVIII.
59쪽
Si duas rectas lineas recta secans linea, exteriorem angulum interifri opposito & ex eadem parte aequa te in fecerit, aut duos interiores ex eadem parte 'duobus rectis aequales: duae lineae erunt paralicli ''
Sint duae lincae A B & C D, quas secet linea E F , illam quidem . in puncto G , hanc vero in puncto H : sitq; angulus G exterior angulo H interiori ex cadem parte aequalis: aut duo. anguli H& c interiores ex cadem parte, duobus rectis aequales. Dico duas Α Η&co lineas este aequid istantes. 8 . P Quum enim E G B angulus, sit, ex positia, aequalis D H c anu 'gulo: sitq; , per decimam quintam, A G H eidem E G B aequalis: erunt A C H N DsHG ad terni, aequales. Quare, per antecedentem , duae A B D Jineae aequi distabunt inter se: Quod est pilus.
Sint porro duo anguli AGH & CH Q... duobus recti .ae8u les. Dico sic quoq; duas , A B & C D iis ter de aequidi stare. Quum en iiii ἡdo anguli e M iu& D HE, sint, per decimam tertiam , duobus rectis
gulus , .remanebunt, per Communeris Notionem, duo 'A c si &ρ H G ElieIui, aequales. Quare, per antecedentem; duae AB & c D inter se aequi distabunt: Quod fuit demonstrandum ἴ H. Y V siues Corematis pars posterior connexa est cum Pe- , titi,pe vici'aa. Nam si duae lineae concurrere dictitur, quae cum lilica ipsus secate duos angulos interiores ex eadem partoduobus rectis minores faciunt: conuerso modo,Quae concurrunt,cae dii is aligulos interiores ex eadem parte duobus rectis mi-
, DPxcf. . iliciunt, Arqui A B & C D lin ,, duos ejusmodi angulos
60쪽
Si duas Parallelos rectia sexet linea; prum duo anguli alterni aequales: & angulus exterior interiori stibi opposito ex eadem parte aequalis: items duo anguli
interiores ex alterutra parte constituti, aequales duosus recti S.
Sint duae A a & c D parallell, quas secet linea E F in punctiso & H. Dico duos angulos B G Η & C H G alternos, aequales esse: Angulum item C exteriorem angulo H interiori, ipsi ex eadem parte opposito, aequalem: Angulos denique C&H ex eadem
parte interiores simul sumptos , aequales esse duobus rectis. Hadid est Conticia duarum antecedentium: cujus primum ca- .put sic probatur: ' ' 'Si duo anguli 3 cti & c sic non sint aequales, sit major ipse C He. Et quoniam C H C & D H G sunt,per de-- . Cimam tertiam,duobus rectis aequa-
les: erunt duo B GA&D H duobus i rectis in in bres. Unde fiet ut duae lineae A B & c D in alterutram pa rem p oductae concurrant, ut ad punctum K : Quod erit contra hypothesin, quum sint paralleli. Sunt igitur anguli B C H C H C aequales. Ad hoc consequitur secundum. Est enim , per decimam-
quintam angulus A G E aequalis angulo B C H:Vnde& ipsi o HG, per communem Notionem, aequalis, exteribr interiori. Hinc rursus colligitur tertium. Nam quum A G EI& A G H, sint, per decimamtertiam, aequales duobu . mcti :erunt quoqi, fer animi Notionem, C H G & A C H aequales duobus rectis ambo interiores,& ex eadem parte: Quod crat demonstrandum. Si duae rectis lineae, quae duas parassis secant, inser ipsas ad v- num punctum coierint, duos angulos alternos aequales fecerant: aut - angulum exteriorem interiorisibi opposso ex eahm parte aqualem: aut denique duos interrores ex alterutra parte Liam rectis aquales : ea dua linea in tantinuum erunr o linea una.
. . Sint duae lineae A B & C B , quae duas parallelos o s & F o s cenz: A B quidem ipsam D E in puncto H :.ζk,CB: ipsam Fam