장음표시 사용
341쪽
eae conserantur, sunt VI. hoc est esse parem partibus suis et hoc numeri genus in aliqua uirtute est, cetera in uitio, uel ex superante uel ex deficiente. ut puta sumamus duodecim. et duodecies singula et sexiens bina et Squater terna et ter quaterna et bis sena duodecim fiunt. itaque eius partes sunt unum duo tria quattuor Sex, quae iunctae in unum sedecim efficiuntur. hic amplior perfecto numerus est. at sedecim fiunt iunctis sedecies singulis, octiens binis, quaternis quater, octonis bis, neque istpraeter has si faciasJ ulla eius numeri mensura est. collati autem in unum unus, duo, quatuor, octo non ultra faciunt quam quindecim, minus eo ex quo orti sunt. hic
54 filii etiam plani numeri sunt, alii crassitudinem quo- 15que in se habent. planum numerum esse Graeci dicunt. qui duobus numeris continetur. id eius modi est: in ratione mensurarum tantum de norma contineri, quantum a toto quadriangulo, euius pars in ea norma sit, existimant. item ad numeros planos reseruntur qui in duo 20 latera ordinantur, sic ut rectum angulum faciant et normae similitudinem repraesentent. igitur si in alterum latus quattuor, in alterum tres porriguntur, hi duo numeri lege eorum duodecim capiunt planumque eum numerum nominant. at crassitudinem aiunt a tribus numeris. sint 25 in alterum puta latus quattuor, in alterum tres, supra deinde quattuor adiciuntur. his numeris altitudinem quo-2 VII R il 5 sexies br il 8 ad efficiuntur add. fiunt bs sexdecies R il sedecies singulis om. Ni li 10 octies bbonis B, ii quater ωriore Deo) om. B octonis bis om. Bi11 praeter KOppius pariter BR ll si facias deleui it post mensura ada. non r il 13 quindecim ada. p il eo p quo BR ll 14 interfectus B li 17 a ante duobus add. Ei R
342쪽
que super inferiorem normam impleri dicunt includique uiginti quattuor. in quibus obscuritate ex superuacito quaesita evidentissimum est planum esse numerum sic singulis iunctis, nequid super alterum sit, crassitudinem fieri numeris o super numerum inpositis. ipsa autem planities uarias 755sormas habet numeris ad similitudinem aliquarum figurarum ordinatis, quae incipiunt a linea, tum uel triangulae fiunt, atque eae quae quattuor angulos habent uel quadratae sunt uel altera parte longiores. quas ἐτεpol iηκεic 2 9s10 Graeci appellant. praeterea plures quoque anguli possunt interdum etiam inaequalia numeri latera esse, ut cum deinde in crassitudinem insurgat figurasque plures esticiat, tessera persectissima esse inter eas uidetur. est autem triangulum in paucissimis tribus, quadratum in pau- 15 cissimis quattuor. id autem quod imparia latera habet in paucissimis V. altera parte longius quadrangulum in paucissimis sex. crassitudo item, quae tessera, in paucissimis Octo. nam duo simplicem ordinem faciunt, tres sic componi possunt ut totidem angulos habeant, quattuor in 20 quadram positi in omnem partem binos habent, quinque sic colligantur ut in altero latere duo, in altero tres sint:
sex futJ quadrangulum laciunt quod in duobus lateribus
binos, in duobus ternos habet, at si quattuor ponuntur et crassitudo oritur et paria omnia latera in planitiem at-25 que altitudinem sunt, binis in omnem partem ordinalis. similes autem plani numeri sunt, quorum latera eandem 750rationem habent ut sex et sexcenta, cum illis in altero latere duo et in altero tria, his in altero ducenta, in altero latere trecenta sint. eodemque modo similes etiam in 30 crassitudine numeri sunt, quorum latera sub eadem ratione sunt ut uiginti quattuor et nonaginta Sex. nam ut in illis alterum latus quattuor, alterum tres habet, quo sib
26 fiunt ante similes add. b l similes b similis B simil6 D I
343쪽
MARTIANI CAPELLAE ut planities duodecim , crassitudo uiginti quattuor capiat, sic in his alterum latus octo, alterum sex recipiat, quo sit ut planities quadraginta octo, crassitudo nonaginta sex comprehendat. quod est autem inter duos et tres, est inter CC et CCC: ratio quae est inter III et Iul. sex et 5 octo. manifestum erit simul atque rationes, quae inter
57 Omnis enim numerus pars est alicui numero maiori, qui aut multiplicatione procedit, aut ratione membrorum aut partium, aut simul et multiplicatione et ratione mem- 10hrorum uel partium. ratio membrorum in uno memhro 25o pluribusue, ratio partium in una parte pluribusue est, minor uero numerus aut replicatione minuitur aut ratione membrorem uel partium, interdum etiam simul replicatione et ratione aut membrorum aut partium . neque ulla i5 ratio numeri ad numerum quae non intra haec est. Graeci multiplicatos numeros πολλαπλacio Uc, replicatos Uπο- Πολλαπλαcioυc, membro membrisue antecedentibus cari-μopio υc membro membrisue inferiores υΠεπιμεpεic appellant, binis deinde nominibus utuntur in eis in quibus 20758 binae rationes sunt. cum hoc ita sit, num rus comparem rationem habet aequalitatis, quam lcoτητα Graeci uocant lut duo ad duos, tres ad tres, quae ratio etiam persecto numero ad suas partes est ideoque is numerus potior ceteris habetur. quid enim aequo esse melius potest' at 25 ubi alter numerus maior, alter minor eSt, protinus inter eos distantia est, quod in omnibus sit qui ratione membrorum uel partium aut antecedunt aut anteceduntur, ideoque hi numeri peiores sunt, inter quos partesque eorum aliquod discrimen est. sed ut distantia inter duos numeros M4 est inter om. N 'R il 5 haec est inter ante sex add. p il8 maior ii s qui om. B H li 15 rationem H li i7 ad ratio add. minuitur b li quas om. B R il 17 ΠΟΔΑΠAACI ΟΥ
344쪽
maiorem minorem lue eadem est, sic ratio inter eosdem
contraria est: tantundem enim distat inter tres it quattuor quantum inter quattuor et tres. at ratio inter hos ipsos diuersa est eaque quae sit infra patebit.b Cum proposuerim uero primas in multiplicatione 75s
rationes esse, multiplicationis ratio est senioni ad ternionem, Octonario numero ad quaternarium: contra replicationis ternioni ad seniouem, quaternario numero ad Octonarium. membrorum uero ratione uincit is numerus qui 10 solido membro membrisue antecedit, qualiS eSt nouenarius ad senarium: ternione enim uincit, quae eadem bis in Senario numero inuenitur. contraque membrorum ratione uincitur Senarius a novenario. at partium ratione
uincit qui in se et ipsum minorem numerum hahet et 15 aliquam partem eius partesue, ut si septem cum quattuor 25s 9 conserantur: si quidem in septenario numero et quattuor Sunt et horum tres partes: contra uero partium ratione uincuntur quattuor. at idem numerus et multiplicatione et membrorum ratione antecedit, si puta VIII et ΙΙΙ iun-20 guntur: nam octo et his terna habent et praeterea membrum in duobus. et multiplicatione , uero et partium ratione uincunt quinque si conserantur cum duobus: nam in quinque bis hina sunt et praeterea duorum pars una. contra in his ipsis numeris minores a maioribus simul et 25 replicatione uincuntur et aut membrorum ratione aut partium. sed ut genera rationum inter numeros haec sunt, 760 sic species in singulis plures. nam ut ad multiplicationem primum replicationemque ueniamus, inter hos aut dupli ratio est aut tripli aut quadrupli ac procedere qu0M que ultra multiplicatio potest per eosdemque rurSus gradus idem numerus replicatur. ergo rationem habent
venarius a senario si 14 et fi li 16 et om. D li 17 partes om. li uero b ergo BD il 18 uincuntur a septem. Rt D uin . euntur IIII at B lj 22 post uincunt add. ut b li conseratur
345쪽
MARTIANI CAPELLAE duplo maiorem duo ad unum, quattuor ad duos, octo ad quattuor; duplo minorem unus ad duos, duo ad quattuor, quattuor ad Octo. item triplo maiorem tres ad I, nouem ad tres. triplo minorem I ad tres, tres ad nouem. quadruplo maiorem quattuor ad I, sedecim ad quattuor. qua- 5druplo minorem I ad quattuor, quattuor ad Sedecim, eademque in ulterioribus multiplicationibus et incrementi
et diminutionis ratio ESt. et61 fit ubi inter maiores minoresque numeros ratio membrorum est, maior aut superdimidio uincit, quem rohmOλioV, aut Supertertio, quem crTiTpiTOV, aut si per- quarto, quem cariTεTapTOV Graeci uocant et sic ad super- quintum supersextum ulterioresque ratio procedit. superdimidius est qui ipsum aliquem numerum et dimidium eius habet, supertertius qui ipsum aliquem et tertiam eius, 15 superquartus qui ipsum aliquem et quartam eius, eadem-25as que in ulterioribus ratio est. contra ex isdem numeris minor maiori aut subdimidius est quem υφημi6λiou. aut sub tertius quem υΠODITOV, aut Sub quartu S quem υπο-
τέTaprou Graeci appellant. Superdimidii rationem habent Dires ad duos, CCC ad CC, quorum Supra facta mentio est. contra subdimidii duo ad tres, CC ad CCC. at super tertii quattuor ad III, octo ad sex, qui ipsi quoque supra positi
sunt. sub tertii tres ad quattuor, Sex ad octo. superquarti quin iliae ad quattuor, decem ad octo. subquarti quattuor is ad quinque, octo ad decem. 762 Partium uero ratio proxima in quibusdam numero supertertio est, in quibusdam Superquarto, idque procedere ultra potest. supertertio similis est ubi maior numerus minorem ipsum et aliquas eius tertias partes com- ro1 ante duplo add. in post duplo add. 1 pli b li 3 in ante triplo add. B li 4 nouem B VIII R I 6 maiorem - quattuor om. B R it 8 deminutionibus corr. in deminutionis B li
346쪽
prehendit, superquarto ubi et illuni ipsum et quartas eius. sumamus quinque ad III et decem ad sex. antecedit quinarius ternionem, quod et illam ipsam et eius duas tertias
habet. item in decade sunt et sex et de sex duae tertiae. 5 at proxima superquarto ratio est inter septem et quattuor, inter quattuordecim et octo. in septem et ipsa quattuor sunt et eius tres quartae . atque ut ea ratione, quae Su- pertertiae et Superquartae proxima est, maiores in his numeris uincunt, Sic ratione proxima subtertiae et sub - 10 quartae minores cum maioribus habent. illo neminem
decipi conuenit, ut aliquam partium rationem superdimidiae similem putet. nam si numerus aliquis numerum aliquem et dimidium eius habet superdimidius est, si numerum aliquem et eius duo dimidia habet pars est. nam 15 ut duae quidem tertiae rationem supertertio proximam habent, sic duae quartae rationem Superquarto proximam recipiunt. nam siquis ipsum et eius duas quartas habet superdimidius est, ut si sunt sex et quattuor: in Sex enim
et quattuor sunt et eius duae quartae. contra uero ut 20 ea ratione, quae Supertertiae et superquartae proxima est, 253 9 maiores in his numeris uincunt, sic rationem proXimam subtertiae et subquartae minores cum maioribus habent
eademque ratio procedit, sic ut superquintae ulterioribusue similis est. hinc rursus plura discrimina oriuntur, si qui- 76325 dem unus numerus potest duplo generari aut superdimidio aut super tertio aut superquarto ulterioribusue et multiplicationum et membrorum rationibus. ponamus quattuor et decem. ex his decem duplo et superdimidio aucti Sunt. nam bis quaterna octo sunt, deinde dimidium quat-30 tuor in duobus. apponamus quattuor et quattuordecim; ex his quattuordecim triplo et superdimidio aucti sunt. nam ter quaterna duodecim sunt. deinde dimidium quattuor est in duobus. progrediamur ultra usque ad IIII et 2 adJ et B li adJ et B li 4 deeus BR eorr. Vule. li sunt VI b il5 ad B R it 11 aliquis b ll 14 pars est B par est 6 pars eius est D li 16 duae BD III b li 25 generari Vulc. geri BR li 28 6x b et BR ll 30 est b sunt BR li 33 sunt ante
in duobus add. Biri li post ultra adii. sex R sextum B ll ad
347쪽
MARTIANI CAPELLAE XVIII. ex his XVIII quadruplo et superdimidio increuerunt. nam quater quaterni XVI sunt. deinde dimidium quattuor est in duobus. at si sint III et septem, ex his
septeni duplo aucti sunt et supertertio. nam bis terna sex Sunt, deinde pars tertia trium est in uno. sint ΙΙΙ et 5 decem. ex his decem triplo increuerunt et supertertio. nam ter terna nouem sunt. et deinde pars tertia trium est in uno. ponantur III et tredecim. ex his tredecim quadruplo aucti sunt et Supertertio. nam ter quaterna duodecim sunt. deinde pars tertia trium est in uno. acci- 10 piamus nune quattuor et nouem: ex his nouem et duplo plus habent et Superquarto. nam bis quaterna octo Sunt.
deinde quatiuori quarta pars est in uno. quattuor uero et filial tuordeci in tripli et superquarti. inter quattuor uero et XVIII quadrupli et superquarti ratio est. idemque in ulterioribus numeris sit perindeque numeri minores ex his et replicationes alicuius et subdimidii uel sub tertii uolsubquarti uel alicuius ulterioris rationis cum maioribusas. o liabent. ut apparere autem ex his potuit, multiplicatio a minima ratione incipit et subinde ad maiores maioresque transit ratio, membrorum uel partium replicatio a maxima ratione incipit et subinde ad minores minoresque transit. maior ratio dicitur quae plus. minor quae minus adicit:
ergo maior ratio tripli quam dupli, maior quadrupli quam iripli est: contra minor dupli quam tripli, minor tripli 25z65 quam quadrupli est. incipit igitur multiplicatio a duplo,
inde ad triplum ad quadruplum semperque ad maiores rationes transit. at ratio membrorum incipit a superdimi-om. B R ii 2 XVI om. B add. post sunt b li 3 est b sunt BR l4 aut r il 5 trium sunt Bh 6 et ex b 7 tor om. Biri lox BR ot clo b it 8 unum B3R ll 13 deinde quattuor quarta
pars est in uno quattuor uero et XIIII b deindo quattuor uero et XIIII B deinde IIII IIII si q quarta pars est in uno et
348쪽
dio, deinde supertertium superquartum Semperque ad minus et minus peruenit. quae omnes rationes inter duos
sines sunt ita numeri suntJ ut puta dupli ratio est inter II et Ι, tripli inter III et I quadrupli inter quattuor et
5 unum. et sub eisdem rationibus nominum fines minimi Suaque comparatione multo minores, uel sub duplo quam duo et unum, uel sub triplo quam tres et unum, uel sub quadruplo quam quattuor et unum possunt. super hos deinde quantumlibet eisdem rationibus solius fines his 10 numeris augentur. , ideoque eos fines, qui minimi sunt, πυθμέvac ThermacidesJ nominant quod ut uas super suum landum sic numeri rationis eiusdem super istos adiunguntur. idemque etiam ratione membrorum. minimi 7 enim fines sunt superdimidii inter II et III. supertertii 15 inter III et quattuor, superquarti inter quattuor et quinque, tum deinde sub isdem rationibus numeri conplentur. neque alia condicio est, quae ipsa incipit a tertia parte, Sicut membrorum ratio dimidia, deinde primum minimos fines conprehendit, tum ad maiores transit. ex his autem 76720 ueri simile est primam multiplicationem esse inuentam, deinde rationem membrorum, tum partium . neque enim
difficultas ad duplum deinde triplum et quadruplum apparuit. tum ex duplo superdimidii facta condicio, ex triplo supertertii, ex quadruplo superquarti est, idemque 25 in ulterioribus incidit. nam qui duplum uidet, at, hoc 255 sipso coepit intellegere dimidium, quia ut duplum quattuor duorum sudi, sic dimidium quartae rationis duo: ut igitur duobus adiciendo quattuor fecit, Sic rursus quaternioni 3 numeri sunt deleui it 5 hisdem bD ll 8 ad possunt adHa sunt b li s solis b li finis it 10 hii ante eas add. lleas Bri corr. Koppius qui BR qua b li minimi sunt Koppius minimo eunt Bri 11 πυ0sacvac Aoppius pytagoricus Nphythagoricus Λ li Thomacides delevit Koppius il nominant scripsi nomina dant B nominabat b nominat R il uos N et corr. in uas B at os add. 3 li 12 sic p sit BR ita adH b il
dia r ah adimidia b de milia R et corr. in ab emiolia B li 19 ante ex add. at ri aut Bi il
349쪽
MARΤΙΑΝΙ CAPELLAE duos adiciendo fecit superdiniidium, utque ex duobus triplo sex impleuit, sic senario numero duos adiciendo supertertium inuenit, idemque in ulterioribus incidit. deinde cum incurrerent numeri sine iudicii quidem rationibus positi, quaesitum est quot quotaeue partes alterius S
numeri in altero essent, et his eo uentum est, necuius numeri non aliqua ratio ad alium numerum exploratissima sit. post haec non dissicillima animaduersio gemina ratione in numeris fluxit. et 68 0uoniam genera numerorum rationumque inter e0S 10 orientium exposui, rursus ad ea singula reuertar et quae
in quoque animaduersiones sint indicabo. incipiam de paribus atque inparibus. par omni multiplicatione sic procedit ut par maneat: duplo augentur duo et quattuor, octo et XVI, triplo II sex XVIII, quadruplo I et quattuor 15 sedecim, Sexaginta quattuor, CCLVI idemque in ulterioribus fiat. inpar pari multiplicatione protinus interit et innumerum parem recidit. inpar inpari multiplicatione increscere potest ut inpar maneat. nam his terna sex, item bis quaterna octo fiunt, eodemque modo quater terna duo- 20 decim, quater quina uiginti. at ter terna nouem, et ter
nouem uiginti Septem. item quinquies terna quindecim, quinquies quina uiginti quinque. idemque in omnibus multiplicationibus euenit, quo fit ut siue par siue inpar
parium numerorum multitudo est, id quod consummatum est par sit. ut duo quattuor sex octo, quae par numerorum multitudo est, fiunt uiginti. duo quattuor Sex, quae inpar numerorum multitudo est, fiunt duodecim: ambo 76s numeri pares. item par inparium numerorum multitudo pares facit. ergo tres et quinque fiunt octo, qui pares M2 sex scripsi sexis B sex his N il adicianda rax li 4 sine
ratissima exploratis ultima BR ll 8 gemina BR germa
triplo add. V post triplo add. est b lj II corr. in ot in B li 16 otante XVI add. b li si post LXIIII add. b ζ 18 impar om. B R 20 quater terna B quaterna H li 21 lsr om. H li 22 terna VIII R li 28 est fiunt - numerorum multitudo om. R il
350쪽
sunt. inpar tantum modo inparium multitudo inpare, 25os Seruat. nam III et quinque et septem fiunt quindecims illi quoque inpares. eadem de causa quotiens par nUmerus uel parem uel inparem multiplicat, qui emicitur par ε est. nam duplicatio siue duo multiplicauit, secit quattuor: siue III, secit sex, ambos pares. at inpar numerus siparem multiplicat facit parem, si inparem tum , demum inparem reddit. nam triplicatio si duos multiplicat, essicit sex ipsos quoque pares, si III emicit nouem, qui inpa-
16 res Sunt. tum Si pari par adicitur, par manet ut si duo- 770bus quattuor adiciantur, sunt Sex. si inpari inpar adicitur, par sit, ut si tribus quinque adiciantur, sunt octo. uno autem modo inpar numeruS procedit, Si numero numerus
non adicitur eiusdem generis sed par inpari, et inpar pari. 15 nam siue quattuor quis adiectis tribus auxerit, siue tria adiectis quattuor, fient septem, qui inpares sunt. deinde numero pari quale demitur tale superest. numero inpari contrarium est, ne quod demitur supersit. ergo si pari par demitur, id quod Superest par est, ut si ex Octoso duo auferantur, supersunt sex. si numero pari inpar demitur, id quod superest inpar est, ut si ex VI tria auferantur, supersunt III. si numero inpari par demitur, id quod superest inpar est, ut si ex septem duo auferantur, Supersunt quinque. si numero inpari inpar demitur idus quod superest par est ut si ex VII ΙΙΙ auserantur supersunt IIII. par deinde ex paribus est numerus quisquis 77I2 et om. B D li 4 post efficitur add. numerus b il 5 post
duplieatio deleta sitio duo multiplicatio in il 6 aut atque D li 7 multiplicat p multiplicationem BD il 10 si om. BR add. p ll 12 adiciatur B R il 14 pari BR eorr. p li et impar om. BR aad. D li pari deletum in B li 18 nso b lj Is pars B R ii VIII eorr. in VI in B li 20 supersint B R ll VI BRIIII br il si numero pari simpari R) inpar demitur - ΙΙΙ auferantur supersint scorr. in supersulit in B) IIII deleta in B llimpnr D par BR lj 21 inpar est B inpares B li 22 supersint Bh li III B IIII BR li 21 si numero inpari inpar domitur
supersunt ita Gratius sus D) IIII om. BR add. D quem codicem
Aoppius ante oculos habuit cum grotis eadem ex Suo cod. inseri