장음표시 사용
51쪽
modo in sequentibus haec scriptio si x s) denotabit functionem arbitrariam quantitatis X Hra', ac bi plures tales functiones in ealculum ingredientur , praeter litteram f etiam his characteribus φ, ψ , θ etc. cum simili significatione utar.
as. Inuestigare indolem iunctionis e binarum variabilium x eta, ut formula disserentialis aequalis fiat iunctioni datae ipsius x , quae sit X , ita ut sit p-X,
Posito da pdae in qdy ob p X erit da X dx--qθ ; quia iam huius differentialis pars X dx est data, ad integrale inueniendum accipiatur γconstans, et cum sit da X dx, erit integrando I Xda: -- Const. quae constans eum etiam quantit*tem a utcunque implicare possit, pro ea assumere licebit iunctionem quamcunque arbitrariam ipsius F, pritque ergo integrale quaesitum a IX X- :I, quae per disserentiationem praebet da TXda ειθ 4s. ita ut sit q- .st, atque in zz X plane, Ft rc quirebatur.
O. Aequationis ergo 'x, existente κstinctione duarum variabilium x et a , integrale esta I dx- :1 Vbi λ X datum, Brmulg integra
52쪽
lis fXdae datam functionem ipsius ae denotat; quandoquidem constans hac integratione ingresse in fun- ctione arbitraria f:I comprehendi potest.
r. Hine sequitur aequationem disserentialem dam X dx qo realem esse non posse , nisi q sit iunctio ipsius 3; quod quidem cum hac limitatione est intelligendum, nisi ρ etiam intioluat quantitatem quem casum autem hinc removemus.
a. si enim ρ etiam a et pendere queat, aequatio de T dx--qdν realis erit , si ρ fuerit sun-isio quaecunque binarum quantitatum et UXdae et It; id quod hine lacillime patet si ponatur a Q X da Tu, ita ut iam q sutura sit functio binarum quantitatum v et F. Tum enim aequatio disterentialis, quaest du qis , duas tantum continet Variabiles u et It, ideoque certo est realis; et quomodocunque eius integrale se habeat, inde semper u aequabitur certae unctioni ipsius', unde fit u a X dx f:ν, prorsus ut ante. Quoties ergo esse debet is in X, etiam ne hocquidem casu excepto, quo sorte ρ ipsam quantitatem a implicat, integrale erit
neque unquam alia solutio iocum habere potest Erit ergo hoc integrale completum, propterea quod
53쪽
sunctionem arbitrariam inuoluit , id quod pro certissimo criterio integralis completi est habendum. Hic igitur ad integrale completum requiritur, ut non tam constans quaedam arbitraria, sed functio adeo variabilis arbitraria ingrediatur; ita si quis pro casu Eὶ a xx exhibeat hoc integrale
id tantum erit particulare , etiamsi plures constan es arbitrarias A , B , C etc. ac sortasse infinitas complectatur; verum enim integrale completum
telligenda probe notari oportet. Occurrent autem utique cassus , quibus ob desectum methodi integrale completum inuestigandi, integralibus particularibus contenti esse debemus, quae etiamsi adeo infinitaseonstantes arbitrarias compreheodant, tamen pro solutionibus particularibus tantum sunt habenda. Hanc MIerilationem in sequentibus perpetuo meminisse oportet , ne circa integralia particularia et completa unquam decipiamur.
a. Si et debeat esse eiusmodi functio binarum variabilium X eta, ut formula differentialis paequetur functioni cuipiam datae ipserum x et I , definire in genere indolem iunctionis qugesitae z. Fa Solutis. Diuitiam by Coos e
54쪽
Sit V functio ista data ipsarum X et I , cui mrmula differentialis aequalis este debet, ac posito da pdx qo requiritur ut sit p V. Iam ad formam functionis e inueniendam consideretur quantitas ' tanquam constans, eritque da zzVdae. Integretur igitur formula LV dx spectata sola x vivariabili , quia a pro constante sumitur , ita ut in hae Qrmula unica insit variabilis X, ideoque eius. integratio nulli obnoxia sit difficultati ; id tantum est tenendum , constantem integratione ingressam utcunque inuoluere posse alteram quantitatem ν , sicque pro functione quaesita a haec habebitur expresso: z-fUdx--s: 'integrati s Vrx ita sumto , quasi quantitas ' esset
constans solaque x Variabilis ; f.s denotat --etionem quamcunque arbitrariam ipsius y ne exclusis quidem Brmis disicontinuis, quae nullis expressionibus analyticis exhiberi queant, atque ob hanc ipsam sun stionem arbitrariam integratio pro completa est habenda.
l. Cum V sit iunctio data ipsarum X et F, mrmula integralis fVdae erit etiam functio cognita et determinata earundem quantitatum X et F, quod enim per integrationem arbitrarii ingreditur , in altora parte fas comprehenditur. CorolI 2. Disitiged by COOste
55쪽
. s. Hinc otiam ditarentialis det altera paraqΟ , ex variabilitate ipsius y oriunda definitur. Nam per et . est sormae fVdae dissurentiale ex utraque variabili x et F ortum :
6. Cum ergo posuerimus da pdx- - ΤΟ , sitque pzTV erit ubi ob V iunctionem datam ipsarum x et y , etiam
3 erit iunctio data, et in integratione Idxἰεὶ sola x .
56쪽
s. quaeratur eiusmodi stinctio et ipsarum X et y, Cum sit erit IV dx F Ang. sin. - νhincque a rar, Ang. sn. I -f:I euius disserentiale ex ipsius 3 variabilitate oriundum , si desideremus, ob, d V - xx
57쪽
ideoque Idem reperitur ex disserentiatione expressionis pro x
unde iunctionis 2 forma quaesita est
58쪽
quae eadem expressio etiam ex ipsa diistrentiatione
so. In hoc calculo tamen adhuc quaedam ii I certitudo relinquitur , qua valor quantitatis ρ assicitur. Cum enim valor ipsius et IV dxHU . y sit determinatus, quandoquidem integrales V dae respectu ipsius x ita fuerit determinatum, ut pro dato ipsius xvalore etiam datum 'alorem Obtineat; adeoque in eius disserentiali pleno nulla incertitudo inesse potest, sed necesse est , ut valor ipsius q aeque prodeat determinatus atque ipsus p , interim tamen formula integralis non determinatur, sed nouam arbitrariam a priori non pendentem introducere videtur. Vt igitur talis significatus 1 agus evitetur,
spectari oportet conditionem, qua integrale IV dx deis terminatur, eademque conditio in formulae Idae ginintegratione adhiberi debet. Nam ponamus integra Ie IV dx ita capi xt evanestat posito x zza , sitque eius valor determinatus IV X S, isque igitur potentia saltem habebit laetorem a X stu a -Ση ;
ctorem continebit ideoque lo) cuanescet posito x o. Est vero ex quo perspicitur, si integrale IV dx ita capiatur ut evanescat posito ad a, etiam alterum integrale I dx ηὶ ita capi debere, vi evanescat posito x zzza. In allatis binis postremis exemplis , utraque iategratio ita est instituta , ut
59쪽
enanestat posito XIIo, in primo autem nulla huius modi regula est obstruata; sint autem eandem legem adhibeamus, habebimus IV dx V xxΦn 'r punde quidem eadem solutio emergit ; quia ibi racontinetur in f :ν et hic - I in f et F. Perinde autem est quacunque lege prior integrat o determi- fietur , dummodo eadem lis et in posteriori via
s I. Principium huius determinationis isto innititur Theoremate aeque elegante ac notatu dignor Si S m eiusmodi functis binarum Cariabilium N et y quae evanestar posto ama, Deriιque
rum etiam quansitas Q. amycet posiιο x a. . Vnde simul colligitur, si S evanescat posito ν b , tum etiam fieri P o si ponatur 1 πHic autem probe ci seruandum est, quae de simili determinatione Nnarum inmutarum integralium I Vaxet f dx AJ sunt praec dita, tantum alere. si alor μipsi x tribuendus fuerit constans; neque etiam superius Theorema locum habet, si verbi gratia iunctio S evanescat posito x F, inde enim neutiquam sequitur eodem casu quantitatem esse euanituram. Etiamsi enim functio S lactorem habeat xis vel
60쪽
dem factorem esse habituram , quemadmodum usu venit, si factor fuerit x-a seu x' Dixi automnon opus esse , ut talis sector reuera adsit, dum iamodo quasi potentia in iunctione S contineatur. Veluti si fuerit
quae iunctio posito utique euanescit, etiamsi neque factorem x-a neque P-a' contineat; simul vero etiam sκὶ ' Vt.. - α evanescit. In huiusmodi ergo calculo , quo in his problematibus utimur, ubi integrale Brmulae I Udx exhiberi debet, id semper ex duabus partibus compositum spectamus, altera indeterminata per iunctionem fir indicata, altera autem, quam proprie per fVdx exprimimus determinata, quae scilicet posto x a evanescat; hicque semper perinde est qualis constans pro a assumatur, dum distrimen perpetuo alteri parti indeterminatae inuoluitur.
sa. si a debeat ita determinari per binas variabiles x et x ut Drmula disserentialis sΗὶ pquetur datae cuipiam functioni ipsarum I et et, quae se 'Τ , definire in genere indolem functionis a per