Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

651쪽

AE VATIONUM DIFFERENTIALIVM σ1s

iaec concludimus:

siue euoluendo:

et aequatio integralis erit

quae loco X substituto valore inuento abit in hane

formam - Const. I . Translaramus haec iterum ad sormam

ac ficri oportet:

nde ex tertii, colligitur

652쪽

EVOLUTIO NONNULLARUM

Quod autem hic maxime animaduerti meretur, est, quod etsi tres litterae β , V ζ manent indefinitae , aequatio tamen integralis a praecedente nonnisi quantitate constante discrepat prodit enim

quae forma quomodocunque accipiantur litterae φet Y semper veram aequationem integralem exhi-het. Quod cum minus sit pcrspicuum , Ostendisse susticiet ambas partes ' et V in uolitentes seorsim sumtas eandem relationem inter x et ' definire. Constitutis enim his duabus aequationibus

653쪽

AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. 61 multiplicetur prior per posterior per Ait, siet

que sun una :

cuius valor utique est coastans propterea quod

vnde patet propositum. x s. Progredior nunc ad formam aequationum magis arduam , quae sit. 'ε L - ostque multiplicator eam reddens integrabilem M PνX-- VY, ita ut aequatio integrationem admittens sit Pila: Q cuius Vtrumque membrum seorsim integrabile sit oportet. Pro priore ergo erit posterioris vero integrala statuatur a V V X Y, unde colligitur :

et ob priorem conditionem

654쪽

σis EVOLUTIO NONNULLARUM

ex qua aequatione, si loco V sumserimus certam iunctionem ipsarum x et I , dispiciendum est , quomodo idonei valores pro functionibus X et Y o liueantur. r6. Demus primo ipsi V valorem constantem puta V m x , ac peruenimus ad hanc conditionem I

quae aequalitas subsistere nequit , nisi utrumque membrum seorsim aequetur quantitati constanti, quae sit meta unde colligemus X a xx ba: H-c et Y aTI - -- hincque porro unde aequatio integralis conapleta colligitur: 2 a Xy-wdx- -υ-- a V XY Const. Quocica ista aequatio differentialis

655쪽

AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. 61s

seu sublata irrationalitate: IIaec autem aequatio disserentialis multo latius patet illa quam initio j. a. attuleram. x . Tribuamus nune ipsi V hune valorem

si enim loco exponentis et indefinitum sumsissem moX patuisset, hanc potestatem accipi debuisse. Erit ergo

Ilis autem valoribus substitutis sequentes oriunturhinae formae

quia igitur in priore F in altera x non Itra duas dimensiones assurgit, euidens est in formulis

variabiles x et 3 totidem dimensiones habere debere , quia alioquin termini ex x et mixti viriaque aequales fieri non possent. Cum ergo ipsaesuiniones X et Y ad quartum gradum sint alcen-

Ii i i a surae

656쪽

Simili Vero modo altera pars erit

657쪽

IS. Coaequentur nunc inter se termini h mologi utrius lue formae , et sequentibus aequati nibus erit satis faciendum

quarta et quinta itidem Vnicam determinationem suppeditant:

quae eadem quoque ex seΣta sequitur. Saluatur ergo Cm L n et E m

658쪽

septima et octaua otiam unicam detcrminationem inuoluunt L Dψη - vel

I9. Cum autem sumserimus V . erit

siue

vnde inuestigari oportet integrale formulae P Φρον ad Disitirso by CO dile

659쪽

AEQUATIONUM DIFFERENTIALIVα σ13

ad quod si deinceps addatur - , , aggre gatum quantitati constanti aequatum exbibebit integrale completum aequationis

Pro illo autem integrali inueuiendo, ex prioribus valoribus pro P et exhibitis , notetur fore separatim

quae duae expressiones aequales esse debent et quem in finem ponaturet Δ fietque

660쪽

O. I De conditiones cum praecede atibus r 8)persecte conueniunt si inodo Iunia iit N α et Diti idamus singulos terminos per is V, ut prodeat valor sormulae

qui substitutis valoribus ante inuentis repcrietur:

eritque inte- Sit haec forma breuitatis gratia grate completum:

Quare dum iunctiones X et Y conditionibus definitis sint praeditae, hoc modo habebitur grate completum aequationis disserentialis