장음표시 사용
641쪽
AEQVAJIONUM DIFFERENTIALIUM. sos
cuius integrale reperitur Coiis . seu
s. Contra haec exempla , quidus iste gratia algebraica sine subsidio separat canis iunt eruta , Obiicietur, nsultiplicatores negotium hoc conficientes ex ipsi, integralibus illis transcende talibus , ad quae separatio variabilium immediate perducit esse con clusiis , iisque adco praestantium methodi per multiplicatore, procedentis neutiquam probari. Cui quidem obiectioni primum respondeo priora exempla statim ab inucntis integrat onis principiis simili modo fuisse expedita, antequam integratio pcr loguithmos
erat explorata , quae ergo nullum subsidium eo at- uilisse est censenda. Tum v cro quam ui S concedam, in posteriora bus exemplis intcgrationem per arcus circulares multiplicatores illo, idoneos commode suppeditasse , id tomen in ipsa euolutione minu, ceris nitur , eadem clue integratio sine dubio inueniri po. tuisset, antequam constaret formulae grate esse arcum circuli tangenti X rei pondentem. erum aequatio supra allata
cuius integrale completum algebraice exhibern I cet nulli ampi iis dubio locum rcim quit, cum enim neutrius partes inlegrale ne ci incissi, quid in logarithir is vel arcubus circularibus cxliit' ta pi sit, et iisque forma ad genus quantitatum transcendentium
642쪽
etiaminum incognitum sit reserenda, haec certe nullum auxilium ad integrale algebraicum inueniendum attulisse censeri potest. Atque hoc multo magis de aequatione illa latius patente in j. - . proposita est tenendum , quippe cuius integratio omnino singularis ex principiis longe diuersissimis a me est eruta. . Methodus autem , qua tum sum usus, tantopere est absicondita , ut vix ulla via ad eadem integralia perducens patere Videatur , et cum separatio variabilium nihil plane eo contulisset, vix etiam quicquam ab altera methodo ad multiplicatores adstricta sperari posse videbatur . propterea quod tum ipse adhuc in ea opiniolle versabar , per multiplicatores nihil praestari posse, nisi quatenus separatio variabilium eodem manuducat; quandoquidem quaestio differentialia tantum primi gradus implicarct. Deinceps autem re diligentius conliderata peripexi , quoties aequationis cuiusque disserentialis integra locompletum exhibere licet , ex eo vicissim semper
eius modi' multiplicatorem elici posse, per quem si aequatio disserentialis multiplicetur , non solum fiat integrabilis, sed etiam integrata id ipsum integrale,
quod iam crat cognitum, re producere debeat; ad hoc autem omnino necessis est ut integrale completum sit exploratum, dum ex integralibus particularibus nihil plane pro hoc scopo concludere licet. Si enim proposita sit aequatio differentialis :
643쪽
AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. σατ
- .constabit id aequatio e , quae praeter binas variabiles x et ν et quantitate, conitia teS in ipsi aequatione disserentiali contentas , in luper quantitalcm constantem nouam prorsus ab arb trio nostro pendentem complectetur. Quae si littera C iudicetur , eruatur e us valor eX aequiuione integrali , ac re- . Puriatur C V, eritque V certa quaedam funetio ii strum X et γέ tum autem hac aequatione dilfercntiata Oz d V, disserentiale dU necessario itaior mulim diueremialem P d e do continere dotat , ut sit Uzz IVPdae H Q νὶ, ex qua forma multiplicator M , ad hoe integrato V p.r utens sponte se offert.
8. Quo haec operatio aliquot exemplis illustretur , sumatur primo naec aequatio
cuius integrale completum cum sit 'C, instituta dissi rentiat cane prodit:
vnte patet multiplicatorem ad hoc integrale ducentem esse Leinde cum huius aequationis
644쪽
integrale completum sitI-XJ C a H Fb , valor constantis arbitrariae hinc fit C , cuius ditarentiatio praebet
unde multiplicator quaesitus est Proposita porro sit haec aequatio
Vnde disserentiando fit: hinc Dissiligod by Corale
645쪽
AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. 6os
hiincque colligitur multiplicator quaesitus: . s. Sim lL modo pro aequatione magis complexa:
ex eius integrali completo supra exhibito multiplicator idoneus M inuestigari poterit , cx quo si ilatim suisset cognitus idem hoc integrale immediate elici potuisset. Verum hic opus multo maius mOlior, quod autem primo conatu neutiquam ad finem perducere liccbit; ex quo satis mihi equidem praestitisse videbor, si saltem prima qtia si lineamenta
nouae atque maxime desiderandae methodi adumbra, vero cuius ope, proposita huiusmodi aequatione diseferentiali multiplicator idoneus eam reddens integrabilem inueniri queat. Ac primo quidem in hoc negotio plurimum obseruasse iuvabit , si unicus huiusmodi multiplicator innotuerit, ex eo facile infinitos alios idem ossicium praestantes crui posse. Quodsi enim multiplicator M aequationem disse. rentialem integrabilem reddat , ita ut sit ideoque aequatio integralis V, quoniam Br- mula
646쪽
per functionem quamcunque quantitatis V multiplicata perinde manet integrabili S. perip. ciuina est hanc mima in ris: V , quaecunque stinctio ipsirii, V pros: V accipiatur tempor multiplicatorem idolicum praebere cum sit
. ideoque integrabile. Inter infinitos igitur hos multiplicatores idoneos quouis calu cum eligi convcniet, qui negotium facillime consciat, et integrale si fuerit algebraicum forma simplicillima exhibeat. Etiamsi emin integrale rellera sit algebraicum, omnino fieri potest , ut id ne suspicari quidem liceat, nisi multiplicator idoneus in usum Vocetur , quemadmodum superiora exempla abunde declarant.
xo. Sit ergo aequatio diss)rentialis proposita huius mrmae in qua X sit functio Qlius x et Y λFus γ; atque inhiestigari oporteat ciusmodi multiplicatorem M , quo illa aequatio algebraice integrabilis reddatur , siquidem fieri potest : quod cum raro eueniat, Viciis in assumta multiplicatoris Qrma AI indagata iuvabit functiones X et Y. Sit primo multiplicator
ut integrabilis esse debeat haec irma:
647쪽
AE VATIONUM DIFFERENTIALIVM. Gra
Hinc sumta ν constante colligitur integrale
quas ambas formas inter se aequales esse oportet; unde sit:
648쪽
vel loco C scribendo C--ἰn erit concinnius: in β γυ--ἰnβX - .nYν QT C α 4 βω- - γγ . II. Videamuq iam sub quibus conditionibus haec Drma ac luationis g neralis illa ratioue integrabilis euadat:
Companatione ergo cum valoribus inuentis instituta colligitur:
praeterea vero haec conditio requiritur , ut sit
649쪽
AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. 61 a
et aequatio integralis inde resultans erit per B Emultiplicando
xa. En ergo Theorema minime spernendum , etiamsi eius veritas ex aliis principiis satis manifesta esse queat. Si haec aequatio differetitialis:
tum eius inte6iale completum erit algcbraicum, atque hac aequatione expressum .
bi G denotat coustantem arbitrariam per integra-
650쪽
ticinein inuectam. Hoc vero integrale itur enitur, si aequatio proposita ducatur in hunc multiplicato-
ita etiarn firmis magis complicatis uti licebit, quod quidem in genere praestari nequit. EuoluamuS au tem multiplicatorem
ut haec aequatio integrabilis sit essicienda
cuius integratio ad hanc perducit aequationem quae transformatur in hanc ubi eu dens est statui debere Δ: XII ses et Γ 1 - 1M ut nulli termini occurrant qui utramque variabilem sin ut complectantur: hinc crgo fiet