Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

621쪽

ex quo generatim intelligitur ratio sormulae int gratis duplicatae Uudaeo. Quod si iam talis Pr- mulae valor quaeratur , qui dato spatio in basi veluti ADYX respondeat, primo sumin x constinae inuestigetur integrale simplex fVo , ac tum ipsis assignetur magnitudo XY ad curvam DY porrecta,

quae ex huius curuae natura aequabitur certae sun-

iunctioni ipsius x. Sic igitur dxfVo exprimet -- mulae propositae elementum rectangulo XYx Uz dx conueniens, cuius integrale denuo sumtum JUVoet ex Qta variabili x constans tandem dabit valorem toti spatio ADYX respondentem, siquidem vir que integratio adiectione constantis rite determinetur.

Scholion I.

x64. Ita se habere debet euolutio huiusmodi formularum integralium duplicatarum , si ad figuram in basi datam veluti ADYX suerit accommodanda; sin autem utramque integrationem indefinite expedire velimus, ut primo sumta x constante quaeramus integrale fVo, quod rectangulo Mementari XDU dx conuenire est intelligendum, siquidem in dx ducatur, deinde vero in integratione formulae μWVo quantitatem a XY eandem manere concipiamus, sola x pro variahili sumta, tum valor prodibit rectangulo indefinito . AlπX respondens, si quidem constantes per utramque in-Uol. III. Eeee tegra-Disiligod by GOoste

622쪽

tegrationem ingressae debite definiantur. At si spatii istius reliqui termini praeter lineas XY et PY ut indefiniti spectentur , integrale V V dxis recipiet hinas iunctiones X Y indefinitas illam ipsius x,

hanc vero ipsius a. Quodsi ergo ad calculum maximorum et minimorum haec deinceps accommodare velimus , quoniam maximi minimiue In oprietas , quae in spatinm quodpiam datum ADYX competere debet, simulquoque cuiuis spatio indefinito veluti A PYX cohueniat necesse est, duplicem illam integrationem modo hic exposito indefinito administrari conueniet.

16s. Si V sit mrmula quaecunque ex ternis variabilibus x ,ν , α earumque dissirentialibus composita , inuenire variationem formulae integralis duplicatae LIV se, dum quantitati et, quae ut functio binarum x eis spectatur, variationes qua

eunque tribuunturia

Ad speciem disserentialium tollendam statu

. must

623쪽

ex quo cum simul eius variatio innotescat, ex problemate praecedente colligitur variatio quaesita

ere.

Quodsi iam uti f. Is secimus ponamus Variatioqnem δαπω, quam ut sanctionem quamcunque binarum variabilium x et a spectare Iicet; indidemi stam variationem concludimus fore : .

624쪽

166. si ergo utriusque stinctionis et et indoles , seu ratio compositionis ex binis variabilisbus E eta esset data, tum per praecepta ante exposta variatio sormulae integralis duplicatae HVGoassignari posset; quomodocunque quantitas V ex variabilibus x , F , et earumque disserentialibus fueriteonnata.

xστ. Totum scilicet negotium redibit ad euolutionem formulae integralis duplicatae inuentae, quae cum pluribus constet partibus , singulas partes per duplicem integrationem , Uti ante explicatum . tractari e ueniet.

scholion.

168. Quando autem ratio iunctionis E non constat, eaque demum ex conditione variationis elici debet, ita ut ipsa variatio δzratia nullam plane derminatioriem patiatur , quemadmodum fit si formula HV caeda valorem maximum minimum obtinere debeat; tum omnino necessarium est, Vt singula variationis inuentae δUV dxo membra ita Teducantur, ut ' ubique post signum integrationis duplicatum non valores disserentiales variationis ὁ Σαω sed haec ipsa variatio occurrat; cuiusmodi reductione iam supra in formulis binas tantum variabiles inuoluentibus sumus usi. Talis autem reductio

625쪽

ductio , cum pro Drmulis integresibus duplicatis

minus sit consueta , accuratiorem explicationem p stulat. Quem in finem obseruo huiusmodi reductione perueniri ad formulas simpliciter integrales, in quibus alterutra tantum quantitatum X et pro varia-biIi habeatur , altera ut constante spectata , ad quod indicandum , ne signa praeter necessitatem multiplicentur , talis sorma fTdae denotabit integrale -- mulae ditarentialis T dx , dum quantitas F pro constanti habetur; similique modo intelligendum est in hae sorma I To solam quantitatem ' Vt variabilem considerari quod eo magis perspicuum est, cum hac conditione omissa , hae larmulae nullum plane significatum essent habiturae Neque ergo ira posterum opus est declarari, si T ambas variabiles X ct ' complaetatur, utra earum in inmutis inte- gralibus simplicibus f T dx vel fTo , siue constans siue variabilis accipiatur , cum ea sola , euius disserentiaIe exprimitur pro variabili sit habenda. Inmrmulis autem duplicatis V V 6 perpetuo tenendum est, alteram integrationem ad mltus x , alteram vero ad Qtius a variabilitatem adstringi, perindeque esse, utra integratio prior instituatur.

Problema II.

xσ9. Variationem inmuIae integralis Osic tae H V dxo in praecedente problemate muentam , ita translarmare, ut post signum integrala duplicatum ubique ipsa variatio occurrat , exturbatis eius dictrentialibus.

626쪽

ssis C A P V T VII.

Solutio.

. Quo haec transformatio latius pateat, sint T et u unctiones quaecunque binarum variabilium x et set consideretur haec Rrmula duplicata VT xo etiquae stparata integrationum varietate ita repraesen

sola quantitas x ut Variaestis spei tetur. Tum autem erit dx do, quia F pro Constante habetur, ideoque fiet hi eum in disserentiali dT solius variabilis x ratio habetur, ad hoc declarandum loco ET scribi convenit Ax FZJ, ita ut sit hincque nostra Rrmula ita prodeat reducta:

simili modo permutatis variabilibus consequemur:

Hoc iam quasi lammate praemio, variationis In Praeced. probi. inuentae reductio ita se habebit:

Porro pro sequentibus membris sit primo l&ὶ v

627쪽

ac postremo membro similiter reducto, fit

Per eandem substitutionem habebimus Σίκὶ '

hincque

quae forma ob

abit in hanc

rem vero pro tertia Brinae huius ordinis nanciscis

mur:

628쪽

et quia hie concludimus fore rTandem perinutandis x α ν hinc colligimus:

, Quos

629쪽

Quos ,ralam si substituamus reperimus r

1 o Huius expressionis pars prima latis est perspicua, reliquae vero partes commode ita disponi possitnt, ut earum ratio comprehendatur :

630쪽

x x. Hic leui attentione adhibita mox mi est, quomodo istae partes Rexius continuari de- heant, si sorte quantitas V differentialia altiorum graduum complactatur.

I a. In harum formularum integraIium allis, quae disserentiali O sunt afleetae , quantitas X co stans sumitur , cui tribuitur valor termino integrationis conueniens; aliis vero quae disserentiali dxsunt assectae, F est constans et termino integration imaequalis , unde patet in terminis integrationum tam x quam si recipere Talorem constantem.

2 3. Haec ergo variationis formula ad eum casum est accommodata, quo triusque integrationis termini tribuunt tam ipsi x quam ipsi a valoreo constantes. Veluti si de superficie fuerit quaesti PFig. 7. Drmula integralis ad rectangulum APYX in basi assumtum est referenda ς eiusque valor ita definiri debet, ut sumtis x o et ν'o, qui sunt alares initialas, evanescat, quo facto statui oportet