장음표시 사용
631쪽
aen: AX et I π AP, qui sunt valores finales; atque ad eandem legem ipsa variatio inuenta est expedienda. Quodsi iam ea quaeratur superscies , in qua formulae UVaxo hoc modo definitae valor sat maximus vel minimus, ante omnia necesse est, ut pars variationis prima duplicem integrationem inuoluens , ad nihilum redigatur , quomodocunque variatio δαίπω accipiatur, unde haec nascetur aequatio :
qua natura superficiei hac indole praeditae exprimetur. Constantes autem per duplicem integrationem ingressae ita determinari debent, ut reliquis variationis partibus satisfiat.
632쪽
ideoque existenteda pdX--pto. Quare superficiei quaesitae natura hae aequatio exprimetur: Est vero ἔ -ὶ -
quam autem quomodo tractari oporteat, haud patet, etiamsi facile perspiciatur in ea aequationem superficie sphaerica xa cc xx ' , quin etiam cylindrica et a ce F contineri.
633쪽
EUOLUTIONEM CASUUM SINGULARIO CIRCA IN GR TIONEM
635쪽
CASU VM PRORSUS SINGULARIUM CIRCA INTEGRATIONEΜMQVATIONUM DIFFERENTIALIUM
Cum adhuc plurimae atque inter se maxime
dilarepaiates methodi sint in medium allatae aequationes differentiales integrandi, quaestio eXoritur summi sane momenti, an non nica detur eaque aequabilis methodus, cuius Ope omncs illas diuersas aeqvstionest disterentiales , quas etiamnum resolucre licuit, integrari queant 8 nulluris enim est dubium: quin inuentio talis methodi maxima incrementa in uniuersam AnaIysia esset allatura.
Pluribus Geometris quidem separatio binarum Variabilium
636쪽
bilium huiusmodi methodum suppeditare est via ,
cum omnes aequationum disserentialium integrationes vel hac ratione sint integratae vel eo ficile possint reuocari. Praeterquam autem quod haec methodus substitutionibus absoluitur, quae plerumque non minorem sagacitatem postulant, quam id ipsum quod quaeritur, ac nonnunquam isti casui deberi videntur; haec methodus etiam neutiquam extenditur ad aequationes differentiales secundi altiorumque graduum ', et qui tales aequationes adhuc tractauerunt, longe alia artificia in subsidium vocare sunt coacti. Quamobrem separatiot em variabilium
nequaquam tanquam methodum uniformem ac latissime patentem spectare licet, quae Omnes integrationes, quae adhuc successerunt, in. 2 complectatura
x. Talam autem methodum uniuersalem iam pridem mihi equidem indicasse videor, dum ostendi proposita quacunque aequatione differentiali siue primi suo altioris gradus , semper dari eiusmodi quantitatem , , per quam si aequatio multiplicetur, euadat integrabilis, ita ut hoc modo nulla plane substitutione alii anxie quaerenda st opus. Ex quo
non dubito hanc methodum aequationes differentia-Ies ope multiplicationem ad integrabilitatem reuincandi, tanquam latissime patentem atque naturae minime conuenientem , pronunciam; cum nulla integratio adhuc si expedita , quae hoc modo non
facile abstaui possiti cum scilicet omnis aequatio
637쪽
AEQVATIONUM DIFFERENTIALIUM. 6or
differentialis primi gradus in hac forma P lQG-o
contineatur, denotaiΗibus litteris P et Q lanistiones quascunque binarum Variabilium x et y , semper datur eiusmodi multiplicator M , itidem functio quaedam ambarum Variabilium x et , t facta multiplicatione haec Drma ΜΡda: -MQo fiat integrabilis; cuius propterea integrale quantitati constanti arbitrariae aequatum cxhibebit aequationem integralem aequationis disserentialis propositae P dx--Qdymo , quae eadem ratio quoque in aequationibus differentialibus altiorum graduum locum habet. Verum hoc argumentum hic fusius exponere non 'est animus ; sed potius pracstantiam huius methodi prae separatione Variabitum etiam eiusmodi casibus quibus id minime videatur, simulque summam eius utilitatem hic declarare constitui.
a. Quoties scilicet in aequatione disserentiali
variabiles x et iam sunt separatae , totum negotium vulgo ut iam confectum spectari Qtet, quandoquidem huius aequationis Yo ' O sibi X denotat functionem solius x et Y solius a , integrato in promtu est fΣ dx-- Y Const. Interim tamen saepenumero usu venire potest , Ut hoc pacto neutiquam forma integralis simplicissima Obtineatur, vel ea demum per plures ambages inde derivari debeat. Veluti ex hac aequatione:
638쪽
primo ci citur integrale togaritia micum vn 'o qui .le in statim se prodit algebraicum a. 'crum cx hac forma
integratio solita . prael et Ang tang X- - ΛΠ tang. y Const. vn 'e non tam ficile fi rma integralis algebraica C deducitur. Ac proposita hac sorma:
in gei .ere ne patet quidem , Vtrum Vtra 'ue pars intes rati, arcu circulari an Ingarithmo ex prur a tur. Interim tamea cius integrale ita algebraice exhibcri potest: C ae 3 )' aYCae 4-βC xl γ)Φaα - βi3-αγnci quae certe firma simplicissimi notan si per plures - . amb.ige, cX integrali transcendente derivatur. . H s quidem casibus perspicitur , quomodo red taetri nem ad formam algebraicam ii stitui oporterat , set ante ab quot annos citi,n Odi intcgrationespicituli, in quibus ne hoc quidem ullo modo praestari potcst. Veluti si prop/isita sit hacc aequatio:
integratiouem neque per togarithmos neque arcus
639쪽
AEQVATION UNI DIFFERENTIALIUM. Goa
circulares expedire licet, ut inde deinceps simili ratione aequatio algebraica colligi posset: interim tamen ostendi huius liuegrale idque adeo completum hoc modo algebraice exprimi: oz 2Cε ίCC- I s xx φυ)-2 1 - CC Ο ὐ 2Cxx ubi C denotat consantem per integrationem ingressam. Quin etiam huius aequationis multo latius Patentis
denotante C item constantem quantitatem arbitra riam per integrationem inuentam. His igitur casi-biis perspicuum est separationem Variabilium, qua aequationes differentiales sunt praeditae , nihil plane iuuare ad integralia carum firma algebraica contenta eruenda , ex quo merito eiusmodi methodus desideratur , cuius beneficio haec integralia statim ex aequation buq diis rentialibus inuestigari potuissent , in , quo negotio certe Omnes ingenii Vires tentasso non pigebit. s. obseruaui igitur hunc scopum ope multiplicatorum idoneorum obtineri posse, quibus aequationes differentiales multiplica lac ita integrabiles eua dant, ut integralia statim algebraice eΣpressit pro-
640쪽
deant. Quod quo clarius perspiciatur ab aequatione pri inum propo Ma O eXordiar, quae per aer multiplicata statim praebct-- Xo o, cuius integrale est Xy C. Hoc ergo mi eo sublata se paristione aequ.iti O in aliam transformatur , quae intcgratio iem admitt. t , ex quo intelligi uir methodum ope multiplicatorum integranui id praestare , quod a separatione variabilium immediate expectari nequeat. Idem Luetiit in aequatione in quae per multiplicata integrale pracbet dum ex ipsa aequatione pro eo sita statim ad loga rithtros fuisset peruentum. Si initi modo si haec aequatio separata :
multiplicetur in aequatio resu Itans.
integrationem ia in sponto admittit , praebetque in