Neostatica auctore Hieronymo Saccherio e Societate Iesu in Ticinensi universitate matheseos professore ..

51쪽

o N EO. STATICAE ad secundum ipsas directiones ab , ad subnasci intelligantur

respectivi impetus secundum at, amqui ita simi sa) inter se, ut ipsae at,aus quique sunt complementa par tialium s b) impetuum secundum a x , qui subnasci intelliguntur ex illis impetibus secundum a b, ad: non obtinebit pondus a solum impetum seiscundum ax, qui nimirum aggregatur ex illis partialibus impetibus , respectiuε subnastentibus ex impetibus secundum ab , Sc ad e, sed alium quendam praeterea viuum impetum sortie- iis scit icet est excessus impetus a r secundum aι, supra impetum a re secundum a M. Itaque pondus a chatum duplici illo impetu ab , ad secundum ipsas directiones a b, a d , non feretur U naturaliter per ipsam ax, aut quamlibet aliam ditiersam a diamctro a ε; sed omnino seretur pecipsam diametrum a c. Sit secundo rectus alteruter angulus, ut bac. Totus. impetus secundum ac subnasci intelligetur ex impetu secundum a d.

Ducta vero ad bah perpendiculari dBs erit a b aequalis ipsi de, siue a b . Quare impetus a B secundum a B, qui subnasti intelligitur ex impetu a d secundum ad c quiqi

est complementum alterius impetus seeundum ac, subnascentis eκ eo

dem impetu secundum ad) aequalis erit toti impetui a b secundum a bs

atque adeo, propter mutuam ada inquatam horum impetuum elisionem, solus relinquetur vivus impetus secundit in ae, quem stilicet subnasci intelligimus ex eo impetu secundum a d.

52쪽

Sit tertio alteruter angulus, ut bac, maior recto. Ductis perpendicularibus, ut in apposita figura : impetus quidem secundumar, qui stibnasci intelligitur ex linis petii secundum ab , elidet aliqua-H tenus impetum secundum a c, subis nascentem ex impetu secundum a di sed complementa horum se nascentium impetuum I nimirum impetus an, de ah secundum ipsas a n, a b perpendiculares ipsi a c qui utique subnasci respective intelliguntur ex impetibus a b , a discnndum ipsas directiones a b, a d aequalia , ut supra, inter se erunt. Quare, propter mutuam adaequatam is ornm complementorum elisionem , solus rhirsum a vilius supererit impetus quidam secundum a c. Quod autem nulli alteri directioni eonuenire id polsit, si ii discursu euinciatur . Itaque constat propositum.

COROLLARIUM.

Hinc, fi pondus a naturaliter seratur per diametrum a e, con-l stabit e conuerso, ita fore impetum feeundlim a b ad impetum feeundum ais, ut ab ad ad: si enim foret, ut ab ad quandana maiorem, vel minorem ipsa ad , iam alia esset via diametralis ab ipso pondere a ineunda a quod eli contra hyE

53쪽

PROPOSITIO VIGESIM A SEXTA.

Is eius autem secundum a c Da erit ad impetus secundum aib, ct secundum a d , vr diameter a c ad ipsa latera ab, ad .REpetitis enim quantum spectat ad rem praesentem) figuris

praecedentis propositionis: Si vrerque augulus , a ς , da cfuerit minor recto 3 impetus secundum a c, subnascens ex am. petu secundum a b , ita erit ad ipsum , - f impetum a secundum ab , ut a rad abs f atq; item impetus secundum eandem a c, . subnascens ex impetu secundum a d, itas erit ad ipsum impetum secundum sae,

- ε-, - - ut iam ad ad . Sunt etiam inter se im-

. petiis secundum ab , & secundum σέ, ut ipsae ab , ad . Quare totalis impetus secundum ac cnimirum aggregatus ex praedictis partialibus impetibus subna laentibus ita erit ad impetus secundum ab , & secundum ad, ut summa ex am, & a r ad ipsas ah, a d, nimirum ut diameter a c, sestonim ςm aequalis ipsi ar, propter aequalitatem lateris b a cum latere d c, de similitudinem trianguli sar cum triangulo dc mad ipsa latera ab , Ad. Sin vero alteruter angulus, ut ba c, fuerit rectus ; rectus etiam erit angulus dc a. Quare impetus secundum a c,subnascens ex impetu secundum a d i qui unicus eo casu reperitur ita est ad ipsum impetum secundum a rivi a c ad ad. Est etiam impetus secundum ad ad impetum secundum ab , ut ad ada b. Igitur impetus secundum ac ita se habet ad impetus secundum a b, de secundum a d, ut diameter a cad ipsa latera ab , Id. a a . huius. Si

54쪽

LIBER PRIMUS. Si tandem alteruter angulus, ut , a c, maior fuerit recto; im-Petus secundum a ri subnascens ex impetu secundum a b, it a

erit ad ipsuda impetum secundum ab , ut a r ad abi atque item in impetus secundit in a c directe Oppositus impetui sex dum a G subnascens ἐκ impetu secundum a d, ita est ad ipsum impetum secun dum ad , ut a m ad ad . Sunt etiam inter se ipsi impetus secundum ab , & secundum ad , ut ipsae ab, a d. Igitur impetus vivus secundum a e qui relinquitur ex elisione impetuum ar, cm ita se habet ad impetus secundum a b , de secundum a d , ut am minus a r ad iplas ab , ad , nimirum ut diameter a e snam cm aequalis est, ut supra, ipsi arbad ipsa latera ab , ad . Itaque constat propositum .

HVeusque dictis subnectere iuuat duas obseruationes. Prima e th, quod impetus ex tribus, aut pluribus impetibus primigeni js compositus, idem Perinde reperitur , quoquo pacto ipsi impetus primigeni inuicem componantur . Citatum enim intelligatur pondus a tribus impetibus ab , a e, ad secundum ipsas primarias directiones ab , ac, a d. Unicum easum apposita ibgura exhibeo, ne taedium afferam benigno Iectori. Compleatur

parallelogrammum abrc, cuius diameter ar. Tum Compleatur parallelogrammum a rnae, cuius diameter a n. Porro, ex vi imp F Σ ' tuum. Diqitiaco by COOste

55쪽

NEO. STA PIGAE tuum abi a se obtinebit pondus a impetum compolitum a r secundum ca) ipsam diametrum a r. Assiimpto autem altero impetu

componente ad, obtinebit impetum compositum a n secunduim ipsam diametrum an . Iam comis pleatur alterum parallelograminum ac fid, cuius diameter a Φ.

Ex vi impetuum ae, ad obtinebit Pondus a impetum compositum a/ secundum ipsam diametruma . Ostendendum superest , quod assumpto altero impetu componente a b , competet ponderi a idem impetus is n secundum candem a n ι adeo ut propterea idem impetus composiliis reperiatur secundum eandem directionem, quoquo pacto ipsi impetus primigenii inuicem componantur. Porro autem id ipsum patebit, si ostenderinuis abnε iunctis nimirum , n, Se n esse paral-Ielogrammum, cuius diameter an . Et quidem, cum rn parallela sit,& aequalis ipsi ad, hoc est c ρ, parallelae itidem erunt,dc aequales kn, & cr, hoc est in , de ab . Quare parallelograminum erit abn/, cuius diameter a n. Caetera patent ex dictis. Quod autem ostensum est de tribus impetibus componentibus, idem valet de quotcunque alijs. Altera obseruatio est eiusmodi a quod magni.tudo impetus subnascentis desumenda omni .no est ex impetu quodam secundum naturalem suam directionem . Nam, dato triangulo rectangulo a b c ; ex impetu primigenio a ς secundum hypothenusam ac subnascetur utique impetus ab tb secundum a b: atque item, facto triangulo rectangetuo a b ; ex impetu primigenio a b secundum hypothenusam a b si ib. nascetur impetus a ε secundu in a ε ; qui tamen subnasci non s pos-i a 26. hu/cu. b a . huiu1.

56쪽

. LIBER PRIMUS. sposset ex impetu a b seeundum a b , quatenus subnasci potente

ex impetu primigenio a e secundum a c. Tunc enim impetus ipse subnascens secundum a /, verE subnasceretur ex impetu secundum a c. At angulus ac potest esse maior acuto; quo casu nullus subnasci potest impetus secundum a fiex impetu secundum a c. Sin vero angulus hac sit acutus: ducta ada fi perpendiculari ς n, constat ex elementis minorem sere an, qtiam βε. Quare impetus, subnasci potens secundum a fi ex impetu ac secundum a c, non erit a E, sedan. Itaque constat intentum .

ADMONITIO PRO SES VENTIBOS THEOREMATIS.

oniam ponderum aequalium momenta, & impetus proporistionalia sunt ; quaecunque infra dicturi sumus de impetibus grauium ex quiete, censeri utique poterunt dicta de iplis momentis grauium aequalium.

DEFINITIO.ΡLanum horizontale appellabimus illud, ad quod perpendicu

laris est directio cuiusdam grauis, libere undentis deorsu in . Quae quidem definitio valebit , seu grauia censeantur in unum commune centrum conuergere , siue habere directiones inuicem parallelas . .

PROPOSITIO VIGESIMA SEPTIMA.

l grauium ex quiete super Hanii inaequaliter tacuena. tis , sed eandem eleuat onem habentibus , sunt inter se in reciproca rarione longitudinum ipsorum planorum.

57쪽

46 N EO- STATI G AE SInt plana inaequaliter inclinata ka, ας; sed habentia eaniadem eleuationem ad , perpendicularem nempe ad planum horiZontale b c . . Dico impetum grauis cuiusdam a in planoab, ita esse ad impctum eiusdem in plano ac, vi reeiproch ac ad ab . Excitentur enim ad ba, & ca, perpendiculares bb, cn , occurrentes ipsi a d protractae, in b, de n. Ita erit impetus grauis a in a B, seu secundum primariam directionem a B, ad impetum eiusdem subnascentem in ab, seu secundum directionem coactam a b, ut

a) hypothenuis a b ad latus a b trianis guli rectanguli abhsiuet propter tam ilia triangula ab h, ad b) ut ab ad

a dia Pari ratione, impetus grauis a in ac, seu subnascens secundum ac, ita se habet ad eundem impetum grauis ain ah, seu secundum primariam directionem aB, ut a ς ad a n; siue spropter similia triangula a c π,a dc ut ad ad a c. Igitur ex aequo secundum perturbatam rationem, ita se habet impetu αgrauis a in ab ad impetum eiu siem in ac, ut reciproce ac asta b. Quod erat demonstrandum ia

Nota verum id esse, quatenus graue illud constitutum intelligatur in ipso punctoa, dicto runa planorum communi. Adhuc tamen eadem veritas uniuersim subsistet, ubiuis constituta intelligantiir grauia supra dicta plana, dum impetus ex quiete grauium deorsum, tum aequales ubiuis putentur, tum etiam habere ponantur directiones parallelas. Si enim graue quodpiamr constitutum sit in quodam puncto r ipsius plani a b , sitque r ι perpendicularis ad , c; erit, ex stiperius demonstratis , impetus grauis aq. huius.

58쪽

LIBER PRIMVS. 47 gravis r in plano rb ad impetum eiusdem in plano ν ι, ut reciproch rt ad ν, ά siue, propter parallelas, ut ad ad a b ι nimirum ut impetus grauis a in plano ab ad impetum eiusdem in plano ad. Ponuntur autem aequales impetus grauium a, de ' secundum perpendiculares ad, ri: Igituraequales etiam sunt eorundem grauium impetus in ipsis planis ab ,rb. Idem valet de grauibus ubiuis constitutis supra planum a c. Quare, ubiuis intelligantur constituta grauia supra dicta plana,eadem semper erit ratio impetuum in ipus planis, nimirum aequalis rationi reciprocae inter ipsorum longitudines.

PROPOSITIO VIGESIMA OCT AUA.

' I in sublimibus punctis laterum a b, b c trianoli rectangu- , ii a b c , ad horizontem, secundum hypothenusam a c, ρα- pendiculariter erecti , grauia qualibet constitu .ra intelZiganture eorum imperus ex quiete in ipsis planis a b, b c ita erunt inter se , ct ad impetum secrenaeum hypotianusam ac, ut ipsa Iairea ab , b c , ct h othenus a c. Quo uidem verum est in ut quo Barum opotheseum ;seu quod aequales ubiuis sent impetur grauium deorsum, sed habeant directiones parallelas; seu quod directiones habeant in υntim commune cenisrrum convergentes , sed impetus proponio tisini distinor ab issso reviro.

ET quidem, quod impetus subnascens secundum ab ita sit ad

impetum secundum primariam directionem ac, ut ab ada ς, satis patet ex superioribus. De impetu autem in bc ita ostenditur in prima hypothesi. Excitetur ad be perpendicularis σου, occurrens parallelae ipsiata. Impetus In sc subnasci intelligetur ex impetu in b d , hoe est secundum primariam directionem , d, qui utique aequalis po-

59쪽

In sectinda vero hypothesi ita evincitur . Si enim centrum sue rit iplain punctum c , res patet ex ipsa hypothesi. Igitur sit quodpiam punctum v, vel existens inter ipsa puncta a , &ic, vel alibi in ipsa a e protra- . iungatur in s &ad ipsam be si opus tuerit protractim, ducatur perpetidicularisnr. Impetus in an, & in bn proportionati sunt iplis distantiis a n, bn r impetus autem in ι n ita est ad impetum labia ascentem iob r, ut ipsa b hypothenusa bn ad latus brtrianguli rectanguli brn. Igitur ex aequo, ita est impetus in a n ad impetum in. b r, ut an ad br: ut autem an ad br, ita est propter parallelas, aut triangula similia) ne ad c r: atque adeo ut an ad br, ita an, plus aut minus nc, ad bri plus aut minuscr. Quare ira est impetus in a n ad impetum in br, ut an, plus aut minus n c, ad , γ, plus aut minas c x, nimirum ut ac ad bc. Quod erat &c. AL

, COROLL A RIV M.

Il igitur hine i stante alterutra dictarum hypothesium) quod si ab imo, aut sublimi puncto circuli, ad horizontem perpendiculariter ercisti secundum diametrum a c, dii eantur qua libet plana usque ad cir- .cunferentiam inclinata , ut eae, ab , impetus cuiuslibet grauis a m a b,

di cuiuslibet grauia d in dc , erunc

60쪽

LIBER PRIMVs. 49

Inter se, & ad impetum cuiuslibet grauis a in ac, ut ipsae ab , d c,& diameter a ς . Nam, ductis cώ,&ad, recti erunt in semicirisculo anguli ab , ad . Igitur impetus quorumlibet grauium in ab , , c, ac d c, erunt inter se , & ad impetum cuiuslibet grauis a in a c, ut ipsae ob, b c, a d, dc, dc diameter a ς .

PROPOSITIO VIGESIMA NONA.

EMO circulur , cuius Hametriae, b d sese ad rectos anis

gulos inresecens in centro e . Assumptis aurem in circumsterentia duobus quibusuebet punctis r, ct L designetur etiam sexcepIocentro e in alterutνa diametro ad libitum protractae, ut a c, quodvis punctum Z ; unde ad conti venies r n , flaoccurrenses praedicta a c in n, ct ii , demi tanIur perpendicusere1 E m,

et g . Dico ira fore inter se continis en r ira, f g, ut sinus recti r i, X, perpendiculariter demissi ad

diametrum ac vi

DVcatur enim ad continge tem do perpendicularis κλ& iungatur e L. Porro , ad vitai dam confusionem Iinearum , eandem ipsam rem pluribus figuris exhibebimus , pro casuum diuersitate. Itaque puncta ν, & f aD sumpta sint in circunferentia semicirculi b c d , ad cuius nempe partes designatum ponitur in diametro a c praedi ctum punctum n. Triplex autem fingi potest casus, relate ad c tingentem Io; vel quod punctum a congruat cum puncto B; vel quod cadat inter

puncta e , & h; veI quod existat vlira ipsum punctum h: Vbi ob-