장음표시 사용
61쪽
Hoe posito dico esse a y α -; nam si utramisque aequationis huius partem multiplicaveris per a , ex altera parte habebis a', ex altera I , quae duo , ut modα ostendi, sunt aequalia.. Dico etiam esse ar m Z; nam si utramquo huius aequationis partem multiplicaveris per , habebis, hic quoque, hinc a , hinc I . Dico tertio esse a 3 α -οῦ nam si utramque
aequationis partem multiplicaveris per a , hic quo que habebis aφ α I. Eademque ratione ostendetur esse a ue α - ,
Locus monet, ne illud praeteream . Qitem admodum est etiam a quippe, si utramque partem multiplicaveris per habebis α I . Quae certissima est aequalitas. Eodemque modo invenies a 4 α - , & a' , &c. Sed iam L
62쪽
De Iotesatibus , quartim es nens escium erus fractus. O Ceutrunt perispe potestates , quarum exponensa 4 est numerus fractus, uti dec. De his etiam est dicendum. Ac statim manifestum est, ad potestates huiusmodi uia omnia transferri posse, quae adhuc diximus de potestatibus exponentem negativum habentibus. Itaque si duae sint potestates eiusdem quantitatis a , habentes exponentem fractum puta eas inter se multiplicabis exponentes ambos in unam sumis mam colligendo sic a ' sive a s. Quod si altera per alteram dividenda sit, puta per , id essicies adimendo exponentem huius ex
ponenti illius se si .e Ac si potestas quaepiam exponentem habens fractum evehenda ipsa sit ad potestatem aliquam ; id c se ficies multiplicando eius exponentem per eum numerum , qui indicat potestatem , ad quam est evehenda.
Itaque evehes ad potestatem secundam multiplicando exponentem per a , scribendoque . E- vehes ad tertiam , mutiplicando exponentem - per
3 , scribendoque a sive id est a . Evehes ad quartam , multiplicando exponentem'doque de .
63쪽
His rebus apparet, potestatum omnium , sive exponentem positivum habeant, sive negativum , sive integrum , sive fractum , unam eamdemque rationem esse.
Quamquam in his, quae exponentem habent sinctum , illud praecipue considerari volo . Potestas quaevis, exponentem fractum habens, evehitur ad potestatem illam, quam denominator exponentis indicat, denominatore ipso abiecto . Sic potestatem a ad potestatem tertiam evehes, abiiciens denominatorem scribendo a . Etenim denominatorem 3 abiiciens perinde facis, ut si exponentem ipsum Z multiplicares per 3 . Sic potestas a evehetur ad potestatem quintam , si abiecto denominatore s , scribatur tantum Ea re patet, cuiusvis quantitatis radicem quamlibet poni, si modo eius exponens per eum numerum dividatur, qui genus radicis indicat. Sic quantitatis a pones radicem tertiam , s scripseris a=; quippe a) evecta ad potestatem tertiam essicit a . Sic quantitatis a' pones radicem quintam , si scripserisa ,' quippe a, evecta ad porestatem quintam essicita . Quae omnia, si attentius considerentur, verbis declarari non indigent. Ac iam res ipsa ad radices nos deduxit. Gm. II.
64쪽
De radiei exprimendarum ratione.
I )iIobus modis radix quaelibet cuiusvis quantitatis
potest exprimi. Primum, si, ut modo dixi, exponens quantitatis per eum numerum dividatur, qui genus radicis indicat. Sic radix tertia quantitatis, Verbi
gratia , exprimetur per a radix quinta per afradix septima per &c. Deinde, si quantitati radicate signum imponatur, eique ad sinistram superponatur numerus, qui indicat genus radicis. Sic radix tertia quantitatis a eκα primetur per V u ; radix quinta per Uradix septima per &c. Quo loco duo praestat animadvertere. Primum . Si quantitas, quae sub signo radicali iacet, evehatur ad potestatem quampiam; radix etiam ipsa ad eam in dem potestatem evecta erit. Sic evehes V a ad potestatem verbi gratia quartam, si ad potestatem qua tam evexeris quantitatem ac scripseris V a'. Etenim
est certe fa idem atque Hanc vero si ad quartam potestatem velis evehere , scribes a 3, idest V a' . Quae ratio manat latissime , valetque ad casus omnes. Secundo. Si radix quaepiam evehenda sit ad p testatem eius gradus, cuius radix ipsa est , ad id satis erit radicate signum abiicere . Sic evehes Ua ad potestatem tertiam, abiicendo radicate signum scribendoque tantum a . & V a ad potestatem quintam , abiiciendo radicate signum , scribendoque tantum a. Quod ipsum manifestum per se est. De
65쪽
De radicibus ad idem gentis reducendis .
DInt radices duae diversorum generum , tertia verbi gratia, uti at, & quinta, uti '. Has reduces ad idem genus, si exponentes ambos - & - ad eum. - . 3 . . dem denominatorem revocaveris, ac scripseris &
Sunt enim hae radices eiusdem generis, quippe ambae quintae decimae; ac cum si - α - , erit a ' ma', cumque sit - - Δ-, erit m ιν .
I . IQuod si radices per radicalia signa expressae sue rint, uti res eodem redibit, ut per se satis patet, si numeros 3 & a multiplicaveris pers, & vicissim numeros s & 4 per 3 ; ac scripserisa ' & quae sane idem omnino sunt, atque De radicibus multiplicandis. otest sane radix quaelibet per quantitatem aliam quamlibet multiplicari itidem ut quantitates omnes simplices. Sic multiplicabitur V a per l, scribendo
lia est etiam multiplicandi ratio, ad usum peris pecommodior, quae generali hoc theoremate nititur. Sint quantitates duae quaevis r , & Evehan-Η a tur
66쪽
6 tur ambae ad potestatem eamdem , ae tum simul mutitiplicentur. Radix hujus producti illa quidem, quae eiusdem est gradus, cuius est potestas , ad quam ν& ti evectae sunt erit semper aequalis producto tu. Evehe t & u ad potestatem secundam , habebisquet tuti, cuius produm radix secunda aequalis est , ut patet, producto tu. Evehe t & ti ad potestatem tertiam , habebisque ritu uti, cuius producti radix tertia aequalis est producto tu. Quae ratio , ut fac ile constat, in infinitum abit ..Hoe posito licebit iam radicem quamlibet, pu ta Va, multiplicare per quantitatem quamlibet bhoc modo . Utramque evehe ad potestatem tertiam; habebisque a de Igitur producto ab pone radiiscem tertiam, id est V a b . Erit haec sane aequalis producto ex V a , Se b. Eadem ratione multiplicabis a per b, si utramque evexeris ad potestatem
secundam, ac scripseris V a b . item V a per b, si
utramque evexeris ad potestatem quartam , ac scripseris v a b'. &Q. His facile intelliges, quemadmodum possis quantitatem , sub radicate signum coniicere, atque etiam, si libuerit, extra signum ponere. Est enim liva mV ab , ideoqtie potest expressio altera adhiberi pro
altera. Sic est b V a m V abi; neque minus b V a
Expeditissima autem erit ratio multiplicandi si mul duas radices , quae eiusdem sint generis , si ex eo , quod modo posui, theoremate multiplicentur.
67쪽
per V b, si scripseris V ab; de V a per Ub, si seripserissea b; & Va per i. , si scripseris V ab , &c.
De radieibus in divi nem venientibus .. Non est dubium, quin radix quaeque in divisionem se veniat , tamquam quantitas quaevis simplex. Divides ergo V a per b ,. scribendo , sive b perva, scribendo sed alia est etiam divisionis
ratio, quae generali hoc theoremate nititur. Sit quantitas quaevis. t dividenda per quamvisu . Evehantur ambae ad eamdem potestatem , ac tum
illa per hanc dividatur Radix huius factionis illa quidem, quae eiusdem gradus est , ac potestas, ad quam t & u evectae sunt erit semper aequalis se ctioni . Evehe a & M ad potestatem secundam .
habebisque - , cuius fractionis radix secunda est, I u u tui facile constat, aequalis fractioni . Evehe t &
D ad potestatem tertiam , habebisque Vl , euius
fractionis radix tertia aequalis utique est fractioni L . Eaque ratio in infinitum procedit.
68쪽
62 Hoe posito, licebit iam radicem quamlibet, puta V a , dividere per quantitatem quamlibet b . evehendo utramque ad potestatem tertiam , ponendoque fractionis se radicem tertiam, idest erit quippe . Eodemque modo dividetur b pera , si evehatur utraque ad potestatem tertiam, ae
tum ponatur fractionis radix tertia, idest ;
s utramque evexeris ad potestatem secundam , ac
Pari ratione divides V a per b, sive b pers utramque evexeris ad potestatem quartam , ac scripseris ι m, uve quippe H---, 1
Atque his rebus facile intelliges, quemadmodum possis quantitatem , sub radicate signum coniicere, atque etiam , si velis, extra ponere . Erit etiam ex eo, quod modo dixi , theorema te ratio expeditissima dividendi radicem quamvis per quamvis aliam, si ambae modo eiusdem sint generis.
69쪽
Αd id enim satis erit, quantitatem , quae sub signo illius est , dividere per quantitatem, quae est sub signo alterius, fractionique imponere commune signum
ambarum . Sic divides V a per V , , scribendo U-; itemque V a per V b , scribendoq e V a per Ub, scribendo V
De quantitatibus sub vincula postis. OCcurrunt passim quantitates quaedam compositae,
quibus superstat lineola cum numero ad dexteram
adiuncto, uti a. Lineola dicitur vinculum; numerus 2 exponens vinculi; isque indicat potestatem, ad quam censetur evecta quantitas a- b, quae subo vinculo jacet . Est ergo a --o idem atque e.. vecta ad secundam potestatem, a --b idem atqui a b evecta ad potestatem tertiam , &c. Quantitates vinculo expressae , tamquam simplices , haberi possunt; quares sit quantitas a--b multiplicanda per quamvis i , id utique fiet scribendo
Atqui poterit etiam littera i sub vinculum conii-ςi ad hunc modum. Dividatur exponens litterae eper exponentem vinculi: sic t': tum multiplicetur
per a -b , scribaturque ιδ - ιδ . Est enim hoe nihil
70쪽
nihil aliud, nisi potestas secunda illius producti, quod fit ex ; haec autem , ut facile patet, niis
hil est aliud, nisi potestas seeunda quantitatis i ducta in potestatem secundam quantitatis a in b, idest
t. a b . Pari modo, si occurrat , poterisIitteram et sub vinculum coniicere , scribendo scilicet
a 13 - b t' ; si t . a , scribendo VMIet enim in omnibus par ratio. Contra si quantitas, quae sub vinculo iacet , ducta sit in quantitatem quampiam i, uti si occurrat at--θι , poteris, si voles, litteram t e vinculo educere , & extra ponere , modo exponentem eius
multiplices per exponentem Vinculi: sic t .a --b . Et sane si hic velis litteram e rursum sub vinculum coniicere ea ratione, quam modo docui , redibit tibi
at --θt. Pari modo si occurrat a o, poteris litteram t e vinculo educere , scribendo scilicet
rsi. a b . Si a , scribend6 13 . a b, ct c. Non libuit mihi, quod multi faciunt, neque hic, neque alibi , per exempla vagari quamplurima. Tuum erit, mi Ratia suavissime, multa tibi fingere, in iisque saepius versari ; quo & regulas ipsas, praeceptionesque , quas adhuc tradidi, melius intelliges, fiesque promtior ad omnia. De Di iti by Coc gli