장음표시 사용
51쪽
simi aequales. Et quia duo trianguli d g h. e k l. sunt squianguli
ad k c. ita d g. ad g h. Et quidem d h. aequalis est ipsi c g. 5c k e. ipsi s g. ec k c. ipsi g d. ergo ut c g. ad g f. sic ipsa f g.ad g d. ocri g. ad g h. Quattuor ita p rectae lineae e g. g fg d. g h. Vtcussi
continue proportionales sunt inuentae.Rursus simili descriptisone aliae quattuor rectae lineae continue vicul proportionales sub eadem cotinuam proportione inuenient,li adviram ipsius h. partem circularentiae aequales m b. h n. sumantur, oc per n. ipsi a b. parallelus ii x. agat secans c resuper X. Conexam d m. secet n π.in o. rursus igit quattuor rectae lineae c π. X n. d X.N o. cOtinue .pportionales esse eode modo probantur.Atapin hunc modum plures aliae quattuor rectae lineae cotinue proportionales inuenient,videlicet inter ipsas bd. productis parallelis pluribus sub ipsis parallelis ad b. utrobioe sumedo aequales clascularentias atq; ad puncta inter B c. constituta ex d. coiungedo rectas lineas similes ipsis d e. d m. secantes ad aliqua puncta productas inter b d.parallelos,velut in proposita descriptione d e. d in. secant parallelos fg.n x.super l, o. Habebimus ita νquattuor rectas lineas cotinue proportionales quarum prima pars dimetientis e d.inter e .5c actam parallelum sumpta. sescunda parallelus eadem. tertia portio ipsius dimetientis e d. in ter actam parallelum ec d. compraehensa. quarta pars ipsius actae paralleli terminata ad a c. at ductam a pucto d. ad circii ferentiam h c.
HIS itaq; constructis 5c ostensis. Sinit dats duae rectae Iineaea b.b c. quarum oporteat duas medias proportionalcs inuentire. Igitur a b.b e. ad rectos iungantur angulos,& centro quideb. interuallo autem a b. scribatur circulus a d e f. rductisq; ab. h c.quousq; occurrat circuserentiae circuli a d e fili signis d e f. duo itaq; dimetientes a e.d fiscinuice dispescunt in b. ad rectos
52쪽
angulos ex hypothesi reeoiuncta a e. producat in
ferentiae a d e f. in g. atmin d e.circumferentia per sumptu h. punctum ipsi dimetieti d f. parallelus agatur ii i k.secans a g. ini. oc a b e. dimetiente sitnk. actam e i l.sccet circuieretia a d. in l. Si enim d h.
d i. circillarentiae fuerint aequales parallelus h i h. iuste fuerat acta sin auteinaequales. Igit vehit pcedes theorema pcipitetemr . . ptando aut Vt verius diea palpitando ultra citram
describatur parallelus h i h. donet duae cireum emtar d Laequales fiant. Ex hypomesi igitur sint d h.d l. circumferent
aequales ,igitur per prius ostensa quattuor rectae lineae a v. Eruhe.k i.sunt continue propor nates ex consequetutintera k. k i. binae rectar lineae likk e. lant mediae proportionales. Et quia duo triangula ab e. a k i. sunt aequi gula per ii Pro. li. i. elemen. Eu. Igitur per propositione iiii. ii vi. eorum ele. a h. ad k i. est ut a b.ad b c. Igitur si m ratione i uim arili h. immittam' ipsis ah.b c. diras medias velut m. ILigitur truter datas duas lineas rectas a b. h e. sumptae sunt binae mediae Proportionales m.n.quod oportebat inuenire. ALITER ut pappus in mechanicis institutionil dares durubus rectis lineis binas medias cotinue Pportionales in mire. Sint datae duae rectae lineae a b.h c. quib' oporteat binas in dias proportionales inuenire. Et primu est reperienda secunda quattuor harum proportinalia, qua comperta non erit dissis
cile tertiam Cportionale inuenire. Sit aute b c. pars ipsius adie iu
53쪽
cb.centro interiratio alutem a b. scribat circiatus a d e. ducaturm dimetiens d b e. ad rectos agulos ipia b. Et coniuncta d c. prosducatur quousty secet ciracumserentiam a e. in Lecς normale aliquod in una. eiuS parte ponat ad e. siιgnum, altera Veroei' parte in circuserentia a d. inster a d. signa Ultra utracpseu sursum deorsu* qad
assumpta ci' pars iter c cc a. rectas lineas aequalis
fiat ei quae est inter a e. rectam lineam 5c circumset entia a i d. Id nam indagantes & adducentes normale ipsum facile iacies mus. Hat ira* 8c normale habeat positioncm velut e i.recta lisnea se ut aequales sint g h. h i. coniunctat i b. producatur in h. α Giungatur k g. secans dimetientem d e. in l. itur g k.parais
Ielus est ipsi a b. per propositione ii.lcvi.eleme.Eu.Est em i K. aequalis ipsi h g.& i b. ipsi h h. aequalis .Conectant deinde diali e. Et quia g k. parallelus est ipsi a b.& a b. ad rectoς est anipulos ipsi d b e. dimetienti per constructione, igitur g h. eidem
dimetienti d b e. ad rectos erit angulos per propositione xxi Ii.i. cleme.Et Vierin anguloiv d k e. h e i.rectus est quonia in sesmicirculo per propositione xxxi. lciii.elemen. igitur.per coros Iarium .ppositio.Viii. li. vi. eleme. kl. media proportionalis est inter d I.l e.& e l. media .pportionalis inter k l.l g. Et posita cosmuni ratione ipsius h l.ad l e.erit ratio ipsi' d l. ad l h. sicut e Lad i g. nam velut iam patuit virat harum rationu aequalis est rationi ipsius k l. ad l e. per propo. xi. li. v.eleme. Si duae ratiosnes viii fuerint eaedem ec reliqua igit ut d l ad I h. sic k l. ad I e. ec e l. ad i g. Cotinue igitur proportionales sunt quattuor rectae
lineae d V k.l e. t g. Et quia duo triangula e g l. e b trusum aequis
54쪽
angura & latera proportionalia quae subtendtintur aequalibus angulis per proposi. iiii. li. vi. elemen. similiter duo triangulid b c. d I g. proportionaliu sunt latem igitur ut d l. ad I g. sic d b. seu aequalis a b. adb c. similiter erit ut e l. ad i g. sic eb. seu aequalis a b. ad b h. sed p cdstructilone inter d l.l g.mediae proaportionales sunt k l.l e. igitur b h.erit secunda mediam proportionalium inter a b.b c. Et si per decima tertia propositione Icvi.elem. ipsis h b.b e. nediam fecerimus proportionalem ipsa tertia erit proportionalis, fiat ital sit m. datis igitur duabus rectis lineis a b. b c.binae medis continue proportionales inuestae sunt.b h. Sc m.rectae lineae.
Datis duab' rectis lineisbinas medias ἔportionales inuenire.
Sint datae duae resctae lineae inaequasles a b. b c. oportet ita ipsarua b. b hinas medias pro' . Portionales inuenire in continua prosPortione. Ex h. ip R
Io autem b a. semicirculus describatur d a e.-ex e. in c. recta linea coitincta rducatur in f 5c ab ipso d. producatur quςpiam recta linea, ita ut sit aequalis g h. ipsi h h. Id enim fieri potest. ducaturq; ex ipsis g h. in d e. p pediculares g l. h n m. Quoniaigit est vi h h. ad ii g. sic m b. ad b l. per .ppo.ii. lLVLeleme. . Est aute per costructione k h. ipsi h g. aequalis igit etia in b. ipsi b l. squalis atq; ex comuni sententia. Si aequalibus demant aequalia dic. relici m e. ipsi d l. existit ς' lis. Proinde etia totad m .ipsi toti l e.erit aequalis. Ex comuni sententia. Si aequatin' addant squalia re cetera. Et ob hoc est ut m d. ad d l.ita I e. ad e
55쪽
hb.b c.media sumatur proportionalis x. Quonia auicni est ut
quod ex a b. ad id. quodex b h. ita h b. ad b c. Atqui per primu
rotariu propositionis xx. Ii. vi. .Eu. Similes rectilineae sugurae adinvicem in dupla sunt ratione similis rationis laterum
igitur quod est ex a b.ad id. quod ex b h. duplam ratione habet ruam a b. ad b h. Sed quia a dissinitione li. V.elemen.Eu. Quaso tres magnitudines proportionales fuerint prima ad tertiam duplicem ratione habet,quam eadem prima ad secunda igiturh b. ad h c.duplam habet rationem quam lib. ad x. Et ut igiturab.ad b h.ω b h. ad x. verum vi b h. ad x.& x. ad b c.Et ut igita b. ad b h.ita h b.ad x. et x.ad b c. Inter datas igitur duas rectas lineas a b. b c.binae mediae proportionales inuenis sunt b h. X. Perspicua denim in q, datis duabus rectis lineis binae messis proportionales a Diocle Papo oc Poro similiter inuestigantur, quavis inter eos in demonstratione sit diuersitas. Propter desmonstratio ita huius varietate libuit has tres binarum mes diarii proportionaliis inuentiones sigillatim enarrare.
ALITER ex traditione PLATONIS datis duabus resctis lineis binas medias sub eadem ratione cotinue proporti nates inuenire. Sint ergo datae duae rectae lineae a b.bc. ad resctos angulos costinctae a bomaior b c. minor,his oporteat binas medias cotinue proportionales inuenire.Producatur itaq; a b. hc. in partem b.ad αd.Et super bd.compertus sit d. puctus quota a. per rectam lineam a d.commis,& ad. ad rectos anguloa excitetur d e.secans a b Productam ex Parte b super e.ari cin
56쪽
ipsi a d. his ita constriuctis ,aio v ipsarum a b. h e. sub eade ratione bin e mediae d b. b e. sint continue proportionastes.Et ua ex hypothesi angulus a de.rect' est. 5c a d. e c. per construsctionem paralleli, igie Pcr .PPO. XXiX. li Lele.. Eu. angulus c e d. rect' est at angulo a d inaequalis qui ex hypo.quom rectus est. sea per constructione d b. perpendicularis est ad a b e. similiter e b. Perpendicularis in ad c h d. igitur per corolariu propositionis viii. li. vi. elemeto uer bd. media proportionalis est inter ab. h e.. similiter b in media est,pportionalis inter d b.b e. comuni itavposita ratione ipsius d b. ad b e. erit a b. ad b d. sicut e b.ad hutram nam ratio est uti patuit vi h d. ad b e. per propo. xi.li. V.,
elemento igitur ut a b as h d se L A nA - - datis duabus resctis lineis ac binae compersis sui mediae sub
nis sententiacos struere instrumetum 4 datis duas
hus rectis hinae mediae eade ratione costinue proporti
57쪽
nales comperiantur. Sit Igitur gnomon seg h.ex duos' directi
regulamentis ligneis aut aereis compositus quae rectum comσοῦ plectantur angulum fg h. In horum altero regula metoluet aliud ruodda accomodetur normale i h. quod 'iuxta l. signu pertim atur quodam foramine cui comittatur regulamcntu g h. gnos inionis f g h. sic ut normste i h. adhaerens regulamento g h. ad 3Tectos anguIos nunc Versus g.quandoq; versus h. Volui queat. , His ital praestructis, si datis duabus rectis lincis velut a b. h c. libeat hinas sub eadem medias ratione cotinue proportios nales inuenire. Datae ita*rectae lineae ab. b c. ad rinos angus Ios,adinvicem coniungantstr in puncto b re reliqua sint dispoilsita Ut ante, & instrumentu hoc lic accomodetur a b. b c rectis
Vignomonis f g h. latus f g. iaceat sup c. oc g angulus ipsi h e.
cohaereat atin angulus i. consistat. sup h d. versatile deni* nora male i h. veniat pcr a. signis, sic ut g. punctus superponat ipsi c. alm i.signum iaceat super d. his ital cocinnatis inici a b. bri compertae iterum erunt huius officio instrumenti binae proportionales medioe b d. b e. cui' demonstratio eade est cu priore.
VI NICOMEDES in tractatu de conchoidibus. . Instrumenta fabricare quo inflcxae quaeda linea: q concho, des appellatae sunt describuntur. Nicomedes huius instrum csti fabricam tradidit in quodam libro quem de cochoidibus insscripsit,in quo quidem libro vir ille mathematicaru cognitione
Terum exeellcns et venerandus multo plura videt cxcogitasse
quam Eratosthenes, atq; longe argutiora iniimiisc. Quapros Iter ille ad geometriae scientiam aspiratibus haud parum prosiit. At super propositi fabrica instrumeti sic demii locutus est. Accipere igitur conuenit bina regul amenta sub eadcin spissis tudine accuratius decussata ecplanata levigatass, sic.Vt eandehabeant planam superficiem quae quide regulainenta sint a b. e d. deinde in a b. canalis seu sistiira aut rimula quaedam fiat sescuris effigie, in qua quidem rimula seu canali cuniculus aptet, quem vir ale graece chelidoniis aut chelonarium vocat Q instar testudinis aut limacis quae chelone a graecis appellat repat sust
a b. regulameto. Aptetur inqua ad a b.rectan linea Yt in ipsa -
58쪽
rnula suctum deorsum vos lui pomi. In regulamento autem c d. ad parte d. ec inca res a linea quae regulas menti cd. latitudinem bifariam dirimit.
parce cylinsorium dicitiae eidem regula meto C d. cosseratur. parii cietame emines , plano regula menti c d. ais istimatur dein de alia quara . da norma e f. iversus limite iseu i parte L . Qissum breo ,
Misin existens ii studinis .Et g h.cylindrium ita regulamento e d. ad pune lam d. sit insertum Ut circuire possit. Praeterea normae f. rotundo quoda pertundat foramine. ad α cui pusillus quida avis. i. teres claniculas immittat u cognare sit aut comissuram conexiones Me habeat cum discurrete cuniculo seu chelonario securis effugiem habete, ql quide chcIoriatium in ab. regula discurrit. Ia- f ii .... -
59쪽
ipso quoq; eylindrio g h. sit soramen eus sit dimissa e fregula,
quae cohaereat paruulo axonio p rotundum e. foramen traiecto
et cognato ipsi chelonario seu dicto cuniculo. Si quis itam suma P serit k.extremitate ipsi' regulae e f. moueatin eam siue in parstes a.siue in partes iplius h. e. quidem puctum semper vertetur in a b.recta linea, re norma e r. penetras sectionem seu foramequod est in cylindriog h. ingrcssit egreditur aloe eiusdem res guis e Lmedia recta linea mouebitur dicto motu sito per axem ipsius add. cylindrii.Observetur deniq; Vte excessus regulae e fidem semper eade* maneat Iongitudine. Qua de re si ad P. fixerimus stilum acuminatu qui pauimentu attingat describee obliqua quaedam linea, qualis est ipsa I m n. quam Nicomedes vocat conchoidea prima lineam. Et interuallu e laquide lines. magnitudine normae. Pollam aurem d. punctum. Huic deni inflexae lineae quae concoides dicitur Nicomedes demonstrauit inelse tres praecipuas proprietates.
e Prima proprietas conchoidos primae. Quo cocholados ampli' prosducitur eo minudistat a recta lisnea a b. ipsius
normae a L qae sic itellectui ps spicuum oc obstitu fiet. Sit ita in alia descriptione ncepta das
Polo aute e. re interuallo d e. linea denim conchoides se.producantur a c. duae rectae lineae e f. c g. secantes ipsam a b. rectam lineam sup h i. Punctis,ipsam aute conchoidea in f g. atm a punctis fg.ad a b. hinae agantur perpendiculares f k.g l. Aio Q f h. perpediculasaia minor est perpendiculari g l. Nam per proposione xχαι
60쪽
duobus itam rectis reliquus f h h minor est reisquo g i l.Ex coamuni sentetia. Si aequalibus auferantur inaequalia erit reliquumaioris ablati min' residuo minoris ablati. Atqui ex hypothessi anguli ad k l.recti sunt,igitur ex eadem comuni sententia arugulus h f h. maior est i g i. angulo, igitur ex angulo h f h. ipsit g l. angulo aequalis k fm. augulus auferatur. Recta igitur Iutiea i g. seu aeqalis h Lad g l. eandem habet rationem qua f m. ad f h. Et perinde s h. ad g l. minore habet ratione qua ad f E. Et quia per propositione π.li. V.ele.ad qua eadem maiore ratisonem habet,&illa minor est,ergog l. maior est qua f k. Quo igitur amplius producitur e g s.conchoides in L partem eo masgis appropinqnat ipsi a b.quod oportuit demonstrasse. ε Secunda proprietas ipsius conchoidis primae. Si inter eonchoidea 8c regula a b. recta quaepia linea .pducatur,ipsa conschoide secabit. Sit ita
norma a b.atq; polo c.insteruallo aute d e. descris pia conchoides re inter eam at* normam a b. . ducta sit.recta quaepiam
linea fg h. Aio Q recta lisnea fg h. prodiacta secetc5choidea iam descripta. pducta itaq; lineas gli. aut parallel' est ipsi a b.
tur primu parallelus si atq; ut d g. ad g c. ita d Mad aliam quampia k. Et