장음표시 사용
61쪽
DO ADDITIONE. A D DIΤI ONE quaeritur duorum pluriumve numerorum aggrega
tum ; quod ut obtineatur, numeri aggregandi sub invicem scribantur ea lege, ut unitates unitatibus, decades decadibus, partes decimae deci-miS, Uc. respondeant. Quamobrem ubi adnexae fuerint partes decimales, oportet unitatis locum adjecto commate insignire; deinde sumpto a dextris initio notae in primo loco occurrentes una addantur ; decades autem siquae proveniant, adjectis punctulis notatae sequenti loco annumerandae sunt, cujus itidem numeris reservatis interim decadibus, quae ad locum sequentem pertinent) in unam summam aggregati infra scribantur. Atque ita porro.
E. g. In primo infra-scriptorum exemplo, 9 & s faciunt I ; decadem punctatam servo, cum progredior ι & 8 sunt Iet, punctata igitur decade, et subscribo; ad secundum locum accedens, reperto 6, quibus addo et, sic decadas in primo punctatas, 8 & a faciunt decadem, quam notatam servans, quae sola superest I subscribo. Et sic deinceps.
- o. g. G. Mallisus in Mathef. Univers. S le Pere Lam dans ses Elemens des Mathematiques.
62쪽
S2Arithmeticae Pars Prima. Quod si proponantur colligendae res diversarum specierum, simili prorsus
methodo operandum, dummodo habeatur ratio proportionis, juxta quam progrediuntur diversa rerum genera. E. g. oniam Lib. Sol. & Den. non ratione decupla ut numeri progrediuntur, adeoque non Io denarii sed 1 et constituant solidum, non Io solidi sed go, libram; propterea in hisce speciebus addendis, loco decadis, numerus quilibet in denariis, du denarius, in solidis, vicenarius, sequenti loco adscribendus est.
CAP. III. De SUBDUCTIONE.S Ubductione quaeritur duorum numerorum differentia, sive quodnam
superfuerit residuum sublato Uno ex altero: cujus obtinendi causa, num ri minoris nota quaelibet notae majoris ejusdem loci subscribatur; deinde subducendi prima dextrorsum nota ex nota suprascripta auseratur, residuumque infra notetur; atque ita porro, usque dum perficiatur lata ductio toti US. Si vero accidat numerum aliquem minorem esse quam ut ex eo nota subscripta auferri possit, is decade augeatur, mutuata scit unitate a loco sequente.
Detur II 89 subtrahendus ex setos . Numeris ut in exempla subjecto scriptis, aggredior subductionem notae primae 9 ex supraposita 4; verum cum ne semel quidem contineat 9, adjecta decade, fiat I ; ex I subductis 9, restant f : dein versus sinistram pergens, reperio 8, a 2 loco 3, habita nimirum ratione mutuatae decadis subducenda, quod quoniam fieri nequit, ausero 8 a Iet, & restant ; proxima subducendi nota est 1, quae
quia a nihilo, sive o, non potest subtrahi, loco cystae o, substituo 9, 9 in-
63쪽
quam, quoniam mutuata decas unitate numero praecedenti jam ante adjecta truncatur) ablata demum I ab I, restat nihil. Porro peracta subductione restant a, quae itidem subscribo. Haud dissimili ratione subductio specierum diversarum perficitur : modo advertamus non semper decadem, sed numerum qui dicit quotuplus locus quilibet sit praecedentis, in supplementum defectus notae alicujus
N. B. Ex dictis liquet arithmeticae squam hactenus tradidimus) artificium consistere in perficiendo per partes id quod una vice fieri nequeat , rationem vero in additione reservandi, in subductione, mutuandi decadas, a decupla locorum progressione omnino petendam esse. CAP. IR
DO MULTIPLICAΤIONE. JVIUltiplieatione toties ponitur multiplicandus quoties jubet multipli
cans ; seu quaeritur numerus qui eandem habeat rationem ad multiplicandum, quam multiplicans ad unitatem. Numerus autem iste appellatur productum sive rectangulum, cujus latera seu factores dicuntur uterque tum multiplicandus, tum numerus per quem multiplicatur. Ut productum duorum numerorum inveniamus, scripto numero multiplicante sub multiplicando, hic multiplicetur per quamlibet notam illius, incipiendo
64쪽
Arithmetica Pars Prima. incipiendo a dextris; cujusque autem producti nota prima directὸ subscribatur notae multiplicanti, reliquae versus laevam ordine sequantur. Peracta multiplicatione, producta particularia in unam colligantur summam, ut habeatur Productum totale, in quo tot loci partibus sunt astidinandi, quot sunt in utroque factore.
Proponatur go,9 ducendus in sive multiplicandus per) 26, s. Quinquies dant eto, cujus primam figuram o subscribo notae multiplicanti s), reliquam et servo ; porro S in 9 dant ψ3 ; s cum et servatis faciunt , quae subscribo, sequenti loco ponenda ser vans; & sic deinceps.
Quoniam numeri cujusque duplex est valor, ut multiplicatio recte instituatur, oportet utriusque rationem haberi; adeo ut nota quaevis multiplicetur juxta valorem cum simplicem tum localem figurae multiplicantis. Hinc nota prima cujusque particularis producti scribitur subnota multiplicante. E. g. in secundi exempli multiplicatore, nota et valet duas non unitates, sed) decadas; ergo in 6 primam multiplicandi notam) ducta producet duodecim non quidem unitates, verum) decadas. Proinde primam producti notam in loco decadum, h. e. directe sub nota multiplican- te 2, Poni oportet. Ob eandem rationem, ubi in factoribus occurrunt parteS, numerus exprima multiplicandi nota in primam multiplicantis ducta genitus, tot locis detrudendus
65쪽
detrudendus est infra notam multiplicatam, quot multiplicans dextrosum ab unitate distat; adeoque tot loci in producto totali partibus seponendi sunt, quot fuerant in utroque factore. N. B. Si factori utrique aut alterutri a dextris accedant cysese non inter ruptae, multiplicatione in reliquis notis instituta, omittantur istae mox producto totali adjiciendae: quippe cum loci proportione decupla progrediantur, liquet numerum decuplum, centuplum, millecuplum, Sc. sui ipsius evadere, si modo uno, duobus, aut tribus loci S Promoveatur. CAP. V.
De DIVISIONE. D IV IS IO opponitur multiplicationi; nempe productum quod haec
conficit, illa sibi dissolvendum sive dividendum proponit. Numerus indivisione inventus, dicitur Quotiens: siquidem dicit quoties dividendus continet divisorem, vel squod idem est) rationem dividendi ad divisorem , seu denique, partem dividendi a divisore denominatam. In divisione, scriptis dividendo & divisore sicut in exemplorum subjectorum primo, captoque initio a sinistris, pars dividendi divisori aequalis, vel eum proxime superans sintelligo valorem tantum simplicem) interposito puncto seponatur: quaerendum dein quoties divisor in membro isto contineatur, numerusque proveniens erit prima quotientis nota ;porro divisor ducatur in notam inventam, productoque a membro dividendo ablato, residuum infra notetur, cui adscripta sequente dividendi nota, confit novum membrum dividendum, unde eruatur nota secunda quotientis, mox in divisorem ducenda, ut producto CX membro proxime diviso ablato, residuum una cum sequente dividendi nota, praebeat
66쪽
novum membrum; atque ita porro, usque dum absoluta fuerit operatio.
Subductis demum locis decimalibus divisoris ad iis qui sunt in dividendo, residuum indicabit quot loci partibus assignandi sunt in quotiente; quod si nequeat fieri subductio, adjiciantur dividendo tot cystae decimales quot
Peracta divisione, si quid superfuerit, adjectis cyseis decimalibus continuari poterit divisio, donec vel nihil restet, vel id tam exiguum sit, ut tuto negligi possit; aut etiam quotienti apponantur notae residuae, subscripto iisdem divisore. Si uterque, dividendus nempe & divisor, desinat in cyseas, hae
sequali numero utrinque rescindantur; si vero divisor solus cyseis terminetur, eae omnes inter operandum negligantur, totidemque postremae dividendi notae abscissae, sub finem operationis restituantur, scripto inhalineolam divisore.
Proponatur 5832, dividendus per 6 . Quoniam divisor major est quam is, adjecta nota sequente fiat 438, membrum primo dividendum; hoc interposito puncto a reliquis dividendi notis secerno. 6 in s contianetur septies, & superest 2; veruntamen quoniam non itidem septies in 28 reperitur, ideo minuendus est quotiens. Sumatur 6 1 6 in As inuenitur sexies, atque insuper 9, quin & 98 continet sexies, est igitur 6 nota prima quotientis; haec in divisorem ducta procreat subducendum Og, quo sublato a 38, restant 36; his adscribo 3, proximam dividendi
notam, Unde confit novum membrum, nimirum 363, quod sicuti prius dividens, invenio 8 pro nota secunda quotientis: 8 in 67 dat 336, hunc subduco a membro 363, residuoque et adjiciens reliquam dividendi notam, viz. 2, habeo 27 2 pro novo dividendo, quod divitum dat , qua primo in quotiente scripta, dein in divisorcm ducta, productoque ex 272 ablato,
restant quotienti, scripto infra lineolam divisore, adjicienda. Expeditior
67쪽
Arithmeticari Pars Prima. 3 Expeditior est operatio, ubi subductio cujusque notae multiplicationem immediate sequitur; ipsa autem multiplicatio a simistra dextrorsum instituitur. E. g. Sit Iet I9998o dividendus per Is 6, vide exempl. a) sub 12 10 primo dividendi membro scripto divisore, constat hunc in illo septies coutineri; quamobrem 7 scribo in quotiente. Septies 1 est , quibus subductis ex Iet, deleo tum notam multiplicatam I tum Ia partem membri unde auferebatur productum, residuum s supra notans; dein accedo ad proximam divisoris notam S ; in s dat 33 ; 3s ex si ablatis, restant I 6, quae supra scribo, deletis si & 5. Deinde autem in 6 duco, productoque 42 ex 69 subtracto, supersunt 27, quae proinde noto, deletis interim tum 60 tum 6, ultima dividendi figura. Porro divisorem jam integre deletum, denuo versus dextram uno loco promotum scribo, perque illum membrum suprascriptum quod quidem fit ex residuo mem-hri proxime divisi sequente nota aucto) quemadmodum praecedens divido. Eodem modo divisor usque promoveatur quoad dividendum totum per .
Jam vero praeceptorum ratio dabitur; & primum quidem liquet, cur quotientem per partes investigemus. a. Quaeri potest, cur v. g. in exemplo supra allato habeatur 6 pro quotiente membri primi per divisorem divisi, nam 6 in 58 centuriis pro centuriis nimirum habendae sunt cum duobus locis sinistrorsum ab unitate UOL. II. I distent
68쪽
distent) non sexies, sed sexcenties continetur ξ Respondeo, revera non simpliciter 6, sed 6oo scribi in quotiente ; duae enim notae postmodum inventae istam sequuntur, atque ita quidem quotienti debitus semper conservatur valor ; nam unicuique notae tot loci in quotiente, quot membro unde eruebatur, in dividendo postponuntur.3. Quandoquidem nota quaelibet quotientis indicat quoties id, ex quo eruebatur, dividendi membrum divisorem contineat; aequum est ut ex divisore, in notam proxime inventam ducto, confletur subducendum: tunc nempe aufertur divisor toties ad amussim quoties in dividendo continetur, nisi forsan aequo major aut minor sit numerus ultimo in quotiente seriptus. De illo quidem errore constabit, si productum tam magnum fuerit, ut subduci nequeat; de hoc, si e contra productum oriatur tam exiguum, ut peracta subductione residuum divisore majus sit vel ei
. Ratio cur tot loci partibus seponantur in quotiente, quot cum iis qui sunt in divisore sequentur locis decimalibus dividendi, ex eo cernitur, quod numerus dividendus sit productum, cujus factores sunt divisor "us, adeoque ille tot habeat locos decimales quot hi ambo, id quod demonstravimus de multiplicatione agentes. s. Patet cyseas decimales ad calceos dividendi adjectas ipsius valorem non immutare. Nam integros quod attinet, ii dummodo eodem intervallo supra unitates ascendant, eundem sortiuntur valorem; decimales vero non nisi praepositis cyseis in inferiorem gradum deprimuntur. 6. Quoniam quotiens exponit seu denominat rationem dividendi ad divisorem, patet proportione illa sive ratione existente eadem, eundem fore quotientem ; sed abjectis cysi is communibus, ratio seu numerorum ad invicem habitudo minime mutatur, Sic v, g. 2CO est ad I OO, Vel
69쪽
quod idem est) goo toties continet IOO, quoties a continet I, quod sane per se manifestum est. CAP. VI. De Compostione U Resolutione Quadrati. PRoductum ex numero in seipsum ducto, dicitur numerus quadraIUS.
Numerus autem ex cujus multiplicatione oritur quadratus, nuncupatur latus, sive radix quadrata; & operatio qua numeri propositi radicem investigamus, dicitur extractio radicis quadrati, cujus intelligendae causa juvabit genesin ipsius quadrati, partesque ex quibus componitur, earUmque ordinem situmque contemplari. Veruntamen quoniam in inquirenda rerum cognitione consultius est a simplicissimis & facillimis ordiri, a contemplatione genestos quadrati, ex radice binomia oriundi, initium
Attentius itaque intuendum est, quid fiat ubi numerus duabus notis constans in seipsum ducatur: & primo quidem manifestum est, primam a dextra radicis notam in notam supra positam, seipsam nempe, duci; unde oritur quadratum minoris membri. Deinde vero, eadem nota in sequentem multiplicandi, i. e. alteram radicis notam ducta, Provenire rectangulum ab utroque radicis membro conflatum constat. Porro peracta multiplicatione totius multiplicandi per primam radicis notam, ad secundam accedimus, qua in primam multiplicandi notam ducta, oritur jam denuo rectangulum duarum radicis binomiae notarum , deinde secunda multipli- Candi nota, i. e. eadem per eandem, multiplicata, dat secundi membri radicis binomiae quadratum. I a , Hinc
70쪽
6OArithmeticae Pars Prima. Hinc ergo colligimus, quadratum quodvis a radice binomia procreatum Constare primo ex quadrato membri minoris, secundo duplici rectangulo
membrorum, tertio quadrato membri majoris.
Proponatur radix binomia, v. g. 23 quadranda, juXta ea quae cap. 4. traduntur; primo duco 3 in 3, unde producitur 9, quadratum membri minoris. Secundo duco 3 in et, alteram radicis notam; prodit 6, rectangulum utriusque notae. Tertio, ex et in a ducto oritur jam secunda vice rectangulum membrorum. Quarto,
a in a gignit ψ, quadratum membri majoris. Progrediamur ad genesin quadrati a radice trimembri, atque hic primo quidem prima radicis nota in integram radicem ducta procreat, primo, primi membri quadratum; secundo, rectangulum membrorum primi ac secundi; tertio, rectangulum membrorum primi ac tertii. Secundo, secunda radicis nota multiplicans radicem dat, primo, rectanguintum membrorum primi ac secundi ; secundo, quadratum membri secundi; tertio, rectangulum membrorum secundi ac tertii. Tertio, ex tertia radicis nota in radicem ducta oritur, primo, rectangulum membrorum primi ac tertii; secundo, rectangulum membrorum secundi ac tertii, tertio, quadratum tertii membri radicis. Hinc porro colligimus quadratum quodvis a radice trinomia genitum complecti, primo, quadratum notae radicis primae; secundo, duplex rectangulum notae primae in duas reliquas ductae; tertio, quadratum duarum reliquarum, i. e. bina singularum quadrata & earundem duplex rectangulum, quae quidem constituere quadratum duarum notarum jam ante
Simili methodo ostendi potest quadratum , 5, quotlibet notarum continere, primo, quadratum notae infimae ; secundo, duplex rectangulum