장음표시 사용
151쪽
tionem habent inter se aliquam: nam diamet r quater multiplicata, circa ferentiae longitudinem quod notum est si perat. : suntque diametri ut ire
circularis & rectilinea raiionem habent: quia multiplicatae sese superare post uni. item circuli sunt via diametris quadrata, p rpros. r. L ir. Si igitur ut Quadratum A ad Qtadratum B,ita circulas Cad cir uim D: erit etiam vicistim,ut quadratum A ad circulum ta quadratum L ad circulum Nam si quatuor magnitudines proportiones fuerint C yicili Proportionales crunt: e proo i a. S. Arguimenta' r rioris opinionis ita hi dissoluere conantur. Primo si neam clama icidam nax ira Te diuers rimae, natione litus su unis etiam coneta sint: ciun illa te uini P in aequali Pr, illa ii 'tius ter sic inter lacta. lnt rim ro tam di obli uam in eo conuellire, quod uti aque si magnitudo tantum lon a : es licius longitudinis i coctu compar polle,adscrimi: edes 1 . . Praeterea, dire stolica biiciva , vel rectae do obli ae uereor, lisscutat , n re nis mech uice, iiii litui poss2; dciti materia nexibili, vel volubilia ob latituginis de in teriae imi dimenta, longitudincim faene variari largiuntur. Immo licet diligensad Godlimrecta ad circularem sat applicatio iveram tamcn S. xactissimam pcriplici ae longitudinem, itidata aliqua mensur a dii illi epos e minimc,statuunt: vcrum geomctrica principia dc edia mi xii in osca simi, de ii anguli rectans bliter tio latere,auobus eatis, incita Soadb: de comparatione&proportione lat im ac sam uio dcc.' ter: M argumentum codem modo con stan data entin rc dias
liqua item spatii redi inci 5 obliqudinci proportionc aequalitatem quoq; inc dari,int lat. Adpri positionis autein prosyllogisinum respondent
figurarum capacitatem scit amplitudinem scit ratim iudicari e quantitate de situ periinciri: a pectatim,rectilineat alio in triangula resoluta , e bali& altituatuo: circuit, e periplici dia quae basi ,, dcrnio, qui altit idinem repraesen t inr Scitin is, illii doces per retulicularis avditu e figurae adb sua: in circulo centrum verticis est loco, circumscrentia ballas: neque ulla linea circulo inscripta, pcrpendicularis est periphereiae, nisi quae per centra agitur. Radius ergo stiturio cit circussi G e fantcri quod deae uatio luc tantam ructi conarii mr ra. ccc ir; adaequat ouem ovinitan si
152쪽
ravit m transserendum. In adsumtione,spatia rectilincad obliquilinea,n turae esse elucrsissimae concedunt, ratione perimetri: scd conuellire atquet comparari dicunt in eo,quod sint magna udines planae, longitudinis ac la titudinis participcs: idcoque comprehensa perinicis spatia esse propo xionalia,S natura ae tiari posse, e dcf. s.l. . adfirmant. Nec enim v llineas. ieetas & obliquas. ves spatia i cciiii nea& obliquilinea, am csse pugnaris naturie, ut longitudinis aut amplitudinis nulla admittant aequali
talem. Nam cxempli di instantiae causa' circuli maioris quadran tem a b c , aequalem esse toti circulo ac b d , cui radius maioris illius a b pro dianactro licet huius spatium circi are periplici ci inius uti stilineum radio gemino, dc pcriphe
ilo inordinato a b c d e, tu nuta aequalis si conmmenda: prim ii pi . l. a. quin uangulo latinaequale quadratum ponitur. Fit auic in hoc, docent Caulo ad dictam propos commodissime,si datu quinquangulum
153쪽
---re i datur in triangula tria a d Ga C G, .
hinc latus inuest igetur quadrati, singilloi. . triangulorum constituendo squale oblon- sum; latera id comprchendentia, maius d minus, coniungen clo; ad coniuncta lateri' semicirculum describendo, basia trianguli
continuatam sccantem: crit enim tunco
iis portio, semicirculo secta, latus quadroi, - - dato triangulo a qualis: nim. e L crit laciis quadrati aequalis trian lo ade: scolam d & b b, latcra erunt quadratorum, triari stilis acd, S abc, aequalium. Latiis auicni quadrati,q :od trium in rcntorum la erum
sani ir, dc extrema laterum, rcina eg cor
Deciantur, quae latus est quadrati aequalis Juobus quadratis laterum e fi & d s. Desi si inuento lateri e g, tertium latus b h, pcrpcndicularitcr iungatur, & cxtrema laterum recialis coniicetantur: ipsa lis critiatus quadrati aequalis duobus quadratis laterum es & b b. Quia vero es eu latus quadrati aequalis auobus quadratis lateruntes te: iccircolis crit simul latus quadrati, tribus quadratis laterum cc & do Uadratu ergo ad latus ligconsiti tum,nim. g b i x, lato quinquansulo critae quale. J Porro ad inuenti quadrati diagoniaum L h, aliud quadraton, priori di plum, constituitur, nim. likml: quod diagonio hi rurius glutium,suo exhibet triangula rcctangula aequicrura, i h & i m h: quorum quodlibet dato qui aquangulo est aequale. Iam alterutrius trias sub hypotetnousa it k, sit diameter, & ad eam circulus describitur minorit k in l: crus itidem alterutrum radius sit, coque circulus maior describitur
154쪽
posito quinquangulo a b c d c, inaequalis. Maior enim circulus ii h plo, duplus est minorisbkml: perprop. 3 I l. 6, Sprop. r. lib. i aridcoques Hicirculus minor, k in I i, aequalis est quadranti maioris circuli kp t n. D ta igitur Mea communi, ipk i, quae a maioris circuli arcu sbi quadrantes p k, dominoris diametro i ili, comprehenditur: relinquuntur. Hi inque quales portiones; lunulalph m, &trigonum i h h. Post mi argumenti similitudo iisdem,ob disparem angulorum &are rum rationem,claudicare videtur. Angulis enim quibus crura sunt licter miro quales sint ansuli contacitas essegmentorum periphereiae interiuatq; externi necxcctilineos nec obliqui lineos angulos aequales dari posse; propter ut loquuntur oppositu in adiectoAd anisorum cniniae usu
tem, aequalem ad inuicem crurumangulantium sit Toci inclinationem,
ad commune sectionis, scucontactus punctum, requi Sc riuaanguli
155쪽
-------- -resbi datur in triangula tria a d e,ac d,&ar, Ghinc latus inuestii ur qiiadrati, singilloru- trian Diorum:constituendo squale oblon- gum; latera id comprehendentia, maius ' minus, coniursendo; ad coniuncta latera: semicirculum describetido, basin trianguli: continuatam sccantem: crit enim tunc b I iis portio, semicirculo , latus quadrati L ------ -Δ dato triangulo aequalis: nim. e C erit latus quadrati aequalis trian lo ad ci scolam d & b h, latera erunt quadratorum, tria: stilis ac d, & a b ci aequalium. Latus auicni quadrati, quod trium in rcntorum la oriun
: adratis iit aequale, inu itur, ii primum uo latcile G & d g, perpendiculariter iuri
Deciantur, quae latus est quadrati aequalis duobus quadratis latcrum e G & d s. Deinde sinuento lateri e g, tertituri latus b b, pcrpcndicularitcriungatur, Occxtrema laterum rectatis coniiceiantur: ipsi lis crit ' latus quadrati aequalis duobus quado et terum eg&b h. Quia vero es est latus quadrati aequalis auribus quadratis laterum ef& ds: idcirco lis crit simul latus quadrati, aequalis tribus quadratis laterum cc & do A d b. Quadratu ergo ad latus h g constiti tum,nim .st, i h, lato quinquangulo crit quale. J Porro ad inuenti quadrati diagoniaum L li, aliud quadrati na, priori duplum, constituitur,nim. liknali quod diagonio hi rursus diuisum,duo exhibet triangula rectangula aequicrura, i h h, & l in I: quorum quodlibet dato quinquangulo inaequale. Iam alterutrius tria sub hypoteriousa li k, sit diameter, bo ad eam circulus describitur minorn k in l: crus itidem alterutrum radius fit, coque circulus maior describitur
156쪽
n kr l o. Lunula igitur l p k m, a maioris periphereiae quadrante & min ris semisse eformata, triangulo i h h,item quadrato g E i k; & sic etiam proposito quinquan to Hac ac, inaequalis. Maior enim circulus iah plo, duplus est minoris hkml: perprop. 3 i. i. 6, Sprop. r. lib. iasidcoques micirculus minor, ii in I i, ae luri in quadranti maioris circuli h p t n. D ta igitur area communi, ipk i, quae amaaioris circuli arcu seu quadrante lp k, & minoris diametro i ita, comprestenditur: Minquuntur utrinque quales portiones, lunulal ph m, Strigonum i h h. Post mi argumenti similitudo iisdem,ob disparem angulorum &are rum rationem,claudicare videtur. Angulis enim quibus crura sunt heter genea quae sint ansuli contactius,vise mentoriam periphereiae interni atq; cxterni nec xccidineos nec obliquilineos angulos aequales dari posse; propter ut loquuntur 'ppositu in adiecto Ad anisorum cnima ualitatem, aequalcm ad inuicon crurum angulantium litur' inclinationem,
ad commune sicci ionis scucontactus punctum, requiri. Scd crura anguli
157쪽
rectistiis, itemq; obliqui lines,non' aequalem adinvicem obtineresi tum,cruribus anguli missilines &vicissim. Ergo an vlo missilitico, nec
obliquilineum,necretallacii posse aequari. Propolitioncm e definitioneanguli deducunt. Adsunitumprobant :rei his quippe an tum facientes, nciae uiuicςm tam prope acclinare sibi posse, quam reci ci conii acam:ncque adeo declinandodue refugere, ac rectam & concatam: per propos 3 Euci inde fieri, ut convexa cum recta maiorem I mper; .concaua tela' cum recta minore constituat angulum,siueobtusus is sit,
siue acutus, quam recta obliquae illius loco aequabiliter posita hoc est,ta gens, non se s oblimiam Recta obliquae non quidem aequaliter, sed i men aequabiliter, ad iciem punctum sisti potcst. N on aequaliter:quia huius qualibet ina ruinutissima pars obliqua,issius recta est. Equabilitent vir bique par inclinatio obliquae; vestiti contactu. Licet vero angulo missicri
ro, reeitcruma vel obliqui crurus non possit aequam: omni tamen talineo angulo, constitui posse obliquilineum ti nutarem aequalem , adfirmant, e Proclo ad 12. axiom. l. i. ci quod lunularium, ualibus radiis desci ptoriim, crura, candem prorsus cum duabus rectis anguli ructilinci adiit -- uicem inclinationem habere possint: cum cauitas alterius cruris, reliqui convexitatem compensando maequa. Non tamen contra, omnibus oblia quilineis etiam rectilineos aequari posse: non enim Glboesdibus,quia crus. utrumque rectarum inclinationem excedat iniec pelec issibus, quia crus utrumque a rectaruminclinatione desciat:ideoque hescdesectiun,ibi ex ..cinum malinari,non, in limularibus,compensui., . Hinc syllogismum adueri orum, ab angulis ad areas concludentem, ita consormant,&refellunt: Qv mcunque figurarii anguli tam diuem
se sint naturae, visibi aequari inuicem nequeant: illarum ipiariiquoq; figuram areae sibi aequari nequeunt. Sed obliqui linearii ae r inearum fg rarum anguli,sibi aulum nequeunt. Ergo neque areae figurarum obliquiulinearum & rectilinearum sibi possunt aequam. Propositionem negant,e prius demonstratis. Circulum enim cui nullus si angulus,aequari tanici esse alterius circuli semissi,uienti,quadranti. Ita semicirculum,cui insuli multimes, posse tame aequari alterius circuli qua dranti,cui anguli mustilines rectilineus.. Adsumtionem quoquelam ante instantia consectam: lunulares enim
angulos obliquilla sitaetallacis aequari posta
158쪽
Quare simileab angulis ad areas nihil concludere adfirmant. M enim angulos missilinco obliquilineos quosdam rectilineis aequari non posse, quod nulla recti ad obliquam sit proportio: sesquod inclinationem obli
quarum,nisi hanc situs contenta, rectae lineae minime ad ui valeant. immo, sicuti angulis rectilineis obliquilineos; & figuris rectilineis obli quilineas lunulares, aequari posse, lemonstiarunt: ita etiam circuli areae n tura respondere posse arcam'rcctilineam, iudicant: quamuis hactenus rati nibus&modiis geometriciscam docere& constri cre nemo potucrit. Equidem aliis dirimendam litem committo. Nihilominus, eis in & --suli & figurae lunul ues edi lineis aequari possin pelecocides autem anguli quibus circuli cauitas maxime adlinis mdetur rectilincis aequari nequeant : is lac propendeo, circulo aequale rectilineum natura esse non posse. Vt enim in angulis jsboeidibus depelec idibus; ita cita in periphereia nulla est cimiatui compensatior quae fere ibia angulo med ligura niluniit rium aequationem excusaro videtur. Ex hactenus allatis manifestum cst,directionem circuli ab Iutissimam, Lugeonactricam,vcistorsiis imposibi ira, vel eote nondum exploratam esse. inuis enim candem V ithematici quovis lectilo nobili mi 1 quia vestigare conati sunt: praecisionem tamen attingercnequaquam potucriit. Conatus autem in hoc problemate reliquorum omnium Arct rc lex si perauit et qui, cum periph creta addi anactrum proportionem veram per se& directa via indagari haud posse animaduerterctipropinquam salicin colulatione maiorum S minorum mim. multanguli ordinatis Glatcrum, es
eumscripti circulo do inlcripti exquirere atque demonstrare, ad opera mechanica fatis esse iudicauit. Naimpcrimetrum dicti ultanguli circum scripti, inuenit triplam diametri, a praetcrea non pia cis 'viscptimam ideoque peripherciam inscripti circulis ore triplam a & adhuc paullo min reii , quam sic uiscptimam, arguit: cum contenta petii creta sci pti: circuli, minor sit continente perimbro nonaginta xanguli. Coi tra, perimetriina . multanguli inscripti circulo, inuenit triplam 4 & plus quam superde particntem septuagesinias primas: ideoque perii herciuvo circumscripti circuli esse triplam,&adhuc maiorem 'uam seperdeci pia sentem septuagesimas primas, collegit: cum continens periphcresa circumscripti circuli maior sit coniciata pcrimetro nonagintas exanguli. Hinc igitur Archimedo proximam cu cumserentiae ad dianactrum
159쪽
nitionem, se lavsal: quousque satisfacientem , inter triplam si quis es main,&triplam saperpartientem decemscptuagesimas prima conssici , obauit. Et quia ultra triplina excessus paullo minor crat sesquis ptima; longe aurem maior scsqvioctaua sedeo sci quis p imam ccuvi in orcna,a
crumtamen ci cumferentiae ad diametriam prosortio accuratius cita nonnihil in lasari potcst,collatione multanguli ordi rati,circulo inscripti, i lurimorum laterum. Sicuti cnim multangulum ordinatum perpcndico ari semiperimetro cornprehcnditur : ita circulus qui vcluti πολι γνio & . ηγωνι, exsistit, seu totus angulus peripli cretae sibi ipsi ubique aequalis ra simicircumserentia continetur. Proinde nihliungulo inscripto plurimorum;& ob Aminimorum lateriam; cum intcr p inactrum,&c tinentem periphcretam sensi pom tibile otium vix reperiatur: citra cr- rorem perpendicularis inuenta pro circuli radio ;& dimidium perimetri pro semiperiphercia sumi;& harum proportioncs ad arce circularis inucia tionem accomm 'd ip0sunt. . moigitur multangulum circvlo instar pinur,laterum ri 6QCrraclioque p*sio io, o Cot paritum Wquaeratur latus,perpendiculms, Z scnais' moer Zarcus unius latcris crit i scrup tum primum. Dimidiatus er arciis, nim. Gr o es. 3 o . exhil bit sinumai, 3: qui duplicanis dat, i ubrensura,sbilatus multiinguli asos. Porro quadratum sinus sim dimi si latciis 1, ii 1, 1 τα sub ductum de radii quadrato CC, Coo oo,CCO O , linquo uadnitum p pcndicularisy 999,99 s 8 ,εῖ cuius radius,' ,sy9-- ipsa erit perpendicularis. Semiperim er tandem huius multanguli quod zr o est latcrum: & quodlibellatus 29 paritum erit si , i , ico partium.Γt scpifaecisse satis inuenta intratios ip pnere ad radium :cadem nimirum, quaen perimari propositi multitia si s et, li 7 , aco. ad perpendicularem eius dem naultanguli m9γ9, 99--- Est aut a ratio h c tripla superparticias
160쪽
Ioseph scali in periphobiae ad diametrum rationem e quadratis 'ri: isque nat irrct quadratrem ab ambitu circi ili deci plum esse ad erit quadrati adiam ctro. Latcra igitur denarii x unitatis minimorum vidcli-oetin data ratione quadratorum P proportionem quaesitam, quae sed rum etiam olim ii it sentcnti in minimi rei minis exhibcbunt cam,quae est i 18, i G D: 83. ad so, ozo, oc. nimirum triplam, sirperpartientena - --: O. Sta alucinari virum doctissimum, Archimedo cohincit .aritu Si enim multa li periphc iam continentis ambitus ad diatri trum rationem habet 3-.- neccile est periphereiam, multangulo illoco tentam, minorem iam dicta rationem liabere: e prop. q. lib. s. Eucl. namina q'alium magnitudinum maior ad candem, maiorcin rationem habc quam minor. Pato vero rationem a s8,-r i 3, 88s ad so, G2O, CCC. non minorem, sed mulio tripla uiseptima, imo etiam tripla superquinctu- partiente gessimas primas, maiorem es e, ideoq; proximam circumser tiae ad diametrum proportionem neutiquam exprim e r Vti iccernituri
Retineatur ergo a mechanicis proponso tripla sesquis tima; l H-pla superpartiens virectio instituatur. Quae,licet per fecti lima non sit,adeo tamen ad metam prope accedit, ut syrarum ita di-- rectarum areas mechanicus accurato ctiam instituto examine, inaequalis vix deprehendere queat.
Hacusque an circuli possit esse directio:& quod ea non geometrice, sed Piremo mecsanice,proximaqu)cunque diametri ad circumserentiam nota pro- es,.si,urortione,institui queat;explicatum est. Asbdus sequitur ipsus directionis: qui est in radio&semiperiphereia, iniucem multiplicatis. Raditis est dia-mem,regulassercomctrica Americndae numerandaeque marissis. Perip - reia autem quia Wgula ες vix admittit, diametro per rationem 3 vcl. - supra inuentam multiplicat sicile clicitur,do bisecatur. circulus, ius diameter Haec per si id est