장음표시 사용
61쪽
THeorema praeeipuum Algebricum est ; in tot punctis curvam
ab alia curva secari,& non pluribus; quot indicat numerus factus in multiplicatione mutua duorum exponentum ignota
rum duarum maximarum; quae ignotae naturam curvae Common
strant. Id theorema intersectioni duorum Circulorum minime convenit; qui mutuo in pluribus quam duobus punctis non secan tur per Elem. Geometr. . Deberent vero in quatuor; cum Circu tus curva sit conica duarum dimensionum. Est igitur Circulus a Theoremate secludendus. Attamen oportet & Algebrice quaerere in quot punctis Circulus Circulum secare possit; atque con venientiam Algebrae.& Geometriae manifestare. Quod facere aggredimur; cum a nemine hactenus confectum viderimus.
Linea primi ordinis est recta ;& unius dimensionis. Et Linea secundi ordinis; seu curva Primi Generis est curva conica; atque duarum dimensiouum& linea Τettii ordinis; seu curva Secundi Generis est trium dimenso numr atque linea quarti ordinis , sive Tertii Generis est quatuor dimensonum, atque linea quinti ordinis; seu Quarti Generis habet quinque dimensiones . Et ita deinceps. Etenim linea primi ordinis est recta Et nomen generis tribuitur solis
lineis curvis. Quae nota ordo doctrinae hὶe postulavit enunciata. Itaque cum conicae linea a snt duarum dimensionum ; Pro secto curva conica non secabit aliam conicam in pluribus. quam quatuor punctis. potest enim secare in minoribus. quod semper intelligendum est. Et eurva secundi Generis non secabit aliam Generis etiam secundi in pluribus quam novem punctis r atque non secabit curvam generis primi, seu conicam in pluribus, quam se Punctis. Atque curva una secundi Generis non intersecabitur cum altera Tertii in pluribus quam 12. punctis. Et ita hoc ordine de reliquis. Demonstratio Algebrica generalis pro omnibus curvis
62쪽
esse potest sed & aliae demonstrationes prolatae ; & litteris traditaa
sunt quoniam si ex puncto unius intersectionis duarum curvarum dueatur ordinatim posita in dato angulo ad aliam rectam ἐν sive diametrum aliquam ; politione datam : quae recta ordinatim posita habeat exponentem maximum Curvae . Eique naturam illius indieantem ; continebit sane ipsa ordinata ἔ calculo aI- gebrico insti tuto iuxta naturam duarum curvarum mutuo intersectarum; dimensiones numero pares dicto producto. Quod com- Pertum ; perspectumque est in constructionibus aequationum alga bricarum ; quando problema est determinatum. In quibus constructionibus duae adlumuntur curvae ad ipiam constructionem. Oportet autem ; ut aequatio constructa radices omnes habeat reales aut veras . aut falsas; & nullam fictitiam. Excipiendus est Circulus. qui curva est primi Generis, aut secundi Gradus; attamen Cireulus Circulum non secat in pluribus quam duobus punctis. quod ostenditur in Elementis Geometriae. Sed id ipsum Algebrica analysis modo nuper exposito Per i tersectionem duorum circulorum; ex qua intersectione linea recta ducatur ad aliam positione datam in angulo recto; & quae linea recta ordinatim posita in constructione naturam exponit circuli; plane, & recte commonstrat. Sint enim Circuli duo lese mutuo intersecantes. Quorum pentra B. & O. aut ambo manentia intus unum Circulum ν aut alterum intus unum Circulum t& alterum intra alium Circulum. Sintque intersectiones M.&N; unde agantur ΝC. ordinatim ad sumptae in construtione ad angulos rectos supra RO . quae BO data centra coniungat. qui primus est caliis. Recipiuntur autem duinctae N . normaliter supra BD ad demonstrationem huius Theorematis; quod nunc Ostendendum est. Producatur BD. eo usque secet Cireulos in D. & T. atque in E. & Z. erit DT diameter unius Cireuli; atque Eri diametet alterius. Et coniungantur NO. & NB. dicant ut radius
63쪽
64쪽
Iuxta terminum Ti. idae ; qui in prima aequatione sit - ad x. unde is adx; & - adae manentes, ubi sunt; sese collidanti aut si se adae. quare translati quoa a. ipsi - 1 dx ὲ & - 1 dx faciant - 4 dx taut qui in secunda aequatione sit -- 2 dx . unde - 1 dxEL -- 2 dx manentes , ubi sunt; sese perdanti aut sit - 2 dx. Quare translati quo a a . ipsi - a dx, dg - adae faciant dae. Sed aequatio est semper secundi gradus; quicumq; casus suerint aut signorum μὴ aut signorum atque aut quantitas i 6dd maior sit, vel minor quam 4 cc; scilicet sit 4 d. maior vel minor 2 c. Quae comperta erunt ; si quis calculo Probarit. III. Casus. Sit Linea positione data SP ; ad quam ordinatae ex interfectione duorum Cireulo tum ductae reserantur in constructione in angulo dato r quae S P neque linea sit coniungens data centra Circulorum , neq; illi aequi distans: & cadat vel extra, vel
intra ipsos Circulos. Ex puncto interlectionis N. Circulorum ordinatim ponatur NC; ad angulum profecto rectum supra BOD. Et se eei NC tectam SP in M. data est positione SP . atque da ta positione; & magnitudine B O. datumque punctum N. Ergo data erit A C. politione; & magnitudine. 16. libri datorum Gelid dicaturque MC d. Sit vero NM in constructione x . Et reliquae lineae denominentur . uti supra. Erit NC-κ d; si SP cadit intra Circulos ; sive se d - x; si cadit extra; cum primo casu stNC- ΝM - MC. atq; secundo sit - MC-NM. Sed BC' est - BN N . Vnde BC erit in Q ΛΛ' - Νί
65쪽
que reliqua seu ti ibi sui. Et aequatio semper provenit duarum dimensionum a quodvis luerit signum vel - . vel - . atque mindem modo aut I6dd maior quantitas sit , vel minor 4e ei neminPe 4d maior sit, vel minor 2 c. Et reliquas uti in latu secundo dictum est. Ergo circulum non secari a Circulo in pluribus. quam duobus punctis est Algebrice demonstratum. 2 . F. O. S c Ii o L a F M. Linea etiam recta includitur theoremate illo algebrieo; stilicet in tot punctis seeari lineam a linea . quot indicat factum ex Exponentibus dimensionum illarum . Est enim linea recta, linea primi ordinis; & unius dimensionis, seu unius gradus: dc secat aliam rectam in uno puncto; & secat curvam conicam iaduobus; & lineam tertii ordinis; seu curvam secundi Generis in tribus punctis; dc lineam ordinis quarti; seu curvam tertii Generis in quatuor punctis; dc lineam secat ordinis infinite simi iapunctis infinitis . Cognoscitur igitur per hoc theorema Syntheticae, & Mgebriscae Geometriae mira,& summa consensio. Ipsa enim eadem Alis gebrica Geometria; quae generale demonstrat problema; habet di demonstratum casum ex illo seclusum iuxta syntheticam Geo
QIT data parabola AG. cuius vertex A. Axis AH. Para- meter A L. Et sit datum extra parabolam punctum C, oportet ex C. normalem rectam lineam CB ad curvae perimetrum demittere. Po-
66쪽
Ponatur esse CB quaesitum perpendiculum. Sit ex B. tangens curvae B T. cui erit etiam ad normam recta CB ; occurrat quo tangens axi curvae in T. Secet vero QP. ipsum aximin O. Ex C. agatur CD paralIela ordinatis curvae supra datam positione Λ H; cui conveniat in D . Educatur etiam ex B. recta BF. parallela ΑΗ. occurrens CD. in F. Liquet cadere illam intus CD; cum sit angulus in D. rectus; & normalis CB . concurrat necessario in z. cum axi, sive recta DAH. Sint datae, cognitaeque rectae CD a. DA b. Para- meter AL eurvae p. Sed sit ignota DF; & denominata M. ordinatim ad eurvam adplicetur B N. Erit BN DF x. atqui ab parabolam est ΑΝ - - . Inde DN - D A -- AN
atqui data recta DC se a constat ex partibus DF; & FC. Igitur erit a - x με. φυ . Hine eonia
sormata aequatio erit tertii gradus seeundo termino orbata et . pyx app
Sit data positione recta FD. axis descriptae parabolae I cuius vertex F. parameter V ρν. deinde in FD. sumatur ex. tra parabolam recta FI - --n . atque ex I. excitetur ad
67쪽
normam I P - - . & centro P . intervallo P O - kbb is describatur Circulus cra. o u Perducetur Circulus Per verticem F. Parabolae . Adiunga-M III. tur enim recta PF ex P. ad verticem F. Est constructione P U- PI IF . Inde erit PF ' - - - - - PO . Est vero ψ 2PO. Cireuli radius. Ergo patet; quod propositum est. Secabit circulus parabol. FC in aliquo puncto B. Demonstratur. Quoniam non solum algorithmus demonstrat modos dignoscendi. an aequationes tertii gradus radices habeant impossibiles, seu imaginarias; verum etiam an habeant illae radices possibiles, seu dictas reales; cum demonstret radices impossibiles non fore nisi numero pari. Et primum quidem demonstratum etiam habet idem algorithmus Pro aequationibus quarti gradus ; non vero vi . cissim secundum ; cum non sint verae propositiones conversae. Ergo per illum aequationes tertii gradus habent semper aliquam radicem polsbilem . Et quae termino se eundo deficiuntur, continent necessario radicem unam possibilem, & alias impossibiles ;siquidem secundus terminus; qualis est in nostra; si postivus; seu praefixus sing no - Pertransit vero Circulus per verticem F. Parabolae: quae intersectio nullam par est radicem aequatio nis ministrando. Ergo alia curvarum intersectio erit; atque Prae
Fiat haec intersectio in puncto B. io ii Nunc ordinetur ad parabolam recta B N; atque ex B. dueare ii Ι. tur B M. parallela IFD. secans P I. in M. Iungaturque radius PB. Dico, BN. esse quaesitam ignotam x ὲ unicamque radicem aequationis inventae. Nam sit BN-x - IM. Nune est MB , seu IN; vel IF - FN - - ρ ρ - - - xx son-
structione I . atque est M P. sve I P - IM ; aut III - IP
68쪽
o. Igitur rite & reste instructa aequatio habetur , rect
Α--- o. Quae aequatio fuit inventa. Igitur abscindaturi in data CD. portio FD aequalis determinatae B N. quae quidem b Oibesi est -- κ . Et ex F. sit FB, parallela DA H. secans curvam in B. Et iungatur B. cum dato puncta c. Erit CB. normalis quaesita ad Parabolae perimetrum in B . aut ad tangentem in E . curvae. Id enim positum est. O. E .F.
lis parametro p. datae parabolae. Nunc asymptotis LII. LB'deseripta sit per punctum R. hyperboles COR D. Liquet hy, G per
69쪽
perbolem occurrere parabolae; S in singulari puncto N. habet enim illa asymptotum axim parabolae AB. ad quam adtingere semper enititur; ct nusquam eam carpet. Ergo unam secat parabolae perimetrum A E. Idem pariter; uti supra ; I proposis. I. Idemonstratur Per algorithmum. De casu agitur A L. 1umptae extra A B. Sit intersectionis punctum M. unde ordinetur ad parabolam recta NP. dieo esse N P . quaesitam x. Nam sit NP - x . Et AP. est - 3 . Patet . descriptam parabolam esse inductum locum ba - xx. atqui est cranstruction. LP ML A AP - p - - - I. Et
per hyperbolem habetur LT X TR - LP x PN. quare erit
χι ab , o . Qui locus erat hyperbolis asymptoticae . atqui γ.& x. sunt eaedem rectae in utraque curva. Igitur suis elatur in hac aequatione Ioco bax eius aequalitas per Parabolam com Parata. Et erit x3 - . -- p x - O . quae aequatio fuit inventar& eonstruenda erat. Inde ΝΡ. determinabit exin Platam x. quae pernosci debebat. Et reliqua haud lecus ac in Praecedenti propositione.
Int omnia quae prius . Et quaeratur, ut aequatio comperta Q construatur ope parabolao ipsi uiset datae . Immissus novus parabolicus locus si pI - xx. erit pax - κ . Ei; facta substitutione aequalitatis in comperta aequatione; erit pax se bl x NE o. Sive Ix - ,π - - - 2 a a m o. quae hyperboles est ad asymptotos. Nunc in axi AH.
70쪽
parabolae initio datae AG. abrumpatur e vertice sum Pta recta mio vAL. sed extra axim AH aequalis b- - . Hinc erit A L. maior quam A D. in eadem plaga posita. Ex L. agatur LX parallela ordinatis parabolae. Et in L AH. determinetur LI - p. atque ex I. sit IR aequid istans L Κ. aequalisque P. deseribatur
modo per T. hyperboles ERM . asymptotis LX. & LII. Ca det quidem LI aut intra A D. aut extra; & supra axim AH. sed extra L D. versus II. cum sit L D αα ζ . Agitur de casu A L. positae extra AH. Secabit hyperboles deseripta parabolam AG . & in unico puncto B . per supra dicta; scilicet tum per algorithmum , cum per deseriptionem. Etenim habet ea asymptotum axim AH. palabolae; ad quam semper enititur; & dilabitur. Itaque secet illa para-holam in B. Unde ad eamdem parabolam ordinatim Ponatur B N. Erit siue exoptata occulta x. Nam sit BN - κ. Est AN I. Quamobrem erit LN - γ -- ώ - construction. . Est
AG . parabola data sper Opothesia atqui ob hyperbolem habetur LN x NB - LI X IR . Igitur erit a x - , x
Quae hyperboles asymptotica erat. Et in utraque curva eadem recta est x. eademque I . Quare subeat in hae hyperbola in lo-eumax aequalitas , quam praebet Parabola - . Et adsequemur eam quae inventa fuit ,& erat construenda, aequationem xy - - ρώκ- o. Coniungatur nunc datum punctum C. eum B. & erit coniuncta CB. normalis ad AG. perimetrum parabolae datae . quod exoptabatur .