장음표시 사용
91쪽
C. 3. D. I. E. II. G. 189. H. Prop. .,. B, ergo B, sunt aequat es aggregaro ex omnibus dispolitis in A , usque ad K, p ter unitathm, & Κ, denominato - per planoptanti in sub Κ , 3, 3, 1 enitate :& quia terni A , denominant singulas B; multitudo dispositorum in A , usque ad K, binario maior est multitudine B, videli. cet numero C; ergo numerus C, est multitudoe omnium A, usq; ad Κ, praeter duos extremos virilitem, & Κ ; RProp. . . aggregatum eorumdem, praeter exiternos, est dimidium plani sub C , & aggregato extremarum unitatis, & Κη& quoniam inter unitatem ,&Κ :tό sarit' internaedri , quot unitates in C , ergo excessus extremorum unitatiS,& Κ,ad a. excessum consequentium est yri auctus unitate ad unititem , & cimpon do, eκ las unitatis, &Κ , auctus binario, vel aggregatum ex K,& unitate ad a. est ut C, auctus a, videlicet D , ad uni*atem; permuran doq; & conuertendo, D, dimidius ea aggregati ex H& vnit te;&planum CD, vel numerus E, dimidius est Prop.1.1. plani sub C,& aggregato ex Κ,& unitate; ergo E , est aggregatum omhium A, usq; ad Κ,praeter extremos nitatem, & Κ: eadem ratione , quiφ excessus unitatis, &Κ, ad a. est ut C, auctus unitate ad unitatem ; diuidem do, excessus I, de unitatis ad a. est ut , ad unitarem;
permutandoqu e, & conuertendo, C, dimidiusest exceΩsus I ,& unitatis idi & duplus C, auctus unitate est Is&auctus ternario est K; & compositus ex 3. & quadruplo quadrati C, & octu plo eiusdem C, videlicet compositus ex 3. & quadruplo E, est planus I Κ, & multiplicando per 3. planum unitatis & 3. compositus ex 9, & du decuplo E, videlicet numerus G , est planoplanum sub Prop. s. i. Κ, I, 3, & unitate: ergo B, sunt aequales E, denominato per G,videlicet fractioni Id.Quod,&c. Theor.
92쪽
Vnita qua denominantur solidis omnium ii imparium ab unitate, quotlibet Uumpta a prima su it minores duodecima parte .nι-
Ini Cmotlibet, nitates denominati solidis omniumo imparium ab unitate sumptae in multitudine numeri D, a prima. Dico C, aggregatas minores esse Fili B, binario maior Di& planum B D, sir A ; cuius duode. cuplus Et qui auctus numeros. sit F. Ergo Α, ad F,m norem habet proportioncm, quam ad E ; & est A, ad Ε, ut unitas ad Ia. ergo A, ad F, minorem habet proporti nem, quam unitas ad II. & A, denominatus per F, est minor . v. Sunt aurein C,aggregatae aequales A,denomi- Pni3.1ἰ nato per Rergo C, gregatae sui minores Quod, dici
Unde connat unitates denominatas suidli
omnium imparium ab unitate in infinitum
dispositas, oe aggregata; esse finita extem
93쪽
Patet etiam, quod unitates denominata seridis ommum numerorum ab unitate sunt in aliqua multitudine a prima, qua ιmplent propositam extensionem minorem extensione δε positarum earumdem in infinitum .
itates denominata solidis omnium imparium ab unitate, disposita in in itum, aggregatuunt aquabs - .
B- C - D - Ε - F - G - Η - Ι - Sintia A, diissolitae in infinitum,& aggregatae unita tes denominatae solidis omnium imparium ab unitate. Dico A, aequalem esse . . Alias erit A, maior, uelmnot A. Sit mal6rigitur in aliqua multitudine sumpi . at prima unitates in Mo positae implent. .: sit huiusmodi multitudinis numerus B. qui unitate adiecta fiat Ciergo aliquot unitates in Λ, dupositx sumptae a prima in multitudine numeri C, sunt maiores Ar quod est absur-- ὰ dum:
94쪽
dum: non est igitur A, ma ior A. Sit minor, & data pro. Pr.xs.I. Portione minoris iae qualitatis A, ad A, inueniatur altera maior,quae sit numeri I, quem numeruS II. metiatur
F; & inueniatur numerus G, qui metiatur numerum non Prop.7, .
minorem F, per se ipsum avitum binario,& sumantur unitates in A, dispositae a prima in multitudine numeri G ; & assumptarum imma sit H: constat H, esse portionem ipsius A; & aequalem producto ex numero G, in se pr. 3.1. ipsum binario auctum denominato per duodecuplum eiusdem producti addito 9: quia autem productus ex G, in se ipsum binario auctum non est minor F, etiam deno- Pr. I. minatus per duodecuplum eiusdem producti addito 9.no est minor F, denominato per duodecuplum F, addito 9 ;& diuidendo utrumq; numerum fra itionis per s. non est minor D; denominato per duodecuplum D , auctum unitate; est autem I, duodecuplus D ;& I , auctus unDtate est E; ergo H, non est minor D , denominato per Er lsed quia D, ad I, est ut unitas ad I a. uel ad unitatem;& I, ad E , maiorem proportionem habet, quam A , ad A; ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, uel D, deno. minatus per E, ad unitate habet maior m proportione, quam A;maior igitur est D,denominatus per E,quam A;& non est H, minor D, denominato per E ; ergo H, est maior A,pars toto; quod est absurdum: Non igitur Λ,m,nor est A, neque maioriergo A,est aequalis . Quod,&c.
'utates denominata selidis omnium imp rium ab uni are, quouitit Usumpta . prse
95쪽
ma ad succedentes in infinitum sunt, ut quadruplum plani Iub numero multitudiis: ms assumptarum, is numero binario ma
VNitatum,quae denominantur solidis omnium imparium ab unitate sint quotlibet assumptς A,in mul titudine numeri C,& succedentes in infinitum B, Planus etiam sub C, & numero binario maiore si D, cuius quadruplus F, & duodecuplus E. Dico A, ad B, esse ut F, ad 3. Et quia C, est multitudo magnitudinum A ; &D,est planus subς,& numero binario maiore;& E,du Pe. rg. i. decuplus D; ergo Λ, sunt aequales D, denominato per E,Pr.ε8. a. audium novenarioῆ & aggregatae A, B, sunt aequales uni tali denominatae per ra. Ergo A, ad aggregatas A, B, sunt ut D, denominatus per E, auctam s. ad & mun plicando per ra. ut E, denominatus per seipsum a eium p. ad unitatem, videlicet ut E, ad Ε, au ctum s. &diuidendo per 3, ut F, ad F, audium 3; ergo diuidendo, A, ad B, sunt viri ad 3. Quod,&e.
96쪽
quadrati multitudinis assumptarum unitate minuto 1n idem quadratum auctum
duplo lateras, ad sexcuplum eiusdem lateris
SI ne in multitudine numeri E, assumptae A , unitates denominatae solidis omnium imparium ab unitate; varum ultima B; & st G, quadratum ipsius F, auctum uplo lateris eiusdem; & M, quadruplum eiusdem quadrati unitate minutum , & L, sex cuplum eiusdem E,auctum 3. Dico A, ad B , esse ut planum G M, ad L. Sit H . duodecuplum G, auctum novenario: constat A, rquales esse G, denominato per H r fiat C, unitate mi. nor E; & quadratum C, auctum duplo eiusdem sit D, cuius duodecuplus a uctus s. si Fli quia C, est unitato minor E, numero multitudinis A , constat C, esse muItitudinem A. praeter B;& Α, praeter B, aequales, es o D, denominato per F: tandem fiat Κ, nonuplus excessus G, D; constat etiam B, aequalem esse Κ, denominato per planum F hi: & quoniam C, est aequalis E, unitate minuto; quadratum C, est aequale unitati, & Cuadiato E, dempto duplo E; & adiecto communi duplo C, uel duplo E, binario minuto quadratum C,una cum duplo C, uidelicet numerus D, aequalis est quadrato Ei unitate minuto; est autem G aequalis eidem quadrato aucto duplo E ; igitur excessus G, D, est duplus E , auctus unitate 3 cuius triplus est sex cuplus E, auctus 3, huiusmodi est numerus L; ergo L, est triplus excessus G, D; & exceRsus G , D , est nona pars num cri Κ; ergo ex aequo L, ad
97쪽
Κ, est ut 3. ad 9.&conuertendo Κ, triplus est ad L: quia diximus D, aequalem esse quadrato E, unitate minuto ἔduodecuplus ipsius D , est aequalis duodecuplo quadrati E, minuto Ia, & adiecto communi ν. duodecuplus D. auctus 9. videlicet numerus F, est aequalis duodecuplo quadrati E, minuto 3 ; cuius tertia pars est quadruplus quadrati E, minutus unitatri huiusmodi est numerus in ergo M, tertia pars est ipsius Fi& conuertendo F, it plus est ad M , videlicet, ut K, ad Lipermutandoqῆα conuertendo Κ, ad F, est ut L. ad M ; ergo Κ, denom natus per F, aequalis est L, denominato per M: quia etiam diximus A , aequales esse G, denominato per Η &B, aequalem Κ, denominato per planum FH; ergo A ad B, sunt ut G, denominatus per H. ad K, denominatum per FH; & multiplicando per FI, ut G,ad K, denominatum per F ι videlicet ut G, ad L, denominatum per M; ergos multiplicando per M, Α, ad B, sunt ut planum G M, ad L. . Quod, &c.
Unitatu,qua denominatur solidis imparium ab unitate , quasibet assumpta ad succedetes in instultum ea, ut octvlus numeri ordιnis ampla auctus . ad quadruplum qua
98쪽
Gi s E. 3 D. 3I. F. TV Niratum, quae denominantur solidis imparium ab
unitate sit aiIumpta B; cuius ordinis numerus E;&ips B, succedentes in infinitum C; sit citam Ι , quadru- plus quadrati E, unitate minutus; & F, duplus E,au ctus unitate a Dico B, ad C, esse ut quadruplus F, ad D. Aggrcgentur in A, tiun B, tiun quae ipsam B, praecedunt a prima: quia E. est numerus ordinis B;est etia multitudinis collectarum in A: fiat G, aequalis quadrato E, aucto duplo lateris eiusdem; quoniam igitur B, ad A, sunt viscκ- Pr. 17. a. cuplum E, aueurin 3 3 videlicet ut triplus F, ad planum G D; sunt autein A. ad C, ut quadruplum G, ad 3 p, is., diuidendo per η. vi G, ad οῦ S multiplicando per D , ut planum G D, ad triplum D, denominatum per q* ergo ex aequo B, ad C,siunt ut:triplus F, ad trip Ium D, denomina. tum per 4 & diuidendo per 3, ut F, ad D, denominatum
perq; & multiplicando per Α, Β, ad C , sunt ut quadru plus F, ad D. Quod, S c.
Unitatum, qua denominantur solidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta non a prima, ad succedentes in infinitum sunt, ut pianus numerι assumptarum, e numeri binario maioris auctus duplo plani sub numeris assumptarum, oe praecedentium , ad planum Iob numero praceden-
99쪽
s MM duadratum tatium, S numero binario maiore auctum
semper fractione in qua s. denominatur per φ.
VNitatum, quae denominantur solidis omnium iminparium ab unitate sint assumptae E, non a prima in multitudine numeri Bi quas in infinitum succedentes C ; Jc praecedentes D, in multitudine numeri A; si a tem L, planus numeri B,& numeri binario maioris; &M, duplus plani sub numeris A, B; &F, planus numeri Α, & numeri binario maioris. Dico E, ad C, esse ut ag gregatum L, M, ad F, au tum. unitatis. Fiat G, noue nario maior duodecuplo ipsius F; & H, productus cicaggregato A, B, in numerum binario maiorem; & I, n Pr. a 3. r. venario maior duodecuplo ipsius es: constat D, aequales esse F, denominato per se & D, E, simul aequales H, de Pr. 4. i. nominato per I;& E, a quales nonuplo excessus H, F, denominato per planum GI; sit Κ, excessus H, I; ergo E, ad aggregatas A, E, sunt ut nonuplus Κ, denominatus plano G,ad H, denominatum per I; & multiplicando per I, ut nonu plus Κ, denominatus per G,ad H; & multiplicando per q. ut quater nonuplus, vel ter duodecuplus Κ, pr. 16.1. denominatus per G, ad quadruplum H ; sunt autem aggregatae A, E, ad C, ut quadruplus H , ad 3; ergo exaequali E,ad C, sunt ut ter duodecuplus Κ, denominatus per G, ad 3; Sc liuidendo per 3 , ut duodecuplus Κ, denominatus per G, ad Unitatem; & multiplicando per G, ut duodecuplus Κ, ad G, vel ad duodecuplum F,au ctum
100쪽
iarithmetica. 8ssi&diuidendo per Ia. ut Κ, ad F, auctium ., vel ἔ: &quoniam sunt quatuor magnitudines A, aggregatum ex A, B, & numeri binario maiores ipsis, eodem excessiu B, se se excedentes s ergo planum sub maioribus, videlicet Prop.r.1. H, excedit piraum sub minoribus, videlicet F, plano sub B, & aggregato ex maxima ,& minima, videlicet ex binario,B, & duplo A; planum autem sub B. & composito eκ binario, & B, est L, & planum sub B, & duplo A, est M; ergo excessus H, F, videlicet Κ , est aequalis aggregato L, M; ergo E, ad C, sunt ut aggregatum L, M, ad riauctum ἶ. Quod, &e.
Unitatum , qua denominantur solidis numerorum Arithmetice diupositorum ab unita te, quotlibet M umpta a prima, sunt aquales fractioni, cuius numerator en multiis
plex plani sub multitudine assutarum, s
excesu aucti excesiu, re Anarto, per eam- de multitudinem denomιnator vero multia
plex numeratoris per duplum compositi ex quadrato, oe numero excessus, auctus d plo quadrato compositi ex eodem excessu, oe unitate.