장음표시 사용
51쪽
tum intelligantur dispositae, & aggregatae in E ; & ex B, in D, producatur F. Dico C, ad E, esse ut F, ad unitain Prop. 13. tem. Augeatur F, unitate ut fiat Get constat C , aequa. Prop. i . les esse D, denominato per G, & C. E, simul aequales esse unitati denominals per B ; & quia ex ductu B, in D, fit F, est unitas ad B, ut D, ad F; & unitas denominata per B, est aequalis D , denominato per F ; propterea C, E, simul sunt aequales D, denominato per F; ergo C,ad C, E, simul sunt ut D, denominatus per G, ad D, denominatum per Fi uel reciproce, ut F, ad G; & diuidendo, C, ad Ε, sunt ut F, ad unitatem. Quod,&α
Unitatum, qua denominantur planis Arithmetice dilpositorum ab unitate, quotlibet . assumpta a prima ad ultimam assumpta rum sunt, ut productum ex numero esusdem ordinis eum assumpta inter Arithm tice diupositos, re numero multiturinis W-- sumptarum ad unitatem.
Sit in A, dispositio Arithmetica numerorum ab uniis tale ; dc unitatum,quae denominantur planis A,sint
52쪽
A. I. 3. E. I. F. 7. B. o . D. A . - ω E. 3 quotlibet assumptae a prima B, quarum multitudo C, &ultima D, & eiusdem ordinis inter Arithmetice dispositos numerus E. Dico B, ad D, esse ut planum C E, ad unitatem. Inter numeros A, sit F, proximus maior E. Et quoniam E, D, sunt eiusdem ordinis in suis disposi.tionibus; constat D, aequalem esse unitati denominatae plano E F: quoniam etiam C, est multitudo Β , sunt in Ordine A, numeri ab unitate ad E, totidem, & post uni- ratem ad F. pariter totidem Arithmetice dispositi; ergo excessus F, super unitatem toties continet differentiam consequentium, quot sunt unitates in C a ergo C, mutitiplicando differentiam consequentium producit exceΩsum F, super unitatem cui quidem excessui adiecta uni. tale fit numerus F; unde constat B, esse aequales C, d nominato per F; ergo B, ad D, sunt ut C, denominatus Prop. 13. per F, ad unitatem denominatam per planum EF; &multiplicando terminos per planum E F, ut B. ad D, ita
se habet planum C E, ad unitatem . Quod, &c.
Vnitatum, qua denominantur planis Ariathmetice dispositorum ab unitate, qualibe assumpta ad seMceontes in anfinitum est, ut d δινιntia consequeotium ad num
53쪽
rum ordinis eiusdem cum assumpta inter Arithmetice dinositos.
late,quorum differentia B ; & unitatum,quae denominantur planis A, sit assumpta C, quam succedentes in infinitum dispositae ,& aggregatae sint in D ; & eiusdem ordinis cum C, sit E, inter numeros A. Dico C, ad D, esse ut B, ad E. Sint, quae praecedunt D, aggregatae in Prop. 18. F, quarum multitudo G ; constat C, ad F, esse ut unitasPrQP 7. ad planum G Ei&F, ad D, est ut planum BG , ad uni. tatem it ergo ex aequo in perturbata C, ad D, est ut planum B G, ad planum G E s vel ut B, ad E. Quod,&c.
Duarum fraction- minimis numeris expresiarum, cum denominatores numeratorum Iuni aquemultiplices siverparticulares, maior est, qua maioribus numeris exi ponitur, oe excessus es aqualis excessuι numeratorum denominato per planu vinomin. . natorum.
54쪽
Sint duae fractiones, quarum numeratorum A, sint aequemultiplices C, D ; & adiecta singulis unitate
fiant denominatores F, G, aequemultiplices super arti culares numeratorum A, B, quibus propositae fractiones in minimis numeris exprimuntur I S iit B, maior A, per excessum H; unde fit etia D,major Ci& addita som-ntrum arnitate, G, maior F. Dico fractionem B, per G, excedere fractionem A, pn F, numero H, denominato
per planum FG . Ex B, ducto in C., D F, producanturi,& Κ ;& ex Α, in G, fiat L: quia D, C, sunt aeque- . multiplices B, A, ut B, ad A, ita D, d idem I, qui fit ex B. in C, fiet etiam ex A . in D, igitur A, multi plicando G, D, facit Κ, I, & multiplici odo unitatem excessum G, D, faeit seipsum A, excessum Κ, I: demonstrabitur eodem modo B, fieri excessum L, ita ergo exces.sus B, A, videlicet H. est eti inexcessus L, sed exces.sus fractionum B, per G , di A, per F, est e Xcessio L, Κ, denominatus plano G Fῆ ergo excessus fractionum Biper G. & A, per F , est Id. denomipatu plano G H
tatum, qM denominantur planis Ariatbmetice d postrorum ab orate, quotlibet
55쪽
astumpta ad Hecedentes in infinitumlune, is multiplo disterentia in dispositiona δε-
eundum multιtudinem assumptarum ad
multiplicem eiu em disterentia secundum multitudinem praecedentium is prima Iem
B. 3. A. r. q. 7. Io. 13. 16. Ist
F. 2. D. 3. L. F. I. 6. - Κ. 7. H. 9. M. 16.SIt A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate. quorum differentia B; & unitatum, quae denomiis nantur planis Α, sint assumptae C, quarum multitudo numerus D i & sint E, quar p cedunt,quarum multitu do numerus Fi & quae sequuntur sint in infinitum dispositae, & aggregatae in G ; & ex B, ducto in F, D, fi.ant I, H ; & I, au ictus unitate fiat K. Dico C, ad G. ense ut H, ad K. Fiat ex F, D, aggregatum L, & ex H, Κ, aggrega turn M: constat L, esse multitudinem Ε, & C, simul. Et quoniam ex B, ducto in F, D, facti sunt I. H; etiam ex B, in L, fiet aggregatum ex l, H; quod auctum unitate est aggregatum ex H, Κ, videlicet M: ergo M, est productum ex L, in B, auctum unitate; & propterea C,E,simul ssit squales L,denominato per M; &E,squa. Iis est F,denominato per Κ ; ergo C, est aequalis exceD sui L, F, nempe D, numero denominato per planum MXι ergo C, ad E,C,simul est ut D, denominatus per pIanum M Κ, ad L, denominatum per M ; vel multiplicaru
56쪽
. Arithmeticae. qido terminos per planum M B, ut planum D B , denomi.
natum per Κ, ad planum B L et sunt autem E , C, simul Prop. α'.ad G, ut planum B L, ad unitatem; ergo ex aequo C, ad G, est ut planum B D, vel H, denominatus per Κ, ad unitatem ι sed est H, denominatus per Κ, ad unitatem ut
Unitates, qua denominantur planis omnium numerorum ab unitate bina a prima sunt dupla singularum ηrmitatum, qua deno. minantur planis omnium imparium ab
SInt dissipositiones omnium numerorum A,& omnium imparium B, ab unitate; & unitatum denominat ais rum planis A, & B, sint C,& D. Dico binas C, duplas esse singularum D, a prima. Quoniam in A, sunt omnes impares interiectis inter binos consequentes singulis paribus, concipientur singuli dispositiones Arithmeticae trium numerorum, quorum extremi impares, &medius par; igitur singula plana sub extremis impar, piop. r. bus, videlicet singula plana numerorum B, a primo sunt
media harmonice inter bina plana sub singulis impari-F bus
57쪽
bus,di intermedio pari, videlicet inter bina plana numecrorum A, a primo; ergo singulae unitates planis B,denominatae, videlicet singulae D, a prima sunt mediae Arithmetic. inter binas unitates planis A denominata S, v delicet binas C, a prima. Ergo hinae C, sunt duplae singularum D, a prima. Quod,&
Vnitates denominata planis omnium numerorum ab unitate 3ιmpta semper ictirima prima secundum aliquem numerum ad
unitates denominatas planis numerorum Ariιhmetice cum eodem numero excessu
dispositorum ab unitate singulas a prima
sunt, ut idem numerus ad unitatem.
Sint dispositiones A, omnium numerorum, & B,vn latum denominatarum planis A, quae semper totidem sumantur a prima secundum numeru C; sint etiam dispositiones, una quide D,Arithmetica numerorum ab unitate cum excelsu C, & altera E, unitatum, quae de nominantur planis D. Dico quod B, totidem semper apri
58쪽
a prima, quot sunt unitates in C , ad singulas E, sunt ut C, ad unitatem. Quoniam in D, sunt numeri ab unitate quorum excessus C, & in Α, sunt oes numeri ; igitur oes D, sunt inter numeros A, ab unitate semper totidem interiectis, quot sunt unitates C, una dempta, & propterea in A, possunt concipi ab unitate singulae dispositiones Arithmeticae totidem semper terminorum, quot sunt unitates C, una adiecta, quorum in extremis locis sunt numeri D ; & B, sumptae semper totidem a prima, quot sunt unitates in C, sunt unitates denominatae pia, nis numerorum, qui in singulis huiusmodi dispositionis bus comprehenduntur ι & E , singulae a prima sunt unitates denominatae planis extremorum earundem dispositionum . Ergo sumptae B , a prima semper toti' p . , dein secundum numerum C, sunt ad singulas E, a pii. 'ρ'ma, ut C, ad unitatem. Quod, &
Factis duabus Arithmetieis dispositionibus
duobus numeras, quorum sunt aquemust plices disserentia in dispositionibus; uni
tates denominata planis numerorum ea
rumdem, cum eiusdem sunt ordinis, in. ter se reciproce sunt, ut quadrati prιmo
59쪽
SInt A,& B, duae Arithmeticae dispositiones a numeris
C, D,quarum differentiae sint E,F,aequemuhiplices C, D, per numerum G, & sint H, I, unitates denominaistae planis numerorum A, B. Dico H, ad I, eiusdem odidinis esse, ut quadratu s numeri D, ad quadratum C. Fiat Κ, Arithmetica dispositio ab unitate, in qua differentia G, cuius numerorum planis denominatae unitates dis, ponantur, in L. Quoniam C, metitur se ipsum primo loco dispositum in A, per unitatem primo loco dispositam in Κ, & metitur E, differentiam numerorum A, per G, differentiam numerorum K ; ergo componendo, C, Prop. λ metitur omnes A, per omnes eiusdem ordinis K; ergo L, ad H, eiusdem ordinis ita se habent ut quadratus numeri C,ad unitatem , & conuertendo, H, ad L, ita se habent ut unitas ad quadratum C: eadem methodo de monstrabimus, quod L, ad I, eiusdem ordinis ita se habent ut quadratus numeri D , ad unitatem,& ex aequo in perturbata H, ad Ι, eiusdem ordinis ita se habent vix quadratus numeri D, ad quadratum C. Quod,&c, Theor.
60쪽
mitates denominata planis Arithmetiea dispositorum ab aliquo numero,siumpta ab insumpta semper totidem secundum numeorum ordιms eiusdem inter Arithmetica .c d sp itos. ad sumptas a prima semper toti-
dem Iecundum primum numerum eorumi dem Arithmetice dispositorum sunt, ve
' primus numerus ad numerum ordi
SInt A, numeri Arithmetice dinpositi a B, & sint
unitates denominatae planis numerorum A, qua rum assumpta D, & eiusdem ordinis inter Arithmetice dispositos A, sit E. Dico C, semptas a D, semper totudem secundum numerum Ε, ad easdem C, sumptas a prima totidem semper secundum numerum B, esse vi B, ad