장음표시 사용
111쪽
roa NEO STATICAE sus aut aequirere incrementum si angulus ban fuerit aeutus stquantus est impetus fecundum ab , subnascens ex impetu primigenio secundum a z : alter autem impetus componens , erit secundum a Φ, subnascens nempe ex eodem impetu primigenio secundum a Σ ; qui utique ita erit ad ipsum μὰ impetum secunduma a , ut a fi ad a x . Porro in ipse decursu, vel minuetur, vel ai gebitur impetus proiectionis secundum ab, prout directiones impetuum, successive conceptorum versus centrum commune z, obtusum, vel aemum angulum effecerint cum parallelis ipsius a b . Semper tamen motu compmente in descriptione curuar ac, intelligendi erunt secundum parallelas ipsis ab , a . Quare ne taedium asseram benigno lictori si loco plani, Se rectae a x substituatur planum, di recta a Φ, eisdem pland verbis procedet demonstratio, dum angulus P a n. fuerix obtusus, vel acutus, atque supra, dum angulus baa fuit rectu IIgit ut, qiraliscunque sit angulus, an, graue a, aequali tempore descriptionis curuae a G alterutram Iineam descripsit, 'vel a si veh a dia Quod erat &cia
HIac, itinctis rς,τα, d α; ita erit impetus c consula etiam
figuram primam huius prop. conceptus a graui a in r verinalis centrum commune n, ad alterutrum im Petum, conceptum ab eodem
112쪽
LIBER TE RrIVs. 1 3 eodem graui, vel in si vel in ri versus idem centrum x , ut distan. tia ra ad alterutram distantiam , vel is, vel d a. Quoniam enim graue a, equali tempore descriptionis cum ae ari alterutram lineam descripsit, vel ar, vel a ἡ: si ponamus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curuae a r, descripserit ipsam ar; iam impetus primigenius secundum ra, conceptus ibi in punctor, ita erit ad impetum primigenium ca) secundum t a, Conceptum ibi in puncto ι, ut distantia ra ad distantiam e a . Sin autem ponimus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curuae a rideseripserit ipsam ad ι iam impetus primigenius secundum rx, coneeptus ibi in puncto ν, ita erit ad impetum primigenium a b) secundum d x, conceptum ibi in puncto A, ut distantia να ad distantiam da. Itaque constat propositum .
QVae hactenus geometricὶ demonstrauimus, confirmari etiam
possunt experimento sensuum. Nam, currente naui, ' si graue quodpiam demittatur ex summitate mali 3 eius tamen descensus perpendicularis nullatenus profecto alterari viis debitur a latione horizontalis sed eodem modo apparebit, ac si nauis omnino consisteret.
Voniam praecedenti propositioni inniti debet doctrina sere omnis insta tradenda: propterea initio libri quarti abunde leges, quae ulterius desiderari hie possent.
SI quoddam pondus n eleatur impetu secundiam n d, ore L Iurque is motu versus d acquisisurum . simuω in sint.
113쪽
vilique retentis y ρroposianatos dictantist ab ipso puncto d : Dico nunquam fore ut pondus ia perueniat in d, arque etiam in ipso que puncto n quietum permansererum. Poni ur aurem, quῖdstri mus impeιus , quo politur in parιe in ite a n, ρι ιnsinite partius,ct ex se ineptus ad procreandum, longus o quavis ιemPο-
DUcta eniin perpendiculari e n , iungatur c d . Inte IIigat ut etiam eκ altera parte trianguli ς' ae curua quaedam ; ad quam demissa V perpendiculari ipsi π A, si ex alio quo iris puncto rectae nae edueatur perpendicularis a e, occurrens ipsi curvae in e, ita sit a e ad AL H reei proeε triangulum en d ad trapezium c nab; protracta nimirum in b ipsa ra. Constat, quod curistia praedicta semper himurn.accedet, sed nunquam tamen occurret rectae en , iis infinitum protractae . Rursum constat , quod . trianguhim o in is repraesentabis impetus ponderis N in motu per .nis; seu singΗlares apquisitos in singulis aequaIibus infinite simis partibus ipsus nά, seu totales aggregatos ex omnibus fimul praeis cedentibus. Nam primus impetus in n ita est ad singularem imp tum aequisimm iii quavisi aequali infinit esima a, vi md ad a d, hoc est ι n ad ba. Quare impetus totalis in a nimirum ibi aggregatus ex omnibus impetibus Beeessue illuc usque aequis 3 ita erit ad impetum totalem in ἀ, ut trapezium cn ab ad trianguis
tum cnd. Similiter figura In Iu repraesentabit tempora pet
114쪽
LIBER TERTI H. Iosn a . Naim pars infinitesima temporis, qua pondus n subsistere in istelligitiir, ante ulteriorem progressum, in parte inlini testin I ae, ita erit ad partem sa) infinite simam temporis , qua subsistit in qtinuis aequali infinite sima a, ut reciproce impetus totalis in a ad impetum totalem in d, hoc est ut trapezium ena , ad triangulum e n d, sue ut di ad a e . Quare tempus totale ex n in d, aut exn in a, ita erit ad tempus totale ex a in Q ut tota figura dindueeI , aut portio inserminata I e a nI ad portionem terminatatu
Iam vero ostendere oportet, quod portio interminata Ie anyst infinita ,& infinities continens ipsam portionem terminatam adfle. Diuisa enim sit nd bifariam in ar designatoque in a nquouis puncto b, ducatur per 5 ad n d perpendicularis Io , occurrens ipsi c d in I, & dictae curuar in o . Tum ex d f exei. tetur perpendicularis Dr, occurrens se in r; & ex bo perpendicularis om, occurrens nI in m. Quoniam igitur re stangulumen d ad rectangulum cnh ita se habet, ut aen ad bn, ita etiam erit dimidium rectanguli cnae, seu triangulum cnd, ad idem rectangulum c n Θ, ut dimidium ipsius aen , hoc est ipsa da, ad' eandem h n. Est alitem ratio trianguli enis ad rectangulum enis minor ratione eiusdem trianguli cnd ad trape Zium e n BI: igitur ratio da ad hn minor est ratione dicti trianguli cnd ad trapezium cnh I. Atqui, ex natura propositae curuae, sta est B o ad dL, ut reciproce triangulum cnd 3d trapezium cnhI: igitur ratio da ad bis minor est ratione ho ad aes. Quapropter rectangu-lliin nhom maius est rectangulo a dfr: atque adeo. diuisa bifariam in ipsa Θn, demissaque ad om perpendiculari ει; rectangulum khot, dimidium ipsius nBom, maius erit dimidio ipsius a dfr. Porro autem, protracta ε ι usque ad praedictam cumam in g, demissaque ad n I perpendiculari gρ ; ostendetur similiter nam punctum B sumptum est pro quouis piimsto ipsius an quod rectangulum n Fgρ maius est rectangulo adfr.
Quare, diuisa bifariam in v ipsa his, demissaqi ad g p perpeta
115쪽
vos N EO. STATICAEdieulari tis ι erit similiter rectanguluin refigs t dimidium ipsius . gρ maius dimidio ipsius a dfr. Atque ita semper conis similiter. Itaque in fialta est portio interminata Ieari , utpote infinita continens distincta rectangula, singula maiora dimidio ipsius a Vr; atque adeo infinities etiam continebit ipsam portionem terminatam a se . Quoniam igitur tempus totale ex n in a ita est ad tempus totale ex a in d, ut portio illa interminatareana ad portionem rerminatam ad Di infinitum erit tempus illud totale ex n in is, ut pote infinities continens ipsum tempus totale ex a in d. Quare pondus re nullo finito tempore peruenietvsque in a, & multo minus usque in L. Assumptum est autem punctum a pro quovis puncto ipsius nή designabili inter puncta n, de de Igitur pondus n nullo finito tempore egredietur de puncto n, seu de parte infinitesima n ; sed ibi temper in Orabitur. Quod erat demon strandunt.
SIn vero ita res intelligatur, ut, designari r in recta n d dup-bus quibuιiai unctis a ct k, ratio impetus singialarisacqui-μι is parte .n Desima a, ad imperum singularem ac ui tramis quali parte infinite ah, componatur ex natione inreM E pantia Diuiligod by Cooste
116쪽
LIBER TERTIVS. I Rosiae a d ad distini iam h d, ct ex reciproca .mpetus roratir- k ad imperum toralem in a r Dico pondus n morum iri ex aversus d , 'itoque tempore in ipsuis Punctum d peruenIurum.
DVcta enim perpendiculari nx, intelligatur ad easdem partes
constituta talis curiia ; ad quam demissis eκ duobus quibusvis punctis ipsius π ά rectis a g , ε ι perpendicularibus ipsinae, ita sit ag ad ks, ut impetus singularis acquisitus in a ad singularem impetum acquisitum in Ib. Constat, quod figlira xn aeg 1x repraesentabit impetus ponderis n in motu per n d pseu singulares acquisitos in singulis aequalibus infinite inis partibus ipsius n ae, seu totales aggregatos ex omnibus simu 1 praecedentibus. Cum enim ita sit ordinatim applicata ag ad ordinatim applicaea mkr, ut singularis impetus acquisitus in a ad singularem impetum acqiii situm in , ubiuis designata fuerint ipsa puncta a, de P in recta nas consequens etiam est , ut aggregatu . omnium ordinatim applicatarum ab ea curua ad axem n d, nimirum integra figura xn rx , eam habeat rationem ad respectis uas portiones πρου σπ, xv k s x, quae est impetus totaris aggr gati inae, ad impetus totales aggregatos in a, dc in k. Et quoniam ratio impetus acquisiti in a ad impetum acquisitum in ficomponitur ex ratione directa distantia ad ad dilhantiam EA, & ex reciprocae impetus totalis ad impetum totalem in a, hoc est portionis xnfis x ad portionem xn a gs x; ex eis a etiam rationibus componetur ipsa ag ad s. Patet etiams, quod ea curua ex una parte incidet in punctum P, elim nulla ibi fiat acquisitio impetus ι ex altera vero semper quidem accedet , sed rumquam tamen oecurret ipsi n x, in infinitum protractae. Concipiatur etiam talis alia curua constituta , ad quam Pr
tractis in e , de in ipsis ga, σε, ita sit ac ad fim, ut reciproca Portio An 1x ad portionem x na g 1x. Constat primo, quod canon incidit inpiinctam d. Si enim excitetur ad n perpendi cularis aes, quae ita sit ad a e, ut reciprocε portio απώς π
117쪽
ad eiusmodi curuam. Constat secundo, quod ea repraesentabitempora ponderis n in motu per nae. Nam, ubiuis designata fuerint ipsa puncta. a, & ε in recta n d, ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam fi m , ut reciproce portioxn Es x ad portionem x nags x, siue ut impetus totalis in Φad impetum totalem in a z ut autem impetus sad totalis in k ad impetum totalem in a, ita recipi E mora infinitesima temporisina ad moram an finite simam temporis in fir igitur ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam m, ut directe mora infinite sima temporis in a ad moram infinitesimam temporis
in . Unde etiam consequitur, ut aggregatum omnium Ordin*.tim applicatarum ab ista curua ad axem nae, nimirum integra νfigura n aese, eam habeat rationem ad respectivas portiones Ina em I, I n Φm , quae est temporis totalis ex is in d ad tempora totalia ex n ina, & ex nin Φ. Quare sper conuersionein rationis, de diuidendo) ita erit tempus v. g. ex nin a ad tempus ex a in is, ut portio I nae I ad portionem ea aes. Iam vero ottendere oportet, finitam esse rationem portionis lynaey ad portionem ea L. Brevitatis enim gratia ponatur a eaequalis ipsi ag . Quoniam ratio Φ s ad ag componitur ex ratione directa distantiae v d ad distantiam ad , de ex reciproca impetus
118쪽
LIBER TERTI VS . Iost totalis in a ad impetum totalem in Φ, hoe est morae infinitesimae in k ad moram infinite simam in a, nimirum ipsius Φm ad ae, estque Emaior quam a d : consequens utique est, ut ratio fim ada e minor sit ratione /s ad ase siue a e ipsi aequalem . Igitur ε mminor est quam Φs. Atque ita, ubiuis designatiun fuerit punctum k inter punctan ,&a. Quare figura I na eI minor erit ipsaxnag x. Porro autem , c a ratio integrae figurae xn ad x ad
portionem x n a gx ostensa sit aequalis rationi directae impetus totalis in dad impetum totalem ina , hoc est morae sa infinite simae in a ad moram infinitesimam ind, nimirum ipsius a e ad ET, erit etiam cper conuersionem rationis,& diuidendo ita portioxnagx ad portionem ga ae, ut V ad excessum, quo a e superat ipsam V. Quare, si ratio istiusmodi sit finita : finita etiam erit
ratio portionis dona ς' x ad portionem g a d. Itaque multo magis finita erit ratio figurae xn agx ad figuram ea dri, quae facile, .ex praedictis, ostenditur maior ipsa gadr atque adeo rursum muItb
magis finita erit ratio alterius si urae na e quae utique ost nissa est minor ipsa xn agxst ad eandem figuram e a df.
Sin verb infinita ponatur ratio ipsius V ad excessum, quo hesuperet ipsam ae se hoc est si excelsis praedictus sit infinite parulis iam integra figura γ n do non differet a parallelogrammo nam punctum a sui aritur pro quolibet puncto inter puncta n , & d
atque adeo ita erit figura n a ad figuram ea ut na ad ad. Igitur, seu finita ponatur, situ infinita ratio praedicta, adhuc tamen finitam esse oportet rationem figurae I naea ad figuram ea V. Quare, cum ostensum iani sita ita esse tempus ex n in is ad tempus ex a in aei vi portio InaeI ad portionem eam finita parit ex erit ratio tena poris ex n in uis ad tempus ex ain d. Manio festum est autem, fissitum esse tempus in a in ae t igitur finitum est etiam tempus eκ n in a , atque acteo ipsum etiam integrum tempus ex v in d. Quod utique erat demonstrandum .
119쪽
c Engulares impetus, quos Varaia in aquaisbus parma, in sinio resimis temporis conciplinis versἀs centrum commune , ρυ- portionantur ipsis dissantiθι - RE su rnptis enim figuris corollarri post nonam huius, recolatur ea propositio. Porro ostensum est in dicto corollario ,
quod impetus conceptus a graui a in r versus centrum communex, ita est ad alterutrum impetum. conceptum ab eodem graui, vel in T, vel in versus idem centrum L,ut distantia ra ad alterutrχm distantiam, vel tet vel aen. Sit autem primo impetuςconceptus a gratii a. in r versus centrum commune n , ad impetu mi conceptum abeodem graui in a ver. sus. idem centrum n, ut distantia r E
ad distantiam da Sed hic tecolere oportet ex superioribus , quod im-
petus totalis in r secundum an r parallelam ipsi a rum ess aequalis impetui tota It in E seeundam x ae paralellam eidem an, de aequalem ipsi m r, tum uterque horum impetuum totalium a Pgrega
120쪽
EIR E R TERTIVs . trigregatus intelligitur ex Omnibus sitnes impetibus, qui successue subnasci intelliguntur secundum parallelas praedictae ax ex impetibus primigeniis suCcessive conceptis a grauia versus centrum commune a. Et quoniam verum id est, ubiuis designata fuerint puncta correspondentia ν, α ά; dici propterea oportet, quod impetus subnascens secundum m r in Parte an finitesima r ae Falis sit impetui et subnascenti secundum x ά in aequali parte innuite- sma aer unde utique fit , quod impetus primigenius singularis
αonceptus a graui a versus centrum commune x in ea parte inst-
nite sima temporis , qua ipsi in morari intelligi imus in parte spati iinfinitesima r sumpra secundum m r. ita se habeat ad impetum primigenium singularem conceptum ab eodem gratii versus idem centrum a in ea parte infinitesima temporis, qua ipsim morari intelligimus in aequali parte spatij infinitesima d sumpta secuniadum x d , ut distantia r x ad distantiam ae et . Igitur, cum mora infinite sima temporis in ea parte spatij infinite sima r aequalisse morae infinitesimae temporis in altera bὶ aequali parte spatii infinite sima d nimirum propter aequalitatem impetuum totalium , quos inibi obtinet graue is secundum praedictas di riniones manifestum enim vero fit, quod ipsum graue a in aequalibus partibus infinite simis temporis concipit ab illo duplici loco uerissus centrum commune a impetus Prqportionatos ipsis distantiis να, d x. Sit rursum secundo impetus conceptus a graui a in r versus centrum commune α, ad impetum concePtum ab eodem graui in ι versus idem centrum A, ut distantia ra ad distanriam ι x. Porro autem recolere hac etiam opoctet ex superioribus , quod impetus vivus graius a in r secundum or parallelam ipsi a 3, tum est aequalis impetui vivo in a secundum ιν paraIlelam eidem a b, de aequalem ipsi Ors tum uterque horum impetuum vivomata
aequalis est illi, qui de primo impetu sec dum a b silperesse concipitur post elisionem omnium impetuum, qui successit E subis hasti intelliguntur secundum ipsas ro, σι ex impetibus primigmniis successive conceptis a graui a versus centrum commune a. Et