장음표시 사용
111쪽
ab altero motu componente. Ad cuius nitidam demonstrationem, duo praemittere hic oportet. Unum est, quod uterque impetiis gratiis a in ipso puncto a constituti, unus proiectionis secundum
ab , de alter naturalis ex quiete conceptus versus centrum commune et, est ibi adaequa te ca) vivus, propter angulum recti in bax. Alterum est, quod, licet impetus primigeni j versus centrum commune n , in decursu concepti, non habeant directiones perinpendiculares ipsi abs singuli tamen resolui b intelliguntur in aduos impetus, quorum unus est secundum rectam in directum positam cuidam parallelae ipsi ab , unde esidi intelligitur tantundem impetus secundum parallelam eidem ab , & alter est secun- dlim re tam perpendicularem eidem parallelae , unde augeri intelligitur impetus secundum parallelam ipsiua, perpendiculari utique ad ab: adeo ut propterea in quolibet punctor ipsius curua: a c duplex concipiatur adesse impetus vivus 3 unus secundum
o r parallelam ipsi a b, residuus nempe post factas elisiones; de alter se- - cundum m r parallelam ipsi a x sperpendiculari utique ad abst aggregatus nempe ex praedictis impetibus subnascentibus secundum perpendiculares ad parallelas eidem ab . His animaduersis: Si planum ab comitari intelligatur graue a in descriptione curuar a ς, existente semper.b perpendiculari ad aa t, atque item si iniit , si planum ax comitari intelligatur idem graue a in descriptione eiusdem curuae a c, eXistente semper ax perpendiculari ad ab e constat sanh ex praemiiss, quod motus compositus, quo curua a c describitur, componi intelligetur ex duobus praedictis motibus . Quoniam vero motus ille compositus oriri intelligitur ex duobus istis motibus componentibus, necessarium plane est, quod alteruter motus comin
112쪽
LIBER TERTIUS. Iorponens si praedicto modo ex se determinatus, Praecisuὸ omnino
ab altero motu componente . Non dico, utrunque seorsum acceptum debere esse et ratione determinatum: iusticit enim ad rem praesentem alterutrius determinatio praedicta ; cum ex alterutra taliter determinato possit alter motus eomponens s nisi aliud speciale obsit suam ultimam determinationem accipere. Dico autem necessariam esse alterutrius determinationem prUictam I quia,hac sublat , non erit quomodo incipiat ipse motus compositus; quia nempe non erit, quo determinato motu procedere debeat, seu planum ab secundum a et, seu planum az secundum ab 3 cum tamen ex intersectionibus ipsarum a b , a a , tali quodam motu procedentium semper ad perpendiculum , describenda intelligatur ipsa curua a c. Igitur necessarium est, quod alteruter horum motuum componentium sit praedicto modo ex se determinatus, praeci siue omnino ab altero motu componente. Atque ita quidem, si angulus bar fuerit rectus . Sit iam secundo angulus bux obtusiis , vel acutus. Excitat autem ad ab perpendiculari ε a , cui occurrat ad perpendiculum recta ali, compleatur rectangulum Σ a B . Ducatur etiam ad ab perpendicularis Ex s atque item ad a fi ducantur, parat. Ielae ipsi , a, rectae r I, r o . AEquales inter se erunt dx , r m ἔatque item ro, ι I, quae etiam perpendiculares erunt ad ipsam ah. Iam vero, impetus proiectionis secundum a b, tantum ab usq;
initio pati intelligetur detrimentum si angulus bax suerit obtu
113쪽
rox NEO SPATICAE 'sus aut aequirere incrementum si angulus baz fuerit aeutus λquantus est impetus secundum a b , subnascens ex impetu primigenio secundum a ne alter autem .mpetus componens , erit secundum a k, subnascens nempe ex eodem impetu primigenio secundum a x ; qui utique ita erit ad ipsum ' impetum secunduma a , ut a ε ad a x . Porro in ipso decursu, vel minuetur, vel augebitur impetus proiectionis secundum ab, prout directiones impetuum, successive conceptorum versus centrum commune et, o tu sum, vel acutum angulum effecerint cum paralleIis ipsius ab . Semper tamen motus componentes, in descriptione curuae ac, intelligendi erunt secundum parat telas ipsis ab , ah. Quare ne taedium afferam benigno lectori si Ioco plani, & rectae a x substituatur planum, & recta a Φ, eisdem plata verbis procedet demonstratio, dirin angulus , a a suerit obtusus, vel acutus, atque supra, dum angulus bax suit rectus . Igitur , qualiscunque sit angulus ι a α, graue a, aequali tempore descriptionis curuae a si alterutram lineam descripsit, vel a si ver a d. Quod erat &c.
COROLLARIVM. HIne, iunctis rα, ια, det; ita erit impetus consule etiam
figuram primam huius prop. conceptus a graui a in r versus centrum commune n , ad alterutrum impetum, conceptum ab eodem
114쪽
IIBER TERTIVς. I Ieodem graui, vel in ι, vel in ri versus idem centrum x , ut distan. . tia ra ad alterutram distantiam , vel ια, vel d a. Quoniam is 'enim graue a, equali tempore descriptionis curvae ari alterutram lineam descripsit, vel at, vel ad: si ponamus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curua' ar, descripserit ipsam ars iam impetus primigenius secundum rae, conceptus ibi in punctor, ita erit ad impetum primigenium sa) secundum ra, conceptum ibi in puncto r, ut distantia ra ad distantiam ι κ . Sin autem ponimus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curvae arideseripserit ipsam a d; iam impetus primigenius secundum r x, coneeptus ibi in puncto ν, ita erit ad imperum primigenitim b) secundum da, conceptum ibi in puncto is, ut distantia ra ad distantiam δα. Itaque constat propositum .
QVae hactenus geometricὶ demonstrauimus, confirmari etiam
possunt experimento sensuum. Nam, currente naui, ii graue quodpiam demittatur ex summitate mali 3 eius tamen descensus perpendicularis nullatenus profecto alterari viis debitur a latione horixontali; sed eodem modo apparebit, ac si nauis omnino consisteret.
Uoniam praecedenti propositioni inniti debet doctrina sere omnis infra tradenda: propterea initio libri quarti abunde leges, quae ulterius desiderari hie possent.
115쪽
resimis aqualibus se ri d nouas Dradus impetus prioribus utique retentia / ρroporti-atos ditian ιθι ab ino puncto d : Orco nunquam fore in ρω s n perueniat in d, atque etiam in ipso inque puncta n quietum permansurum. Ponisur autem, quὸd primus i eius , quo potitur in parie insinitesima n, sit insin te paruari,ct ex se ineptus ad ρrocreandiam, laetissimo quavis tempore sinito, mosum sensibilem. DVcta enim perpendicuIari cn, iungatur ι d. Intelligatur etiam ex aherii parte trianguli cnd curua qua dam ; ad quam demissa V perpendiculari ipsi π ά, si ex alio quovis puntio rectae nil edueatur perpendicularis a e, occurrens Ipsi eumae in ri ita sit a e ad Q. ve reciprocε trianguIum en d ad trape-Σium cnab; protracti nimirum in , ipsa ea. Constat, qu5d curistia praedicta semper quidem accedet, sed nunquam tamen Oecumret rectae cna, in infinitum protractae . Rursiim constat, quodamn huN. e n d repraesentabit impetus ponderis re in motου per
m di seu siogulares acquisitos in singulis aequalibus infinite simis partibus ipsius n d, seu totaIes aggregatos ex omnibus simul praecedentibus. Nam primus impetus in n ita est ad singularem imp tum acquis tum in qua iis aequali infinites in a a, ut ud ad ad, hoe est en ad ba. Quare impetus totalis in a nimirum ibi aggregatus ex omnibus impetibus successive illuc vRite aequistis) ita erit ad impetum totalem in A, ut trapezium cn ab ad trianguis
116쪽
LIBER TERTI US . . I sn d. Nam pars infinitesima temporis, qua pondus n subsistere in . relligitur, ante vlieriorem progressum, in parte infinitesima is, ita erit ad partem ta) infinitesimam temporis, qua subsistit ii, qua uisa quali infinite sima a, ut reciproce impetus totalis in a ad impetum totalem in d, hoc est ut trapeZium ena, ad triangulam e nd, siue ut aes ad se. Quare tempus totale ex re in ae, aut eκn in a, ita erit ad tempus totale ex a in Q ut tota figura IndueeF, aut portio interminata re an ad portionem serminatam
Iam verue ostendere oportet, quod portio interminata I e an sit infinita , & infinities continens ipsam portionem terminatam a d D. Diuisa 'ηnim sit nd bifariam in ar designatorie in a nquouis puncto b, ducatur per b ad n d perpendicularis Io , occurrens ipsi c d in I, de dictae cuti di in o. Tum ex df excitetur perpendicularis Ir, occurrens ae irer; dc ex Bo perpe dicularis om, occurrens ny in m. Quoniam igitur rectangulum
ιnd ad rectangulum ens ira se haber, ut En ad isn; ita etiam erit dimidium rectanguli c n d, seu triangulum cnd, ad idem rectangulum c n B, ut dimidiam ipsius d n , hoc est ipsa da, ad
eandem 6 n. EstaiRem ratio trianguli cnis ad rectanguluan c n is minor ratione eiusdem trianguli e n d ad trapezium e n B D: igitur ratio da ad hu minor est ratione dicti trianguli e n d ad trapezium cn B I. Atqui, ex natura propositae curuae, ita est B o ad .L, ut reciproce triangulum c n d ad trapezium cnbIr igitur ratio da ad Bn minor est ratione B o ad dL. Quapropter rectangi
tum n hom maius est rectangulo a dfo atque adeo, diuisa bifariam in ipsi h n, de inissaqtie ad om perpendiculari ε is rectanguluin Φhot, dimidium ipsius nhom, maius erit dimidio ipsius a dfr. Porro autem, protracta ε ν usque ad praedicta a curtiam in g, de inissaque ad nF perpendiculari gρ; ostende
117쪽
ro 6 NEO- STATICAEdiculari tis ι erit similiter rectangulum μεgs i dimidium ipsius n/gρ) maius dimidio ipsius a dfr. Atque ita semper consimiliter . Itaque infinita est portio interminata Iean , utpote infinita continens distincta rectangula, singula maiora dimidio ipsius a Vr; atque adeo infinities etiam continebit ipsam portionem terminatam a d se. Quoniam igitur tempus totale ex n in a ita est ad tempus totale ex a in d, ut portio illa interminatareana ad portionem terminatam adse ι infinitum erit tempus illud totale ex n in a, ut pote infinities continens ipsum tempus totale ex a in d. Quare pondus n nullo finito tempore perueniet usque in a, & multo minus usque in d. Assumptum est aurem punctum a pro quovis puncto ipsius n ridesignabili inter puncta n, de de Igitur pondus n nullo finito tempore egredietur de puncto n, seu de parte infinitesima n , sed ibi Iemper morabitur. Quod erat demonstrandum .
SIn verὸ isa res intelugatur, ut, designat;s in rem n d duobus quibusvispunctis a ct k, ratio impetus singularis acqui-sDi in pane . nitesima a, ad imperum singiaturam acquis fumin aquali pane infinite ἐk, componatur ex ratione dire u diis flantia
118쪽
LIFER TERTIUS. IOTLIantia ad ad dictantiam h d, ct ex reciproca .mpetus roIalis in k ad impetum rotalem in a: Dico pondus n motum iri ex nversus d , sinitoque tempore in ipsum punctum d peruenturum.
DVcta enim perpendiculari nx, intelligatur ad easdem partes
constituta talis curua ; ad quam demissis ex duobus quibusvis punctis ipsius n ae rectis a g, s perpendicularibus ipsinae, ita sit ag ad ε s, ut impetus singularis acquisitus in a ad singularem impetum acquisitum in E. Constat, quod figlira xndgrx repraesentabit impetus ponderis n in motu per n d sseti singulares acquisitos in singulis aequalibus infinite simis partibus ipsius η ae, seu totales aggregatos ex omnibus simul praecedentibus. Cmn enim ita sit ordinatim applicata ag ad ordinatim applicatam 3, ut singularis impetus acquisitus in a ad singularem impetum acquisitum in k , ubiuis delignata suerint ipsa puncta a, & ε in rectandι consequens etiam est , ut aggregatum omnium ordinatim applicatarum ab ea curua ad axem n d, nimirum integra figura xn Ix , eam habeat rationem ad respecti-uas portiones X nag 1x, xn ε s x, quae est impetus totalis aggregati inae, ad impetus totales aggregatos in a, & in Φ. Et qu niam ratio impetus acquisiti in a ad impetum acquisitum in EComponitur ex ratione directa distantiae ad ad distantiam id, & ex reciproca impetus totalis in ε ad impetum totalem in a, hoc est portionis xnεs x ad portionem xn ags x; ex eisden is etiam rationibus componetur ipsa a g ad fis. Patet etiam , quod ea curua ex una parte incidet in punctum d, cum nulla ibi fiat aequisitio impetus; ex altera vero semper quidem accedet, sed nunquam tamen occurret ipsi n x, in infinitum protractae. Concipiatur etiam talis alia curua constituta , ad quam protractis in e, de m ipsis ga, s , ita sit a e ad km, ut reciprocEportio xn fis x ad portionem x nags x. Constat primo, quod ea non incidit in punctum d . Si enim excitetur ad n d perpendicularis df, quae ita sit ad a e, ut reciproce portio προ ag σπad integram figuram xndg1x, pertinebit utique punctum f
119쪽
ro8 NEO. STATI GAE ad eiusmodi curuam. Constat secundo, quod ea repraesentabit tempora ponderis n in motu per nd. Nain, ubiuis designata suerint ipsa puncta & ε in recta n d, ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam fi m , ut reciproch portioxnfis x ad portionem xnags x, siue ut impetus totalis in ad impetum totalem in a: ut autem impetus sa) totalis in k ad impetum totalem in a, ita reciprocὸ mora infinitesima temporis in a ad moram infinitesimam temporis in r igitur ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam m, ut dire 2E mora
infinitesima temporis in a ad moram infinitesimam temporis in . Vnde etiam consequitur, ut aggregatum omnium ordinatim applicatarum ab ista curua ad axem n d, nimirum integra
figura Indo eam habeat rationem ad respectivas portiones In a ema, a n Φm , quae est temporis totalis ex n in d ad tempora totalia ex n ina, & ex nin Φ. Quare sper conuersionem rationis, S: diuidendo) ita erit tempus v. g. ex n in a ad tempus ex a in ut portio I naea ad portionem eadf. Iam vero ostendere oportet, finitam esse rationem portionis I n cI ad portionem ea f. Brevitatis enim gratia ponatur a raequalis ipsi ag . Quoniam ratio IF s ad ag componitur ex ratione
directa distantiae k d ad distantiam ad , & ex reciproca impetus
120쪽
LIBER TERTIUS . Iost totalis in a ad impetum totalem in k, hoc est morae infinite simae in kad moram infinite simam in a, nimirum ipsius em ad a e estque ι maior quam a d : consequens utique est, ut ratio fim ada e minor sit ratione ε 3 ad a g, siue a e ipsi aequale in . Igitur ε mminor est quam Φs. Atque ita, ubi vis designatu in suerit punctum interpunctan , &a. Quare figura Ina minor erit ipsaxnag x. Porro autem , cum ratio integrae figurae xn ad x ad portionem x n agx ostensa sit aequalis rationi direct e impetus
totalis in a ad impetum totalem in a , hoc est morae sic infinitesimae in a ad moram infinite sinam ind, nimirum ipsius a e ad df, erit etiam sper conuersionem rationis, de diuidendo ita portio x nagx ad portionem ga d, ut aes ad excessum, quo a e superat
ipsam V. Quare, si ratio istiusmodi sit finita et finita etiam et ieratio portionis x nagx ad portionem ga d. Itaque multo magis finita erit ratio figurae x nagx ad figuram eam quae facile, ex praedictis, ostenditur maior ipsa ga d e atque adeo rursu in multo magis finita erit ratio alterius figurae I n a quae Utique ostenissa est minor ipsa xnagx ad eandem figuram eadf. Sin vero infinita ponatur ratio ipsius V ad excessuin, quo a esuperet ipsam d f hoe est, si excessus praedictus sit infinit E paruus iam integra figura n do non differet a parallelogrammo nam
punctum a sumitur pro quolibet puncto inter puncta n , & d atque adeo ita erit figura I n a m ad figuram ea V ut na ad ad. Igitur, seu finita ponatur, seu infinita ratio praedicta, adhuc tamen finitam esse oportet rationem figurae Inae ad figuram ea V. Quare, cum ostensum iam sit, ita esse tempus ex n in a ad tempus ex a in is, ut portio Inaea ad portionem eam finita
pariter erit ratio temporis ex n in a ad tempus ex a in d. Manifestum est autem, finitum esse tempus ex a in do igitur finitum est etiam tempus ex n in a , atque adeo ipsum etiam integrum tempus ex n in ae. Quod utique erat demonstrandum .