장음표시 사용
101쪽
opera planum formabant, ex quo in quadratum redaeto naseebatur linea, dietamesa: gie jam duae rectae, tota et pars una, formant ipsam partem alteram subtrahendo , vel duae partes formant totam addendo. Illie rectae sormantes erant inter se eommensurabiles sola potentia, hie missa commensuratione, sueeedit proportionis identitas inter totum et partes. Illic proportionis gimilitudo erat inter minorem et faciendam interque laetendam et majorem, hie etiam est proportionis similitudo inter faciendas duas interque earum unam et propositam totam, in abstractione: in compositione vero inter faciendarum unam et propositam interque propositam et laciendam alteram. Ille igitur datis duabus dabatur reetangulum aequale quadrato laetendae et sie planum ante lineam: hie e contrario, lactis duabus faciendis, sequitur demum aequalitas inter rectangulum extremarum et quadratum mediae sEuel. H. 17. et U. 11. . Illi e reetae formantes quadrata habebant commensurabilia quadrato rectae propositae; hie docet Euclides, VI. 30, et sumere quadratum, propositae quadrato commensurabile, se. sesquintuplum ejus, et ab hujus quadrati latera auserre semissem propositae, ut restet pars in proposita statuenda, qua . parie
de proposita ablata, relinquebatur pars altera requisita vel ad totam addita fiebat etiam tertia requisita . Et tot nominibus partes hae videntur accensen dao gradui quarto. In hoe vero puncto nobilior ipsa mese redditur linea, quameunque oe paverit ista proportio: quod mese longios eatena, ex quatuor articulis composita, dependet ab eis ill proposita, hujus vero partes nituntur proportione sua, quam habent immediato ad ipsam etabilem propositam. Eoquo fit, ut meson possint esse multae, eodem omnes gradu distantes ab effabili, pars vero major in hae proportione ipsius effabilis una sola sit et omnino e usque lineae post effabilem una singularis. Quo nomine aequiparatur ejus demonstratio primo quodammodo gradui. Quando igitur proposita recta jubetur esse tota ejusque duae tales partes
quaeruntur, tune haec geometris dicitur sectio secundum extrema et medium. Nimirum hoe sibi vult nomen, quod cum alias vulgaris sectIo tot lus in partes duas non respleiat proportionem, aut gi ad totam aliqua eomparetur in ea proportione, in qua est minor pars ad majorem, tune fiant quatuor termini, duo extremi et duo medii: hie contra fiant tantum tres termini, tota quidem et pars minor, duo extremi, pars vero mcor medius terminus unieus. . Dicitur etiam eadem de causa seetio proportionalis. Hodierni et Mellonem et proportionem ejus cognominant divinam, propter admirabile ejus ingenium et multiplieia privilegia, quorum praeeipuum est, quod semper parte majori ad totam addita, composita rursum est similiter secta; et quae paramajor erat, jam fit minor, quae tota, jam major pars sit eompositae, per XIII. 5. Euclidis. XXVΠ. Propos illo. Cum autem Metio talis in omnibus lineis Ioeum habeat, in enabili longitudine, in essabili sola potentia, in meso, in duodecim
reliquis speciebus reeensitis, in aliis omnibus: nos in praesenti opere duabus solis ejus speciebus habemus opus, quae eum speciebus hactenus explicati ammeldunt, seeundum duas lineas secandas. Nam aut effabilis est illa long tudine, aut Maon. Quodsi essabilis est Iongitudine, quae ad seeandum proponitur, sectae pars m*jor fit apotome quartae speclei, et respondet ei binominis ejusdem quartae speeiei, eommunia cum ipsa habens nomina. Sed eave
eonfundias, pars quidem major illa dicitur relatione ad propositam, at eadem apotome hie dieitur non riatione ad propositam, sed qualitative. Quodsi
102쪽
quaeras, cujus sit apotome, respondetur, quod εit ap0icine alterius, quae sola potentia est eommensurabilis propositae, quae se. potest sesquiquartum propositae. Sit GA proposita ad serandum sitque effabilis longitudine. Fiat rectus angulus GAM et sit dimidia ipsius GΑ, et eonnexis G, M punetis, centro II, intervallo GH seribatur semicirculus PGX, et Q eontinuetur in ejus circumferentiae puncta P, X, fiat super PA quadratum D. Ergo linea GA secta est proportionaliter in puncto o. Haec igitur Ao est parsm or sectae proportionaliter GA; at eadem Ao vel o astqualis AP est apotome non ipsius GA, sed ipsius I vel MG, quae potest tam GA, quam AM illius dimidiam: ut si potentia ipsius G Αεit 4, erit ipsius AM 1, et ipsius igitur GM potentia erit b. In quantum igitur Aovet M est apotome, respondet ei binominis AX: suntque nomina ipsius communia MX, vel MP vel MG et M. Quod autem AP sit apotome et AX binominis, utraque quartae speciei, sie Pro batur. Est enim utrumque nomen effabile et MX et MA; sunt tamen sola potentia commensurabiles, quia MX sid est MGὶ potest b, qualium ΜΑ potest l. At 1 ad fin0n est ut nitineres quadratus ad quadratum. Denique disserentia potentiarum 1 eta est 4, numerus quadratus, cujus latus 2 longitudine effabile, aequale se. ipsi GAPropositae. Hae vero sunt notae speciei quartao binominum, in definitionibus misProp. 74, et apotomarum, ante prop. 85. deeimi Euelidis. Denique si GA effabilis seeetur proportionaliter, pars ejus m jor OA et compinsita ex utraque OΑ, AG eadunt in gradum scientiae quintum. Nam quadrata ipSarum juncta summam faciunt effabilem, triplum scilicet ipsius GA effabilis, per XIII. 4 Euclidis. Rectangulum vero etiam effabile fit, quia est aequale quadrato ipsius GA essa bili, cum sit GA media proportionalis inter OA partem et OA , AG compositam, Per praemissa ν
XXVI. Propositio. Vieissim, si aliqua effabilis longitudine sie N
portionaliter fuerit secta, pars ejus minor si apotome primae Fpeciei. Ut si effabilis sit GA ut antea, et rius seetae proportionaliter pars mG0r A0, minor 00, erit etiam os apotome XIII. 6. Euclidis . Rursum autem OG dicitur apotomo qualitative, non relatione ad GA essabilem longitudine, crius est pars minor, nee relatione ad MG vel M P, euius ipsa A0 vel Mest apotome, Sed habet Go nomina peculiaria. Cum enim per X. 9T. Euclidis quadratum e Muscunque apotomes et Sic etiam quadratum PO, extensum ad effabilem ut hie ad GT, ipsi GA aequalem). faciat latitudinem G0, primae spectet apotomen: ipsi vicissim Ao erat apotome speciei quartae. Illius igitur Go nomen majus est effabile longitudine, liqjus Ao majus nomen MP erat sola potentia effabile. Et vicissim, quia
nomina sunt sola potentia commensurabilia, oportet minus nomen seu prosharmozusan
ipsius Go esse sola potentia effabilem: cum ipsius Ao nomen minus m esset longitudine effabile: utrique tamen hoc manet, quod disserentia quadratorum a n0minibus descriptorum sit quadratum alterius effabilis longitudine. Quae amem sint hqjus GO, primae apotomes, nomina, relinquo aliis quaerendum. Pro armoetus.i quidem ipsi Go ut apolomae primo est uniea sola per X. 79. Euclidis. Quae debet esse talis, ut ejus quadratum sit effabile, non tamen numero quadrato, ipsa vero eum Go debet lacera lineam unam effabilem longi indine, et per X. 30. Si ex hac una tota fiet diameter ei reuli, verbi eausa PX, et si Prosharmozusa, paulo longior quam PA siquidem tota esset aequalis ipsi PX ab uno termino diametri x applicetur circumferentiae XG: tune quae signa G, P eonnectit. debet esse ipsi PX toti eommensurabilis longitudine.
IX. Propositio. Quando vero secta fuerit proportionaliter aliquamiton, cujus quadratum sit aequale rectangulo sub lon tudine, composita ex proposita essabili et potente ejus quinque quartas et sub latitudine quinque
103쪽
De Figuranun Hamonitarum quartas potente, tunc minor pars sit elasson: ubi elasgon est nomen non eo parationis, sed qualitatis; major vero pars sit migon alia, rursum qualitativo intellecta, quaecunque ejus Fint elementa. Sit ut prius propositae effabilis longitudo dimidia GA Husquo rursum dimidia AM; ut qualium GA potest 4. possit AM l. et sit GAM rectus, poterit igitur MG Ἀ-lium b; continuetur MA utrinque et centro M intervallo MG seribatur semicirculus PGX. Est igitur PX dupla ipsius Gu; quare et PX poterit quinque quartas partes do potentia propositast, duplas ipsius GA. Sed PG, GX quadrata iuneta sunt aequalia
quadrato DX. ergo et illa sunt quinquo quartae do quadrato propositae effabilis. Porro si ex PG, GX soceris lineam unam, Hus quadratum constabit ex duobus quadratis PG, G X et ex duobus rectangulis sub PG, GX, quibus sunt aequalia duo rectangula sub GA, PX, hoc est unum rectangulum sub proposita dupla ipsius GA et sub PX, effabilibus duabus. sed sola potentia commensurabilibus: quam ob causam rectangulum hoc erit meson, per X. 22. Eucl. Cum ergo quadratum lineae P totius constet ex qnadrato PX essabili et rectangulo meso. ejusdem latitudinis PX: quae duo, quadratum PX et rectangulum sub dupla ipsius GA et sub PX, sunt aequalia rectangulo, quod continetnr sub PX effabili et sub composita ex PX et dupla ipsius GA, sola potentia commensurabilibus, quarum partium mador PX plus potest minore sdupla ipsius GA aliqua sibi commensurabili longitudino potest enim PX b. qualium dupla ipsius GA potest 4, excessus igitur 1.est quadratum alic' lus; quao incommensurabilis est ipsi PX, eo quod 1 ad b non sit ut quadratus numerus ad quadratum , quibus de causis dicta composita ex PX et GA duplicata est binominis quartae speciei: cum, inquam, quadratum totius PGX sit aequato tali rectangulo sub apotome quarta et effabili, linea igitur PGX tota erit migon. Elementa ipsam eomponentia sunt partes PG, GX. Nam quia PA est apolome et AX binominis, sunt igitur inter se longitudine incommensurabiles. Ut vero PA ad m, sic quadratum.PGad quadratum GX. Ergo PG, GX sunt potentiis et sie simpliciter incommensurabiles inter se et faciunt summam quadratorum effabilem, quippe aequalem quadrato PXrootangulum vero sub PG, GX meson. Ergo per X. 39. composita ex PG, GX est
miron; et, per X. 76, ablata PG a GX relinquitur Masson. Atqui tota PGX est seeta proportionaliter in G. Nam ut PA ad ΛG. sic PG ad XG. At PA est ipsius GA proportionaliter sectae para major OA , quia MP potest ipsius MA quintuplum. et apotome AP aequalis est AO per II. 1 l. Euel. Ergo et PG est ipsius GX proportionaliter feetas para major; et per XIII. 5 addita PG, pars medor, ad GX totam, parit novam totam PGX. proportionaliter sectam in O; ut jam PG sit hujus eompositae pars minor, GX ejus nudor. Et sic PGX, existens aliqua migon, secta est eodem puneto G et in gna elementa, ex quibus migon denominatur, et Rimul in suas partes proportionis divinae. 'Dico, easdem partes proportionaliter sdctae esse simul etiam elasgona sit migona.
Quia enim AP est apotome quarta, quod igitur sub AP apotomo M PX effabili, est potentia Masgonis i Euel. X. 94 , et quia AX est binominis quarta, quod igitur sub haeet PX effabili, est migonis potentia: sed quadrata PG, GX sunt aequalia rectangulis AP AXP, singula singulis, ergo PG est classon, GX miaon. Conveniunt igitur hic in unum nomina qualitatum et nomina proportionum. Nam PG dicitur pars minor respectu totius PGX proportionaliter sectae in G; dieitur et linea minor seu elementum minus ipsius Puri totius, ut haec est aliqua migon qualitative; dicitur denique Graece elasson, quod sonat Latine minor, qualitative, respectu aliarum duarum linearum, hic non express rum, quarum subtractione unius ab altera ipsa constituitur. Eodem modo
G X primo dieitur pars major totius PGX pr0portionaliter sectae; secundo dieitur linea vel elementum majus lineae totius PGX, ut haee est qualitativo
mi 20n suo proprio jure, non minus quam tota PGX Auo: sed lineae saei eutra ipsam GA migona compositione sua, non sunt hic expreMae.
104쪽
Propter hunc concursum sectionis proportionalis et sectionis mironis in sua elementa eredo indita suisse his Epeeiebus nomina qualitativa migonis et
Cavendum autem hie est diligenter, ne discrimina rerum confundamus; sectio proportionalis est absoluta proportio, non alligata ad unam aliquam lineam, in notitia primam, quae proposita essabilis dicitur: species vero istae migonis et elamonis sunt figuratae certis gradibus discessionis suae a prima proposita estabili. Itaque sectio divina progreditur in infinitum, at non sequitur eam asseetio migonis et elassonis: in illa seelione) pars, quae modo major erat, proximo gradu fit minor, in hac elasson qualitate sua nunquam nulloque respectu sit migon, nec milaon et asson. Itaque si GX mieton dividatur rursum proportionaliter, pars ejus major erit aequalis ipsi PG eoque elasson manebit qualitative; nequaquam vero migon qualitate fiet, ut fit pars major quantitate, quamdiu quidem GA est effabilis proposita. Quaeris, si migon sit PGX qualitate, migon etiam GX qualitate, cur non etiam ipsius GX elementum majus possit esse aliqua migon, sicut ipsius PGXmigonis majus elementum erat GS, migon et ipsa γ Quia etsi utraque est
mi zon, tam PGX quam GX, alia iamen illic, alia hic est formatio. Nam in quadratum PGX venit quadratum PX totum, reei angulum sub duplici GA et sub PS totum. At in quadratum GX ingreditur de quadrato quidem PX dimidium, se. quod sub MX, SP, de rectangulo vero sub duplici GA et sub PX pars solummodo quarta, se. quod sub m et 'sub PX. Alia igitur hic
est proportio mesi ad effabile, alia illic. Nostra vero propositio concursum hunc sectionis divinae et qualitativae compositionis in partibus lineae iisdem de priore solum PGX ejusque propria proportione mesi ad etabile demonstrare nititur, non itidem de posteriori. Nota vero et hoc ad persectionem analogiae, quod sicut GX miron compositione proportionis divinae fit major aliqua migon, M. PGX, addita PG, quae est ipsius in pars major in sectione divina: sic e contrario, PG elasson hujus speciei, sectione proportionis divinae, dat PY minorem aliquam elassova se ipsa, se. ipsius PG sectae partem majorem, vel ipsius GX sectae partem minorem GV: ut sicut maxima PGX eadit per sectionem divinam in XGmigona et GP elassona, sic secunda migon GX cadat in duas elassonas XV, VG. aequales se. ipsis GP, PY, atque ita duae elassones componant unam
mi zona, milaon vero et elasson aliam majorem migona.
XXX. Propositio. Classes figurarum singulas singuli faciunt numeri laterum primi, et reputantur in classes, quae habent numerum laterum continue duplum numeri sui primi.
Sequitur hoc ex defin. X. hirius. Nam si omnium figurarum, quae numeros laterum habent unius ali exuus continuo duplos, eadem est forma demonstrationis propriae : omnium igitur illarum eadem est elassis causa demonstrationis. Non mutat quippe bisectio genus vel classem, associata earum singulis, propter et simplicitatem et aequalitatem partium junctum: ex singulis enim prioris figurae arcubus facit partes binas tantum easque aequales. At tris Gono aut quini sectione aut sequentibus non effugies, quin aut inaequales designes partes, si binae tantum esgo debeant, aut multas, id est plures duabus, si aequales. Et in uiseetione arcus 3 vel seratur in 2, 1 binas et inaequales, vel in 1, 1, 1 aequales, sed multas. Antecedens vero Me probatur. Demonstratio petitur a numero laterum per A. hrius. Jam primi numeri non communieant aliqua parte numerosa, nam unitas, qua communicant, divisionem non admittens, non est pars numerosa vel numerus. Ergo etiam demoustrationes per eos saetae nou eo unicant inter se. Classes igitur siu-
105쪽
Da Figurarum Harmoniorem gulorum primorum distinctae sunt. Harum prima est, in qua sunt figurae vel quasi
numeris laterum hisee: 2, 4, 8, 16, 32 et infinitae; seeunda habet 3, 6, 12, 24, 48, 96 et infinitas; tertia habet b, 10, 20, 40, 80, 160 et infinitas. Aliae infinitae. XXXI. Propositio. Classes figurarum singulas singuli faciunt numeri, laterum duorum primorum sexcepto binario) minimi multiplices.
Sequitur hoe ex definitione XL hrius. Nam si figura talis ad demonstrationem
sui lateris non utitur numero suorum angulorum: est igitur diversa ejus demonstrationis sorma a superioribus omnibus, quare etiam diversa classis. Exceptus vero fuit binarius a genesi novae classis, in primum aliquem multiplicitus: quia bisectio Uguli cum sit geometrica, ipsa est, quae classes singulas ex aequo in infinitum prorogat; quod nisi esset, classes nullae essent, sed singulares tantum figurae. Harum Prima
est ib, 30, 60, 120, 240, 480 ete. multiplitatis 3 in b. Secunda et i, 42, 84 etc. multiplicatis 3 in T. Sequuntur infinitas, ut eum S in I ducitur; hine 3b, 70, 140 etc. XXXII. Propositio. Sed et quadrati primorum numerorum, excepto binarii quadrato et facti a quadratis et alio primo primi ve quadrato, classes gignunt singulas et distinctas a prioribus.
Quod quadratus numeri primi non eandem cum primo elassem facit, causa est, quia cum primus ipse novam figurarum classem faciat, dividentium circlaum totum per XXX. hujus, jam idem primus non totum, sed partem cireuli dividens, omnino aliam faciet demonstrationem, siquidem illa possibilis suerit: eum pars circuli a toto multum disserat causa speciei figurationisque absolutae, in qua figuratione nunc oceu pamur, quippe quae demoustrationem sormat. Quod autem binarii quadratus exeipitur, eausa est, quia figura, bis duos habens angulos, hoc est tetragonus, cadit in elassem primam, multiplicatus vero quaternarius in primum eastit in primi classem, quia quatuor sunt bis duo: omnis vero figura duplo
laterum numero eodem refertur, quo figura simplo laterum numero.
Harum prima est, in qua figurae 9, 18, 36, 7 2, 144, 288 laterum et infinitae. Secunda, in qua 2b, 50, 100, 200, 400 et infinitae. Tertia, in qua 49, 98 et infinitae. Infinitae aliae classes a quadratis: sie 27, 54, 108, 216, 432 et infinitas, ex alet 9. Sic Tb, lbo. 300 et infinitae, ex 3 et D. Sie 147, 294 et infinitae. ex 3 et 49. Sic 4b, 90, 180, 360 et infinitae, ex b et s. Sic 125, 250, 500, 1000 et infinitae, exb et D. Sic etiam 225, 450, boo et infinitae ex 9 et 2b, duobus quadratis.
Infinitae esiae classes ex primis in quadratos aut ex primorum quadratis in se multiplicatis.
XXXIII. Propositio. Si a duplo numeri angulorum figurae abstuleris quatuor, formabis numeratorem partium anguli recti, quas valet angulus fgurae, denominator vero partium est ipse numerus angulorum. Ut in trigono bis tria sunt sex, auser 4, restant 2. Ergo angulus trigonicus valet duas tertias recti. Sic in ieosigono bis 20 sunt 40, aufer 4, ergo Ggulus leostg0uieus valet 36 vicesimas vel 9 quintas unius recti. Nam cujusque figurae anguli distribuuntur tu totidem triangula, quot habet latera, duobus minus. At eriuslibet trianguli anguli valent duos rectos: ergo euiuslibet figurae anguli valent duplo Plures reci , .
quam figura habet angulos, quatuor minus. Hie vero numerus rectorum distribilendus eSt in numerum angulorum figurae, ergo hic denominat, illo numerat partes unius recti.
XXXI v. Propositio. Circulus geometrica deseriptione in duo secatur aequalia; et linea bisecans illum scitur seientia primi gradus, est enim di
meter ipsa. Principium enim figurationis in cireulo est, dueere rectam lineam per Punctum Peratum quousque est opus. Recta biserans circulum est diameter, Se. Per centrum ducta, quia Partium circuli inter se aequalium est maxima semicirculus, linea igitur, Secans .in duos semicirculos, est et ipsa longissima et diameter, per III. ab. et per definitionem. Porro diameter est illa ipsa etabilis, proposita pro mensura ceterarum, ipsa sibi aequalis suique mensura persecta, principium scientiae geometricae.
106쪽
XXXV. Propositio. Tetragoni latus habet geometricam deseriptio
nem ex angulis extra circulum, et si inseribatur eirculo, ipsa est in gradu scientiae tertio, quadratum ejus in secundo, ut et area figurae. Tetragonus esto OQPR, ejus ingulus, per 33. hiuus, est rectus, quare sinuel. I. 46.3 sacile dato latere deseribitur tetragonus. Cumque angulos habeat quatuor lateraque totidem, duo ergo latera eoduntia duas circuli quartas intereipiunt, hoe est semissem circuli. Quare per 34. hiuus extrema laterum contiguorum connectit diameter circuli, ut QO, QP angulum OQPrectum in semicirculo OQP formantia, extremis O, P connexa sunt per diametiram circuli DLP. Quare inuel. I. 4n quadrata duorum laterum OQ, u P aequant quadratum diametri. Et si dimidia pars de quadrato diametri red gatur in sormam quadratam, erit latus tetragonteum Euel. II. 14 . Ita quadratum lateris est effabile. Et quia quadratum OP est ad quadratum Ou, ut 2 ad 1, non vero ut numerus quadratus ad numerum quadratum, OP vero est effabilis longitudine: ergo latus 0Qest effabile sola potentia Euel. X. 9j. Area vero tetragoni est eadem in hac figura, quae quadratum lateris, ergo et area figuras est effabilis. latus ejus
XXXVI. Propositio. Octogoni latus habet geometricam deseriptio
nem ex angulis, nec minus etiam octogonicae stellae latus, seu subtensa tribus octavis partibus circuli, suntque in gradu scientiae octavo singula, illud quidem elasson, hoc vero migon; juncta vero in gradu sexto et proportionis cmusdam singularis. Area denique inessabilis est, quippe meson. Sit octogonus VQTOX P, stella vero VOSQXPTRu: cum igitur lineae binae,
verbi causa G, TO, comprehendentes angulum Octogoni eum QTO, connectantur extremis Q, O, linea connectens Est latus tetragoni, quia de octo semis est quatuor. Ergo deseripto tetragono sui alios describendi octogoni modos omittam) in circulo, ducatur in latus ejus ou ex eentra L perpendicularis, secans latus in M, Meum in T Euel. I. 12M quo facto erunt quartae partis circuli ou duae partes, se. areus G, Tu aequales fΕuel. II s. 3R. Connexis ergo punctis Oet T, erit OT recta latus octogoni, et connexis O, Serit OS latus stellae. Connexo e tro L eum v, quia QML est reetus, ergo QL, effabilis longitudine, potest QM et ML. potest autem uL semidiameter duplum ipsius QM semilateris tetragossies. Ergo ubi et ML sunt aequales et utraque effabilis sola potentia per M. btuus. Plus igitur potest Lu quam LM potentia ipsius Mu, quae longitudine est incommensurabilis ipsi I Q. Sed sunt aequales Lu et I S et LT. Ergo composita SMerit binominis quarta, euius nomina sunt SL et L I, per desinit. ante X. 48 Euclidis. Residua vero IIT erit apotome quarta. ciuus nomina TL et I M per definitionem ante X. 85 Euelidis. Et quia MS binominis quarta et ST effabilis, quare per X. b7Εuel. linea us, quae potest rectangulum sub ipsis, est miron: sic quia ΤM est apo- tome quarta et TS effabilis. ergo Tu latus Octanguli, potens rectangulum sub MT, TS, est et asson Eucl. X. 9η. Elementa illarum sunt in hae delineatione, PA mMus M.AT minus. Nam ad PA addita ΑΤ, tacit ri latus stellae: rursum a PA vel , T ablata TM relinquit A id est Qv latus octogoni. Seniret elasson Tu potest duplum prosharmoausae ΤΑ; et latus tetragoni QP potest utrumque elementum PA et Ast, id est Q. Et sicut PX Ggon ad mMus elementum PA, si e Tu elasson ad minus elementum TA, et xi ci ian, ut majus elementum PA ad minus AT, sic mition PX ad elassonem Tu. Ut pars in or ad minorem, si e totum *d disserentiam.
107쪽
Da Figurarum Hamonicarum Porro Mee latera SQ, QT non ipsa sunt tantum taeton et elasson, sed sunt.. etiam tales lineae, ex quibus aliae tales fiunt addendo vel subtrahendo. Primum enim sunt inter se incommensurabiles, secundo quadrata ipsarum Tu, us juncta aequantur quadrato effabili ipsius ra, tertio rectangulum sub Tu, QS est meson, est enim a quale rectangulo sub QM semilatere tetragoni, sola potentia effabili, et sub ra eta. bili longitudine: quam ob eausam sunt etiam juncta in gradu scientiae Sexto. Quare Per X. 39 composilao in unam Tus fiunt miaon, et per X. 76 Tu, hoe est QZ ablata a QS, relinquit ZS elassonem. Itaque fieri potest, ut elasson et migon unius bigae fiant elementa alterius bigae, et elasson, ablata a migone sua, relinquat elas
Quod aream octogoni attinet, illa constat ex oeto talibus trigonis, quesis est LQT. Sed constat rectangulum QTRS ex talibus quatuor, est ergo semissis area et est meson, ut paulo antea probatum; ergo etiam duplum ejus, scilicet Mea octo goni, meεOn edt, Per porisma prop. Euel. X. 24. Hi ne clavius Geom. Praei. libro VIII. Prop. 31 demoustrat, aream ejus esse mediuvi proportionata inter aream tetr 'goni inscripti et aream circumscripti tetragoni, quae sunt ad im ieem .ut 1 Rd 2, qu 'determinatio quantitatis certae insert eandem quiuiatem inesLXXXVII. Propositio. Hekkaedetagoni latus habet geometri eam
descriptionem ex angulis, sed lateris scientia longius evagatur in gradus igno biliores omnibus praemissis, multoque magis ejus stellarum latera, Seu εub tensae tribus, quinque, septem sedecimis. Quia bis octo sunt sedecim, ideo per latus oesogoni figura haec ex iisdem sua
damentis describitur, quibus antea octogonus per latus tetragoni,
Esto . IFig. lin latus non jam tetragoni, sed oetogoni, et QT, TO latera imSedecanguli, et QP latus stellae oet angulae esto: id suit prius migoni ergo et in tius dimidia erat Maon. Quara rectangulum sub ST effabili et LM mirone est speciei plane novae, erius inter gradus superius explicatos. ut nobiliores, nulla fit mentio. T levero novum ablatum ab eo, quod sub LT, TS, effabilibus longitudine, continetur, linquit iterum remotiorem aliquam spretem, reetangulum sessieet sub MT, TS, amum
quadrato Tu, lateris heisaedecam . Multo magis id verum de pluriangulis brius elassis: ut 32, 64, 128 angulorum etc. . . Cum sic habeat eum latero uno seu subtensa uni sedecimae, jam illius p0tentia ablata a potentia diametri, relinquit subtensam septem sedecimis, est igitur illa gradus remotioris. Tres vero sedecimae subtensam habent deriva tam a subtensa tribus octavis per biseetionem: sunt igvur in remoti 0ri gradu, quam illae Et potentia subtensae tribus sedecimis ablata a potentia diametri, relinquit potentiam subtensae quinque sedecimis. Est igitur haec rursum re motiori gradu. 1XXXVIII. Propositio. Trigoni et hexagoni latera geometricam habent deseriptionem ex angulis figurarum, et in ei reulum inseripta, sunt scibilia, illud
tertio, hoe secundo gradu; plana vero seu areae figurarum sunt mesa, pro portionis inter se duplae. Trigoni constructio extra elaeulum est faeillima muci
I. 1 . Inscriptio in circulum expeditissima, ut ceteros ms dos taceam, si beneficio hexagonici lateris, quia de Sexsenus sunt tria. Et hexagoni quidem descriptio et ingeriptio sunt Euel. IV. 15. Sed ostendenda est consecutio quin titatis lateris ex angulorum rationibus.
Sit hexagonus BHCcDF. Cum igitur sint anguli
planum etiam hexagoni dividetur in triangula sex, venies' bus in eretro A eoeuntia, quale unum est UAG. Quare qua' tuor rectorum, centrum A circumstantium, summa divisa in sex vertices, dat uni verticali angulo CAO quatuor sex
t , seu duas tertias unius recti. Atqui trianguli CAU
108쪽
omnes tres anguli juncti sunt aequales duobus rectis, seu Sex tertiis unius recti; abstracto ergo angulo ad A, V, a sumina ' , , restat duobus ad C et G summa V, . sunt vero aequales omnes, ergo unicuique ad C et G manent V, unius reeti, non minus quam verticali ad A. Atqui si tres anguli sunt aequales, oportet et latera esse
equalia in triangulα Quare CG latus idem et hexagoni et trianguli. quod est sexta ejus pars, est aeqnale Remidiametro eirculi CA vel AG. Est igitur effabile longitudine latus hexagoni. dimidium M. diametri. Ille vero est gradus II per l3. hujus. Iam trigoni, qui sit BCD, latus BC connectit duo latera hexagoni CH, HB, coeuntia in H. Cum ergo BIIC sit ri semicireuli, et CG V, , arcus ergo BCG est semi. cireulus et BG diameter, per A transiens. Ergo BCG angulus in eo est rectus Euel. III. 31 . Quadrata igitur BC, CG aequalia sunt quadrato Euel. I. 47 . Sed CG est semidiameter ejusque quadratum est hiuus qnadrati pars quarta; ablata igitur quarta parte de quadrato BG. relinquetur quadratum lateris trigonici BC. Est ergo quadratum hoc effabile: sed quia se non habet ad quadratum BG ut numerus quadratus ad quadratum numerum, sed ut 3 ad 4 ideo BC est sola potentia effabilis. Ilio vero est gradus tertius, per l4. hujus Et quia BC, BD aequales. mgulique BCD, BDC aequales: ergo ΒΕ perpendi eularis demissa in CD secabit illam in E in aequales α, m. Erat vero offabilis sola potentia tota CD, quare et rius dimidia CE. Rectangulum ergo sub CE, AG, sola
potentia eommensurabilibus, quarum ista est effabilis longitudine, meson est. Sed hoc rectanguliam est aequale areae duorum triangulorum . ipsius CGΑ aequalium quorum sunt in hexagono sex et sie tertiae parti areae hexagoni. Area igitur hex
g0ui est planum meson. Et quia BCA et BCIl triangula snnt laterum BA et Bu.cA et Cil aequalium, uno communi BC: habent igitur areas aequales. Sed BCH, BDF, CDG sunt partia hexagonitae areae, quibus illa excedit aream trigoni eam BCD, totidem aequalium triangulorum, BAC, CAD, DAB; dupla ergo est area hexagonica trigonicae. Meson tritur est etiata, trigonica area, quia commensurabilis., scit. dupla
XXXIX. Propositio. Latera dodeeagoni et stellae cognominis seu subtensae quinque duodecimis partibus ei reuli geometrice deseribi possunt, et inscripta eidem circulo seibilia sunt, singula gradu octavo nobilioris cogniti niε,' juneia gradu quinto; planum vero dodeeagoni est essabile. Dod agonus esto BMULCKGQDPFN, stella dodeeagoni ea ΒΚFLDMGNCPHO. Quia igitur bis sex sunt duodecim, ideo per latus hexagoni figura iisdem ex
undamontis describitur, quibus antea octogonus Perlatus tetragoni, ducta in . Ire latus hexagoni, ex Aeeutro perpendieulari, secante latus iu O, circuluinin L, P, et connexis Ll, II pro latere dodreagoni, Η, P pro latere stellae. Cum igitur IIc latus sexanguli sit effabile toti gitudine, talis erit et dimidia H0; sed ΑC, aequalis ipsi He, potest et quod a dimidio sui OC, et quod ab Ao, ergo quadratum ipsius Ao he habet ad quadratum AU vel AP, ut 3 ad 4, non ut numerus qua dratus ad quadratum. Sunt igitur PA. AO sola potentia inter se commensurabiles, ut et LA, A0. Et
CA, hoe est PA vel AL, major effabilis, plus potest quam OA minor, aliquo, quod est a CO sibi
commensurabili. Ergo per des. ante X. 49. Euel. composita PD est binominis, et per des ante M. OL residua est apotome, utraque prima cognomine. Nomina sunt Mi effabilis simplieiter, et Ao, offabilis sola potentia. Sed per M. Eucl. H P, potens rectangulum sub OΡi binomine Prima, et PL effabili. est binominis, et per 92. Husdem BL latus dodecagoni, potens rectangu-
109쪽
De Figii rariam Harmoniorum Ium snb OI. apotome prima et LP effabili, est apotome. Ita eadunt singula in gradum scientiae octavum nobiliorem.
Nomina hujus compositae PH et diminutae ΗΙ sunt Ps et 8Η. Cumque ΗΒ sit sexanguli latus. ΚΡ trianguli, BP quadranguli. illud quidem potest duplum nominis minoris, se. US et SB, istud duplum majoris se. ΚS et SP, hoc vero poteAt utrum quo simul, quodque semel, Se. BS et SP. , Componitur etiam PII binominis ox Pu latere quadrati et RH latere dodee goni; at propter hanc compositionem non dicitur binominis, quia per X. 43. Eucl. praeter unum signum, quod hic fuit S , nullum aliud dari potest, quod illam dividat
Cumque ΗO, LP sint effabiles longitudine. rectangulum sub iis . id est gnh LI . Iae erit effabile, et summa Diadratoriim L H, II P est itidem effabilis, aequalis qnippe quadrato ipsius I P. Ereo hoe nomine junctae I H, II P sunt in gradu seientiae quinto.
Nec quicquam novi faciunt junctae . nec rursum binominem vel apotomene addita enim LH ad ΗΡ faeit effabilem potentia sola, se mjus quadratum psi sesquialterum quadrati LΡ: ablata voro Lu vel HR ab HΡ. constituit rursum effabilem potentia. PR, latus quadrati: cujus quadratum est dimidium quadrata I P. yi Cumque strea dode agunt constet triangulis 12, qualium ost unum LAC, in ree- tangulo vero I. H PD effabili contineantur eorum quatuor, id est triens areae totius, ergo et tota area estabilis est, quantam sest. creat ducta BD in I Ρ teri ost igitur area dodrans de quadrato diametri, seu medium arithmeticum inter tetragonum ei reulo ei reumseriptum et tetragonum eidem inseriptum; sicut area oet anguli est inter eos
XL. Ρropositio. Figura regularis 24 laterum et oinnes ab ea, duplicato continue numero laterum, geometricas quidem inscriptiones habent, sed laterum scientia evagatur longius in gradus. remotiures iis, qui prius sunt positi et ut hi stellarum ejus, seu . subtensarum 5, 7, 11 Vicesimis quartis.
Probatur ut. Prius prop. 3T. de sedetangulo, hoc tamen discrimine, qisod jam hie latus stellae dodecagonteae ejusque dimidium sunt binomines primae. quare rectangulum sub dimidia et Rub diametro, ut effabili. nondum sit novae speciei, quia potens illam per X. bb. est iterum binominis. At jam hoc rectangulum ablatum ab effabili sub lota et dimidia diametro, relinquit noxi quid, ciuus hactenus non dicta est mentio, et ignobilius, quippe magis compositum; et hoc fit potentia lateris 2 anguli. Id uiuito magis verum de pluriangulis figuris hujus classis, ut quadragintoetanguli, nonagint exancti ete. Subtensa quinque vicesimis quartis eireuli patescit bis etione arens, in quo sunt quinquo duodecimae; potentia illius, ablata a potpntia diametri, relinquit potentiam
subtensae Septem vicesimis quartis; sie potentia lateris seu subtensae uni vicesimae quartae sormat eadem methodo potentiam subtensae undeeim talibus partihns. Sunt igitur omnes in gradu remotiori. .
XLI. Propositio. Latera deeagoni et stellae deeagonicae, seu subtensa tribus decimis partibus circuli, descriptionem habent geometricam ex angulis inscriptionemque in circulum; suntque scibilia, Morsim quidem singula gradu octavo scientiae, juncta vero gradu quinto; et cum semidiametro juncta, gradu quarto. Sit deestgonus BCDEFGHIKL, et stella ejus BEHLDGΚCFIB Cum ergo sint
anguli decem, figurae planum erit compositum ex decem triangulis coeuntibus incentro A, qualo unum est FAG. Distributa igitur quatuor rectorem summa, quae est circa unum A punctum, in deeem illorum triangulorum vertices, veniunt singulis lais vel uuius reeti. Atqui summa trium angulorum hujus trianguli est id pst 2 recti;
hine igitur ablato vertieali ad A ri, relinquitur duobus ad basim et cum sint aequales. singulis igitur ri. Ita quilibet ad basin duplus est anguli ad verticem. Hoc est vinculum demonstrationis sequentis.
110쪽
Secto enim angulo AFG in duas partes aeqv
les per m lineam sinuel. I. 93, erunt AFO, Olinter ste aequales, et quilibet recti; uterque itur ipsi FAO aequalis, quare Euel. VL 33 ut . ad FG sie AD ad OG. Quia vero OFG est ri, evero OGF snempe AGR I, , erit igitur et FOGAngulis igitur ad O et O aequalibus, latera quos
FG. FO aequalia subtenduntur. Eodem modo et triangulo AOF, quia Mo est 'si, quantus erat
O: ergo et Ao et FO thoe est FG la; in aequaerunti Ut vero AF ad FG, sie A0 ad os, ut jam
monstratum ι ergo etiam ut AG ad Α0 partem, haste ad OG residuum. Secatur igitur eras AG ii proportionaliter. Igitur tJeontinuata in I, ut OI in aequalis tou AG, etiam FI seeta est proportionaliter in V,
et eonnexis A, I signis, erit AIO triangulum eongruum initiali FAG ooque OAI duplus ipsius rao, et FAI A. Quare centro A, intervallo AG seripis eireulo FGI, erit FG
latus d agoni, pars major semidiametri AG proportionaliter sectae, et FI latus stellae, seu subtensa viis, composita ex FO et OI, latere deeagoni et semidiametro. Ob hane causam haee latera, juneta semidiametro, possunt accenseri gradui quarto, per 26. hujus. Cumque AG Meta sit effabilis longitudine et latus deo ni pars Hus major, latins stellae, composita ex tota et parte m ore, quare per 27. Humillud est apotome, hoe binominis, utrumque quartae spectes: hoe respectu Eunt in gradu Fcientiae octavo, proxime post latus dodreagoni et stellae suae planeque in eodem ordine eum latere octogoni et stellae suae. Et per 28. hrius etiam residua OG estque etiam ejus dimidia No est apotoma primae speeiei. Sed eave putes, nomina riu' esse, majus AG. minus AN. Denique. per eandem 27. citius. latera GF vel OF et FI non eum semidiametro, sed secum ipsa iuncta, quia et summam quadratorum et mmmune rectangulum habent effabilia, sunt in gradu scientiae quinis. composita igitur latus de goni cum latere sino stellae, saetunt effabilem potentia sola, potentem de potentia semidiametri, quae in Rehemate praecedente N .
R est PX, eomposita ex PA aequali ipsi OA et Δ, inter quas est media proportionalis GΑ effabilis. Vicissim abstraetum dem nt Iatus OF a latere stellae FI, relinquit effabilem
OI, M. semidiametrum. Ita per illa nihil si novi.
XLII. Propositio. Latera pentagoni et stellae pentagonicae seu subtensa duabus quintis partibus circuli, descriptionem habent geometricam ex angulis Runtque scibilia, singula oetavo gradu, juncta tam sexto quam quarto
gradu scientiae. Descriptio.extra cirentum est talis: si latus suturum detnr longitudine. secabimus illud proportionaliter, per II. I l. vel VI. 30 Euch, eique adjungemus partem sectionis jorem: et sactis duobus eruribus, eompositae aequalibus singulis. ex proposita veros acta basi, triangulum statuemus pentagonii intimum. lGt hio FB BH erum, FH basis. Cum enim erus eompositum constet ex tota proposita ejusque parie majori fretionis divinae , etiam composita sic erit secta, Husque pars Π j0r erit latus Propositum eoque trianguli hrius angulus ad basin duplus etsi ejus ad verticem, ut supra in de-ragono: eui super duobus dictis cruribus ut hasibus adjiciemus duo triangula exteriora, ut hie FDB supar FB et BuΚ super Bu , quorum crura sint aequalia proposito lateri. Inseriptio in cireulum lacillima est per latus deogoni. Cum enim de 10 semia sit b, duorum igitur deeagoni laterum, FG, GH contiguorum in G terminos F, H comneetemus, lineaque m erit latus pentagoni. sic et ΗΚ; et eonnexis F, Κ terminis,
linea FΚ erit latus stellae Sit igitur pentagonus BDFHΚ et stella rius BFKDHB. Demonstrat igitur Euclides m. 10. , quod FH latus pentagoni possit latera in