장음표시 사용
121쪽
agit, quicunque hie annititur, et oppositum in adjecto statuit, tonsusus. Ex eommunibus enim nihil inique proprium eo ludetur. Sin autem da disserenuis spresseis linearum, quae diridendis arcubus subtenduntur, sermonem instituimus, jam mutatur status quaestionis et pro seetione arcus omnifaria nubstituitur seeuo totius ei reulider figuram regularem, quae propositae subtensae suam speeificam proprietatem conciliat, de quibus fisturis regularibus nos iam supra primus et in sequentibus amplius agemus: quippe qui hae ipsa in quaestione medium quaerebamu quo figurarum illarum aliquas deseribere possemus. Cum itaque tale medium natura debeat esse prius re ipsa. per hoe medium essetenda, principium utique peteremus, si medio nostro expediendo praesidium a figuris regularibus peteremus Verum hie adversarius aliquis objMerit mihi, viod Pappus Alexandrinus libro quarto Mathematiorem Collectionum, proposit. 3l. tripartitam anguli sectionem tradat per hyperbolam, et proposit 3b, data quacunque ratione angulum suare per quadratricem ot helieen: et Clarius Geometriae Practicae lib. XIII. prop. 2b. praestat idem per eonehoidea Nieomedia. serum illorum auctorum inventa nullam stabiliunt Possibilitatem omnifariae sectionis geometricae scientiscae. Ut hoc appareat, primum Pappi machinationes elaea inseetionem explicabo, deinde disserentiam inter illas et descriptiones seientificas in luce locabo. Primum ipse Pappus in praeambulo ante propositionem 31. diridit problemata quae generaliori signifieatu vocabuli geometrica appellat. cum nobis geometri eum spe .cialem sensum habeat in plana, solida et linearia, lateturque. insectionem anguli per plana squae mihi sulit speetali sensu geometrio, Reientissea graduum explicatorum)expediri non posse eaque de musa coarguit antiquos g/ometras inconsulti conatus, qui hic frustra desudaverint. Ipse igitur uiseetionem suam expedit Per Solida, omnifariam vero sectionem per lineas figuratas. Triseetionis modus est talis. Proposito angulo trisecando, demissa ex puncto eruris unius perpendiculari in crus alterum, quae longitudinem crurum intelligatur. determinare, et ei cruri alteri, breviori saeto perpendieuloque ductis parallelis, illi ex Puncto primo, huic ex proposito angulo, sic ut concurrentes rectum et ipsae saeiant gulum: jam per punetum, in quod demissa perpendicularis, laeti transire super-fietem coni, figurae solidae; deinde sic applicatum conum inclinat seu Unnere saei quoadusque is cum eadem sua superficie sectionem. hypertolen dictam, in plano designet, ductarum parallelarum, ut asymptoton, propriam: tune ex puncto illo, in quod est demissa perpendi eularis, intervallo, quod sit duplum eruris primi, deseribit in plano
arcum, secantem sectionis conicae lineam, et connexo centro arcus cum hae communi sectione, rectam ei parallelam ex angulo proposito ducit, eoque facto demonstrat, sectam esse ab angulo partem tertiam.
Solidum quidem hoe pacto problema iacit Pappus usu coni, figurae solidae. At quatenus inter datas asymptotos ductas perpendiculares , angulam rectum laeten tes, per punctum inter illas datum, sectio conica, meta hyperbola, etiam sine eono delineari in plano potest: problema idem ridetur eum inter linearia reserendum. Gignitur enim talis linea motu geometrim et mutatione continua intervallorum hostest repraesentatur per puncta quotvis, indeterminato numero, idque non minus, quam quadratrix et helix, quibus lineis propositi M. et ternariam et omnifariam sectionem pereei L Sie habet Pappi machinatio. Quid igitur dieemus 3 Nonne inter datas asymptotos per punctum datum una sola scribitur hyperbola, sive id fiat annutu coni, sive punctorum infinit im mutinuatione 3 Nonne una sola sectio circuli eum hyperbola ex una plaga γ Nonne una sola et certa inclinatio est lineae, puncta hyperbolae connectentis, ad figurae diametrum' Equidem lateor, haec omnia neeessaria et certa esse, siquidem hyperbola jam sit deseripta. Erat enim etiam prius. in analyum Byrgii trigetaone. tertiae eonstitutae partis subtensae certa et necessaria longitudo seu proportio ad subtensam toti areui.
At quia non de hoe quaerimus, quid sit re jam laeta, sed quomodo, ut Rit quidque, res nondum saeta sit facienda demum: ideo nihilo plus habemus ex problematibus solidis et linearibus veterum, quod ad quaesitam linearum scientiam saeiat, quam priuat
122쪽
ex doctrina analytica modemorum. Est sane ma sola hyperbolae linea, inter asvmptotos positas. per punctum propositum, in earum plano diaetilis. At ea nondum duetamnum jubeor tantisper inelinare snper puncto applicationis, donee existat illa dueta. que sit: vel sine cono lineas, quae hyperbolam delineant per continuata puncta, iubeor tantisper mutare, donee satis prolongata sit hyperbola. et quae partia inter facta puncta eadunt intermodiae, eas jubeor imaginari saetas; jubeor ntrinque, id, quod est Potestate divisionis infinitae. aetu seu motu uno transire, ut hoc transitu etiam id ab tingatnr, quod Iatet in illa infinitate potestativa. sine Persectae scientiae luee, qualem habent problemata a vetoribus plana cognominata. BRjusmodi postulatis erebro utuntur Franciscus Vieta Galliis et geometrae Belgici hodierni in solutionibus eorum problematum, quae suapte natura non sunt solubilia, nisi inartiseialiter per numeros, aut per motus geometricos, infestate quadam
Nam ubi omnia tuerint in promtu, quae stem: tenebimus determinationem ejus, qu0d rexime semperque propius: ut prius etiam de tri sections analytica dixeramus. Verum esso de hoc problemata solido trisectionis. quod dico, vel ipsa solidi vox admonet. Nam nisi polidorum proportio fuerit data talis. qualis est intor duos num ros elabie , mensurare solidum propositum alio solido noto non poterimus ad men. tem informandam. qui ai duae intermediae proporti0nalis exacto in plano constitui non possunt, in eubis etsi possunt inesse, at a planis ad cubos illos quoscunqu sormaudos non datur transitus sino ipsis duabus mediis, veluti ponte abrupto. in duas m dias proportionales invenire doeent alii per motum: geometricum, imperantes quod est impraestabile . quoad certitudinem actus geometrici adaequati, docet et ipse Pappus per Metiones eonicas, benes io duarum.proportionalium expediendas, cum et conus Sit solidum quid. Ita semper principium putitur et pons jacet in adversa ripa.
XLVII. Pro positio. Figurae numero laterum impari, majori quam 5 sexdepto pepte aedeeagono), eum subtensis aliquot partium, t0t aequo adeo
ela es omnes eodem eensu sunt, quo heptagonus et ceterae figurae, numero laterum primo. Nam si numerus latorem est impar, non ex primis unns: is aut est duorum pri morum imparium minimus multiplex, aut alicujus primi quadratus; aut est primi unius et quadrati primi alterius inultiplex, aut multiplicium quadratorumve seorsim vel junctim multiplex. Quodsi essent hae figurae deseriptiles et inscriptiles et scibiles, tunc aut propriam
haberent demonstrationem: ex angulis, aut impropriam ex comparatione figurarum. quibus communicant. At propriam noni habenti quia non Sunt numero laterum primo. ex quo formaretur demonstratio; impropriam non babent, neque primae, verbi causa unetvigintangulum, quia' figurae lis communicantes vel ambae vel alterutra, ut hiebeptagonus si ost trigonum et pentagonum, ex quibus Penteliaede Mnusi nullam propriam habent, per 45. praemissam; neque secundae. v. c. non gulum, quia non datur sectio areiis reliquoti . puta mentis, in totidem partes Fequales, qu0t accepit circulus integer, per 46. Praemissam; neque 4ertiae, neque quartae, quia priores iis communi eantes indemonstrabiles sunt.
De enneagono, cujus nitinerus 9 est quadratus primi imparis inter primos, de. ternarii, certatum est hactelius inter geometras, plerisque annitent hiis, ut etiam hujus figurae latus demonstrarenti omnes tamen frustra suerunt nec unquam hoe problema suissent aggressi, si discrimen scibilium et inseibi
liuni attendissent. Campanus nonangulum demonstrare voluit per tri Sectionem anguli, quam patuit lasei bilem esse in praemisς' 46. Et si vero via Pappi et Clavii necessario trisecatur, posito se. motu geometrico, at quid hoc ad planas fguras, de quibus nos hie agimus. eum solidis opus sit ad faciendas insectionis administraa lineas, hiperbolam, quadraeere hutabuntur ad certiscandam men- quaesita vel majus sit vel minus pro-
123쪽
trirem. heliea, eonehoidea 7 Ipse quidem Campanus, trimetionem tentans, non mimadvertit, 38 sumere tertiam anguli partem veluti jam certam, quae erat demum quaerenda Exstat locus in meo exemplari ad finem operis Euclidei sol. 186. pertinens ad finem libri IV. Iordanna Brunna Nolanus in sexanguli ABCDEF opposita latera BG. KF sontinuata utrinque dueit perpendiculares GH, IK, circulum in A, D contingentes; ducta igitur laeti parallelogrammi di gonio III, cireulum putabat secari sie, ut inter A , D puncta
contactuum et sectiones N, II existant nonae partes cireuli ΛΝ, DM. Atqui demonstratur ex diagrammate. quod cum S mi-
diagonii illius LII quadratum sit effabile, seil. de quadrato diametri sest enim ABII 60'. ergo BH semissis de AB vel M. et ejus potentia igitur quadruns de potentia AL. Igitur AH potentia dodrans de potentia A L. Sed potentia LΗ aequat potentias L. , AH , sinus igitur graduum 40, hoc ast dimidia subis a duarum nonarum cireuli, futurus laerit effabilia potentia, scilicet radix de δε quadrati diametri. Demissa enim perpendi eulari Ao ex A in LΗ, erit Heut LR potentia, ad HA potentiam, sic LA potontia, ad AOpotentiam, P de , h, id est Λ . ua baee non gularis anguli subtensa esset nobilior aliquibus praemissis et communicans iis, eum tamen sit numero laterum impari scilieet numero stliquo, primi 3 quadrato, nibit communieans eum tetragono et trigono per biseetionem arcuum. quarum figurarum proprius est hie nobilitatis grasis.
XLVIII. Corollarium. Sequitur igitur, notionis, scientiae, determinationis, deseriptionis et demonstrationis metas intra primos figurarum ordines eonflatere: ut sint classes figurarum scibilium non plures quam quatuor: tres proprias demonstratione4 habentium. in quibus capita sunt familiarum, In prima tetragonus, post diametrum circuli, cujus citaracter numerus 2, in secunda trigonus, erius character 3, in tertia pentagonus, eharaetere 5; una vero Impropriarum demonstrationum, cujus numerus est muItiplex duorum 3 et b, selliret Ibi prima enim ejus classis figura est pentehaedecagonus. ' XLIX. Propositio. cum autem bisectio squa propria utitur classis prima) communis sit tam secundae quam tertiae classi, ' patet, alio jure degere elassem primam, alio duas reliquas: ita ut prima familiaritatem habeat ad utramque reliquarum, at illae sgurationibus contra se distinguantur, adeo ut earum, quae propria8 demonstrationes habent, quodammodo duo tantum sint
genera. Nam tetragonus et octogonus statim go quasi totas trigonieas Reetae applicant, quia pars circuli sexta et duodecima junctae saetunt quartam . pars duodecima et ri-eesima quarta eompositas satiunt partem octavam. Et tetragosis se pentagonieapsectae quadamtenua aecommodat, quia quinta circuli pars, addita vicesimae. eonstituit
partem quartam. Causa est, quia numeri 3 et b dividi possunt in numeros proportionis eontinuo duplae: nam partes ipsing 3 llunt l, 2, partes ipsius b anni 1, 4. Ta-
Iis vero communio non est inter classes ternariam Di quinariam. Nanx erat sexta pars
elaeuli addita tricesimas eoastitui ι quintam, at tricesima est elassis pentehaedeogo nicae, quae non habet propriam demonstrat onem. Eodem modo decima circui addita quindecimae tereo admixtionem classis quariaeὸ faciunt sextam. Propter hane dualitatem generum numeri characterutici sunt, in primo 12, in seeundo 20 vel ejus dimidium 10. Haec igitur infra libr. III. reserenda et adseribenda sunt ad distinctionem generem cantus.
L. Comparatio sigurarum seu divisionum ei reuli. Primas tenet diameier; est enim effabilis longitudine. Secundum est latus hexagonicum, aequale semidiametro et sie effabile longitudine. Tertio loco stant tetragonus
124쪽
et trigonus, quia latera habent effabilia sola potentia. Quartum tenent ordinem latera dodeogoni, decagoni eorumque socia stellarum latera; sunt n. ex ineffabilibus potentia et compositis primae speciei, sunt se. binomines et apotomae, dodeeagoni quidem primae, decagoni vero quartae. Quinto Ioeo succedunt latera pentagoni et stellae ejus, sic et latera octogoni et stellae ejus, sunt n. ex quarta compositorum specie, milaon et elasson dictae. Ne qua vero bona nota in decangulo praejudicet quinquangulo, aut ne species eadem lateris octangularis aequet suam figuram quinquangulo vel decangulo, nova quinquangulo accedit virtus in ortu ipso; quod per hane sectam, denario communicantem, regnat undique proportio divina, quae immediate inest ipsis lateribus quinquangulari ejusque stellae; at deeangulari eum sua Etella non competit, nisi mediante latere sexanguli; octangulari plane non competit Praeter has laterum proprietates alius insupereensus est nobilitatis, quod figurae distinguuntur ex aptitudine et persectione areae, quam sepit fgura. Hic post diametrum cujus area nulla et quae sola circuli aream, ut Ptolemaeus monet, in duo aequalia gerat, non minus quam circumferentiamin principem locum obtinent tetragonus et dodecagonus, qui aream habent etabilem, et tetragonus quidem eximia praerogativa, quia eadem illi est area, quae et lateris quadratum, quippe areae species est quadrata: itaque sepit dimidium de quadrato diametri; dodeeagonus vero stat post prineipia, sepiens dodrantem de quadrato diametri. Proximo Ioeo sucredunt trigonus, sexangulum et octi H gonus, quibus est area ex specie meson, pentagoni et deeagoni areae nulla dum habent nomina notionum.
125쪽
De Congruentia Figurarum Harmonicarum.
sentiam singularum fgurarum regularium mentalem seu νοερζν hactenus eiu lieavi: sequitur earum junctarum proprietas, et veluti essectus intra geometriam, qui est congruentia vel insociabilitas. Non sunt enim ejusdem latitudinis demonstrabilitas et congruentia, eum illa singularum sit et cum ipsa duplicatione continua laterum unius figurae in infinitum excurrat, ista certis coartata legibus, quibus plures figurae in unam societatem vocantur, ob angulorum incrementa se ipsam praepediens, cito desinat. Et quamvis deleetus sit graduum scientiae demonstrationisque ei. plurimum disserant nobilitate illae, quas nos explicavimus, ab iis, quas dimisimus sine homine: non tamen ne eum hac quidem demonstrationis nobilitate congruentia plane pari passu ambulat,
adeoque unum alterius causa non est, sed utrumque ex eadem communi causa
quae est angulorum figurae aptitudo), quodque tamen suis legibus, dependeLQuantopere vero necessaria sit nobis haec quoque speculationis pars, ex ipso totius operis instituto videre est. Cum enim originem harmonices ejusque emsectus in toto mundo praestantissimos explicandos sumserimus, quomodo de congruentia figurarum, quae sunt proportionum harmonicarum scaturigines, verba nulla laciamus 7 cum idem sonet Latinis congruere et congruentia, quod Graecis crρμοττειν et αρ mma, cum hic figurarum essectus intra geometriam intraque architectonices partem illam, quae circa archetypos versatur, sit quaedam velut imago et praeludium essectuum extra geometriam extraque mentis conceptus in ipsis rebus naturalibus et zoelestibus, eum proprietas haec congruentiae, quae in structuram et c0 orationem aliquam exit, talis sit, ut vel ipsa mentem speculatricem invitet ad aliquid etiam soris laetendum, creandum, corporandum, utque latens inde ab aeterno in superbenedicta mente divina per idearum ordines tanquam bonum summum, sui communicativum, contineri in sua abstractione non potuerit, quin in ereationis opus prorumperet Deumque creatorem efficeret corporum sub iisdem figuris conelusorum. De hac
igitur figurarum congruentia paucis agam, cum demonstrationes difficiles nequaquam sint, nee alio Pene apparatu, quam ipsa figurarum pietura indigeant.
126쪽
De Figurarum Harmoniearum Congruentia. Liber Π.
De Figurarum Regularium Congruentia.
Ι. Desinitio. Congruentia alia planitiei est, alia in solido. In plano
congruentia est, cum anguli sigurarum plurium singuli sic ad punctum unum concurrunt, ut nullus relinquatur litatus. II. Desinitio. Haec porsecta dicitur, eum figlirae cujusque concurrentes anguli omnes eadem specie coneurrunt, ut ita omnes concursus inter se similes sint et eoneursuum ordo in in sinitum continuari possit. III. Desinitio. Persectissima, cum etiam figurae concurrentes in plano sunt ejusdem speciei.
Iv. Desinitio. Imperseeta, cum major quidem figura undique similibus concursibus sepitur, neque tamen datur continuatio in infinitum, aut datur quidem, sed .non sine admixtione diversarum condursus specierum. Imperseeta deterioris gradus, cum major figura non omnibus angulis simili specie
V. Desinitio. Solida congruentia est et figura S0lida, cum anguli singuli plurium planarum figurarum angulum constituunt solidum, aptatisque figuris regularibus vel semiregulari biis nullus restat litatus inter latera figurarum obviantia sibi in opposita solidae spurae parte, qui non claudi possit figura speciei unius ex adhibitis vel saltem regularibus.
Nota, quod sit alia congruentia, non planarum figurarum ad figuram solidam sor. mandam, sed ipsarum solidarum figurarum ioter se, ad locum solidum eirea unum punctum explPndum: hi uti modi figurae corporeae sunt tantum d Me, cubus et rhombus dodecasedrieus. Nam octo anguli culti concurrunt ad unum punctum et unum undiquo locum explent. Ithombus vero habet duo genera angulorum, trilinearos obtusos oeto, et quadrilinearos 'acutos sex. Igitur obtusi quatuor congruunt ad loeum explendum, aeuti vero Sex: quale si ruunt aedificium apes, collis contiguis, ut unam eireumstent a fundo tres adversis landis, a lateribus sex et possent etiam an- totius tres aliao circumstare. ad figuram absol Vendam, nisi sores oportuisset esse patentes. Do hae vero solidarum figurarum congru ntia nos hic non agimus.
VI. Desinitio. Persectissima solida congruentia solidaque figura est, eum etiam plana congruentia sunt ejusdem figurae omnia. VII. Desinitio. Haec Vel est regularis tota, eum plana sunt regularia, habet quo omnes angulos in eadem Sphaeriea Superficie et inter se similes. VIII. Desinitio. Vel est Semiregularis, eum plana sunt semiregularia vide libr. I. des. 3.ὶ habetque angulos s0lid0s numero linearum distinctos et dissimiles; non tamen plurium quam duorum generum, nec in pluribus, quam duabus sphaericis supersciebus, uno eentro deSeripiis, ordinatos; et singulorum
generum angulos tot numero, quot habet una regularium. Non obstat . congruentiam hane Solidam Perfectissimam dici: nam quae planis ejus inosi imperfectio, solidati0ni non debet adscribi, Sed ei accidit. Dieitur tamen
amni voee persechissima haec semiregularis.
IX. Definitio. Persecta inferioris gradus est, cum plana regularia et anguli omnes in eadem superfieie Sphaerica et inter se gimiles sunt, sed plana tamen diversarem speciemm, Singularum quidem tot numero, quot sunt in una persectissimarum figurarum, Fe. n0u minus quan 4, quot ad illinimum plani tiebus solida figura terminatur. X. Desinitio. Imperlaeta e0ngruentia seu figura est, eum ceteris manentibus major figura non saepius quam semel aut bis invenitur. 8.
127쪽
De Figurarim ΗMinoni In Fit enim figura illie parti quam toti, hic planae quam solidae similior, eum omnis solida ad minimum 4 superficiebus terminetur. Ut in typis ex aere sequentibus ad literas A, B, ubi major fgura est heptagonus. Classes istae duae eum ipsorum majoris figurae I terum numero excurrunt in infinitum, initio laeto a trigono utrinque, Mod in classe A, est ex perseetissimis regularibus eongruentiis, transitu vero laeto per tetragonum et tune in classe B, incidimus iterum in unam perfectissimam
regularem congruentiam, ecterae omnes imperfectae Bunt.
XI. Desinitio. Sem solida est, quae non sustinet omnes definitionis quintae particulas; ut eum aptatis figuris planis, congruentia non plane in seipsam redit, sed relinquit hiatus; de cetero tuearis praescripta des. 6 et 7. XII. Desinitio. Figurae planae congruae sunt, quae vel solidam figuram concludunt, vel planitiem sine hiatu explent, existentes ipsae figurae regulares vel semiregulares. XIIL Desinitio. Ineongruae dicantur illae figurae planae regulares eirculoque inscriptae siquidem sunt iugeriptiles , quae neque stolidam figuram sphaerico inscriptilem secum ipsae, aut cum aliis suas vel alterius elassis erusormant, nisi imperseetam tantum, neque planum sternunt vel ipsae inter se singulae, vel eum stellis Ruae classis, vel cum figuris et stestis et ais alterius
circumcirca. Ubi nota, exeludi septangulum et talia, non obstante, quod bina parallela sepi ingula vel T quadratis, vel 14 triangulis adiuta regularibus solidum omnino elan dunt; quia tantum bina septangula concurrunt, fitque figura disei foranis et planae similis, nequaquam vero globisormis, sphaeroides. Vide in figura fol. seq. liter A, B. Sie etiam excluditur quindecangulum, non obstante, quod aliquibus angulis eum figuris cognatis loeum in plano explet; quia hoe non laeti circumcirca omnibus angulis.
XIV. Propositio. Angulorum planorum non pauciores quam temi in plano congruunt.
Nam ei rea quodlibet eoncursus punctum est summa qnatuor rectorum angulorum at nullius figurae angulus aequat summam duorum rectorum, igitnr duo quanti eunque anguli sunt adhuc minores quatuor rectis: duo igitur non explent planitiem, per del. 1.
XU. Propositio. Angulorum planorum non pauciores.quam terni ad solidum angulum sorinandum congruunt vel assurgunt. Bini enim non lateribus tantum, sed totis planitiebus congruerent nihilqus de corpore solido eomplecterentur: quod est contra des anguli solidi apud Euclidem. XVI. Propositio. Angulorum in plano congruentium summa semper est 4 rectorum, nunquam major: conradentium in solido est minor hae summa.
In plano n. non plures 4 rectis unnm Punctum circumstant: ergo eam aequatur
summa 4 reetorum, tunc hiatus nullus relinquitur . et per des. l. eongruentia inneest in plano. Si planum sternunt anguli, ad soliditatem non assurgunt. Et vicissim si angis aptati in plano relinquunt hiatum, quando M. sunt minores 4 rectis, tune adduetis duobus lateribus circa hiatum et exeluso hiatu necesse est assurgere angulum et solidari. In figura II typi aenei fol. seq. sunt picti tres pentagoni in planitiem strati et hiantes.
XVII. Propositio. Figura imparilatera, erius aptantur Ilitaribus figurae duarum specierum, non potest aequali forma omnibus angulis coneurrere vel iuplano vel in solido.
Nam fit in uno ipsius tingulorum, ut eiusdem Rpeciei figurae utrinque stent, quod in eeteris ansulis non fit. Hujus rei causa vide figuram C typi aenei seq.
130쪽
Ne tetragoni angulus est uniis rectus, quatuor ergo quatereorum tetragonorem angesi faeiunt quatuor rectos; vide L. Sic beaagoni angulus est i unius recti; tres ergo trium figurarum faciunt V, 4 rectos; vide F. At pentagoni angulus est minor hexagonico; tres ergo sunt minores 4 reetis, tres ergo hiant; idem est major tetragonim: quatuor ergo pentagoni ei sunt m jores 4 reetis, ergo non capiuntur in uno laeo plano, per 16ι hrius. Hac de causa vide Η, cum quarto pentagono poetis signato. Sie heptagoni et omnium majorum figurarum angulus major est hexagonteo; tres ergo heptagonici superant 4 rectos. Vide I, ubi duorum heptagonorum partes in plano tegunt locum eundem. Hue reser rhombos, eonstantea ex binis uigonis regularibus singulos. Congruunt enim persectissime, ut regulares hexagoni, etsi ipsi sunt figurae se regularis. Vida hane conmentiam in schemate seq. ex aere, litem G. Huc etiam reser stellas ex dod agono sexangula8, os tia Fenia radiis, apud literam Κ: venit enim in loeum exsecti radii eavus angulus, recto aequalia. Igitur tres tetragoniel et tres talium stellarum radii implent locum. Nam hexagonus dividitur in talem stellam et sex dimidios tetragonos.
XIX. Ρropositio. Ex planis duaruni figurarum impletur locus planus sexies; bis ex quinque, semel ex quatuor, ter ex tribus angulis.
Sena enim plana eoire non possunt, ut eorum unius angulus sit major trigonico :quia primi trigoniei quantitas est unius reeti; itaque hoe sexies sumtum laestseu 4 reetos. Uno igitur horum 6 majori existente, ut se. sit figurae plurilaterae superantur 4 reeti: et tunc planities non sternitur, per i 6. hrius. 1. Quina vero plana tune coeunt, si quatuor trigonicis jungatur unus, aequans duos trigonicos, talis vero est hexagoniens; sorma qualis litem L. 2. Vel si tribus trigonieis duo tetragonici jungantur; quia aequant tres alios trigonicos. Forma qualis in M vel quali in N, se. continue uniformis; vel denique qualia in O, difformis continuationis. At si trigonicos duos, tetragonicos tres sumseris, ii jam quatuor rectos superabunt, multo magis, si mMores duo aceersantur anguli ad duos trigoni S. 3. Quaterna vero duorum specierum coeunt. si trigonieis binis jungantur bini hexagoniel. Forma qualis in P vel qualis in R. Aliter utcunque copulaveris qua.
terna, semper vel plus efficies vel minus quam quatuor rectos, eoque locum planum non sternes. Teruos igitur Si jungamus, caventes, ne sint Plures quam duae species, primum non poterunt esse duo trigonici nec duo tetragonici, non superarent enimiluos rectos et relinqueretur pro tertio, quod nullus unus et solus implet 4. Uno vero inter ternos trigonico posito, congruunt duo dodeeamniei ustmoeontinuatio pos'ibilis; nec admiscentur alii eoncursus. Forma hrius planitiei videatur litera S. Huc reser stellam doderangulam ex eo fundamento, quod ejus angulus cavus aequat trigonicum: itaque dividuus est dodeogonus in stellam et 12 trigonos; ergo quinque trigoniel et duo radii duarum stellarum cMunt: sorma eontinuabilis, spectetur litera T. b. Et uno tetragonico inter ternos assumto congruunt duo octogonici, estque eontinuabilis et taee forma; videatur litera V. Hue reser stellam oetogon ain ex eos tamento, quod rius angulus cavus aequat tetragonicum: itaque dividuus est octogonus in stellam et octo triangula tetragonica, quorum duo efficiunt tetragonum. Et sie tetragonici tres et duarum stellarum radii duo implent locum: sorma mixta, ut litem X, vel aliter etiam mixta, ut litem Y.6. Dimissis jam in ternis eoaptandis trigonico et tetragonico, si ad pentagoni- eum veniamus, eorum possunt stimi duo, quia snperant juncti 2 rectos; et eongruit in locum reliquum deogonteus unus; coronatur inim decagonufi pentagonis decem. sed non eontinuatur pure haec sorma. Vide schema litem Z interius. Hue ergo reser stellam pentagonicam, eum Rint pentagoniti tres et unus stellae radius; quia ovus stellae angulus evit etiam unum angulum pentagonicum, non minus, quam Peutag i-
eorum trium hiatus eapit radium stellae. Vide eadem litera Z exterius. Quamquam