장음표시 사용
91쪽
De Figurarum Regularium, quae proportiones harmonicas pariunt, ortu, classibus, ordiue et disserentiis, causa scientiae et demonstralioni S.
Cum a divisionibus cireuli in partes aliquotas aequales, quae fiunt ge metrice et scientifice, hoc est a figuris planis regularibus demonstrabilibus sint nobis petendae musae proportionum harmonicarum: illud initio gignifieandum duxi, disserentias rerum geometricarum mentales, hodie, quantum apparet ex libris editis, in solidum ignorari. Adeoque ne ex veteribus quidem, qui has specifieas rerum geometricarum disserentias Re exacte cognovisse gignificaverit, praeter Euclidem ejusque commentatorem Proetum, quisquam oceurrit. Pappi quidem Alexandrini veterumque, quos ille sequitur, distributio problematum in plana, solida et linearia, satis est apposita ad habitus mentis, circa unamquamque subjecti geometrici partem orientes, explieandos: illa tamen et brevis est verbis et ad proin applicata; do theoria nulla fit mentio: et vero nisi tota mente in theoria hujus rei oeeupemur, nunquam assequi poterimus rationes harmonicas. Proclus Diadoctus libris quatuor in primum Euelidis editis philosophum theoreticum in mathematico subjecto ex professo egit: qui si commentaria sua in decimum etiam librum Euclidis nobis reliquisset, et nostros geometraninscitia liberasset non neglectus, et me labore hoc explicandi rerum geometri- earum disserentias in solidum sublevasset. Satis enim illi cognita suisse di erimina ista entium mentalium, ex ipso exordio saeue apparet, cum principia
92쪽
De Figurarum Harmonicamini demonstratione. Lib. I. . 81 totius essentiae mathematicae statuit eadem, quae etiam per omnia entia vadunt omniaque a se gignunt, finem se. et infinitum, Eeu terminum et inte minatum: terminum vel circumscriptionem pro sorma, interminatum pro materia agnoscens rerum geometricarum. .
Quantitatum n. propria sunt figuratio et proportio, figuratio singularum, proportio junctarum. Figuratio perficitur terminis, linea n. recta punetis, supersietes plana lineis, eo us superficiebus terminatur, circumscribitur et figuratur. Quae igitur finita circumscripta et figurata sunt, illa etiam comprehendi mente possunt: infinita et in determinata quatenus talia nullis scientiae, quae desilitionibus eomparatur, nullis demonstrationum repagulis coartari pos-gunti Prius autem figurae sunt in arehetypo, quam in opere, prius in mente divina, quam in ereaturis; diverso quidem subjecti modo, sed eadem tamen egsentiae suae forma. Igitur quantitatibus figuratio mentalis quaedam essentiant, seu.intellectio, earum essentialis disserentia. Id multo magis clarum est ex proportionibus. Cum n. figuratio pluribus terminis persciatur, fit ut propter hane pluralitatem figuratio proportionibus utatur. Proportio vero quid sit sine mentis actione, id vero intelligi nullatenus potest. Eoque etiam hoe nomine, qui quantitatibus terminos dat pro principio essentiali, is figuratas quantitates intellectualem essentiam habere ponit. Sed non est opus argumentatione, legatur totus liber Proeli; satis apparebit, ipsi disserentias intellectuales rerum geometricarum prope suisse cognitas: etsi affirmatum hoe ille non ita seorsim solitarium in aperto et conspieuo ponit, ut etiam oscitantem ejus admoneat: stult n. ejus oratio pleno velut alveo, copiosissimis undique strata sententiis abstrusioris philosophiae Platoni eae, quas inter et hoc est libri hujus argumentum singulare. Verum huic nostro seculo non vaeavit hactenus, ad tam recondita penouare: lectus est liber Proeli Petro Ramo, sed quod ad nucleum attinet philosophiae, pariter cum decimo Euclidis eontemtus et abjectus, quique eoru mentarium in Euclidem scripserat, veluti si apologiam pro eo scripsisset, re pudiatus et obmuteseere jussus, irritata vero insensi eensoris ira in Euclidem ut reum vertit, damnatus est atroei sententia Euclidis decimus. ut ne legeretur, qui lectus intellectusque philosophiae mysteria pandere poterat. Legite quaeso verba Rami, quibus ille nihil unquam indignius Ramo protulit, Seholarum Math. lib. 2I: Mater , inquit, decimo libro proposita eo modo est traditu,
ut in humanis literis atque artibus similem obseuritatem nusquam deprehenderim, o euritatem duo non ad intelligendum, quid praeeipiat Euelides sed n. eri indoctis et cliteratis, id solum, quod Gest quodque praesens est, intuentibus, F rit rade per νpicuum, sed ua perspiciendum penitus et explorandum, quia finis su et usua veri propo it , quae genera, species, disserentiae sint rerum subjectarum: nihil n. unquam tam confusu m vel inresutum Iem uel audivi. Quin stuperstitio Pythasorica in hunc
quari vecum inducta videatur ete. At hercle, Rame, nisi nimium facilem ad i telligendum hunc librum eredidisses, nunquam tantam obscuritatem suisses ea lumniatus. Labore majore opus est, quiete opus est, sollicitudine opus est ut attentione praecipua mentis, donee comprehendas intentum acriptoris: ubi eo fuerit enisa mens generosa, tum demum sese in lumine veri versari cer
nens, ineredibili voIuptate persunditur exsultans et ab illa veluti specula totum mundum omnesque ejus partium disserentias exaetissime perspicit. At tibi, qui hoc loco pauonum agis ignorantiae vulgique hominum, lucra captantium ex omni re divina, humana, vobis inquam sint ista siprodigiosa sophismata , Vobis holio fuerit Euclides intemperanter abusus , vobis haeumina ista locum in
93쪽
82 De Figurarum Harmonicarem geometria nullum habeant , vestrum esto, earpere quae non intelligitis: mihi, qui rerum eausas indago, praeterquam in decimo Euclidis semitae ad illas nullae patuerunt. um secutus Lazarus Sehonema in Geometria sua lassus est, Re quinque eo orum regularium usum piae nullum in mundo videre potuisse, donec libellum meum, quem Mysterium Cosmographicum inseripsi, perlegerit: in quo planetarum numerum et intervalla probo ex eorporibus quinque regularibus esse desumta. Eeee quid nocuerit Ramus magister Sehonero discipulo. Primum Ramus Aristotele perlecto, qui resutaverat Pythagorieam philosophiam circa elementorum proprietates ex quinque corporibus deductas, statim animo eoneepit contemtum totius philosophias Pythagoricae; deinde cum sciret, Proclum fuisse Pythagoricae sectae, non credidit ei affirmanti, quod erat verissimum, Q. Eueli dei operis ultimum sinem, ad quem referrentur omnes omnino propositiones omnium librorum sexceptis quae ad numerum perlaetum dueunt esse quinque corpora regularia. Hinc orta est apud Ramum confidentissima persuasio, quinque eorpora esse removenda a fine librorum Uementariorum
' Ademto fine operis, veluti sorma aedificii sublata, relinquebatur insormiastrues propositionum in Euelide, in quam velut in larvam aliquam Ramus totis 28 libris Scholarum invehitur, magna dicendi aeerbitate. magna temeritate, tanto viro indignissima. Hane Rami persuasionem secutus Sehonerus credidit eeee et ipse, corpora regularia nulli esse usui; nec hoe tantum, sed et Proclum neglexit aut contemsit, judicium Rami secutus, a quo Proclo discere poterat usum corporum quinque et in Elementis Euelidis et in mundi labrica. Et quidem selicior erat diseipulus magistro, quia usum corporum a me patefactum in fabrica mundi gratulabundus recepit, quem Ramus a Proclo inculcatum repudiaverat. Quid tum enim, si Pythagorei figuras has elementis, non vero ut ego, sphaeris mundi attribuerint 7 Annisus esset Ramus, ut errorem hune ipsorum circa genuinum figurarum subjectum tolleret, ut ego feci, non totam hane philosophiam uno verbo tyrannico sustulisset. Quid si Pythagorici hoe idem docuerunt, quod ego, sententiam involueris verborum texerunt 2 Nonns Copernieana mundi sorma exstat in ipso Aristotele, perperam ab ipso resutata sub nominibus aliis; dum illi Solem Ignem, Lunam Antichthona appellarunt 2 Si namque dispositio orbium eadem fuit apud Pythagoreos, quae apud Copernicum, si nota eorpora quinque eorumque numeri quinarii neeessitas, si constanter omnes docuerunt, corpora quinque esse mundi partium archetypos, quantulum superest, ut credamus illorum gententiam, sub aenigmate ab Aristotele lectam, quasi gub vero vocabulorum sensu suisset resutatam:. dum Aristoteles legit Terram, eui eubum dabant, cum ipsi sorte Saturnum intellexerint, cujus orbis interpositu cubi summotus est a Jove. Et Terrae quidem quietem vulgus adscribit, Saturnus vero motum tardissimum, quieti proximum, est sortitus, unde etiam apud Hebraeos a quiete nomen obtinuit. Sic aeri datum Oetaedron legit Aristoteles, eum illi sorte Mercurium intellexerint, cujus orbis octasidro inclusus est; nec minus velox est Mercurius squippe omnium velocissimus quam mobilis aer habetur. Ignis Voc bulo sortasse Mara fuit insinuatus, cui alias etiam ab igne nomen dat Pyrois, atque illi tetraedrop datum, sorte quia ineluditur ejus orbis hac figura. Et aquae sub involucro, cul icosaedron attributum, Veneris stella cui cujus cum riculum icosaedro continetur latere potuit, quia Veneri humores subjeeti ipsaque dieitur orta maris spuma, unda vox Denique mundi vox
94쪽
potuit signifieare Terram, et mundo dodecalidron adseribi, quia Terrae curriculum hae fi ra continetur, duodeeim longitudinis partibus distinetum, uti illa figura duodeeim toto ambitu planis continetur. Quod igitur in mysteriis Pythagoreorum hoc pacto quinque figurae distributae fuerint non inter elementa, ut Aristoteles credidit, sed inter ipsos planetas, illud vel maxime confirmat, quod Proetus finem geometriae inter ceteros hune tradit, quod doceat, quo modo figuras convenientes coelum certis sui partibus aeceperit. . . Necdum finis est damni, quod Ramus nobis dedit; ecce sollertissimum geometrarum liodiernorum Snellium, plane suffragantem Ramo, praelatione in Ludolphi a Coellen Problemata ηὶ: primum ait, aes usum inutilem esse divisi nem illam inessabilium in trederim speetes. Coneedo, si nullum ille usum agnoscat, nisi in vita communi et si nullus contemplationum physicarum sit usus ad vitam. At cur non Proclum sequitur, quem allegat, qui agnoscit aliquod majus geometriae bonum, quam sunt artes ad vitam necessariae 2 tune equidem et decimi libri usus apparuisset in aestimandis figurarum speciebus. Allegat Snellius auctores geometras, qui non utantur libro decimo Euclidis. Sane omnes illi aut linearia tractant problemata aut solida, et de figuris vel quantitatibus talibus, quae non habent finem suum intra Fese, sed manifeste tendunt ad usus alios nee sine iis exquirerentur. At figurae regulares propter Se ipsas exquiruimur ut vehetypi, suam in se ipsis habent persectionem suntque inter subjecta planorum problematum, non obstante, quod planis hedris solidum etiam elauditur: similiter et decimi libri materia potis simum ad plana pertinet. Cur igitur allegarentur' heterogenea 2 aut cur vilis aestimatur merx, quam non emit Codrus, ut ea ventrem pascat, emit Ver Cleopatra, ut aures ornet 2 , Crux tantum defixa est ingeniis 2 Equidem iis, qui numeris, hoc est essando vexant inessabilia. At ego has species tracto non numeris, non per algebram, sed ratiocinatione mentis; sane quia iis mihi non est opus ad subducendas rationes mereatuum, sed ad explicandas rerum causas. Segreganda censet subtilia ista a στοιχειωm inque bibliothecas abstrudenda. Omnino fidum Rami discipulum agit nec ineptam locat operam. Ramus aedificio Euel ideo formam ademit, culmen proruit, quinque eorpora; quibus ablatis compages omnis . dissoluta suit, stant muri fissi, fornices in ruinam minaces: Snellius igitur etiam caementum aufert, ut cujus nisi ad soliditatem domus sub quinque figuris coagmentatae nullus est usus. O felicem
captum discipuli loquam ille dextro Euelidem intelligere didicit a Ramot se.
ideo putant στοιχεια dicta, quod inveniatur in Euclide propositionum et problematum et theorematum omnifaria copia, ad omne genus quantitatum artiumque circa illas occupatarum: cum liber ωοιχειο,σQ sit dictus a forma, qu0d semper sequens propopilio innitatur praeeedenti usque ad ultimam libri ultimi partim ei libri noni , quae nulla priorum carere potest. Ex arctiiteeto saltuarium faciunt aut materiarium, existimantes, Euclidem ideo librum suum scripsisse, ut omnibus aliis eommodaret, solus ipse propriam domum nullam haberet. Sed plus salis hoe loeo de hisee, revertendum est ad eaput orationis.
Cum enim temerem, veras et genuinas rerum geometricarum disserentias, a quibus arcessendae mihi sunt causae harmonicarum proportionum, Vulgo
ignorari penitus, Euelidem, qui studio illas tradiderat, Rami eavillis oppressum
explodi strepituque Iaseivientium obturbante a nemine exaudiri, aut surdis ei iam narrare philosophiae mysteria, Proetum, qui mentem Euclidis aperire, abstrusa eruere, difficiliora captu saeuia reddere potuisset, et deridieulo esse, nee commentaria sua usque ad librum decimum eontinuasse: vidi hoc omnino
95쪽
mihi laetendum esse, ut initio ex libro decimo Euclidis exseriberem ea, quae ad Praesens institutum meum praecipue sacerent, seriem etiam rerum illius libri, eertis quibusdam interjeetis divisionibus, in lucem proferrem, causas indicarem, cur quaedam divisionum membra ab Euclide suerint omissa: tunc demum de figuris ipsis agendum ruiti Ubi quae fuerunt ab Euelido demo strata clarissime, in iis simplici propositionum allegatione eontentus sui: multa, quae sunt ab Euclide demonstrata via alia, propter finem mihi propositum, scilicet propter comparationem figurarum scibilium et inseibilium, hic suerunt repetenda, vel disjuncta conjungenda, vel ordo mutandus. Desinitionum, propositionum, theorematum seriem continuo numero sum complexus, ut in Diop tricis Dei, propter allegationum commoditatem; in ipsis etiam lemmatibus non accuratus sui nec nimium de vocabulis sollieitus, magis in res ipsas intenius, quippe qui non jam in philosophia geometram, sed in hae geometriae parte philosophum agam. Atque utinam de rebus geometricis adhuc popularius, dummodo et clarius et palpabilius disserere potuissem. Sed spero, lectores aequos ini utraque re, et quod geometrim populariter trado, et quod materiae obscuritatem industria vincere non potui, meam operam boni consulturos. Qui bus etiam hoc ad extremum do consilii, ut si mathematicarum rerum penitus imperiti suerint, transmissis enarrationibus meis solas legant propositiones a XXX. usque ad silem, et sde propositionibus ipsis adhibita sine demonstratione, pergant ad libros ceteros, praesertim ad ultimum; ne dissicultate geometricarum argumentationum absterriti fructu sese privent harmonicae eon templationis jucundissimo. Nunc ad rem aecedamus cum Deo.
De Figurarum Regularium demonstrationibus.
L Desinitio. Plana figura regularis illa dicitur,
quae omnia latera et omnes angulos, extror8um Versos,
aequales habeti Ut hie QPRO: latera QP. PR, RO, OQ sunt aequalia et anguli QPR, PR0, R0Q, OQP aequales.
II. Desinitio. Earum quaedam sunt primae et radicales, quae suos ipsao terminos non excedunt, quibus proprie convenit posita definitio: quaedam sunt auctae, quae sua veluti latera excedunt, continuatis alicujus radicalia lateribus non contiguis ad concursum: dicuntur stellae.
Πι hie ABCDE est persectum quinquangultim estque figura prima, non desiderans aliam persectam, ex qua Gntinuatione laterum producatur. At FGHIE est quinquangula et figura aucta. eontinuatis lateribus binia nou contiguis, verbi causa AB et DC ad eone sum I.
96쪽
ml regulares sunt, quae ungulos Variantes, latera quatuor habent aequalia, ut
IV. Propositio. Omnes figurae regulares angulis suis omnibus simul eidem circulo possunt insistere. Nam per 21. tertii Euclidis omnes anguli aequales, eidem et sie etiam H dometreuli aequalibus segmentis inseribi possunt, sunt autem omnes anguli regularis figurae aequales, omnes igitur unius figuras anguli aequalibus unius circuli segmentis possunt inscribi. Sed et actu omnes inseribi necesse ost, uno inscripto. Nam latera omnia sunt aequalia, quare etiam sunt aequalia segmenta circuli, quae a binis unius anguli lateribus abseeantur Euel. III. N). Ergo tam angulus quam laterum fines simul in eundem circulum eompetunt. Fines vero laterum sunt et ipsi anguli. Secus esset si, quamvis aequalibus angulis, latera non essent aequalia: tune enim dissolveretur necessitas inscriptionis omnium.
V. Desinitio. Deseribere figuram est, proportionem linearum angulis subtensarum ad anguli erura geometrico actu determinare; ex determinatis triangula figurae elementaria construere, ex triangulis eoassatis figuram ipsam perficere. Data enIm proportione DA ad M, ED fg. 31, sunt triangula DAE, DAC, C rex quibus constat figura. VI. Desinitio. Inseribero figuram circulo est, proportionem lateris figurae ad diametrum cireuli, cui est inscribenda, geometrico determinare, qua constituta proportione, saetio in circulo figura proposita delineatur. Ut si detur is semidiameter fig. M, vel ejus dupla, diameter, si sciamus, quid faciendo cum ea justam longitudinem lateri DΕ indulgeamus, saeile postea repetitions ipsius DK per eircumferentiam consummamus figuram. VII. Desinitio. Sciro in geometricis est mensurare per notam men8uram; quae mensura nota in hoe negotio inscriptionis figurarum in circulum, est diameter circuli. VIII. Desinitio. Seibile dieitur, quod vel ipsum per se immediatecest mensurabile per diametrum, si linea, vel per ejus quadratum, si superficies; vel quod formatur ad minimum ex talibus quantitatibus, certa et geometri ratione, quae, quantumcunque longa serie, tandem tamen a diametro ejusve quadrato dependeanti Graece dieitur r sit mri IX. Desinitio. Demonstratio est quantitatis vel describendae vel sciendae ex diametro deductio per intermedia possibilia, Graece πορ in
Ita demonstratio communiter vel deseriptionem parit vel scientiam. Et descriptio quidem quantitatem nudam, seientia vero insuper et qualitatem quantitatemve certam profitetur. Potest autem aliqua linea esse geometrico determinata, Graece τακτη, quae tamen actu mentis, qualis siue, nondum sciatur. Potest vicissim alie rius vel aliquarum linearum qualitas aliqua sciri, quae tamen ip as nondum determinet vel necessitet: si nimirum qualitas illa multis aliis rebus quantitate differentibus sit communis. Est etiam quarundam linearum deseripito saeilis, scientia difficillima. Denique multa deseribi possunt actu geometrico quatieunque, sciri tamen non possunt natura sua: ut quidem scibilo supra doscripsimus.
X. Desinitio. Propria demonstratio est, cum numerus angulorum si rae vel ipsius vel ei cognatae numero laterum duplo aut dimidio sit medius terminus ad determinandam proportionem lateris, quam id habet ad diametrum. Omnis enim figura regularis est aut ipsa triangulum, aut resolvitur in triangula,
97쪽
De Figurarum Hamonicarum duetis diagonalibus. Cum autem omne talo triangulum habeat tres tangulori duobus reetis aequales: in trigonici igitur angulo est pars tertia, in tetragoniel elementaria angulo pars quarta, in pentagonici pars quinta, in heptagonici pars septima et e. du rum rectorum. Et ab hac quistitate anguli incipit demonstratio e usque.
XI. Dos initio. Impropria demonstratio est, eum proportio lateris ad diametrum ex ipso angulorum numero immediate adhibito nequit determinari geometrice, nisi adhibeatur latus figurae alterius, non duplo aut dimidio numero laterum. εXII. Desinitio. Gradus scientiae diversi sunt, alii remoti, alii propinqui. Primus et proximus gradus, cum lineam aliquam seio et demonstrare possum esse diametro aequalem, aut planum, licet Piter sormatum, quadrato
diametri aequale. He mensura nota persecto, gessieri se ipsa et uno aetu, mensurat noscibile.
XIII. Desinitio. Seoundus gradus, cum diametro in aliquot partes aequales certo numero divisa, vel ejus quadrato similiter, linea vel planum propositum aequatur tali parti vel partibus. Talis linea dicitur Graece 6, et uηκει, effabilis longitudine. Planum vero tale simpliciter dicitur ρητον, effabile. Numerus enim est geometrarum sermo. Ad hune seientiae gradum vel per deseriptionem ingeriptionemque pervenimus, vel aliter etiam per cognationem eum alia aliqua quantitate, ad quam per illa media perveniebatur. EoquB non determinat hare qualitas unam aliquam quantitatem; neque enim susscit ad determinationem, ut sciam, aliquid eausa eommensurationis sic vel sic esse comparatum, oportet etiam hoc scire, quomodo, id est quo numero sit effabile.
XIV. Desinitio. Tertius gradus est hic, eum linea longitudine est ineffabilis, at ejus quadratum etabile et pertinens ad pecundum gradum. Dicitur ἰση δυναμει, essabilis potentia.
XV. Desinitio. Qui sequuntur gradus, omnes Appellantur αλογοι, in effabiles. Interpretes Latini verterunt irrationales, magno ambiguitatis et a surditatis periculo. Nos sepeliamus hunc vocis usum, quia multae sunt lineae, quae .quamvis ineffabiles, optimis tamen continentur rationibus. Arithmetiei eonsimili translatione appellant numeros surdos, id est qui non plus loquuntur, quam surdus audit: sed sub hoc nomine tam etabiles sola potentia, quam insitabiles quantitates intelligunt. Est igitur quartus in ordine gradus, primus vero inessabilium, quando nec linea nee ejus quadratum sunt etabilia, sed tamen quadratum in tale ree tangulum transformari potest, cujus latera sint etabilia saltem potentia. Haec linea dicitur mese μεση), quia est media proportionalis inter duas effabiles sola potentia eommensurabiles: ut si una quidem sit effabilis longitudine, altera sola potentia, aut si utraque sola potentia essabilis, potentiae tamen inter se non sint ut quadratus numerus ad quadratum. Tisis linea non scitur vel mensuratur Ionitudine certarum partium aequalium diametri, nee Hus quadratum quadrato diametri; sed nee lineae mensurantura diametro ambae simul, inter quas meso est media proportionalis, sed ill rum linearum quadrata, haee demum a quadrato diametri mensurantur. Quadratum meses et ipsum meson dieitur, sive sit formae quadratae geu in rectangulum transmutetur; estque hoc alterum plani genus, post effabile planum. Et hisce duobus planis, effabili et meso, sequentes species inter se distinguuntur.
. XVI. Det in illo. Ad lineas alias singulares transitus est nobis per copulationem linearum binarum, quae ipsae quoque novos gradus scientiae interponunt. Secetur n. vel diameter vel aliqua diametro commensurabilis stillam, potentia et sic effabilis, aut etiam aliqua mese, secetur, inquam, in
98쪽
partes duas inaequales, aut eonserantur ex duarum talium sectionibus duae quaecunque partes, vel compositae ex partibus, vel compositas potentias diminutasve ex talibus habentes, duae inquam in genere inaequales: illae aut erunt longitudine commengurabiles inter se, aut incommensurabiles quidem longitudine, commensurabiles vero potentia. Hic quamvis a commensuratione plane recesserunt singulae, at junctae tamen nonnullae adhuc vel quadratis in unam summam collatis, vel rectangulo communiter formato, constituunt plana hactenus explicata, non minus quam idem faciunt et illae, quae sunt inter se eommensurabiles. Ceterum eum multiplex sit talium duarum plane incommensurabilium copulatio, alia alia ignobilior: non poterimus omnes bigas
XVII. Desinitio. Sit ergo quintus scientiae gradus, tum duae neeessabiles ambae nec mesae ampliusque inter se plane inestmmensurabiles utrumque saeiunt etabile, et Eummam quadratorum et commune rectangulum,
non minus quam utrumque horum faciunt duae longitudine etabiles s Euel. X, 20ὶ, vel etiam duae sola potentia essabiles, sed inter se tamen longitudine eo- mensurabiles, per eandem. Ut latus de quadrato 2 et latus de quadrato 8 sunt inter se in proportione duplai quia quadrata sunt inter Se in proportione quadrupla. Sunt ergo Iongitudine quidem inessabiles, at inter se eommensurabiles. Earum quadrata 2 et 8 Juneta saetunt 10, essabile planum, et ipsae in se multiplicatae quod est rectangulum so arein saeiunt rectangulum 4, etiam etabile. ' ' Hoc idem, inquam, laetum etiam duae nee etabiles nec
mesae ampliusque inter se plane incommensurabiles: eoque non, ut priores illae, in seeundum vel tertium gradum scientiae sunt reserendae, sed in
Nota igitur, quod in hoe gradu mensuremus non lineas ipsas nee singularum quadrata, sed mensuramus et commune ipsarum rectangulum et juncta utriusque quadrata in unam summam; ut quod uni quadrato deest quo minus sit essabile, id ab altero quadrato foetato exacte compensetur. XVI H. Desinitio. Sextus et ignobilior scientiae gradus est, cum binae
junctae, quae nec inabiles nee mesae ambae simul etiamque inter se.ineommensurabiles, alterutrum saltem effabile saeiunt, reliquum vero meson. Estque geminus: aut enim summa quadratorum etabilis, rectangulum meson, aut illa meson, hoc essabile est.
Illae effectu similes sunt duabus effabilibus, sola potentia eommensurabilibus. Nam potentiae ambae, hoe est quadrata effabilia, laetunt etiam summam utriusque effabilem. Rectangulum vero est meson Euel. X. 2'. Hoe vero effectu similes sunt duabus mesis, sola potentia eommonsnrabilibus, quae sunt ad se mutuo ut duae effabiles, inter quas prima ex 2 mesis est proportionalis media sΕuel. X. 26, 283. Nam quia fiunt potentia eommensurabiles, additae igitur potentiae faciunt summam partibus commensurabilem. At partes sunt mesa, et quod meso est eommensurabile, ipsum etiam est meson Euel. X. 243.
Hie rectangulum binarum metinivr quidem plano quadrato diametri, at
non etiam Rummam quadratorum: nam solum invenimus duas lineas, rectangulum.ei aequale sormantes, quarum quadrata metiamur quadrato diametri.
XIX. Desinitio. Septimus adhue ignobilior scientiae gradus est, eum
duarum inter se incommensurabilium neuter essectus est essabilis, nec summa quadratorum, nec. ommune rectangulum: sed tamen adhuc utrumque meson. Hisce supi effectu similes duae mesae, potentia sola eommensurabiles, quar nuna sit ad alteram, ut una earum, quas inter mese vere est media proportionalis,
99쪽
Gmmensurabitum 1e. Bola potentia, M tiniam stliquam, sola potentia eommensumi.
Iem iEuel. X. 29ὶ. Has tres bigas duplici genere planorum distinctas Euelidas ob id potissimum
doeet invenire, quia iaciunt ad compositionem et constitutionem speeterum sequentium.
XX. Desinitio. Ergo scientiae gradus Oetama ex praemissis interpositis derivatur estque linearum iterum Singularium, sed quae compositione duorum nominum, εα duarum copulatarum ex praecedentibus copulis, vel a stractione unius, epharm0Zusae dictae, ab altera socia, constituuntur, novam speciem facientes. Ut sic in his seiamus seu mensuremus non integras lineas, non integrarum quadrata, non bina uniuscujusque nomina, sed eorum juneta quadrata et commune rectangulum, ut Praecedentibus XVIII. XIX. Et quamvis totidem scientiae gradus numerare possemus, quot sunt suturae species, quarum semper prior est p0Steriore nobilior, quia tamen quaelibet compositio vel abstractio ad suum gradum respicit, nee ipso compositionis vel abstra tionis opere eonstituitur ulla diversitas, sed omnes se habent ex aequo ad suas nominum seu elementorum bigas: ideo unum solum earum gradum saetemus, sed species ejus sciamus nobilitate distinctas. XXI. Propositio. Selendum est autem, ex duabus inter se longit dine commensurabilibus nihil fieri, quod hic in tensum venire debeat: sive essabiles illae fuerunt, sive megae, sive ignobiliores.
Nam si eommensurabiles longitudin0, tota etiam ex lis eomposita erit partibus eommensurabilis. . Atqui quae effabili e mensuratur, effabilis est. per desnitionis ante X. 20. Eucl. Quae vero meSae commensurabilis, est mese per 24. Husdem. Et quae cuique ex jam secuturis ineffabilibus post mosas commensurabilis, ejusdem eum illa speciei est, per 66- 70, 103 - 107. Et sic est etiam cum alitis speciebus rem tioribus, ab Euclido non commemoratis, quao gradus remotiores laciunt. Ac etsi cum iis non ita esset, id tamen ad nos nihil pertinet. Aut enim recidunt in unam spe. 'eierum, quas dam constituemus ex incommensurabilibus. et sic non augent numerum, aut laesunt species ignobiliores vel sui vel alterius generis, et sic non sunt hiuus loci, ubi gradus struimus praemissis proximos nobilitate.
XXII. Desinitio. Transmissis igitur iis, quae sunt longitudine eommensurabiles, accedamus ad eas, quae sola potentia sunt commensurabiles. Igitur si eomponantur tales duae effabiles, si binominis: sin abstrahantur, ex relieto sit apoto me: utriusque sex sunt species subordinatae X. 84. 85.ὶ. Sin autem tales duae mesae componantur, aut etabile sormantes rectangulum aut meson: fiunt compositione bime diales, abstractione meses apol mae, illic priores, hic posteriores cognominatae. Hic conjungere non licet effabilem eum mese: sunt enim tales duae simpliciter in commensurabiles, de quo genere jam in sequenti agendum esti XXIII. Propositio. Restant igitur plane inter se ineommensurabiles. Ex iis vero aliquae bigae requisitos essectus praestare non possunt, ut sunt
binae mesae, item una meso cum una essabili. Illae quidem propter bigae ignobilitatem, istae vero propter Ruas discrepantes naturas. Vide X. 71. 108. 109. Euel. Nulla igitur species compositionis hinc potest arcessi, restantque nobis ignobiliores tantum, exclusis et effabilibus et mesis.
TXIV. Propositio. Ex biga vero prima talium plane incommensur bilium, se. quae sunt in praemissa XVII. scibiles gradu quinto, componendo abstrahendove rursum nascitur essabilis; suntque necessario binominis et apo- tome, vide X. II2. II 3. Il4. Euclidis. Ut si et summa quadratorum binominis et apotomes, et commune rectangulum illis est essabile, oportet nomina
singula unius nominibus singulis alterius esse eommensurabilia, quod non sit in omnibus binominibus et U0tomis.
100쪽
Quod binae tales lineae, duos requisitos emetus praestantes. necessario sani binominis et apotome, demonstratur ad eundem modum, ad quem X. 33. est demonstrata, tantum ut pro duabus ρσαις δυναμει minis adhibeantur e rota et ubi vox μψον oeeurrit, si ros ponatur: et ultimo comparetur definitio binominis et apotomes. Quod autem ex compositione et abstractione binominis et apotomes, duos requisltos esseetus praestantium, sat rursum effabilis, sic patet: Fig. r.enm enim summa quadratorum sit offabilis. et rectangulum effabile, eompositarum igitur in unum quadratum eonstabit δ aestex utriusque quadrato et duobus rectangulis communibus, ex duabus se. partibus effabilibus: quare et totum quadratum effabile erit, igitur et linea eomposita, potens illud quadratum. Sit binomen 1 a, rius quadratum κo, Eit et apotome λθ, ejus quadrum , et Rint - κo juncta simul effabilia, sit et rectangulum ex θλ, λμ essabile, talium autem duo κιι, complent quadratum totius compositae, quod quadratum est M. De abstraetione probatur in hunc modum. Si enim eomposita lex M, M, id est θώ, est effabilis, erit et dimidia θα effabilis, tanquam majus nomen et πλ. minus nomen, et altera dimidia πιι; aufer ab ea iis aequalem ipsi M, erit et residua noessabilis. et tota D, se. dupla ipsius sis. At εω est residua post ablationem apotomessis a binomine Di. residuum ergo si effabile.
XXV. Desinitio. Iitur ex secunda biga sexti gradus num. XVIII.
praemisso linearum inter se plane incommensurabilium, quibus summa quadratorum est effabilis, rectangulum meson, compositione nascitur miZon, seu major dieta; abstractione elasson seu minor. Ex tertia, ubi summa quadratorum est meson, rectangulum etabile, quae componendo nascitur, nomen habet potens effabile et meson, quae abstrahendo, laetens eum etabili meson totum. Denique ex quarta biga septimi gradus, num XIX. praemissa, ubi uterque effectus sit meson, componendo fit potens bina media, abstrahendo
Et ecte originem duodecim specierum Lues idearum earumque numeri causas. Nam ad remotiores, quae vel summam quadratorum, vel reei angulum eommune, vel utrumque proserunt ultra etabilia et mesa in ignobiliores species, non censuit Euclides sibi progrediendum esse. XXVI. Desinitio et Comparatio. Sufficero ista poterunt etiam nobis ad constituendos gradus demonstrationum, quibus latera figurarum, nobis ad harmonica necessariarum, distinguuntur: nisi quibusdam ex recensitis aec derent alias insuper proprietates, imo nisi praevenirentur hactenus recensitae proprietates nobilioribus aliis, quibus cumulantur gradus scientificarum demonstrationum.
Ventum est ad compositionem et abstractionem, ubi lineas componendas vel abstrahendas laxe sumsimus, nulla iis imposita eertae quantitatis neeessitate. Quodsi iam adstringamus loges, imposita certa proportione bigis, non quidem sic datis, ut illae junctae unam duodecim speeterum secerunt, sed bigis aliter datis, uni sellieet rectae datae et ejus parti majori inveniendae, ut
sit nimirum vel minor pars ad majorem ut major ad eomponendam ex utraque, vel vicissim major ad minorem ut minor ad residuam: quod manet a stractione duarum lacia, non semper fiet gradus aliquis remotior, sed pro renata reeidemus in unam explicatarum specierum et regressu laeto, compar bimus lineam constitutam, quae per se est octavi gradus, eum lineis quarti
Quemadmodum enim in quarto gradu desin XV. duae rectae communi