장음표시 사용
131쪽
Do Figurarum Harmonicarumne sie. quid m eontinnatio snecedit in Insnitum; est enim insociabile hujus spetas
regnum, qi Re Paucis suorum adscitis statim se munit. Ecce forma8 has duas otiam aliter, litera Aa. Quodsi continuare omnino velis, monstra quaedam finiat adsciscPnda, duo deeagoni inter se commissi, extritis in utroquo binis lateribus; fit ille series strueturae qri inquangilla etiam in infinita eontinuatione, sie ut in prima et angustissima quinqtrangulari serie Sint decagoni quinque, nullum monstrum intomedium: in secunda laxiori serios lineares doeangulorum modiant singulae copulas sex binis deca-gonis inter ps commissis; in tertia singulorum angulorum lota occupant singulae eo-pulae ex binis decagonis inter se commissis, quas mediat decagonufi unus; in quarta stant rursum integri decagoni in angulis, mediantqno binos angulos bini doeagoui.qdispositi aequalibus intervallis; in qninta stant stellae eum Ringulis sextremis radii in singulis angulis, implent vero lineas bini decatoui tutostri et in medio binas commiggura decagonorum. Et sic eonsequenter unaquaelibet forma liuinquan gula seri novi aliquid. Struetura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa Huc etiam reser stollam de angulam, in cujus cavum angulum congruit angulus pentagoni; et vi ssim radii bini trideciles eum binis pentagonicis congruunt et implent locum solidum. IIaee sorma reeipit inaequales pentagonos, et licet sit continuabilis, recipit tamen in medium vacuos decagonos hiulcog. Forma est visenda litera Bb. Pentagonus unus in ternorum planorum copulam assumi non potest, nam ejus angulus habet i unius recti, per I. 33: ergo angulis duobus reliquis relinquerenturu, cuilibet l, qualem nulla figura habot. Nec sumi possunt hexagoni duo: nam r siduum est etiam hexagoni angulus et si Drma superius relata, cum nos hic quaeramus fit ructuras ex dualiu8 speciebus, non ex unicae speciei figuris. Per sequentes Pluri lateras figuras, quarum angulus mesor est hexagonico, subtractis duobus ungialisa 4 rectis, rolinquitur pro reliquo minus, quam habet lisexagonicus: uno vero Subtractoi minus relinquitur pro duobus rotiquis, quam habent dito hexagonici. Atqui de iis figuris, quae pauciores et minores habent angulos. quam hexagonus, jam antea transactum nobis est, quae et quot esse possint, quando terni sternunt planitiem.
XX. Propositio. Ex planis angulis trium specierum locus planus
congrue impletur quater. Hic non tolerantur tres pluregve trigoniel, laciunt enim tres anguli trigonies duos rectos; relinquitur minus, quam laeti summa minimoraim post illos, tetragoniciet pentagoniei. Ob id neque duobus trigonieis sociandi duo tetragoni ei aut maiores, quia non relinqueretur satis spatii pro angulo figurae tertiue speciei. i. Ergo si trigonici sint duo ot tetragonicus unus, sociabitur illis dodecagonicus; non tamen continuatur forma: vide literis Ce, Dd, Ee tres formas. omnes ad primum casum pertinentes Huc setiam stella dodecagonica referatur, ut supra. Nam quatuor trigoniel, unus tetragonicus et unus stellae radius implebunt locum. Ecce formas Fs, Gg, Hh Trigonicis duobus si petitagonicus unus jungatur, residuum Drit incDngruum, nullus enim angulus habet li. Sin unus addatur hexngonicus trigoni eis duobus, residuus etiam hexagonicus erit et forma erit una ex superioribus. Non poterunt igitur porro esse bini trigoni. Ergo si sit trigonietis unus. ei tres tetragonici non addentur, nimium enim constatur, nec spatii satis angulo lsrtiae speciei relinquitur. 2. Adilantur uni trigonico duo tetragonici, in residuum ad quatuor rectos Cougruet hexagonicus; forma duplex, literis i continuabilis, Kk non contiuuabilis sine mixtura.' Estque hic casus 3 cundivi. Trigonicus unus cum pentagonitis duobus non jungitur, restat enim hiatus unius recti, alienus a regularibus figuris; nec cum Pentagonico uno, rursum Pnim restant cum nulla regularis figura habeat li; nec eum hexagonico uno, faciunt enim 2 rectos, eum nullus solus angulus fiat tantus, dimidium vero hujus sit quantitas tetragonici, do quo jam Pgi actum; nec eum hoptagonico velaoctogonteo vel enneagonico, singulis; restarent enim pro aligulo tertiae speciei figurarum vel P e, quales nulla rogularis figura habeti Ergo trigonteus unus eum dotagonico tino compositus relinquit hiatum quantus est pentehaedecagonicus. Hic est quidem
134쪽
eongos nila, sed ineboata saltem. Nam pentekaederasromas est imparilatera, quaro per lT. miscentur diversae concursuum species in ejusdem figurae angulis. Docagonus quidem pari numero laterum praecingi posset alternis trigono et pentekaedecago mi sod statim duo tales pentekaedecagoni in se mutuo incurrunt seque impediunt Ulterius trigonicus eum hendecagonico non potest j angi, relinquuntur enim, qualem angulum nulla figlira regularis habet. Denique trigonicus cum dodecagonteo relinquit hiatum dodo agonicum, de qua forma jam est dietum. Si trigonicus majoribus junsor tur, minor fieret hiatus, eum de minoribus jam sit actum. Et sie transactum est eum trigoni eo, inter tres species admittondo. Tetragoniel anguli plures uno, ablati a 4 rectis, non relinqnunt satis spatii pro duarum specieram duobus angulis, quippe qui juncti majores fierent duobus rectis. 3. Tetragoninus tinus, junctus uni pentagonico, relinquit hiatum pro leostgo-nteo Soriatur igitur leostgonus omnibus angulis congruitque legitime, at non continuatur hic ordo versus exteriora. Est ergo congruentia imperiecta. En figuram litera Ll. Hie tortius est GSus. 4. Tetragonicus hexagonico junctus hiatum relinquit pro dod agonico. Eceo figuram litora bim Hie quartus et ultimus est casus. Huc reser stellam dode agonieam, quam implent duodecim trigoni, ut sic quatuor hie anguli coneurrant ad implendam soliditatem, duo trigonici, tetragonicus, hexagonicus ot radius stellae. Ecce figuriam litera Nn. Tetragonteus heptagonico additus relinquit hiatum V, qualem angulum nulla habet figura regularis. Additus octogonico, relinquit hiatum octogoni eum, de qua
forma supra. Transactum igitur est cum tetragonico.
Pentagonicus eum hexagonico relinquit hiatum li, cum heptagonico li, eum octogonteo s8, cum nullius regularis figurae tantus sit angulus, et jam hiatus incipit
esse minor Ggn Io octogonico, qui est Atqui nos jam illas absolvimus, quae sunt minorum angulorum. TranSaetum igitur est eum pentagonico. Hexagonicus triplex implet locum planum, ergo non potest migceri cum duobuslle majoribus. Et sic transactum est eum mistionis trium figurarum.
XXI. Propositio. Quatuor vel plurium spectenim figurae planae non
congruunt angulis singulis ad Implendum locum solidum. Minimi enim anguli quatuor sunt hi: trigonteus, istingonicus, pentagonicus, hex
gonicus. At hortim primus et ultimus aequant duos rectos, secundus est rectus, tertius Vero superat rectum una parte quinta unius recti. Sunt igitur juncti majores quatuor rectis, quare per 16. non congruunt. Multo magis igitur superabuntur quatuor recti a majoribus angulis.
XXII. Axioma. Cum duo plani non gunt metuores tertio, non formant eum illo angulum solidum. XXIII. Ρropositio. Duo anguli plani figurae imparilaterae, cum uno
speelei alterius coeuntes, non formant regulare aliquod solidum. Nam per l8. anguli solidi sunt difformes . contra des a b. in i
XXIV. Propositio. Tres anguli plani trium distinctarum specie figurarum, unius impari Iaterae, coeuntes, non absolvunt figuram solidam persectam. Rursum enim por 17. solidi fiunt diversiformes, quod est contra definitiones.
XXV. Propositio. Congruentiae figurarum planarum ad solidam figuram sormandam, persectissimae et regulares, Sunt quinque. , Est scholion ad ultimam ultimi Euclidis. Nam per lo. hujus incipimus a ternis angulis, et per l6. desinimns in senis trigonieis, in quaternis tetragonicis et in terius hexagonicis, quia per tr. hi aequant 4 rectOS. Tres igitur trigoni, 8ingulis angulis congruentos, minus quam 4, id est duos angulos planos rectos efficiunt; eoaptatis igitur tribus trigonis, hiatus impletur quarto trigono. Hi ne tetraedron vel pyramis ng. 20'. Quatuor trigoni. Singulis angulis congruentes, emetunt , quod minus est quam
Q peu 4 recti; fitque junctis trigonorum lateribus pyramis, basi quadrilatera biote
135쪽
De Figurarum H monieariuncti ex adverso alia talis pyramis simili hiatu congruit ad fguram undique elaudendam. Hine Oetaedron ng. 20 et Do . Quinque trigoni. singulis angulis congruentes, efficiunt,quod est minus quam 2, fitque aptatis denis et denis lateribus ad angulum communem, pyramis basi quinquelatera, e rius anguli ad basin, ut et ipsi fiant quinqueplanii, oportet binis in ea basi planis alios ternos angulos planos et sic s0 illis alios 1b eongruere totidemque porrigi altrorsum, quae summa 30 planorum est 10 trigonorum, ex quibus in medio tona vel eoluruna fit, hians infra ut supra figura quinquangulari, in quam eongruit alia pyramis pentaedrica, ut figura claudatur undique. Hinc icos aedron ina. 20 ei Pp .
Sic est transactum cum trigonis meris. Tres tetragonici styguli sunt tres recti, minus quam quatuor recti Plani: e0ngruunt ergo std formandum angulum solidum hiantque. coagmentati tetragonici tribusreetis planis angulis, et vicissim exstant tres anguli trium illorum planorum; tres igitur. alii tetragoni, singulis angulis in unum solidum congruentes, apti Sunt et congrui. qui suis exstantibus illos hiatus expleant, Ruisque hiatibus illos exstantes recipiant. Hi ne hexaedron vel cubus sng. 20' ot Qq . Quatuor tetragonici aequant quatuor rectos, quare per l6. non solidum quid .formant. Sic est transactum cum tetragonis meris. Tres pentagonici atiguli sum unius plani recti, minus quam Seu quatuor recti, congruunt igitur ad unum solidum sormandum; quodsi pentagonus unus in basi cingatur hoe pacto quinque aliis, figura sursum hiatb angulis planis pentagonicis habetique pxstantes quinque angulos planos pentagonic - Alia igitur ex adverso
figura est struenda, hyrius similis; et quini alterutrius anguli plani exstantes congruent in quinos reliquae hia. tus et Ucissim. lline n citur do. de eaedron tra. 20 et Ara.
gonis meris et simul eum figuris omnibus unius solius speciei eoaptandis quia tres hexagonici per l6. non M. surgunt ad solidandum.
Haec sunt illa corpora quinque, quae figuras mundanas appellare sunt soliti Pythagorpet et
Plato et guel idia commentator Proclus, quae quomodo fuerint applicatae corporibus mundanis, in praeamb*o lib. I. dixi incertum esse. Communis quidem persuasio est, d9eta ex Aristotele, philosophos illos ad quinque simplicia corpora mundi respexisse secundum quinarium numerum harum fimrarum, ficilicet ad quatuor elementa, ignem, aerem, aquam, terram, et ad sic dictam quintam
essenti m Reu materiam coelestem,
138쪽
comparatra figuraruni proprietatibus eum simplicium illorum eo ovum arietioni bus. Nam in cubo reetitudo super basi quadrata stabilitatis quandam adumbrationem habet, quae eadem proprietas est et materiae terrestris, gravitatis momentis ima petentis, eum etiam totus terrae globus vulgo erodatur in me- .dio mundi quieseere. Vicissim Oetae drh congruus est situs aspectui, si is a duobus oppositis 3ngulis velut in togno suspendatur, inter quos medio praecise Ioeo est latens quadrilaterum, dividens corpus figurae iii duo aequalia, sicut globum a duobua polis suspensum dividit maximus cireulus: haec est quaedam imago mobilitatis, uti asir 'est elementorum mobilissimum et celeritate et varietate plagarum. In tetra lidro paucitas planorum signare videtur gieeitatem ignis, euindefinitio sit sieeorum, suis contineri terminis; in i eos ad dro vicissim multitudo planorum signare videtur humiditatem aquae, cum definiatur humiditas, alienis eontineri terminia; est quippe paucitas propriorum, multitudo adscitorum et alienorum indicium. Et aliter etiam, trigonus planus est tetraedri proprius, quia tota tetraiid ira figura est trigonus solidus: idem vero trigonus est leos ecti non proprius, sed mutuatit ius, quia te aedri soliditas pentagoni similis est, nou trigoni Rursum in tetraedri acumine ab una basi surgente via ignis penetrativa et divisoria videtur adumbrata esse, in. ieosaiidri obtuso et quinque- . lineari angulo vis impletoria humorum, hoe est vis humeetandi; in tetragdri parvitate et macilentia natura ignis, in leosaedri mole globi sormi natura aquae et quaedam velut figura guttae; in tetraedro plurimum est superseiei, minimum corporis, in icosaiidro moles eorporea multo major quam superseies: quemad-m illum in igne sorma' praepollit, in aqua materin. Do de ea sidion vero relioquitur corpori coelesti , hubeus eundem planorum numerum, quem zodiacus coelestia signorum; demonstraturque reliquarum figurarum capacissima, quemadmodum et coelum capit omnia.
Haes analogia etsi plausibilis est, non quidem Aristoteli qui eum ere tum esse mundum negaret, vim in figuris quantitativis archetypalem agnoscere non potuit, quippe quae sine architecto nulla illis inest ad faciendum aliquid corporeum), sed mihi Christianisque omnibus, qui sde tenemus, mundum, eum
antea non esset, a Deo' cretitum esse, in pondere, mensura et numero, sellicet
deis ipsi eoaeternis: etsi, inquam, plausibilis est in genero haec analogia, tamen sic in specie informata nulla necessitate continetur, et patitur instantias, non tantum ob quarundam proprietatii in diserepantiam in eaΓm analogia, aedet iam ob majorem nvenientiam dodecaedri et icosaedri cum igne, donique quia de elementorum numero et quiete Telluris disputatio multo major est, quam de harum figurarum numero. Quodsi hie substiterunt Pythagorei, non reprehendo in hac parte Ramum, non Aristotelem, quod hanc analogiam disputationibus convulgam re eterunt. At ego ante anni,s viginti quatuor longe aliter haec quinque eo ora in sa-brim mundi indagavi, dixique in praeambulo libri I, mihi videri consentaneum, eandem doetrinam etiam veterum misso, sed oecultatam more seetae. Cum enim habeat astronomia Copemicana seu veteris Aristarcti Samii Pythagoriei dispositionem mundi mobilis talem, ut sint in eo Rox orbes Mu curricula. eirea eorpus Solis in esquo immobile circumducta magnisque et inter so inaequalibus intervallis diremta, Saturni extimi, deinde Jovis, dein Martis, itide Telluris eum Luna, tum Veneris, denique Mereurii intimi: eumque figurarum harum quinque propria et essentialis sit inseriptio in sphaericam superficiem eum an iis, et circumseriptio elaea sphaericam superficiem eum tenuia se
139쪽
De Figurarum Harmordeari ninorum, adeoque euilibet figi arae certum sit intervallum inter silos binos orbes: nihil plausibilius videri potuit, quam sex illorum eoelestium orbium intervalla quinque ex quinque fimaris esse desumta a Creatore hoc ordine, ut cubus mente concipiatur inter orbes Saturni et Jovis, tetra ron inter Jovis ot Martis, dodeeiledron inter Martis et Terrae, icosaedron inter Telluris et Veneris, Oetaddron inter Veneris et Mereurii. R pleo ad selimia lib. v. op. III. Haec distributio numeris explorari potest, necessitatisi infert, eo Drum numerum non conquirit anxie, sed inventum oecupat, denique sic est instructa, ut ab his annis viginti duobus non tantum nullum invenerit oppugnatorem,
sed etiam ipsos Rami inconsiderati magistri et Euelideonia Athris discipulos pertraxerit hodieque tam multos pertrahat, ut jam dudum se nitam editionem flagitaverint mathsematici. Sed de hac re pluribus agere non est hujus F eundi libri; inveniet lector infra libro quinto plura, ali ina etiam in Epitomes Astronomiae libro IV, ubi ortus harum quintiue solidarum figurarum genuinus
explieatur metaphysice: nam ille per ungulationes non vero ortus est, sed ortas consequitur, ut natura posterius quid. XXVI. Propositio. Addi possunt conmientiis perlaetissimis regularibus duae etiam alias congruentiae, stellarum duodeeim planarum pentagoniearum, et duae semisolidae. stellarum oet angulae et decangulae.
Claudunt enim pentagonicae solidas figuras aeuleatas undique, quarum una fit duodecim ahgulorum quinquelinoarium, aliora viginti angulorum trilinearium: illa tri- iii K angulis insistit. haec quinis simul; illa pulchriu super angulum erigitur, haec rectius ςedet. incumbens in quinos. Ss et infra lib. V. eap. I. Tt in typis aeneis praemissis. In his etsi forinsem; non apparet regulare planum, sed ejus loco triangulum aequi- crurum pentagonicum. quioa tamen liqj iis modi semper in unum idemque planum competentia, occultum sub soliditate qninquangulum. veluti cor suum circumstant saciuntque emit eo dictam stellam pentagonicam, seu germanico idiomate pedem Truttae, Theophrasto Paraeelso signum sanitatis. Idea corporis quodammodo eadem est. quae sui plani, nam ut in hoc, Re. in stella quinquangula, binorum semper triangulorum latera in unam rectam competunt, quae parte sui intoriore fit basis uni exteriori rei angulo. latus vero intimo quinquangulo, sic in solido sempor quinorum solidorum anguloriun triangula singula ae allicrura comitetunt in unam Planitiem. quorum quinque triangulorum seu stellae intima medulla et cor, quinquan tiam, fit basis in una superstantis straguli solidi, vel in altera, superstantium quinque solidorum. Est autem tantaeognatio figurarum harum. unius cum dodo aedro, alterius eum icosaddro, ut videantur hae, praesertim dodreaedron, trunca quodammodo et mutila. si cum illis aculeatis
Octangulas vero et decangulae stellae lateribus suorum radiorum, quae semper in primo et quarto. duobus transitis, eongruunt in unam rectam, binae semper et hinae congruunt iaciuiit iust cubum illae quendam. hae dodecasedron quoddam. non angulatas sed sturiculatas figuras, quia duobus planis angulis coaptatis. hiatum fieri nee se est, qui elaudi non potest. Ergo Per ll. semisolida tantum est congruentia. Persectissimae dicuntur eongruentiast illae solidae. lino semisolidae, quia ipsis emi,etit 6. definitio hyrius libri quoad soliditatem, planitiebus vero ipsis conii, et it dri finitio' figurae perseetao. quae est libro I. secunda, sunt se. Recundario persectae . Nec absurde dicimus, se solidam persectissimam, quia innuimus incho ari aliquid, cui non b. vel tu , sed cui s. des' competeret, si perfici posset.
XXVII. Propositio. Congruunt etiam ad solidandus figuras semiregulares figurae, scilicet rh0mbi plani, persectissimo idque tantum bis.
Nam ex l2 planis rhombis. eerino proportionis diagoniorum, sit rhombus solidus. figura cellulae apiariae, quantum ad latera sex et landum triangularem solidum; sex enim rhombi congruentes sic. ut obtusi obtusis, acuti acutis applicentur, tres habent obtus gulos hiatus, tres etiam paria acvlorum exstantia supra totidemque infra. Cou-
140쪽
strii lint igitur trium utrinque rhomborum, obtusis conjunt torum, ternao eminentiae inhiatus recipiuntque suis hiatibus illorum eminentias. iVv et stg. 21. . Sic triginta rhombi plani, proportionis diagonomni alterius . faciunt rhombum sol illum triacontai drieum sXx et sta. 22. . t uini enim et quini rhombi, angulis aeut seonjuneti ad offigiandos duos solidos ex Oppositis plagis stantes, cum hient apud obtusos conjunctos, quinorum et quinorum rhomborum obtusis aliis implent hiatus; denique in utriusque voluti testae medio
Eona ex decem rhombicis eoinposita circumit conjungens utramque testam. Non esse voro plures Persectas rhomborum congruentias, sic probatur. Sunt
enim duo anguli plani rhombici acuti, duo obtusi, quorum semper acutus unus et unus obtusus iaciunt duos rectos, nee plures tribus obtusis congruunt, ne superent qitatu0r rectos. Quodsi ergo tres solum acutos eoiuunxeris, fit ut in cubo, hexa ron rhombiciam cum duobus solum solidis aeutis, longissime distantibus, ceteri solidi in medio eorporis non tantum distant; non servantur igitur leges definitionis 8, quae non admittit duos solos angulos in eadem sphaera, praeterea ex si solidis obtusis quilibet clauditur a duobns obtusis planis et uno acuto. quae irregularitas rursum est contra definitiones. Ergo non trea tantum plani acuti coire debent. At neque sex acuti, totidem scilicet rhomborum, coeunt. Si enim singilli habent quantitatem l unius recli, obtusi habebunt duplam quantitatem. Reilicet et sic tam tres obtusi quam sex acuti formabunt 4 rectos, nec vel illi vel hi sum abluit angulum solidum, sed stornent continuam planitiom, ut in figura G Sin autem sti uti minores sumantur, obtusi majores erunt et tres superabutit quatuor rectos. Ergo duae tantum snnt perfectissimae rhombieae conmientiast; una, in qua quatuor stetiti anguli rhombici coeunt in solidum, altera, in qua quinque; quibus tamen associatur Albus, tanquam rhomborum omnium principium, quia planum ipsius est laterum aequalium quatitur, ut rh0mbicorum.
XXVIII. Prop ositio. Perlaetae in solido Congruentiae gradus inferioris species sunt tredecim; ex quibus tredecim orituitur Archimedea c0rpora.
Cum enim misceantur in hoc gradu figurae diversae, quare Per proPos. 2 l. miscebuntur aut duarum aut trium specierum finirae. Quodsi duarum, tunc inter eas . vel sunt trigoni vel non sunL Igitur ex trigonis et tetriamnis fiunt solida tria, quibus quidem des 9. eompetat. Nam illa rojieit formas hasee tres, in quibus solidum angulum elaudunt. eum uno tetragonico plano angulo. tala duo quam tres Plani ui-g0uiei, aut eum duobus tetragonicis unus trigoni eus; quia iuprimo easu unus solus ti tragonus est, fitque dimidium ueta edri et anguli solidi sunt diversiformes; in secundo duo soli tetragoui, in tertio duo soli trigoni, quae per l0. sunt: impersectae congruentiast. Restant orgo modi hi, in quibu angulum solidum claudunt plani. Primum, quatuor trigon ici et unus tetragonicus: sunt enim minoros 4 reetis. Congruunt igitur sex tetragoni et triginta duo sid est 20 et. l2ὶ trig mi, et fit figura triaeontaddriea, quod appollo Cubum si um. Ille in schemate pictus est M., Quinqtie enim trigonici plani et unus tetragonim si superant quatuor rectos, cum debeant ad solidum claude ndum esse minores quatuor rectis per Is. Sic edam quat ut ir trigonici et duo tetragoni ei laetunt quatuor rectos. Seeundo duo trigoniel et duo tetragoni ei minus tiab n: quatuor rectis; hie igitur congruunt 8 trigoni et 6 tevtagoniud formandum unum tessareskaede caedron, quod cu bocta-emn appello. Pictum est hic'num. 23'. Duo vero trigo-uiei cum tribus tetragonicis superant 4 reetos.