장음표시 사용
111쪽
Do Figuraraim Harmoruorem hexagoni et FG deragoni. hoe est semidiametrnm AO et sectae majorem partem AOsimul. Haec demonstratio in Euclido disticultatem habet eaptus: tontabo igitur hie
A terminis lateris pentagonici B. D ducantur per A eentrum reetae BG et DI: et ni DB gubtendit sic proxima DL tres et DΚ quatuor subtendit, Reeantos BG in S, R punctis. Igitur I DI angulus, id est SDA, habet unius reeti, quia est circuli, Sicut
et Fil et upro aequalibus areisus knguli ad cireumferentiam insistunt asequales sΕuel. III. 2 l. 27. . Est vero DAB, id est IDAS i unius roeti. qnia DB pars quinta est circuli, meusv-rantis quatuor rectos eirea A. Junes igitur SAD, ADS sunt unius recti. At omnes uos sunt ergo etiam residuus
j SΑ ost Est igitur DSΑ aequalis ipsi DAS, latus igitur
I S aequale ost latori DA spmidiametro. Ergo Per prim se , midiametri DΑ proportionaliter sectae pars miuor amnat SA, est igitne SA aequalis lateri deeagoni, por dieta Et DA ost seni iameter, latus Se.
Dieo, latus pentagoni DB posse utramquo et SΑ et AD. Connexo enim K cum Set cum A, quia DΑ, ΑΚ sunt aequales, et DS: SΚ iisdem aequales, erunt et partes SR. BA aequales, et DRB rectus est. Ergo DB potest DR, m. 'Atqui DR minus potest quam DA quantitate potentiae RA. et BR minus potest quam BA quantitate et rectanguli sub BR, RA his, si potentias ipsius G junorum. JGetae igitur potentiae DR, o minores sunt junctis potentiis DA, AB reet anguip sub RA, Ab his,
hoe est reetangulo sub SA. AB semel. Atqui duo rectangula sub SA, AB et sub SB. BA constituunt totum quadratum BA. Ablato ergo rectangulo sub SA, AB, relinqui . . tur quadratum ipsius DA et rectangulum Eub SH, ΗΑ. junctaque aequantur qua drato DB. Cum vero ΒΑ semidiampter in proportionaliter secta in S et pars mHor AS: rectangnium igitur SA, ΒΛ est aequale quadrato M. Ergo latus pentagoni pο- test duo quadrata DA et AS, Iaterum sellicet hexagoni hi deragoni. Quod attinet sinilao pentagonicae latus BF, illud est eompositum ex BD vel FΤ, latere pentagoni. et ex ΒΤ, ejus secti proportionaliter parto majori, per XIII 8, quod idem etiam probari potest ex triangulo quinquangulari. II, ni supra. Cum igitur latns pentagoni possit so diametrum, quas est offabilis longitudine,
Et rius Reetae proportionaliter partem majorem, ut in schemate praemisso Romitare
uri i8ὶ PG potest PA et AG. et ut PA est ad AG sie sit PG latus pentagoni ad latus suae stellae, sit vero ut PA ad AD. sic PO ad OX: eivo GX Est illud latus stellae
potestque et GA semidiametrum circuli circa figuram decismiam. et Q compositam ex ΡΑ ot AG. Quare per ibi demonstrata GX est miron, GP elasson. Singulae igitur sunt in octavo gradu scientiae ejusque secundo ordine. Quia vero junctae linstae PG, GX saeiunt quadratorum summin effabilem, M. aequalem quadrato P quod est ipsius GA effabilis quadrati quintuplum. eaedemquo PG, GX rectangulum sormant mmson: hoc nomine junetae PO, GX sunt in gradu scientiae sexto. de quo est 18. praemissa. Denique quia latu8 pentagoni et latus stellae sunt ut sectionis divinae pars major et lova, ideo sunt etiam in gradu seientiae quarto, junetas invicem vide 29. hujus . Consequitur autem has proprietatos, ut sicut pentagoni latus est elasson, stellae mi mn, si e etiam composita ex utroque sit iterum milaon, et latus pontagoni sit hujus compositae, ut migonis, elementum minus, latus vero stellae tit illius elementum majus; et ut etiam differentia intes utrumque latus sit aliqua classon, scilicet Du vel QF, per eandem 29. hujus.
XLIII. Propositio. Plana Meagoni et pentagoni cadunt in gradus
scientiae remotiores, ut et latus leosigoni et reliqua huius classis figurarum. Nam latus pentagoni FII fig. 13 ductum In AX facit duplum FΑΗ. quintae partis Meae pentagonicae. Est vero FH elasson, et AΝ est talis, quae potest effabile AF, diminutum potentia elasgonis FN. Si autem, quod est ab elassone, auseratur ab eo, quod est ab effabili. relinquit nova species lineae, quao potest tale residuum.
112쪽
et anguli vero, eontenti sub tali linea nova et sub elassone, species Ghne remotior erit; strea vero pentapini erit ei commensurabilis. scilicet ut b ad 2, quare et ipsa erit speciei adeo remotae. Sic latus decagoni FG, duetum in suam perpendi eularem ex centro, facit duplum FAG partis decimae de plano decagonico, id est unam quintam. Est vero FG apotome quarta et perpendicularis ex centro in illam potest ejus quarta parte minus quam semidiameter. At si, quod est ab apotoma, auseratur ab eo, quod est ab effabili, linea, quae residuum Potest, si novae speciei ultra recensitas; eι si talis linea eum apotoma laetat rectangulum, illud erit species adhuc remo.tioris et eum eo etiam quintuplum ejus, Sc. area decagoni. Denique enm semilatus decagoni sit apotome quarta, potentia vero apotomes extensa secundum diamevum sessabilem longitudine) iaciat latitudinem, apotomen primam, scilicet sagittam decimae partis eii euli: latus certe icosigoni potest ot semilatus decagoni, apotomen quartam, et hane sagittam, apotomen primam. Planum vero compositum ex votomis diversarum specierum eoque incommensurabilibus, poterit nulla linea prius recensitarum; sed reliqua plane uovae speciei eoque et ignobilioris. Quanto magis id bbtinebit in tessaracontagono et ceteris hujus classis a
XLIV. Propositio. Pentescaedem ni ejusque stellarum latera, puta subtensae 2 vel 4 vel T quindecimis, geontetricaui quidem descriptionem habent, sed non extra circulum; et in circulo quoque non ex angulis eoque impropriam et scientiam heterogeneam, gradus remotioris quam Omnia ante sedentia. Diacontagonus et reliquae hujus elassis sunt adhue remotiores. Deseribitur enim ex prioribus figuris, quas oponet habere numerum laterum stlium quam subduplum, quia 15 est impar, non habens partem dimidiam numericam,
scilicet ex trigono BCD et pentagono BIFuic, ab eodem Η puncto inceptis. Nam si I, BC, auferas a I BIF, id est adi, manet CF, Gunexis ergo F angulis, liuea CF erit
latus. Hie ad actum deseriptionis non accerso quantitatem anguli aut numerum angulorum figurae propositae; nec secuniadum hune numerum formo aliquod triangnium, ut in figuris superioribus lactum. At nec potest aliter deseribi. Ergo etiam sesentia rius est remota et vili L Cum enim latus pentagoni FH sit lateri trigonico CD parallelum, propterea quod utraque figura imparilatera ab eodem B puncto est iocepta: ducatur igitur ex F perpendicularis in L , et ex B diameter per centrum Α, ferans lineas in L. N. G. Ergo latus CF potest quantiam et CL et njunctae th. o. CF - cLy - - PL i; sed CL est excessus ipsius CE effabilis potentia super FN, hoe est super LE, et assona: est igitur CL speciei plane novae. Vicissim AX est linea, quae potest residuum de offabili plano iii. o. ΑΝ AF FN', cum ab eo suerit ablatum planum et sonis: est igitur novae species. Sod EX est residuum hujus novae, post ablatam effabilem longitudine AE. Esta igitur EX bis remotiori gradu. Denique CF latus pentetaederagoni potest CL et EX povas species; est igitur illic bis, hie ter sit sic quinquies remotius. Praetereaquo componuntur dixeriarum classium, trigonicae et Pentagonieae, proprietates in unum. est igitur scientia heterogenea. Quid iam de triacontagoni latere sentiendum 3 eum semper augeatur gradus remotionis eum ipsa duplicatione laterum prioris. At subtensa h. e. utitur latere triacontagonicii, est igitur eo posterius. ηSubtensa vero is est ab illa per bisectionem eadeinque gignit subtensam , , id est . a qua est etiam subtensa per bisectionem, quanquam haec habet ortum etiam Hium; verbi causa subtensa MF quadratum habet compositum ex quadrato CF lat mris pentekaede gonici et rectangulo sub eodem CF et VI latere pentagonie0. Utro- quo modo posterior est superioribus figuris.
XLV. Propositio. Heptagonus et figurae ab eo omnes, quae num rum laterum ex primis, si e dicti H unum habent, earumque stellae totaeque adeo classes ab iis derivatae.extra cireulum descriptioneigeometrica carent;
113쪽
ida Figurarum Harmonicarem in circulo, etsi Ialarum quantitas est necessaria, illam tamen ignorari aeque
Magna res agitur, per hune enim effectum stetit, quo minus heptagonus et e νιε. 1ε. terae hujus generis figurae a Deo fuerint adhibitae ad ornatum mundi, ut sunt quidem adhibitae aestiles figurae in superioribus explicatae. Sit igitur heptagonus BCDEFGH et connectantur anguli Omnes eum omnibus, et sit A centrum cireuli et diameter BARet A eonnectatur eum E. Primum igitur tales figurae Impropriam supra dictam de
monstrationem nullam nanciscuntur: est enim earum numerus
laterum et angulorum ex primis unus, at nulla biga figurarum praemissarum totum ei rentum dividit in partes numero xliquo primo numerabiles, sed sortiuntur illae . numerum multipliem numerorum utriusque figurae. Sed neque propriam habent hqjusmodi figurae demonstrationem ex angulorum numero, quia quicquid ax hoe elicitur, id vagum et multiplex minimeque determinatum est. Seeetur enim heptagonus in sua triangula quinque, duo extrema aequi-erura obtusangula BDC, BGH, unum inlimum aequieraram aeuiangulum BEF, et duo solena interjoeta BED, BFG. Cum igitur circumferentia, Euper qua stant erum anguli, ad circumferentiae partem oppositam laeti, admetiatur angnio Ruam quantitatem,
angulus BEF stat super tribus eireumferentiae partibus mὸ HG, GF, angulus BFK similiter super tribus BC, CD, DL, at ΕBF super una EF, ergo BEF est tale triangulum, quod habet utrumque angulum ad Main triplum ejus qui ad vertieem. Eodem modo probatur, sealenum BED habere angulos in proportione eontinue dupla. Simplum enim est angulus B, duplum Ε, quadruplum D, hoe est ipsius E duplum.
Quodsi haee figura descriptionem suam eertam habet extra circulum, non minus quam habebat supra quinquangulum, oportet sui jam olim monuerunt Campanus et Hieronymus Cudanus et Candalla Flussas , ante omnia talia triangula dari posse, sicut ante pentagonum dabatur triangulum, cujus uterque ad basin erat duplus anguli ad vertieem. Atqui dabatur nobis in illo triangulo pentagonico laterum proportio certa ex angulis, in hoe heptagonteo triangulo certa proportio nulla datur. 8lnt enim I, Κ signa, quibus BF seeatur ab ΕΗ, ΕG,.triferantibus angulum BEF. Igitur in FEI, quia biseetus est angulus FEI, ut FΕ ad ni sie FK ad KI. Sed EF aequatur 'loti FI; est enim FΕI partium Φ unius tecti, qualium EPI est ergo ΕIF est etiam ἔ, crura igitur FE, FI, aequalibus angulis opposita, sunt aequalia, eademque de causa etiam EI et ΙΒ sunt aequales: quare etiam ut FI ad I B, aio FK ad ΚΙ. Amplius in ΚΕΒ, quia angulus ΚΕΒ bisecius est per EIH: ut igitur ΚΕ ad EB, sie M ad IB. At ΚΕ et FΕ sunt aequales, quia ΚΕF aequierarum et simile ipsi EBF; erat vero EF aequalis ipsi IF, et ΕΒ est aequalis ipsi FB: quare etiam ut IF ad FB sie M ad IB. In eadem igitur BF, subtensa tribus septimis circuli, duae sunt iuventae proportiones partium trium: primum ut media ΚI ad minimam KF, si e maxima IB ad IF . compositam ex utraque minore, hoc est ad FE latus septanguli: iterum ut maxima IB ad mediam IK, si e tota BF ad FI compositam ex 2 minimis. ΗMe proportio speciem quidem prae se fert necessariae determinationis ad certam et unam proportionem ipsius EF ad FB, imposuitque Cardano, qui cum tale quid in lateribus fealeni trianguli BED animadvertisset, quod proportionem reflexam appellavit, de invento septanguli latere frustra gloriatus est. Nam nulla eetis sequitur quantitas ipsius EF vel IE; quia id quod putamus nos nancisci novum in secunda vice, eolneidit cum primo. Quotiescunque enim sunt 4 proportionales, in quibus duae primae aequant tertiam: fit etiam, ut Digiti lus i y c, Ost
114쪽
sicut primi est ad tertiam Hsecunda ad quartam, sic sit et tertia ad compositam ex tertia et quarta, quae composita fit numero quinta. Horum vero casuum sunt infiniti, tam in terminis commensurabilibus quam in incommensurabilibus. Et nominatim commensurabilium terminorum casus totidem sunt, quot proportiones superparticul: res, scilicet quot quadrati numeri impares.
et quot superpartientes 49. 3b. 10. 4. vel M. 40. lo. 9. etc.
Nam ut 15 ad 9,.sie 40 ad eompo tum ex ab ot 9. Et ut 401 ad 1 b, sie M seonstans ex 40, 15 ot 9j ad 24 eompositum ex l5 et s. Ecce communem assectionem multarum proportionum, quae constitutum quidem . septangulum necessario consequitur, sed ex qua sola data triangulum septangulare strui nequit. Causa, cur in pentagono proportio lateris certa pendeat ex angulis, etiam extra circulum, in lieptagono et reliquis talibus non
item, lacile ex dictis patet. In pentagoni eo triangulo BPK fig. I 4.3 per biseetionem DKF anguli statim venitur ad aequierura ΒΚΤ et KTF, duo ejus elementa, sequiturque aequales eorum angulos BFK, ΒΚΤ aequalitas laterum ΒΚ, ΚT, TF; at in heptagonico per trisectionein anguli tria fiunt trianguli elementa, duo ae dii crura triangula DEI, ΚΕ F et unum sealenon ΙΕΚ fig 16);
neque sequitur in eo proportionem angulorum proportio laterum, ut notum est, in geometria. Cum igitur anguli hujus figurae non doceant quiequam ulterius extra circulum, non struitur igitur triangulum requisitum extra circulum. Non
est igitur haec figura in eirculum inscriptilis per aliquid se prius in scientia vel deseriptione, sed ipsa demum inscriptione qualicunque vaga ista proportio cogitur ad unici casus angustias, et sie principium petitur; ut n. id possit inveniri, per quod perficitur inscriptio, jul mur adhibere ipsam. in eriptionem, quasi jam antea possibilem. Latet igitur proportio lateris EF ad latus stellae FB, latet inquam in
materia quantitativa, sic ut causa quidem principii quantitatum materialis, quod est magnitudo indeterminata, possibile sane sit, constituere latus Rept anguli in justa proportione ad circuli diametrum, cum detur aliquid sept-ahguli latere certo maius, aliquid minus an ipso ei reulo; et amplius, seetione in infinitum progrediente, semper aliquid majus latere EF vel eo minus aliquid dari potest: at eausa ejus, quod est in quanii talibus formale, simpliciter est impossibile, quia figura septanguli et similium mediis omnibus, quibus aliqua lateris certa proportio demonstretur inveniaturve, et sic formatione seu determinatione noscibili penitus caret. Quod eum ita sit, quare neque figura 14 angulorum in circulum, cujus semidiameter sit AP, inscribi potest latere ΕP. neque ejus duo latera contigua una recta ΕΚ subtendi possunt, quae sit latus heptagoni in illo ei ulo: neque latus hoc tum diametro comparari po ierit, tum sit natura sua eomparationis ignotae ad diametrum. Itaque nullum unquam regulare septangulum a quoquam constructum est, sciente et volente et ex proposito agente: nec construi potest ex proposito, sed bene fortuito eonstrui posset, et tamen ignorari necesse est, sitne eonstructum an non. Objiciat hie mihi aliquis doctrinam analytieam, ab Arabe Gebri denominatam algebram, Italieo vocabulo eossam: videntur enim in ea determinari posse omnis generis polygonorum latera. Verbi causa in septangulo sic pro-
115쪽
cedit Justus Byrgius, mechanicus Caesaris et Laiadgravit Ilassiae, qui in hoe genere ingeniosissima et inopinabilia multa est eommentus. Primo illo diametro ei reuli BP sig. 16ὶ numerum 2 assignat, ut AB sit unitas totalis, qua in partes infinita seetione divisa, per illas longitudo Iateris DC enumeretur. Deinde ponit, notam esse proportionem ipsius AB ad BC, quae tamen proportio demum quaeritur. In hac proportione continuitatem fingit, ut sicut est
1 i et Ric perpetuo, quod nos eommodius signabimus per apices sie, I, 1',
Hisce sie positis eonsideratur primo quadrangulum BEDC. Cum igitur demonstratum sit a Ptolemaeo, Copemico, Reiomontano, Pitiseo et ceteris, qui de doetrina sinuum seripserant, quod in quadrangulo circuli quocunque rectangulum unum dia. goniorum CE, DB aequet juncta duo rectangula oppositorum laterum, Mitieet quod sub DC et ΕΒ, et qnod sub CB et DC: rursumque eum sit eertum ex geometria, COdimidiam subtensae CH et OB sagittam iunctis potentiis aequare potentiam latoris CB:
sit igitur BP 2, CB N. quadratum tu, quod divide per BP, prodibit BO tu divisum
per 4, quadratum lxv divisum per 4, quod Ruser a quadrato CB 1u, restat 4u livdivisum per 4, quadratum C0. Cum autem CH sit ipsius co dupla, erit quadratum ipsius CH 1613-43V divisum per 4, id est 4n-liv. Cum ergo habeatur quadratum cII vel BD, id est reet angulum sub BD et multipliea CB in DK, ut sit reet angulum sub iis 1 Π, qnod aufer a rectangulo sub BD, CE 4u-lIV, restat rectangulum sub CD, ΒΕ m 1 V, H la divide, M. in CD, prodibit BE M 1 III. Pergimus ulterius ad quadrangulum DBHΚ. Et quia BE est 3I-llu, erit reclangulum sub BE, DH, id est quadratum a BΕ, 9u-ων-1VI: aufer rectangulum sub BII, DE lu, restabit rectangulum sub BD, ΕΗ --NV-lVI, quod divide per ΚΗ, δι- tui, prodibit BD hu W-lV3, divisum per 3I-1 Iiat, jus quase dratum 641V-96vI - - b2VHi 12X H- 1xii, divisum per bu-6IV H- 1Vι, quod prius erat V 11' : in Me due illius denominatorem, et aequabuntur 36W-33vΙ - l0Vua - , eum 64lV -96V1 ε b2VMi-l2Σ - lxu Ergo etiam GH ή- 11x eum 28 v 42vili 1 u. Ise aequatio prodit quantitatem lateris heptagoni ei. Vel pergimus ultorius ad DB. EG. Est n. quadratum DO, EB U-MV - - 1vI. At quadratum DB, m est 4u- 1 IV. aufer hoc ab illo, erit rectangulum sub DE, BGbu biV - 1VI, quod divide in DE 1ι, erit BG N-bm 1 V, erins quadratum 2b 500 ε 35W-l0m1 - 1x, quod prius erat U-l V. Aequantur igitur 49IV 10Vm eum 21H -9 3ΠΙ - - 1ΣΕrgo etiam 49Π - - 10VI cum 2l ε 3NV - - lnH. 'Hie iterum aequatio prodit quantitatem lateris heptagonici: sed Byrgius oeulos averit ab integritate eireuli, eumque considerat tantummodo ut arcum
dividendum in T. Cum igitur subtensa partibus 2 habeatur hoe proeessu eossice, quaerit jam subtensam partibus 4, eamque invenit eadem methodo qua supra quod sit radix da 16 - 20 8' Α-1Π0. Jamque hae utitur diagon i in novo quadrilatero, cujus latera sint subtensae tribus partibus,
eoque earum rectangulum 9V - 6yν -- ID. quod ablatum a reetangulo 16M - 20 V Η- 8 IV V, relinquit reliquorum laterum reet angulum IV I4 Η- Τυ IJ V . Hae illa subtensa utitur, comparam eam vel eum numero, quo certi arcus septisecandi subtensa aenunciatur, vel eum figura nihili,
si totus circulus, ut hic, est septisecandus: et tune illi vel numero vel figurae nihili aeque valent quantitates hae: II 14 V - 7 vat 7 14u H- ID - 1 L. Prodit autem illi ex aequatione, quam juvat mechanice, valor radicis non
116쪽
unus, sed in quinquangulo duo, in septangulo tres, in notiangulo quatuor et sic consequenter: unus enim valor est BC. alter BD, tertius ΗΚ.
Ut igitur appareat, hoe genus investigandi latera figurae plane nihil commune,habere eum definitionibus nostris, numero I. II, III. praemissis, notabis primo, quid prostratur hare eossica subtensa Byrnii 3 Nimirum hoe
illa prostetur, si constituantur septem inter se continue proportionales in ea proportione, quam habet latus septanguli ad semidiametrum circuli, quarum proportionalium prima sit ipsum septanguli latus: tunc septem primas eum septem quintis tantundem efficere, quantum 14 tertias cum una septima. Hoeenuntiatum quidem est mometricum et demonstrabile, non minus quam insuperioribus. quando demonstratum fuit, planum tanguli esse meson, aut latus dodreagoni esse alieujus lineae apotomen. Illic enim de plano aut delinea aliquid enunciabatur, hie de proportione linearum aliquid enuntiatur. At sicut non sufficit mihi ad sesentiam et ad mensurationem plani, seire illud rese meson, non ad lineae mensurationem, scire quod illa sit alicujus apotomo: cum et multae sint hujusmodi, et deseriptio ex hae notitia generali nulla, quantitas plani vel lineae nulla eerta et determinata eruatur, sed eonsequantur tantummodo hae assectiones antea constitutas et descriptas quantitates: sie etiam hic non sufficit, ut sciam, quid sit suturum, lactis septem eontinue proportionalibus in proportione, quam desidero, sed eum eam proportionem nondum habeam ullo geometrico aetu deseriptam, illud igitur exspectabam, ut quis me doceret prius illam proportionem tonstituere. Sic enim in omnibus praemissis figuris praecedebat descripuo, inseriptio, determinatio certae quantitatis certusque actus geometricus, quo perseeretur haec determinatio; sequebatur demum scientia proprietatum illarum, quae faciebant ad comparationem
Ut clarius appareat discrimen utriusque rei, videamus pentagonicum latus, cujus deseribendi modus in superioribus hic erat, ut conjunctis quadratis duobus, uno semidiametri, altero ejus dimidiae partis, in formam quadratam, ab hujus quadrati latere auferremus dimidiam partem semidiametri, relictae lineae quadratum rursum cum quadrato semidiametri eompositum in formam redigeremus quadratam, hujus n. quadrati latus fore latus pentagoni. Haee omnia erant factu et possibilia et faciliora quam dictu, ut norunt, qui circinos
tractant. Quid n. saeilius, quam reerum angulum GAM Fig. 8) saeere, et in ejus eruribus signare ut lubet AM ejusque duplam AG. et posito pede circini uno in M, altero in G extenso, seribere cireulum GI', eontinuata MAin P, denique GP circino comprehendere, et in alium circulum, cujus GA semidiameter; inferre 3 At vide nunc, quid nobis de latere pentagonim dieat coma Byrgiana. Illa methodo prius deducta prodit numerum by-- 1 aequalem gubtensae nulli; id est si quinque fiant ordine eontinuo proportionales quarum prima sit latus pentagoni, proportio vero sit illa, quae est Iateris pentagonici ad semidiametrum, tunc quinque primas cum una quinta fore aequales quinque tertiis. Rursum, ut.in septangulo, non docet constituere continuam proportionem, in qua hoc sat, nee exprimit longitudinem proportionalium per ante nota, sed docet, ea constituta, quae sequatur assectio. Jubeor igitur repraesentare asse tionem, fore enim, ut habeam et proportionem. At quomodo repraesentabo assectionem, quo actu geometrico Nullo alio id doceor lacere, quam usum pando proportionem, quam quaero ; principium petitur et miser calculator, de
117쪽
De Figurarum Harmoni cmmstitutus omnibus geometriae praesidiis, haerens inter spineta numerorum, frustra cossam Euam respectat. Hoc unum est discrimen inter cossicas et inter geometricas determinationes.
Alterum est, quod tota haec ratio Byrgiana innititur essentiae quantitatis discretae seu numerorum, et dividit diametrum in particulas certas, quoties et quamdiu vult, generaliter in partes duas; cui numero totus processus innititur mutareturque, si nomen diametro aliud seu numerus.alius daretur. Atuon sic geometria figurarum, superius tradita, quae latera estabilia longitudine signat sane numeris; at uiessabilia nequaquam numeris consectatur, i sed persuas certas' species distributa sic enunciat, ut appareat, non de discretis, sed de eontinuis quantitatibus agi, de lineis et superficiebus. Tertio hactenus et lateri figurae et lateri stellae cognominis cuique sua certa erat descriptio; in hac algebraica alialysi illud maxime mirum est squamvis geometram praecipue absterreat, quod non una via praestari potest, quod imperatur. Quanquam id non omni lege solutum est, sed, ut supra dici coeptum, tot sunt numeri facientes imperatum, quot sunt in figura subtensae seu diagoiiii longitudine disserentes, ut in quinquati gulo duo, iii septangulo tres, unus pro lateret reliqui pro subtensis angulo. Itaque quicquid enunciatur tandem de proportione sgurae propria, id commune est omnium ejus linearum proportionibus ad diametrum. Quarto, posito; quod una sola proportio faciat imperatum, illam.tamen non doceor absolvere, sed saltem venari eminus. . Cum enim speetes linearum causa scientiae versentur in genere inestabilium sid est non numerabilium, seu numeros respuentium eoque nulla tinquant multitudine consummetur ratio, quin semper aliquid in incerto relinquatur: haec contra ratio, ut loco secundo dictum, praeter numeros non assumit alia praesidia, sed diametrum vario semper dividit in multas myriadas niyriadum, ut exactior sat ratio; at sic nunquam si exactissima, et breviter, hoe non est scire rem ipsam, sed saltem aliquid proxime majus vel minus, potest quo semper posterior illi quis tota P tator approximare magis; pervenire ad punctum ipsum nulli unquam datur. Talia nimirum sunt omnia, quae latent in sola possibilitate materiae quantitativae, taeque formationem habent sei bilem, qua in aetum quandoque Fcibi litatis humanae constituantur.
Quinto, ut in specie de septangulo figurisque hujus generis consequenatibus agamus, cum per eas ordine suo Aese consequentes proportionalitas Ontinua extendatur cum ipso iiiiiii ero laterum: ergo si maximo innotesceret ultima, ut in septangulo proportionalium septima, non tamen per eam haberi possent intermediae. Nam inter duas, quae non habent proportionem inter se, quam duo numeri proportionalitatis continuatae, ut ubi eae, sursolidae etc. nequeunt geometrieo constitui continue proportionales intermediae quotcunque, sed solum unae vel tres vel septem vel quindecim etc., duo vero vel quatuor, quinque, sex, octo, novem et c. e0nStitui tune non possunt in plano, cum hie do planis figuris agamus. Jam vero inter semidiametrum i et septimam proportionalem I proportionis septangularis sunt mediae proportionales sex, id est 1 ad 1 V non ut numerus ad numerum proportionis continuae neque longae; non est scilicet proportio semidiametri ad latus septanguli secundum duos numeros, hoc est non essabilis est. Nam si esset estabilis, cactret in species prius explicatas classium priorum, et septem anguli non essent septem, sed tres vel quatuor, quod contradietionem involvit. Ex angulis enim primarum figurarum erat la-
118쪽
terum proportio. Oporteret igitur uno actu omneA 8ex medias proportionales eonstitui, inter scilicet I et ira . Vicissim si daretur Ira quantitate, tunc inter 1 et I quinque mediae eaderent. Quodsi tune I ad Ira esset ut cubicus numerus ad cubicum, tuno primo i constitui possent ullo aetu IV et 1 V, deinde inter 1, IV, 1 V, IV tribus aetibus tres mediae proportionales. Sin autem 1 daretur quantitate, rursum omnes quatuor intermediae uno aetueonstitui deberent, quod fieri non posset, nisi in proportione es abili, ut priris. Cetera secundum haec subintelligantur. coneludimus igitur, analyses istas cossicas alienas esse a praesenti contemplatione, nec ullum constituere gradum scientiae, cum iis comparabilem, quod explicavimus in superioribus. Illud autem obiter monendi sunt metaphysici oecasione hujus cosme: considerent, si quid hine transsumere possint ad explicationem illius axiomatis, cum non entia nullae dicuntur esse conditiones, nullae proprietates. Nam hic quidem versamur nos in entibus scientialibus et pronuntiamus recte, quod latus septanguli sit ex non entibus, puta scientialibus. Cum enim sit impo sibilis ejus formalis descriptio, neque igitur sciri potest a mente hii mana, cum seientiae possibilitatem praeeedat descriptionis possibilitas, neque scitur a mente omniseia actu simplici aeterno: quia sua natura ex inscibilibus est. Et tamen hujus non entis heientialis sunt aliquae proprietates scientiales, tanquamentia conditionalia. Si enim esset septangulum descriptum in eirculo, laterum ejus proportio tales haberet assectiones. Sufficiat monuisse. Sunt et aliae propositiones salsae geometrarum de lateribus hujusmodi figurarum, sed quas vel ipsa solertior mechanim relatet, cum tamen mechanices causa obtrudantur juventuti: ut eum septanguli latus AC ab Alberio Durero ponitur aequale semilateri trigoni eo AB ejusdem
circuli. Hoe vero nimium breve, esse. etsi vel ipsa methanica docet, tamen ne cui imponat experimentatio manuaria nimium rudis, is vel hae sola ratiocinatione salsum ante manuum accommodationem deprehendere poterit. Trigonicum latus ex numero angulorum probatur esse essabile potentia, quare sic etiam ejus dimidium, heptagoni latus non est essabile potentia, eo ipso quia heptagonus est et quia septem neque sex sunt neque quinque neque tria. Numeri enim primi gignunt species, at species sunt incommensurabiles inter se, nec una est alia.
De Caroli Mariani Cremonensis et Francisci Flussatis Candaliae paralο-gismis eirea heptagonum vide Chr. Clavium Geometriae Praeticae lib. VIII. prop. 30. et in commentariis in Euclidis lib. IV. pr. 16. Excitavit haec palaestra etiam Illustrissimum D. Marchionem de Mala
Spina, legatum anno I 614. Ser Ducis Parmensis ad aulam Caesaream, qui diagrammate ingeniosissimo omnes omnium deseriptiones superavit, existimans, subtensam circuli aequalem esse δι semidiametri et sie effabilem longitudine: demonstrationis apparatus tantae fuit solertiae, ut vel ipsum Eucli . dem lateret, assumtum aliquid suisse indemonstratum.
l Η-e ne bl phomo meis putentur. omitti posse sensuit Mnisma in unu . mathematum peri. tissim . Atqui nihil est Uua theoloma. quam lmpo aibi ita ossa , quae eonir dietionem involvunt: at Dei aes ntinni inlis impossibilis a. non intondero. W-ιertini evin hae inmal a rerum mometraearam rationes nihil sitit aliud, quam spaa essentia Deli quia quiequid in Deo eat ab Mismo. id una individua eat essentis divina: esset igitur σε ipsum quod Marinodo alium seire, quam est. 21. qua. sunt lveommunie illa, sciret ut eommunie nia. Et quaa ham adulatio . propter imperitos librum non laetuma de udare ceteros.
119쪽
Pro latere hendecagoni circumfertur talis deseriptio: in ei reulo ab eodem puneio A ducatur latus tetraponi AC ad unam partem circumferentiae, trig0nicum Al 'ad contrariam, hexagonicum AB, AF ad utramque, et duorum illorum hexagonicoruin angulus Η subtendatur alio trigonico latere DF, quod secabit prius trigoni eum Ala in O; ducatur etiam a fine tetragoni et C diameter CC per I centrum et a sine altero diametri Eper sectionem trigonicorum G ducatur recta I G, secans tetragonteum AC in II: linea GH inter has duas secti nos dieitur esse latus undecanguli. 's si vero nimis longa, vel mechanica docente. .At solem geometra speciem lineae considerat, quae necessario communieat aliquid ex trigonico et tetragonico lateribus, quantumvis remoto gradu. Atqui numerus II. primus existens, nullo modo ad has figuras ducit, eum sit primus, nihil eum a et eum 4 commune habens. Securus igitur est geometra, satram esse descriptionem et potest facile supersedere labore computandi. Manet igitur per omnes objectiones, per omnes omnium frustraneos c natus, latera si rarum hujusmodi suapte natura esse ignota et inscibilia. Ut nihil mirum sit, id quod in archetypo mundi non potuit inveniri, neque etiam expressum esse in consorinatione ipsius mundi partiunt. XLVI. Propositio. Sectio circuli arcus Pujuseunque in aequalia tria, quinque, septem etc. et in quacunque ratione, quae non sit antedemonstratarum eontinue dupla, non est de possibilitate geometrica tali, quae seientiam genereti
Seetio arcus in duo et quatuor et octo ete. , eontinue scilieet dupla, momotriea sano est suitque haetonus adhibita. In tria contingit Seeari et totum circulum per in Mnnm, et semicirculum, ut in hexagono, et quartam partem, ut in dodeeagono, et qnintam, ut in pentehaederagono, et arcum lab', ut in Detogono, et areum l0R ut in deeagono. In qninque vero contingit secari similiter et totum circulum, per petitagonum, et gemicirculum, ut in decagono, et tertiam circuli partem, ut in pentehae- Oeagono, et arcum l50', ut in deestgono. Id m Verum pri de horum arenum semissibus quadrantibusque et ceteris partibus proportionis continue Rubduplas. At hoo non fit propter trisectionis et quinisectionis ingenium, sed per aecidens et propter alias figurarum proprietates, de quibus hactenus. At prcimiscuam trisectionem aut sectionem in alia quacunque ratione proposita, quae non sit continue dupla, impossibilem esse, patet ex comparatione bisectionis possibilis. In ea medium ad areum et, quem ille mensurat, angulum bisecandum, est linea recta, subtensa areui, quae in duo aequalia Secari potest geometrice, cum nequalitatem harum partium sequatur aequalitas partium arcus ei juscunque sive parvi sive magni respectu totius circuli; ex quo sonte et hoe est, quod in triangillo ab aequalitate laterum lieet argumentari ad aequalitatem angulorum oppositorum. Hoc vero modium nos in eeteris sectionibus deserit. Nam etsi recta, areul subtens' seeari potest in partes quotlibot idque geometrice, at non ideo et proportionem ullam partium subtensas spost proportionem aequalitatis sequitur proportio partium streus; quemadmo- . dum neque in triangulo Iieet a proportione laterum quaeunque spraeter unam aequa litatis argumentari ad eandem proportionem oppositorum angitivum. Nam si sub- . tensa arcus verbi causa in tria aequalia secetur, si quae secant, perpendiculares in subtensam suerint, media pars arens erit minor lateralibus; sin ex centro arcus suerint egressae sectrices, media pars arcus erit major lateralibus. Igitur inter distantiam infinitam et centrum ei reuli punctum est, ex quo eductae duae sectrices et suh- tensam et arcum ejus in tria aequalia secarenti Id vero punctum semper tanto remotius est ab arcu circuli, quanto minor arcus circuli trisecandus est, proportione tamen
120쪽
non constanti. Cum igitur arcus circuli minui possint in infinitum. distantia esiam hujus puneti exeurret in infinitum: infiniti vero, seu varietatis infiniino nulla est sciemtia. Et haec difficultas tenet trisectionem, quae adhuc simplicior est et aequalitati propior. Multo major oritur difficultas in sequentibus sectionibus alicujus meus, verbi causa in b, 7, 9, 14 ete. partes aequales. Tune n. ne puncti.quidem identit amplius est possibilis, ex quo Quetae rectae, quae subtensam seeant in partes aequales imperatas. eaedem et areum in aequales secent. Quicquid vero praesidiorum ad promiscuam sectionem possumus asserre, deductum ex numero, qui sectionem denominat . id necesse est me generale et communec Mnseunque arens subtensis, tam magni, qui multum a sua Subtensa differt, quam
parvi, qui parum. Atqui vagam relinquere proportionem partium subtehine ad partesareus sui, id vero non est determinare Reientisiee. Atque hoc praecipue dictum estode tri sectione vel quini sectione ete. Byrgiam analytio, do qua in praecedenti propositiono egimus eopioso. Et si vero omnia ibi dicta habent etiam hic locum, 'quaodam tamen illic dilata sunt hujus. loci magis propria fiuntque illustriora et admirabiliora in
ectione armum, quam in sectione totius circuli. Nam ut omittam illa communia. quod prineipium petatur imperato eo, ut iaciamus, quod quomodo faciendum sit quasi rebatur: quod affectiones quantitatis continuae non scientisce prodantur per quantitates discretas seu numstros: quod quicunqlio numeruκ elicitur pro latere . deterinl-nante partem arcus imperatam, ille non possit quicquam docere. quam quod illud sit vel in jus vel minus debito. eoque stetit se habet materia rudis et indigesta ad sommarem quid; sient quantitas indete litata et nidefinita ad figuram . sie etiam se habeat analytica ista ad dete minationes geometricas: illud imprimis excellens et nobile est in hae cossa somi mechantea, dogener vero et aluoctum in geometria scientifiea, quod cum unaquaeque subtensa minor diametro duobus circuli arcubus inamualibus Recenseatur, quorum alter minor semicirculo, alter major, eoque partis aliquoiae de minore minor hi ι subtensa, partis aeque quotae de majori major: analytica ista Byrgiana non tantum de duabus hisce inaequalibus. sed etiam de pluribus aliis eireulis tonsis generale.quid praecipit, quod utile sit ad illas omnes numeris proxime e prsmendas. Verbi causa. in trisectione lex haec est: si datus sit arcus fiat 46', H quo subtenm, et is arcus sit inter tres partes secandus. quamlibet l6', hoe est invenienda su subtensa b Mus partis seu ejus proportio ad subtensam totius, M': tune jubeor facere ut Rubtensam totius ad quaesitam subtensam Partis, sic hanc ad secundam et seeundam ad tertiam proportionalem, jam jubeor triplicare subtensam partis et ab ea auferre tertiam Proportionalem, quod relinquitur . id dicitur valere subtensam totius .Hoe est. de subtensa data pars tertia multiplicetur cubice, ut fractio, numerus laetus addatur ad totum; aueti sic tertia Pars est Paulo minor subtensa quaesita. Nam si rursum haec ipsa cubim multiplicata ad totam addatur, sic auctae temtia , pars propius ad verum venit et hoc continue usque in infinitum. Hoe quidem pri essu venitur paulatim prope subtensam l6'; at si majorem constituas numerum cubi eo multiplieandum et omnino tantum sere, quantum circinus indicat deberi tertiae parti de residuo et reuli post ablatos μ' se. 312', eus is tertia est livi: tune etiam subtensam areus 10 ' et eomplementi.2λ' hoc modo perscies. Neque hoc tantum,
ea si etiam ad 48 et ad 3l2 adjoeeris circulum integrum 360, invenies etiam pro summariam istarum 408 . 6 2 trientibus, scilicti lG6 et 224, subtensam aliam per idem
Nomen eossicum. Et in genere, quot restant unitates in numero sectionis binario a lato, t0tiri licet addere cireulum integrum, vel arcum secandum propositum, ut eodem nomine cossieq novorum arcuum subtensae indagentur. Ex quo apparet ingens di crimen nominum horum e si eorum et scientificorum graduum, quos in superioribus explicavi. An vero non possit aliqua nobilior ars inveniri, qua Metiones arcuum omnimodae perficiantur , Respondeo, si omnes subtensae arcuum dividendorum sub communi notione considerentur et si illa tantum habemus praesidia, quae sunt omnibus quaesitis subtensis communia, ut sunt illarum in proportione quaesita continue pro
portionales quotcunque, tune nobilius aliquid haud quoquam comminiscetur stetumque