장음표시 사용
141쪽
Figuraram Hamonioremma, Tertio. unus trigonicus et tres tetragonici minus habent 4 reetis. Hic ergo congruunt 8 trianguli et
18 id est 12 et 6, quadrangula ad
unum icosi hexasilron, quod appello se e tum rhombum cuboctaedri eum vel rhombicuboetaedron. Pietus est hie numero 23' Iu his igitur tribus sunt tetra goni juxta trigonos: sequitur ut et pentagonicos iis seorsim associemus.
Quinque plani trigoniel juxtamium pentagoni mim non stant, quia neque juxta minorem eo, tetragoni eum, stare poterant. Quatuor em , trigoni ei cum uno pentagonino minus efficiunt 4 recus eteongruunt 80 iid psi 20 et in trigoni eum 12 pentagonis. ad sormandum ennen ont kaedyddrou quod appello dole east dron simum. Pingitur hie numero 23' Et inhoe ordine simorum icos adhin posset esse tertium. quod est quasi tetrataron simum. Tres planos trigonietis uni pentagonico associau ris. st quod supra. ut duci solum pentagonies veniant in solidum; et si duos trigonicos uni pentagouieo, venit unus solus pentagoniis in solidum. fitque illic κοna vel columna media, hic pyramis. partes leosaedri s Pp , nee anguli solidi sunt hic ejusdem Species, quia unus ambitur. ut in icosalidro. quinque trigonicis. Et transactum est eum unico pentagonico. At via. n. trigoniel cum duobus Pentag0nicis plus emciunt 4 reetis. Transactum igitur est cum tribus trigonicis in societatem petita. gonie m adsciscsendis. Duo trigonici cum duobus pentumnicis minus emetunt 4 rectis. Congruunt igitur 20 trigoni et 2 pentagoni in unum triaeontakaodylidron. quod appello te os i-do de exedron. Pingitur hie nn mero ra' Cum uno pentagoni duos trigonteos jam diu 'eimus. transactum igitur est cum duo. bus trigonis. lnus trigonielis eum tribus pentagonicis plus quain 4 rectos efficit, cum duobus vero per 23. nihil regulare, quia pentagonus est figura impari latera. Sisque traugactum est eum peningonis in sceletale trigonorum. Trigonici quatuor enm Nno hexagonico et duo eum duobus hexagovicis implent planitiPm; at tres eum duobus sunt majores 4 rectis, eum. uno hexagonico duos sol hoxagonos in figuram redipiunt: rejectis igitur tribus trigouieis, duo suini Requales uni hexagonico, quare rejecti per 22. M. stat ust unus trigonicus eum duobuη hexagonicis copuletur. It que ec noliunt 4 trigoni cum 4 hexagonis in unum octaedron, quod 1 ppollo truncum tetrad dron. Pingitur numero 23'. Trigonici qtiatuor eum uno heptagonico et majoribus superant 4roctos, nulla igitur porro mentio facienda est quatuor trigoni- eorum et nulla etiam trium, ob causas saepe allegatas; duo vero cum si urarum hexagono mMOrum binis planis superant 4 reetos, nu lla igitur neque duorum porro est iacienda mentio tum binis p lanis figurae majoris, nec duorum eum uno plano figurae majoris, quia illi superantur ab hoc. quod eetum est ua. 22. R stat examinandus hie casus, eum unus trigonicus duobus planis ligurae majoris hexagona copulatur; atqui eum duobus heptago nicis rejicitur per 23, ut et cum omnium imparilateramim dui obus, eum duisus vero octogontris fit corpus, in quo eoa- grunni ου trigoni et 6 octogoni in unqm tessarisaedecaedron, quod RI , pello euhum truncum. Rus figuram habes signatam nur a. 237. Cum duobus deeagonicis fit eorpus, in sino con-
142쪽
i eos ledron. Formam habes gignatam numero 23 ' Nee plura exspectanda a pentagono. Nam unus pentagonus eum Iduobus heptagoni eis jam superat 4 rectos. Hexagonicus enm duobus aliis implet planitiem, eum majoribus superat rectos. Itaque hie finis est mixtorum ex duabus speciebus. Quodsi trium specierum plana concurrere poSSunt ad unum angulum solidum: primum anguli duo plani, unus tetragoni, ester pentagoni superant 2 rectoR; incores his, multo magis: tres vero trigonorum trium aequant 2 rectost nequeunt igitur tres tri mnici admitti, ni summa omnium superet 4 rectos. Duo vero trigonici eum uno tetragoni eo et uno pentagonteo vel pro eo hexamnico, aut quocunque majori rejiciuntur per Pr. 23, quia trigonus imparilarem figura cingi deberet tetragono et pentagono vel pro eo hexagono eis. Unus igitur trigonicus eum duobus tetragonicis et uno pentagonteo minus efficiunt 4 rectis, et congruunt . .
20 trigoni eum M tetragonis et 12 pentagonis, in unum Achexaeontadyedron, quod appello rhombi eos ido de ea- fedron seu fleetum rhombum leosidodeeasidesum . Pingi- II Unus trigonteus, duὸ tetragonici cum uno hexagonteo aequant rectos quatuor et eum uno majori, Ruperant nec ad solidum assurgunti Mittamus igitur duos intra- Unus trigonicus, unus tetragonicus ot duo pen ο- ici superant 4 rectos multoque magis, si bini majores plani anguli admiscerentur. Desinunt igitur miseeri anguli plani quaterni ad formandum unum solidum; desinit ergo et trigonus ingredi tax--am triplicem. Nam unus trigonicus, unus tetragonteus et unus pentagonteus aut qui aque alius hujus ideo rejiciuntur per 24, quia trigonus est imparilatera figura.
143쪽
Cum igitur porro sint tres solum anguli plani, nulla inter
figuras toleratur imparilatera, per eandem 24 Tetragonicus igitur cum hexagonico et octogonico minimis minus saetunt 4 rectis et congruunt 12 tptragoni, 8 hexagoni et 6 oetogoni in unum icosthexasedron, quod appello truncum c u hoc taedron: non quod truncatione nasci possit, sed quia simile est truncato ei iboctaedro. Pingitur num. 23 ν. Tetragonicus cum hexagonico et deeagonico minus 4 reetis efficiunt, et congruunt 20 tetragoni, 20 hexagoni et i 2 deca-goni in unum hexaconiadyedron, quod appello trun- eum leo fido de caedron, simili de causa ut pro ximum. Pingitur ni im. 2I 'Si pro doeagonteo su edat in foetetatem do-deogonicus, implentur 4 recti nee fit solidum; sie etiam si Pro hexagonico succedat octogonicus et ali-tiuia octogonico m jor sit tertius, superantur 4 recti. nec minus, si absit tetragonicus, et socientur tres distinetarum figurarum parilaterarum majores. Igitur tat omnis Archimedeorum familia intra numerum 13 quod erat demonstrandum.
XXIX. Consectarium. Figurae congruae sunt in universum duodecim, octo radicales seu primae, et quatuor auctae seu stellae. I. Trigonus. 7. Dodecagonus. 2. Tetragonus. 8. Ieosigonus. 3. Pentagonus. 9. Stella pontagonica. 4. Hexagonus. 10. Stella octogoniea.
. b. Octogonus. II. Stella decagoni ea.. 6. Decagonus. I 2. Stella dodeeagonica. Gradus congruentiae distineti sunt. In primo sunt trigonus et tetragonus, quia congruunt tam in solido, quam in plano, tam singularum specierum inter se, quam junctarum et eum aliis. Secundo gradu eonsistunt pentagonus eum stella sua. Nam congruunt et singularum specierum inter se in solido, et tradunt mutuas operas in plano:
sed Polior est pentagonus, quia congruit etiam cum aliis nonnullis tam in plano quam in solido. Tertius est hexagoni, quia figurae hujus speeiei congruunt in plano, cum aliis vero tam in solido quam in plano.Quartum gradum tenent octogoniis et decagonus cum stellis suis. Nam radicales illae cum aliis nonnullis congruunt in solido, stellae vero cum figuris singularum 8pecierum quadamtenus, in plano vero omnes quatuor congruunt eum alii8, magis tamen varie magisque persecte octogoni in Secta.
Quintus gradus habet doderagonum eum stella sua; quia in solido quidem minime, at in plano multifariam eongruunt eum aliis; in solido igitur sola magnitudine impediuntur. Causa planit ei praeserenda est haec secta gradui quarto. Ultimus gradus est leosigoni, quia is nonnisi in plano, nec nisi cum aliis et eum illis ipsis quoque imperfecte congruit. Quodsi solam tonsideremus planitiem, ordo fgurarum erit Iste: 1. Hexs-g0uus. 2. Tetragonus. 3. Trigonus. 4. Dodecagonus. 5. Stella ejus. 7. OetO
144쪽
Congruentiaia Liber II. I 2Igonus. I. Stella ejus. 8. Pentagonus. s. Stella ejus. 10. Deeagonus. II. Stellarius. I 2. Icosigonus. Omnes aliae figurae sunt incongruae, proximus tamen congruentiae est pentekaedeeagonus, quia incipit eongruere cum aliis in plano: at exeluditur per 23. quo minus ut icosigonus cingi undique aequaliter possit. Post illum est figura 16 laterum et similes, quae plane non congruunt cum regularibus aliis, impediente magnitudine angulorum. At heptagonus et similes longe alia ratione sunt incongruae figurae, quia nec toti unguli nec partes angulorum aliquotae, propriae figurarum. tum aliis- regularibus congruunt. Ita in tribus per se demonstrabilium classibus desinit congruentia, in octogono, dodeeagono ilicosigono, in quarto spurio ne . incepit quidem. Haec libro IV. in delectu aspectuum suum usum habent. XXX. Consectarium. Ex his genuinum diserimen apparet inter il monstrationem et congruentiam fgurarum causa latitudinis. Nam 1. demonstrationis propriae gradus ultra octogonum, decagonum,dodeeagonum in figuras duplorum laterum in infinitum excurrunt; congruentia in oetogono, icosigono, dodecagono subsisti L 2. Pentagonus cum stella sua, causa demonstrationis et scientiae, est ignobilior dodeeagono: causa congruentiae in solido est multo nobilior. 3. Oetogonus ibi sequitur Pentagonusta, hic antecedit. 4. He haedetagonus ibi erat potiore loco, quam icosigonus : et tamen illa est figura incongrua, haec congrua quadamienus. 5. At in pentekaedeeagono pulchra est rei utriusque convenientia, analogiam servans eandem, quia inter demonstrationes nulla illi obvenit propria. sed accidentaria saltem; inter vero congruentias pulla consummata, sed aliqua saltem inchoata nee totam figuram oecupans. Haee infra libro III. in ortu et usu semitonii
145쪽
De ortu proportionum harmbniearum. deque natura et differentiis
. rerum ad cantum pertinentium.
Proetus Diadochus Lib. I. Com. in I. Elementorum Euelidis, eum philollophia multas sit complexa saeuitates, multas et matbomptica, de una quidem hrius parte, harmonice dicta, deque numeris i harmoniarum principiis creditisin haee sibit:
Ad theologiam praeparat mentis eoi tua Nam ea, suae non initiatis ei a veruiatem rerum dirinarum ridentur esse eaptu disticilia et auhlimiora. tua mathematicia ratioribus dem Atrantur esse fida, manifesta et pine eonreMeraia per quasdam imagines. Nam proprietatum AEuper sentialium eludentiam ostendunt in numeris, et guvie rint inteuectutilium Drmarum potestares, in ratiocinativis clarum es ieiunt. Itaque Platomiata mirabilia de natura Deorum nos per ηιecies rerum mathematicarum edocet. et
Pythagorina philosophia his em hesis obnubit institutionem de rebus divinis. Nulli enim generis est universus illa Aermo sacer, et Philolaus in Baecinia et tota Pytha-porae ratio Oeendi de Deo. Rurrum ad moralem philosophiam nos perflait, implantans vostria moribus π-dinem, decentiam et eonversationem harmonicam; triait etiam, quae figurae, quae eant uenae, qui motua virtutem deceant: qua doctrina etiam Athenae in Geoli et perfici ruu eos, qui virtutibus moralibus ab a Maeotia daturi sunt o P. Quin etiam proportiones numerorum, virtutibus familiarea, explanat, alias quidem arithmetidas,iaina geometricas, alias harmonicas; ostendit et ritiorum Gerasua defeetuque, quibus omnim dirigimur ad mediocritatem morum et decentiam.
Hactenus naturam rerum secuti, primum de figuris planis regularibus diximus, deinde ad earum congruentias transivimus. In sequentibus derogandum erit nonnihil methodo naturali, ut cognitio mentis humanae, quae non raro via diversa utitur, tanto magis adjuvetur. Hoc enim natura rei requirebat, ut jam tertio loco explicaremus proportiones in abstracto ii Ias, quae inter eireulum et partem a latere quolibet resel ame stituuntur, et quae aliae rerum species oriantur ex compositione et divi sione talium proportionum, tum quarto Ioeo transiremus ad opera mundana, quae vel Deus ipse Creator ad hujusmodi proportiones attemperavit, Vel natura sublunaris ad praeseriptum proportionum talium in angulis radiorum sideralium quotidie exercet; ultimo vero subjungeremus musicam humanam, osten dentes, quomodo mens humana, judietum auditus informans, instinetu naturali Creatorem imitetur, delectu et approbatione proportionum in vocibus ea dom,
quae Deo placuerunt in attemperatione motuum eoelestium. Quia vom dud-
146쪽
De Proportionibus Harmoni . Liber III.
cile est, proportionum harmonicarum disserentias, genera modosque abstratiere mente a vocibus et sonis musicalibus, eunt non alia nobis stippetalit vocabula, rebus explicandis nec garia, quam musica: ideo conjungendus nobis erit in boe libro loeus tertius eum quinto et ultimo, dicenduitique non tantum de proportionibus harmonicis abstractis, sed etiam praeoe pandum hoe liti manumereationis imitamenium in eantu;'creationis vero melorum opus propter sublimitatem et ineredibilitatem disserendum in loeum ultimum, ordine illo, qui in titulo libri praeseriptus est. Et haee de ordine dicendorum. Jam ut contraria inter se opposita magis elueeseant, lubet disputationem
de cantu humano auspicari a columemoratione eorum, quae veteres super ortu eonsonantiarum sunt commenti.
Nimirum stetit est comparatum in rebus omnibus humanis, ut quae natura nobis sunt tributa, in iis usus cognitionem causarum antevertat, sie et iumcirca canium generi humano usu venit, ut indo ab ortu suo modulis et iniervallis vocum sine speculatione aut cognitione causarum uteretur iisdem, quibus
utimur hodie vulgo in decantatione nielodiarum non tantum in templis et choris musi eorum, sed passim sine exercitatione artis, etiam in compitis et agris. Appareι haec antiquitas tantus ex libro primo Geneseos. Mugnam enim oportuit esse delectationem ex cantu vocis humanae seum vero deleetationem dico, intervalla dico harinonio et concinna , quae jam octavum ab Adamo dubalem permovit, ut cantus hominum brutis instrumentis imitari diseeret doceretque. Nisi fallor, Jubal hie Apollo est, levi ululatione literariim, qui fratrem Iabelem pecuariae auctorem fisi illaque agresti gaudentem si 'alia Delim a Graeeis creditum) cytharae repertae claro tinnitu superavit, materiam elior-darum a Tubal aino fratrq, quianobis ex nominis allusione Vulcanus esto,
Uteunque tamen antiqua sit eanius humani forma, ex intervallis consbnis vel concinnis eoinposita, causae tamen intervallorum latu iit homines, adeo ut ante Pylliagoram ne quaererentur quidem, et quaesitas per duo millia annorum, primus ego, nisi salior, exactissime proserum. Primus quidem sertur Pythagoras, cum apud omninam serrariam transiret sonosqtie malleorum hummonice contemperatos animadvertisset, deprehendisse, disseretii iana sonorum esse ex ni agniti id ine malleorum, ut magni graves sonos ederent, purvi acutos. Cum autem inter magnitudines spectetur proprie proportio, mensus malicos, Proportiones facile uniinadvertit, quibus harmonica voelim intervalla constituere uniret quibus dissona, quibus conet uua et quibus ineoneinna. Statim enim a malleis ad ehordarum transivit longitudines, ubi aures exaei ius indicani, quae partes chordae cum tota consonenti, quae ab illa dissonent. Proportionibus ceriis repertis, ut του ora. supererat . ut etiam causae, seu τ' δι φόνι. indaga rentur, cur hae proportior concinna, suavia consonaqtie intervalla vocum d finirent, aliae proportiones dissona, abhorrentia ab auribus. insu ta. Et lium fuit per annos bis mille in hanc senten iam, eausas petendas a proprietatibus ipsarum pio portionuui. ut illae eontinentur sub termini quanti lutis discretae. scilicet numerorum. Viderunt enim Pythagoraei, perseetas constitui haimonias,
si chordae aeque tensae proportionem habeant inter se longitudinis duplam, et si triplam, et si quadruplam, inter numeros I, 2 et i, 3 et Ii 4. Quae pro portiones dicuntur in arithmetica multiplices. Rursuin paulo imperseetiores esse consonantias chordarum . quae iaciunt proportionem sesquialteram, hemiholiam, et sesquitertiam, epitriton; se. inter numeros 2. 3 et 3, 4, quae ditae proportiones conjunctae faciunt proportionem duplam, inter numeros 2, 4 vel
147쪽
De Proportionibus I, 2, minor vero inter 3, 4, ablata a majori 2, 3, relinquehat sesquioetavam inter 8, 9. Et tantum deprehenderunt esse intervallum toni, usitatissimum in omni cantu. Atqui numerus 8 est cubus de 2, et numerus 9 est quadratum de 3i Jam igitur hi erant in promtu numeri I, 2, 3, 4, 8, 9. Cum autem
eadem unitas sit et quadratum suum et cubus, binarius vero quadratum suum haberet 4 et cubum 8, ternario etiam praeter quadratum s adjunxerunt cubum suum 27, quod existimarent, ad eubos usque progrediendum esse propterea, quod mundus totus et vocalia omnia non superficiebus constarent inanibus, sed solidis corporibus. Denique ex hoc initio tanta coaluit opinio numerorum ii rum, Pr0pterea quod essent primi, eorumque quadrati et cubi, ut i ythagoraei totam philosophiam ex iis censuerint eoncinnandum. Nam unitas repraesentabat ipsis idem et mentem et formam, quia ut unitas individua est eademque manet et quadrate multiplieata et cubice, sie ideae quoque indivisibiles et universales essent et semper idem. Itaque unitatem secerunt symbolum naturae identitatis, numeros vero ceteros symbola naturae alteritatis. Hinarius igitur
alteritatem signabat et materiam, 'quia divisiotiem ille admittit, ut et ista; et ut ille quadrate multiplicatus fit 4, dubiee 8, qui sunt numeri distineti a 2,
sic materia instabilis et multiformis esse potest. Aliter: binarius etiam animam signabat, quod cum mens immobilis sit aut motu uniformi se. circulari gaudeat, anima contra multiplices motus a corpore excipiat adque motus rectilineos, qui sunt in sextuplici disserentia, magis familiariter su habeat. Denique ternarius notabat illis corpus, eumpositum ex forma et materia, sicut 3 compositus est ex 2 et I, et quia eorpora mundana tot habent dimensiones, quot
Neque tantum symbola erant numeri trium principiorum, sed jam ipsa anima componebatur ipsis ex hisce numeris eorumque proportionibus omnibus et subdivisionibus proportionum in sesquialteras, sesquitertias et sesquioetaVM: ut anima, vinculum mentis et corporis, esset in sua essentia nihil nisi harmonia exque harmoniis composita. Ad hoe dogma duxit illos procul dubio consideratio ista, quod anima humana delectetur tantopere vocibu , quae aliquas proportiones harmonicas magnitudine sua formant et continent.
Excursus de Tetracty Pythagorica .
. Ex principiis paulo antea expositis videtur eruenda esse illa tetraetys, sons perennis animae humanae, per quam Pythagoraei jurabant, mea opinione sic, quod uiter trium cuborum I, 8 et 27 binos, verbi causa inter I et 8 duo medii proportionales sunt 2 et 4. Itaque numeri quatuor I, 2, 4, 8, qu0rum flumina I b, vel I, 3, 9, 27, quorum summa 40, faciunt illam tetraetyn. Duos autem proportionales habent bini cubici, sicut bini plani unum proportionalem, ut notum ex geometricis.
vel fuerit tetraeus ista I. 2, 3, 4. I illud principium numerorum, 2 numer0rum parium primus, 3 compositorum et imparium primus; dueto jam 1 in 3, si rectangulum 3, ut ex impari; ducto vero 2 in se ipsum, sit
quadratum 4, ut ex pari, cujus etiam in saetura longitudinem et latitudinem deeet esse pares, sicut in illius rectangulo inaequales. Summa igitur ex I, 2, 3, 4 est 10 et anima humana solet ad 10 numerare. Et sicut sunt 4 numeri, totidem ae. quot erant in quarto unitates, sic etiam per eos quatuor species harmoniarum existunt: inter I, 2 diapason, ut et inter 2, 4, et inter
1, 4 disdiapason, quae sunt pro una; inter I, 3 diapason epidi apente, quam
148쪽
liabebant pro maxima systematis harmonia, estrine hie Reeunda; tertia inter 2, 3 diapente; et quarta inter 3, 4 diatessaron. Me plures agnoseebant ipsi
Haec ex mea mente. At de eadem tetracty paulo aliter Ioachimus Camerarius, nee paulo rectius, nisi ipsum sesellit multiplex lectio veterum auctorum, qui in Gra eis commentariis ad aurea Pythagorae Carmina sie seribit:
Primum ibi singulariter denarium numeri τοmbulo designarunt, quo sensu Plato in Phaedone dixit, quod numeri semissis unirersus sit impar. Describantur enim duo numerorum ordines ab unitate ad denarium alternis, erit unus ordo imparium, estis
parium in hune modum: i, a, b, 7, 9 25, impar, quadratus quinarii, quot 2, 4, 6, 8, l0. M. erant impares Vel omissa unitate ut princi , et denario ut singulariter dicto numero, stera, 4, 6, 8. 3, 6, 7, 9. 24 paro me illud aenigma: imparia esse paria. Singuli enim eae a, b, 7, s sunt impares, at omnes sunt pari numero quatuor. Et summu 24 par. Igifur denarius peculiariter numerus a Pythossors eis dictus, habet hoc proprium. quod colligitur eae unitate ejusque eontinicis mutui scibus usque ad quaternarium. Fit
enim trianstulum numerale aequi interum, cujus basis est quaternarius, verteae unitas. Ea eo ni istorici numerum omnem vnellacerunt retraetyn. Dupli eatis enim primae tetrario lateribua, tu nitera terrae a tyimagorica numeri 36, eelebratissima et undi- ouaque utilissim penes ipsos, trigonus se. numericus, ei jus basis est octonari . Itaque in multis monstrationi bus usi sunt numero 36, ma xime in harmonicis. Nam in figurarum hujus numeri dispositionibus inveniuntur hi numeri lF, 9, 8, B, quibus numeris omnes harmonicas e sonuntias Mondum proportiones interviatorum eomprehensas esse demonstrarunt Est enim numerus 36 quadratus, esusque latus ' est tri- sonius, injus latus η, est ollongus rectangulus, in us longitudo s et aurea Uus tot situdo I 2 cnorem enim quater et duodecim ter metunt utrinque 36 . Denique eonjectis nis 6, 8, 9. 12 in unam summam, e stiι numerus 3b, harmonia distis a Pythagori a reui unitas addita rursum absolvit numerum .s6. Amplius numerorum, qui eae antecedentibus ordine naturali sum eouecti sed eri eae trigonicia 1, 3, 6, 10, ι b, 21, 28y, 36 primu et sesua intru 122 9 est quadratus habetque latus si, primum perfectum
scompositum scilicet eae omnim mis partibus aliquo lis 3, 2 et lλ Idem etiam eon Deitur multiplinati e duorum primorum quadratorum 4 et 9. Idem eossistitur et eomponitur ea duobus primis et 27 curn unitate cubiea. Proptὲr usum tum inubi irem hi jus speculationis terea D ista a Pythagoraeis eonsiderationi et admiratione signa fuit habita inter primus; itaque transsumserunt illam ad nhysica maximeque ad eoutemplationem animae, nee minus ad ethica et admiseuerunt theologiea aliqua. Nam ut Epiphanitis eae Irenaeo eontra Valentinianos ostendit, juramentum tererunt tetra tyn: intelibebant autem per illa quatuis: fundum, rilentium, mentem, seritatem. Etsi in earminibus aureis juramenti formula non est tetractys ipsa, sed illa, qui per tetractyn exhibuit animae perennitalent essentiae. Animalem quidem tetraetyn piutur-ctus physice ea ni arit, ut xu sensus, opimo, scientia, mens; addiditque rosumis Fontem, naturae quo tumet uena perennis. Mundanam vero tetraetyn liere aecurvitus in hune modum inιMeri: quod ab unitate, per ternariam rationem producta, unitate ad implendum interealium in medium assumpta quaternariisque circum reluti lineis rectis septa, sic tandem tetractys ista denarium esticiat: eum ipsa rit De paeto tertius tristonorum in stenest Gam post unitatem primus trigonus est 3, basis 2, secundus 6, mus baris a, qtiorum emωriores ternas lineas si duaeris Per puncta ulla duo, hic tria, tristonum visumbrantia,NGnquitur in medio nihil; tertius vero trissonus 10, basi ι, si loco punctorum quute norum lineas singulas acceperit eaterius circumeuntes: relinquetur in medio punctim unum. quod ad nullam figurantium linearum pertinet, sed interius spatium, veluti eis aut nucleum, adumbrat Bue de eclusa Pythasto, uel Meadem, omnisapam Matrem, quae semus omnia circum, Cedere nesciam et indomitam cassumque vocarunt ut ait Proetiis. AIque ipsa decem unitatum consummatio, M. uenarius eae hae tetraetyeollectus. eontinere et absolnere seu e summare Gornationem totius unirersi tradit est a Pythagoraeis, quos et Pluto sequitur. Nam I WnHersitas faria est eorporea et pensius, 2 continet omnis, quae sunt in ipsa, indissolubiliter, per vinculum a dogiae 3eu commensus, a tota est, quippe ea totis elementis, ε rotundum Uua eorpus es
149쪽
5 ipsa est, quae in se ipsa patitur et a εe ipsa Osriones omnes, s moretur in cireulum. 7 animatum oua corpus est, η temporia esse viris eri per rem taliones astrorum. s habet saera ereta sidera, in Deorum immerum reista. guue annum munum. M per D tum. conticiunt, io undiqumue perrectu t unirer itiis rerum, habens in se animis a omnia, quatuor formis assistituta se tra e tu, fres aeri, pisces aqvue, quadrupedestremo Hoc pacto ab unitate cui Pytho ruet , monuis eae antro 2 progressio estusque ad quatuor mi illi , ionee vel lotur Ud ipsum tetriada uini an γ rimiue denaris
parit, matrem omnium, uti dirimus. Eri uutem unitatis prostre us hibus movi: unus enim est mulidus; bimirius signat Primum in eo comprehensam multi dicitutem; ternarisa uitieulum et nodum, cooptationi rerum nece urium; nam ut durae solae res e mitin unum, seorsim a tertio, non est ps ibisse. Qui ternarius est numeriis elame uorum definitor et recensitor Mundus enim e t comus solidum, soIida vero duo duabus Aemper medietatibus indistent, ut in ntinus prisortione cun M t. norum vero sAc. 1, 2, 3 et 49 summa est denarius, de quo hacten M. Hic enim ornatus est uniceoitatis,haee dos, Ptia dotarit illam pictor citis. Haetelius Camerari ua ex veteribus, quibus
pleraque consentientia inculcat Hermes Trismegistus squisquis illo sui tu filio
suo Tatio, cujus haec verba: hunitas secundum rationem denarium eompleelitur rursumque denarius unitatem. μ Deinde e0ncupiscibilem animae saeuitatem componit ex I 2 ultoribus, seu vitiis euiicis ad numerum signorum Eodiaei, cui corpus et hanc ad corpus vergentem animas Potentiam subjicit, rationalem vero saeuitatem animae ex denario et ipse componit virtutum ethleamissi. Fie quod
Pyiliagoraei celebrant tetraetyn sontem animarum, et Camerarius plures uitsuisse tegraetrari non illam solum, quae a quaternarii basi surgit ad summam 10, sed etiam aliam praecipuam, quae ab Ogdoadis basi ad verticem usque colia ligit summam 36: idem et Tatius hic ex doctrina patris Hermetis innuit, dum tempus ait suisse, eum ipse adhuc esset in Ogdoade, octonario; filium vero pater ad Pimandrum remittit, de octonario cauentem, tu quo sane occnrrit octonarius habituum animae ethicorum, septem quidem respondentium planetis septem, ut 'pparet, initio a Luna laeto, octavi vero divinioris et quietioris ad sphaerae puto fixarum ideam. Omnia etiam geruntur per harmonias; plurima inculcaiio silentii. plurima meniis veritatisque mentio; proponitur et . trum, sui dus, penetrale, crater animarum et cetera multa, ut dubium nullum esse possit. quin aut Pythagoras hermetiset, aut Hermes pythagoriset. Aecedit enim et hoc, quod Hermes theologiam quandam tradit euit umqua divitii numinis, saepe Mosis, saepe Evangelistae Joannis in suo sensu paraphrastes, praesertim de regeneratione, ceremoniasque discipulo certas inculeat; cum id de Pytilagoraeis affirment auctores, partem eorum theologiae variisque teremoniis et superstitionibus deditam suisso, et Proclus Pythagoricus illeologiam
in numerorum contemplatione eolloce LHaec per digressionem: redeamus nunc ad Pythagoricum harmonicarum proportionum demonstrationem.
Huic enim philosophandi formae per numeros tantopere suerunt dediti Pythagorasti. ut jam ne aurium quidem judicio starent, quarum tamen indiciis ad philosophiam hanc initio pervenium erat, sed quid eoncinnum esset, quid
Inconcinnum, quid eonsonum, quid dissonum, ex solis suis numeris definirent, vim facientes instinctui naturali auditus. Stetitque tyrannis ista harmonimusque ad Ptolentaeunt, qui primus anto annos Ib00 sensum auditus contra philosophiam Pythagori eam asseruit recepitque inter concinna non tantum supra dietas proportioues et sequi tavam pro tono, sed admisit etiam sesqui- nonam pro tono minori, et sesquiquindecliuiam pro semitonio; nee tantum sti- perpartieulares alias addidit ab auribus probatas, ut sesquiquariam, sed etiam ex sit perpartientibus adscivit aliquas, ut intcr 3, 5 et iii ter 5, 8 et alias. Hoepaeto Ptolemaeus speculationem Pythagoricam de ortu proportionum harmoni-
150쪽
earum ut impingentem emendavit quidem, at non omnino ut salsam sustulit; quique aurium judietum suae dignitati restituit verbis et dogmate, idem tamen
rursum deseruit, inhaerena et ipse contemplationi numerorum abstractorum. Causa enim numeri singularumque proportionum harmonicarum ne sic quidem est adaequata suo essecivi, sed in desiniendis consonantiis deficit, in eoneinnis aliis excedit. Negat Ptolemaeus etiamnum, tertias sextasque, minorem et majorem quae eontinentur his proportionibus 4 : 5 et 5 : 6 et 5 : 8ὶ esse eon-
sonas, quod assirmant omnes hodierni musici beno auritu; recipit vicissim proportiones s: I et 7:8 aliasqtie inter eoncinna mustea intervalla, sic ut cantu procedente ab UT In O, statuatur aliqua vox media inter RE et III, in proportione, qua I medius est inter si et 8, quae notationis causa sit RI,
et jam eani possit UT, EI, O, sicut emi potest UT, NE, III, O, quod
est ab omnium hominnm auribus et usu eanendi abhorrentissimum; uteunque chordae sie attemperari possint, quippe quae, cum sint inanimast, judicium suum non interponunt, sed manum inepti speeulatoris, nullatenus repugnantes,
Praeterea. si maxime aequales essent latitudine et illa causa, ex numeris abstractis petita, et hic essectus, consonantiae, possetque non absurde videriarchetypasis causa, testans de eo, quod Pater rerum, Mens aeterna, numeros illos eontemplata, ideam inde desumserit votum intervallorumque, quae ut animis humanis placerent, eonsormatione animorum procurandum ipsi fuerit:
nondum tamen res adeo esset liquida. eur hi numeri I, 2, 3, 4, b, 6 etc. ad intervalla mustea concurrant, at 7, 11, 13 et similes non coneurrant, nee hujus rei causam ex se ipsis exhiberent numeri ut numeri. Nam causa illa de ternario principiorum, et familia quadratorum et cuborum inde deducta, causa est nulla, cum quinarius ab illa exulet, qui sibi inter musicorum intervallorum ortum jus civitatis eripi non patitur. 'Sed nee hoc satissaeit speculatori, quod scit, numeros I, 2, 3 esse symbola principiorum, quibus res naturales constant. Intervallum enim res est non naturalis, sed geometrica; ni3i igitur hi numeri aliud aliquid numerent, quod magis cognatum sit intervallis, nullam fidem philosophus adhibere poterit huic eausae, sed eam, ut non causam. suspectam habebit. His igitur do eausis ego ab annis viginti in hoe elaborandum mihi cen-sni, ut hanc mathematices physieesque partem illi astriorem redderem, inventis causis talibus, quae ex una parte et iudicio aurium satissaeerent in eonstitu-eudo consonantiarum ceterorumque concinnorum numero, nee ultra id, quod aures serunt, excurrerent; ex altera vero parie clarum et apertum discrimen statuerent inter numeros, qui formant intervalla musica, interqtie alienos ab hoc negotio; quae denique re pectu tam archetypi, quam mentis, quae archetypo utitur ad consormandas illi res, cognationem eum intervallis haberent eoque verisimilitudine clarissima niterentur, Cum enim intervallorum consonorum termini sint quantitates continuae, musas quoque, quae illa segregant a dissonis, oportet ex lamilia peti eontinuarum quantitatum, non ex numeris abstractis, ut quantitate discreta; et eum mens sit, quae animos humanos fleeonsormavit, ut hoc intervallo delectarentur quas est genuina definitio eonsoni et dissoniὶ, disserentias quoque unius ab altero, et causas. quibus haec intervalla fiunt harmonica, mentalem et intellectualem essentiam habere oportet: nimirum hanc, quod termini eonsonorum intervallorum proprie seibiles sunt,
dissonorum aut improprie scibiles aut inscibiles. Nam si scibiles illi, in mentem igitur veuare et ad consormandum archetypum adscisci possunt; sin vutem