장음표시 사용
151쪽
De Proportionibus inscibiles seo sensu, qui libro primo explicatus est , manserunt igitur foris
extra mentem opifieis aeterni, nee ullatenus ad archetypum eoncurre rit.
Sed de his Jam plura, ubi doetrinam hane ipsam per sua capita tradiderimus, quam incipiamus eum Deo, de cantu quidem ubique sermonem habentes, id
est de intervallis liarmonicis non abstractis, sed eum sono coneretis, mentis vero eruditis auribus ubique abstraeta a sonis intervalla subaudiemus, utpote quae non tantum in sonis inque eantu humano. sed etiam in aliis rebus sono
carentibus suam pariunt gratiam, ut quarto et quinto libris audiemus. capita Libri m.
Caput I. Ortus tonsonantiarum ex musis suis propriis. II. De septem ebordae seetionibus harmonicis totidemque lami fi consona
a III. De medietatibus harmonicis, et trinitate eonsonantiae.. IV. Ortus et donominatio Intervallorum usu alium seu concinnorum. V. Sectio et denominatio consonantiarum per sua intervalla u&ualia. VI. De cantus generibus, duro et molli. a VII. Proportio omnium oeto Ronorum usualium uning diapason. . VIII. Abscimio Remitoniorum, et ordo minimorum intervalloriam in diapason. IX. De diagrammate, lineis, notis literisque sonorum inditibus; de systemate, clavibus et scala musica. a X. De tetraphordis et syllabis ut, re, mi, is, sol, la. XI. De eompositionct systematum majorum. a XII. De consonantiis adulterinis, ex eompositione ortis., XIII. De eantu concinno simplici., XIV. De modis seu toniS., XV. Qui modi quibus serviant affectibus. . XVL De eantu figurato seu per harmoniam.
Desinitio. Cum veteres usi sint his vocibus: MOνο Ιωνον, rem νων os Maoφωνον, διαφωνον, in ι τ ονον, res ιφωνον, nobis dissonum idem sonabit, quod, α ιις αγνον, con8Onum idem quod συμφωνον, cujus sunt differentiae: identicum,
quod pro Maoφωνω usurpabimus, et non identicum, quod pro flingωνω. Et identici erunt duae species: uni sonum et identicum ex Opposito. Desinitio. In geometria disserunt vocabula pars et partes. Pars enim dieitur, cujus est totum secundum certam proportionem multiplex, puta duplum, triplum, quadruplum; partes Vero, quando non solum et unicum totum, sed aliqua totorum multitudo fuerit illarum multiplex. Ut una septima dieitur pars, quia totus circulus est septuplum hujus partis, at tres septimae dicuntur non pars sed partes, quia summa trium circulorum est septuplum hujus areus. Hie vero nos hac distinctione non utemur, sed partem dicemus tam unam, quam alteram dictarum portionum, hoe est, omnis portio longitudine effabilis dicetur nobis pars, cum hae tamen restrictione, si fuerit non major semicirculo Residuum vero illud dicetur, quod, ablata portione effabili a toto, remanet, non
minus existens semicirculo. Hi neeessaria est distinctio residui a parte, quin potest eue pars conaona 8que residuum dissonum, ut videbimus.
152쪽
Harmonieis. Liber III. caput I.
Desinitio. chorda hic sumitur non pro subtensa arcui cirenti, ut in geometria, sed pro omni longitudine, quae apta est ad sonum edendum; et quia sonus per motum elicitur, in abstraeto chorda intelligenda est de longitudine motus cujuscunque. vel de quacunque alia longitudine, etiam mento concepta. Axioma I. Diameter eireuli et latera fgurarum radiolium lib. I. explicatarum, quae propriam habent demonstrationem, determinant partem ei reuli
consonantem cum toto eirculo. Quomodo cireulus tendi possit, ut sonitum edat, et quomodo affigendus ravo corpori, ut resonantia existat, vel ab uno signo, ut totus sonet, vel a duobus, ni partes, id longum hic erit explicare; si e tamen exordiendum fuit, quia non tantum de cantu agitur, qui est harmonia cum sonis eo reta, sed etiam subintelligi debet intervallum abst actum a sonis. Quod cantum attinet, sumest chordam in rectum extensam siediviti posse, ut dividitur, cum est in circulum contorta, a latere figurae inscriptilis. Corollarium. Consonantiae infinitae sunt, quia figurae demonstrabiles infinitae. Nondum autem est tempus dicendi de eoneordantiarum delectu, qui sese non profert valde porro. Pythagoraei hic in numeris suis, ut causis, quaesiverunt metas magnitudinis intervallorum consonorum, quas solus humanus auditus illis figit, qui non est infinitae potentiae. Est igitur illa coarctatio numeri eoneordantiarum harmonicis intervallis abstractis tantum Meidentaria, non vero causalis. Ipsi etiam hodierni musici metas Pythagoricas egrediuntur; ut de harmoniis coelestibus jam taceam. Axioma II. Quo gradu lateris demonstratio distat a primo, eodem gradu et partis circuli, per latus rescissae, consonantia cum toto circulo recedit ab unisoni consonantia persectissima, seu quae sors est figurae. ei us est latus, inter
figuras ceteras, eadem sors est consonantiae illius inter ceteras. Ilae axioma inferius usurpabitur ad delectum eoneordantiarum habendum causa suavitatis.
Axioma III. Latera fgurarum regularium stellarumque indemonstrabilia determinant partem circuli dissonantem a toto cireulo; sic etiam latus figurae demonstrabile quidem, sed non per se nec demonstratione propria. Vel pro desectu demonstrationis propriae accerse ex lib. IL defeetum congruentiae: utroque modo excluditur quinderangulum. Hoe axioma absolvet integritatem causae eoneordantiarum, quam ego substituo, repudiatis Pythagoraeorum numeris abstraeus. Corollarium. Dissonant igitur hae partes a toto
l. 2. 3. 4. 5. 6. T. R 9. . . . 19 et alo tu infinitiun. Axioma IV. Figurae, quae cognatas habent demonstrationes Iaterum, pariunt etiam cognatas harmonias. Per hoc axioma probabitur origo et causa proportionum harmoniorum ex Ruperfluo. Axioma V. Chordae vel arcus circuli tensionis aequalis, habente' inter se, causa longitudinis, eandem proportionem, quae est inter partem vel residuum circuli et totum circulum, consonantiam etiam vel dissonantiam habent eandem, licet inter alios terminos vel sonos illa Gntineatur.
153쪽
In abstracto sic intelligatur. quod ei reuius eum parte sua eonstiti in proportiones certas harmonieas, quae, in qilibuscunqdo inveniantur terminis.aliis, seu Ronis seu motibus mutis, semper sint harmonicae. Additur autem hoc intoma ideo. quia non omnes proportiones harmonicae Immediate ex ipso eirculo oriuntur prima staliis Mus sectione per figuram regularem, sed aecedunt Hiquae ex se prioribus propagatae u3que ad certam meiam, ut in Propositionibus videbimus. Usus axiomatis . est in propos. 7. SAxioma VI. Cum duae eliordae sonos ediderint identicos, vox tertia,
consonans earum uni, consonabit et alteri, dissonans vero ab una, dissonabit et ab altera, qtialibuscunque divorsis etiam consonantiis vel dissonantiis. Nota. in subjecto poni speetem identisoni. in praedicato genus consoni, ut haec duo intelligamus: primo, non sequi: duae consonant qualit ieimque, ergo et tertiis consonat utrique, vel dissonat ab utraqlio. Hoc enim est salsum de genere, verum vero de specie identi sonorum; deinde nee hoe sequitur: si tertia eonsonat uni identi- sonorum aliqua certa consonantia, consonabit et Hieri eadem specie eonsonantiae, hoc enim non semper verum esset, quod declarabo exemplo, lieet ex antieipato: iant duae voces, facientes diapason G et ρι sit tertia d. illa iacit eum G diapente, ergo etiamst cons0nat, at non per diapente, sed per diatessaron. Usus auim praecipuus hiuua tomatis est prop. 4.
Axioma VII. Cum duae chordae vel voces ediderint sonos identieos, vox tertia, existens eum illarum una identisona, etiam eum illarum altera identire consonabit. Quod tu priori axiomate generaliter non potuit animari, id jam in specie verum est de identisonantia. Usus est in prop. 3.
De his igitur axiomatibus, praesertim de quinque prioribus, speculatio est sublimis, Platoni ea sideique Christianae,analoga, ad metaphysicam adque do tri 'am de anima specialis. Geometria enim, cujus partem huc spectantem libri duo priores sunt complexi, I eo coaeterna inque mente divina relucens, exempla Deo suppeditavit, ut in hujus libri praeambulo dictum, exornandi mundi, ut is seret optimus et pulcherrimus, denique Creatoris simillimus. Dei
Vero Creatoris imagines sunt, quotquot spiritus, animae. mentes suis Bingulae eorporibus sunt praesectae, ut illa gubernarent, moverent, augerent, tonserv&rent adeoque et propagarenticum igitur typum quendam ereationis sint complexae suis muniis, leges etiam eum ereatore easdem observant operis, ex geometria desumias, gaudentque proportionibus iisdem, quibus I eus est usus, ubicunque illas invenerint, sive nuda speculii tione, sive interpositis sensibus, in rebus sensui subjectis, sive Ptiam sine discursu mentis, per oeeulium et concreatum instinctum; sive Deus ipse proportiones hasce in eorporibus et motibus expresserit invariabiliter, sive quadam geometri ea iteressitate materiae in inlinitum dividuae mo-t manique per materiae qliatilitatem inter insinitas proportiones non harmonicas occurrerint etiam humionicae istae suis temporibus, et sic non in ense. sed in fieri consistant. Nee ianium paudent melites, Dei imagineμ, propor tionibus iis, sed uiuntur etiam iisdem pro legibus ad perii genda fiua munia proportionesque easdem in motibus Euorum corporum, qua licet, exprimendas. Exempla luculenta duo proserent libri sequentes, unum ipsius Dei Creatoris, qui proportionibus harmoni eis dispertitus est motus toplorum, altermn animae illius, quam mi iuram sublunarem dicere solemus, cienti meteora ad praescriptuni proportionum, quae oecurrunt in radiationibus astrorum. Tertium 'igitur et hujus libri proprium exemplum esto animne humanae adeoque et pecudum quadamienus. Illae enim pereeptis proportionibus vocima hammonicis gaudent, non harmonicis tristantur, a quibus animae arietibus illae
154쪽
Πarinonieis. Liber Π I. caput I.
harmoni o eonsonantiae indigetantur, hae non harmonimo dissonantiae.
Quodsi areesserit etiam altera proportio harmoni ea, vocum sonorumque longorum et brevium causa teinpolis, tune illae corpora sua saltationibus, ii guas pronuntiationibus ad easdem leges movent; huc opifices malleorum i ius. hue milites gressum neeommodant; vivunt omnia durantibus harmoniis, torpeseunt iisdem disturbatis. Haee et similia eonsilii sint instinetusve, hoc est mentis opus, an etiam
naturae elementorum materiaeque necessitate sat, ut temperies sensibus commoda nul in possit esse, nisi quae eonstet proportionibus figurarum harmoni eis, id varie disputatum fuit a plii losopliis, quaerentibus omnibus, unde existat illa. suavitas, quae auribus allabitur ex proportione meum, qua suavitate consonantias desinimus. Qui ad materiam et motum elementorum hirilitant, exempli im asserunt hoe, per se quidem sane qnam mirabile, quod ehorda pu aut a chordatu aliam non pulsatam seeum in sonitum trahit, si tensa suerit sibi consone, dissone tensam immotam relinquiti Hoeteum non possit ullius mentis ministerio seri, quia sonus, hoe eausatus, mentem aut intellectum non habet, sequitur, ut id contemperatione motuum fieri dieamus. Sonus enim chordae habet aeumen vel gravitatem aleeleritate vel tarditate vibrationis, qua tota chordae lontitudo libera vibratur, nee insunt hae sonorum dissere tiae primo et immediate In ipsa longitudine vel,brevitate, sed Reeundario, quia scilicet eum longitudine diminuta tarditas vibrationis diminuitur, celerintas augetur. Inde est, quod manente eadem chordae longitudine libera te loipsa sonum acuit, quia minus laxam chordam, relinquens, diminuit etiam sp sum, per quod illa reeiproco motu vibrari possit. Cnm testur duarum chom
darum I uerit eadem tensio, hic ut uni sonum reddere posaint, tune flonus unius,
id est species immateriata Grporis chordae, constitutae in vibratione, delapsa a sua chorda, serit chordam alteram; simi si quis Matum edat versus et, lyn aut aliud cavum, eo boatu pereulit id cavum, facitque resonare chordas Uus omnes; serit autem illa vibrationis pyeetes chordam alteram eodem rhythmo celeritatis, quo Diovetur et haec, quia aeque tensa, ut ita singuli ieius sinquos vibratio divisa esse intelligitur) in singulas pereussae alterius ehordiaeessiunculas perpetuo incidant: ita .sit, ut omnium maxime moveatur illa eborda, quae ad unisonum est tensa eum prima, movetur vero et illa chorda, quae duplae est aut si ibduplae celeritatis, quia duo vibrationis ictus in una chordae crasiuncula absolvuntur et pio Femper icius a priori tertius quisque eongruit in unius ressiuneulae' extremum; movetur denique et illa eborda nonnihil, quae est sesquialterae celeritatis, quia tres leti uneulae sunt in duabus hujus res itinculis, ped jam incipiunt invieem obviare crebrius illi ictus et haestu neu late seque mutuo impedire, dum duo illius ieius a fine eessiunculae hujus
aberrant, unus solus incidit congrue. qito oceursu motus Gordarum ceterarum
sistitur, non seeus ae si quis digitum vibratae admovisset. Haee mihi vid tur eausa mirabilis hujus experimenti: qui nio selieior est indagine mentis, ei palmam dabo. Quid igitur 3 si celeritas chordas unius valet ad motum ebordae alterius proportionatae, qui e quoad viεnm manet inlaeta, an non eaedem releritates duarum chordarum inter se valebunt ad titillationem auditus suavem propterea quod is quodammodo uniformiter ab iitraqite eliorda movetur dumite letus a duobus sonis seu vibrationibus in idem momentum competunt 7 Nequaquam vero, inquam ego, ita facile transigitur eum hac re, mirorque Porphyrio, commentatori super Harmonica Ptolemaei, tale quid ei rea hujus rei causam rati
155쪽
Do Proportion sincere politisse, eum profundissimae indarnis philosophus sit, nisi quod veristini te, disticultate perquirendae causae eohibitum fuisse, quo minus quantum vellet penetraret, satiusque putavisse, aliquid prodere, quam penitus taeere, quod turpe philosopho esse dictitant. Nam quas quaeso proportio titillationis auditus, rei corporeae, ad incredibilem illam voluptatem, quam ex harmonicis consonantiis intus in animo penitissime percipimus ' Nonne, si qua voluptas est ex iii Illatione, de ea voluptate primas tenet membrim , quod titillationem sustinet 3 Sie enim dosiniendus mihi visus est sensus omnis in Dioptricis ilI. p. basi, quod pa demum sit absoluta sensio, voluptatem aut dolorem pariens, eum species membri sensioni destinati, ut id est assectum ab
externa re, venit introrsum ait sensus communis tribunal commeatu spirituum. Jam vero in auditione consonantium voeum vel sonorum quae quaeso partes
voluptatis in auribus haerent 7 Nonne dolemus interdum ab auribus, dum inhiamus huie auditioni, et manum opponimus elangoribus nimiis, nihilo tamen minus pergimus ad percipiendas eonsonantius et eor nobis subsultat 3 Adde
quod haec ratio a motu deducta potissima est in uni sono; suavitas vero non praecipua in unisono. sed in aliis consonantiis earumque eompositione. Multa possent asseret ad destruendam hane allatam rationem suavitatis ex consonantiis, quae mitto in praesens curiosius e scribere; illud uniciam inculco, quod, jam supra tactum n me, possit esse loco omnium, quod opera niotusque corporum, aemuli proportionum harmoni earum, ab animae mentisque partibus sient, iis causam assignantes, cur eonsonantiae delectent. Nec abhorret auctoritas veterum, qui animam nune motum, nune harmoniam definientes, non
tam absurde locuti sunt, quam inepte exeopti, eum in rebus disseilibus mystici plerumque sensus lateant, sub verborum eortires reeonditi. Timaei quidem Locrensis philosophia, quomodo compo3ita sit anima ex proportionibus harmonicis, de qua in praeambulo, resutata est ab Aristotele in eo sensu, ut εοunni verba; non ausim tamen affirmare, nihil in iis pagellis latere, nisi quod sonant verba, imo negaturum puto neminem, quin is auetor hoc ad ml-nimum teneat, quod hie astruo, mentem esse animi inique humanum, cujus seu judicio seu instinctu sensus auditus proportiones suaves, hoc est consonas, ubinsuavibus et dissonis dis reat, quippe qui hoe diligenter expendit, ympo tiones 'esse rationis entia, ratione sola non sensu pereeptibilia, et pr0portiones ceu formam a re proportionata ceu materia distinguere, mentis opus esse. Cum autem duas si rarimi regularium proprietates explicaverimus: d monstrabilitatem seientiscam laterum in sintulis et congruentiam inter se t tarum junctarum, non ejusdem plane latitudinis utramque, de demonstratione qaedem axiomata nostra sonant potissimum, quia haec maris lamiliaris est proportionibus motuum, ex quibus etiam soni existunt. Nam congruentia inest figuris, ut totae sunt, motus vero quibus aecidunt proportiones harmonicae figurae, a qua derivantur, latera in rectum extendunt scum plerique omnes ut reeti linei considerentur) et sie fguram suam, ut serpentes matrem, perimunt et destruunt. Figura in quantum congrua, cireulum interrum distinguit in partes, proportiones harmoni eae cireulum distinctum hi recliam extendunt, distinetionis a figura factae actum delent. Ne consonantiae cum figuris demonstrabilibus in infinitum excurrunt, figurae congruae numero duodenario finiuntur. Deniquo distinetlonem eireuli quaelibet figura facit unicam, at pa tes in cireulo constitutae duas semper laesunt cum toto consonantias. Etsi vero potior in hoc tertio libro ratio erit demonstrationis scientiscae laterum, quam congruentiae figurarum totarum, haec tamen propter magnam
156쪽
eognationem in loeo non erit negligenda. Primum enim Latina significatio Vocis, congruentia, sl omnia excultas. idem sonat, quod Graeea vox harm nia, de quibus hoe libro agemus, nisi quod usus vores has e rebus subjectis parumper dii tinxit, deinde congruentia figurarum e eiliat motibus de quibus hoc et quinto libro) aliquam congruentiam. Tertio etsi non tam ad figuram totam respicimus, quam ad unum ejus latus quamque id partem rescindit, ea consona est; at simul et hoc verum, quod non tam id consideremus, quanta pars circuli sit intereepta, quam cujusmodi figura id sit laetum, demonstrabili et congrua an contraria. Nam figura quaelibet ex angulis suis, ex quibus libro II. congruentiam sortiebatur, adepta est et demonstrationem libro I. Non est igitur ab harmoniis auferendus respeetus eongruentiae figurarum. Propositio I. Dimidii eum toto eonsonantia post unisonum fiola est in primo gradu, simplex, persecta et identica, scilicet ex opposito.
Nam quod figuratum est, id ex diversis est compositum, non igitur vel simplex vel identicum. Figura enim habet aream et partes seeundam eam et angulos situ differentes. Quod vero figuratum non est, quod scilicet areae latitudine caret et secundum eam et partibus et angulis, existens una mera linea reeta eaque aequalis mensurae propoSitae, id ob haee ipsa et simplex est et idem eum mensura. hoe est identicum. Illiusmodi vero sunt figurae regulares eirento inseriptae, huiusmodi diameter circuli. ii Figurarum enim omnia latora deflectunt aequaliter a eretro, diame. ter per ipsum contrum duestur. 23 Monsor, eirentum ab uno puncto eum latere figurae dividens. nbi perrexerit hoe laetendo aliquoties, Me tandem eum altero lateris termino redit ad punetum primum; diameter vero. per tentriim ipsum transiens, primantritim repetitione rodit ad initiale pnnetum. Figura o reli prae M longitudinem habent laterum et superficiem areae . quam circumdant: diameter nullam plani partem eirenmdans includensis, repesitionibus iteratis in se ipsam seeunda vire tota coincidit. at Figuras ceterae circillum dividentes faciunt partes multas; diameter facit partes minimo omnium numero, sc. tantum duas, nee enim partitura totum pauciores du bns saerea omnino potuit. 5 Cumque diameter sit illa mensura, ad quam latera figurarum comi aranda sunt notionis et demon trationis musa, latera quidem figurarum rhliquartim operosius describuntur impersectiorique demonstrationis gradu in aetum scientiae perducuntur; at diameter circuli simplieissima lege des inur ductu pereentrum ab uno circuli pnncto ad oppositum, aequatque ipsa se ipsam suique ipsi mon ura ost. si Figurarum etiam latera in divisione una eirenti seu in abseetaono partis faeiunt phrtiones inaequales et partem minorem residuo; diametor parim abseetam relinquit aequalem residuo. Hare vero proportio aequilitatis pura est et simplex et persecta. quia Partes, quae sunt inter se aequales, illae causa mensurationis idem sunt. 73 Denique figurae ceterae circumserentiam qnidem elaeuli dividunt in partes a qnales inquammultas, at aream circuli in partes inaequales, quia relinquitur in medio una, M. area figurae, major quolibet segmentorum; diameter non ei re Diorentiam tantum . sed simul otiam aream in duo dividit aequalia. Sed per axioma 2. lateris seu lineae, quae circulum cividit eonsonanter, ingenium transit in eonsonantiam ipsam. Ergo partis, quam de cireulo rescindit diameter, id est spinteireuli eum toto circulo consonantia est simplex, persecta et identio. Et per axioma b. etiam omnes aliae longitudines, quae sunt inter se uι totus eireulus ad sui dimidium. faciunt eandem. id est id niteam, perfectam et simplicem consonantiam. Et in numeris inon plane quidem abstractis et numerantibus, sis longitudinibus nn-meratisi proportio dupla, inter se. t et 2, ut et inter eorum aeque multiplices, gigniteonsonantiam identicam.
Nota hie. qnemadmodum diameter Per onmes simplicitates et perseetiones suas non tamen tam simplex est, ut punctum, sed manet linea, duobus circuli punetis te minata, eirculum secans in Ioeis oppositis et partes duas eonstituens, et quemadmodum istae partes, licet inter se Elat aequales, Bingulae tamen ino toto fiunt minores,
157쪽
sie eum tonsonantia identio non est uanen unlaoniis, et vocum licet Mentire eon. sonantium altera tamen minor est, altera major; illa scilicet acuta, haec gravis, illi ex opposito velliti respondens: unde consonantia haee ex opposito identi ea dicitur. Ilabes igitur causam genuinam ex diametro circuli, cur sonus chordae totius cum sono chordae dimidiae, quamvis inter se diversi sint, ab studiiu tamen respectu eoneordantiariam reterarum quodammodo pro eodem habeatur. Frustra alii causam hujus identi onantiae petunt ex numero vomm octo. eum id ntisonantia sit natura prior divisione intervalli hujns in coneinna s ptem, quibus soni octo designantur. Nondum autem tempus est, huic consonantiae nomen dandi, uti neque ceteris: differendum enim hoc est in eaput b. Nota tamen et hoc, quod hi rutilae eousonometiam aliae partes, quae non constituuntur per diametriim ed non in Primo gradu, nee ut per figuras. sed ut per propagationem, de qua sequentes sunt propositiones
Propositio II. Si duarum circuli partium minor ad majorem sie habuerit, ut major se habet ad totum circulum, proporti0ne alia quam dupla
continuo, tune majore consonante cum circulo toto, minor pars a toto di sonabit. Nam post diaptam e t tripla. tripla vero eontinna constituit loco tertio partem totitis eirculi nonam, quintupla vie imam quintam, sextupla implicat nonam, decuplaricestinam quintam. quia 6 sexies fiant 36, quod est quater novem, et 10 deeies xunt 100. quod est quater 25. St.sie etiam de eoteris. Atqui nqna et 25 et similes dis sonant a toto, per axioma a. Vide libro primo prop. 47. Propositio III. Chordae in proportione cominite dupla consonant inter ω omnes identies, distantiores tamen gradu remotiori.
Habent enim inter se mutuo tres proximis ut totus eireulus et dimidium riqnaria pars sa habent, inter se mutno. At eum toto eirculo tam dimidia, quam qnaria pars consonant, per ax. l. Cum dimidio vero consonM et quarta, per ax. b. Quxre omnes tres proximae inter se consonant. Identica vero est coum nantia ouam partia quartae eum toto cireulo, quia tot na et dimidium rius consonant identice, per prop. l. Sila etiam pars quarta eum dimidia per eandem, quare por ax. T. etiam quarta paraeum toto eirenti, identice emisonat, et per ax. 5. quodlibet quRdrupliam eum simplo. Jam vero qnRe ratio est primae. Menndae et tertiae proportionalium, eadem erites Reerandae. tertiae et quartae 3 ot ale continuε tritam inter sct identice. Nota igitur in talibus dixerimen eonsonantiae in genore, et identisonantiso in perie. Consonalit partes quarta. oetava. Red ei ma et similes setiam propter axioma l. at figuras leuam,num . oetogonum pQ.; identie vero consonant, Propi Pr Recedentem yt aetationem hQus seetae figuramim ex bisectione curenti. Nam si absque hae pro-paxatione fuisset. non suissoni identi ae eartim consonantiae. Cum enim figurae omneas ciant vel mustas partes direnti. si aequales, ves inarquales, si tantum binas, eum aream eompr hendant, nm eirenti aream in aequalia dividant, nee earum talem per renuum dncant tiri nee in Fa ipsa r cidant, nee aequentur diametro . eonsonautiae etiam ex figuris tetragonicas geetae ortae dilatassent se quodammodo in auditu et distendissent animum vari tale et diuer ita e vomun manifesta. ut saetunt consonantiae, quas sunt a figuris emeri . numero non pariter pari latorum constantibus; Per prop. l. Non omnia tamen vis admia est huic fleti rartim seetae variandi consonantias
et deflectendi illas a pnritate identisonantiae ssimi ipsae a simplicitate diametri reis cesserant . Primum enim. etsi partis eirenti a figura rescissao eonsonantia eonvertitur in m ram identisonantiam spropter dictam propagationem partium circuli a prima omnium bisectione . tamen gradus identisonanti ase fiunt remoti irps, semper enim minor tum proxima ga mesore eonsonans ex opposito identico sit acutior. multiplicatis oppositionum vicibus, itaque sempor augontur vocum intervalla. Feeundo, in parte quidpin manet identisonantia int in Reetione per diametrum , at in resiano nequa qnam: fit enim residuum hoe sempor in figuris po terioribiis se ipso des ritis. quan-rum ad naturam harmonieam. Sed do residuis alibus sequuntur propositiones peeu-
158쪽
Ηarmoniera. Liber III. Caput L
Metae ceterae . in quantum partieipant bisections, in tantum etiam identios faeilanteonsonantias; semper enim pars circuli, rescissa a latere figurae muterioria. eum parte a prioris latero resei a consonat identiee; ut docent propositiones reliquae. Ita eodi stat analogia omnibus suis membris. Usus hvius prop. Est in sequenti.
Propositio IV. Chorda, quae consonat cum alterutra multiplicium proportionis duplae continuae, consonat et eum reliqua, et si ab una disso nat, etiam ab altera dissonat. Nam per pr. 3. soni continuo duplamim fiunt inter se identiet. Quod vere idon
licaria in chordarum uni eonsonat, et alteri consonat et cetera, per m. s. Hi jus Propositionis causa positum fuit axioma 6. et servit haee propositio j mpartibus et residuis circulorum examinandis. Caveant setoli a contreetione propos, tionum et axiomatum; nulla n. tautologia est, omnia liecessaria; involvet se, quisquis rem brevius transigere voluerit.
Propositio V. Etsi latera stellarum demonstrabilia cetera propter demonstrabilitatem eodem jure consonas toti partes in eirculo determinant, quo jure id faciunt figurae illarum radicales, ut est in axiomate primo, exeipiuntur tamen illa, quae pariem circuli absecant constantem numero partium, quas sedit figura radicatis proprio alicujus figurae indemoustrabilis, quando partis et totius numeri fuerint inter se primi.
Prima hujus propositionis pars est axioma. quod ne nimium generale fieret, per secundam propositionis Partem restringendum sulti Ire monstrauir autem sie: esto namque circulus diu us a fgura demonstrabili, verbi causa ab icosigono i esto jam Stella icosigonica, eujus latus subtendat ab ico igono saetas, si e ut 9 st 20 si ut inter se primi. Cum ergo para abseeta sit de circulo, illa minor sane erit quam totum; at poterit esse major quam totius dimidium vel liuarta vel octava, idque eo que dividendo, quoad aliqua totius. pars continue subdupla fuerit minor dimidio hujus, de qua agimus, partis: ut quia in exemplo nostro totum est 20, pars ne qua agimus 9, sumatur totius dimidium lii iterumque dimidium hujus b, et tertio 2 tava totius. Haec jam est minor quam dimitatim ipsius 9. Habet ergo se para nostra υ ad octavam totius cireuli 24, ut circulus divisus figum indemonstrabili ad aliquam suae divisionis partem. sc. ut IS ad b; autem axiomatis 3. corollarium pronutaei vit diissonare astolo id, quare per axioma b.i nostrae divisionis para 9 dissonabil b octava cireuli divisionis vostrae partibus 2D; dissonabit ergo per prop. 4. parenostra 9 etiam a toto circulo D, quamvis Hus subtensa ait demonstrabilis, sed raemotissimo gradu, etiamque stella ejus ex incongruis esti , . iPropositio VI. Icesidua circulorum vel chordarum post abscissas
partes eoi onas toti, si Runt partis Fuae consutianiis conluiue dupla, eons naut et cum porte abscissa et cum t0lo circulo veli chorda. Cum abscissa Per prop. l. , cum toto Per Pr0P. 4.
Propositio VII. Si tale residuum habuerit eandem proportionem ad circuli vel chordae dimidium vel quariam partem, quam totus eirculus habet
ud aliam aliquii tu partem sui coiiso iam, consonabit etiam cum toto cireulo; si ut ad portionem dissonam, dissonabit. icirculus enim totus Husque dimidium et par quarta stunt in proportione comtinue dupla; quare sper pr. 4. quae residua Parti tali cireuli consonant, consonant et toti, et quae ab illa dissonant, etiam ab hoc dissonabunt. At consonant parti tali residua illa, quae prop0ritonim eandem habuerint ad illam, quam totus ad quameun-que partem tonsonam, dissonamque a parte tali, quae proportionem ad illam habuerint, Dam ei reuius ad quamcunqtie pariem dissonam; idque per axioma b. Ergo
alia residua eonsonant et toti cireulo; euntraria di sonant a toto et reulo. Hare prop. est propter sequent om prop. S.
Propositio VIII. Ad abscissam vero partem si proportionem eandem habuerit residuum, quam totus cireulus ad partem quamcunque eongonam,
159쪽
De Prommonibus e sonat etiam eum a visa, sicut priori propositione eum toto eonsonabat; ain eam, quam totus ad aliquam dissonam partem, dissonabit et ab ab issa
parte et a toto. Primum membrum nititur axiomate b. ut et posterioris membri partienta una, quod residunm dissonet a parte abscissa Quod vero talo residuum dissonet etiam x toto. sie probatur: capit enim id in dicta proportione loeum totius eireuli pεr figuram indemonstrabilem divisi, quare etsi residuum tale Est minus toto eireulo. cujus est residuum, at m jus tamen mi semicirculo, ex defiuiti inst rogi dui. Quodsi majus est semicirculo suo, quarta igitur circuli sui pars, quippe dimidia semieireuli, minor est residui hujus dimidio. Quare ut residuum ad eirculi sui quartum, sie serit aliquis cireulus divisus a figura indemonstrabili, ad aliquam suam partem divisionis illius At dissonat totus talis cireulus a tali sua parte per ax. A, dissonabit igitur et dictum residuum a cireuli sui quarta, per ax. b., dissonabit igitur etiam a toto suo elaeulo, per prop. 7.
Corollarium ad has propositiones. Sunt ergo
De Seetione Harmonica chordae. Hactenus originem do imus harmonicariam proportionum, eamque duplieem, unam immediatam a figuris demonstrabilibus iisdemqne et eongrui ;alteram mediante proportione dupla, qua nititur eonsonantiarum identitas. Cum autem infinitae sint harmonicae proportiones eaeque quoad nostram tognitionem adhue rudes, impolitae, ineonspicuae et innominatae et eoae ruatae seu disjectae potius, ut aliqua rudium lapidum ligitorumque topia: sequitur ut progrediamur ad eas pollendas, ad nomina ipsis indenda, denique ad pulcherrimum aediseium systematis harmonici seu scalae musteae ex iis exstruendum, evius eo titullo non est arbitraria, ut quis eogitare possit, non inventum humanum tale, quod mutari etiam possit, sed rationabilissima itaturalissimaque, adeo ut Deus ipse Creator illam expresserit in eontemperatione motuum eoelestium. Coagmentantur autem proportiones harmonicae in unum systema per Metiones ehordae harmonitas, quae quot Rint numero, id hoc eapite perquirendum erit. . Den Milo. Cum tota chorda secatur in partes tales, quae et inter se et eum tota singulae consonent, sectio liarmonica nobis dieetur. Μedium vero secitonis huius. musice fid est consone proportionatae, est partium duarum aequalium una, vel si inaequales, earum major; extrema proportionis consonae sunt pars reliqua vel minor et chorda tota. Observet geometra malogiam proportiorus divinae seu secundum extrema et medium, in qua tota habet eandem proportionem ad partem
160쪽
Harmonicis. Liber m. caput αm jorem, quam et major habet ad minorem. Quod enim in hae Metione geometrio est proportio eadem, id in nostra Metione musica est qualitas eadem quae consonantia, encordantia, eongruentia, harmouia dieitur. Cave tamen subsumseris eonsonanuam specie eandem, sicut illi e proportio ext uniea. Veteres h Mus sectionis non meminerunt hoc sensu, quia veras eonsonantiarume ausas nesciverunt; de ipsorum vero sectione chordae agemus inserius. Propositio IX. Sectio chordae in partes duas aequales est harmonica. Nam quia partes aequales S um edunt eundem in una aliqua tensione per axioma 2 tota vero est singularum dupla, eonsonat igitur identiee - - θ' ieum Parum unaquaque, per Pr0P. l: tres igitur consonxntiae, quare per definitionem ehorda secta est harmonice. ---
Propositio X. Sectio chordae in duas partes, proportionis duplae, est harmonica.
Partes enim hujus proportionis cons0nant identico Per prop. l. Et quia pars mesor est dupla, minoris, tota igitur est 'tripla minoris. Est igitur ad minorem, ut Erculus ad partem trigonico latere reseetam, et consonam, per eorollarium ultimum eapitis prioris; quare et ipsa tota parii minori eousona est, Per ax. b. Consonat igitur et Hus duplae, Se. residuo, per propos. 4. Tres igitur Per hane sectionem '- -a
consonantiae constituuntur, ergo Pin. - -
Propositio M. Seelio chordae in duas partes, proportionis inter se triplae, est harmonica. Nam quia partes 1 et 3 sunt ad invicem ut pars circuli eonsona -- ad totum, consonabunt et ipsae inter se. per ax. b. Et quia l. et 3 saetunt 4, pars i eum toto 4 eonsonabit Per axioma 1 et per prop. 3. Denique quia residuum 3 consonat eum parte 1, consonabit etiam cum ejus quadruplo 4, εα eum tota chorda. Quare et hie tres
Propositio XII. Sectio chordae in duas partes, proportionis
inter se quadruplae, est harmonica. Nam quia partes sunt in quadrupla prop., consonant igitur inter se identice, per prop. 3, et quia 1 et 4 faciunt b, ergo pars i eum tota b consonat, per axi0ma 1. et corollarium dictum. Quam tota b consonat etiam eum partis 1 quadrupla 4. per Pr. 4. Tres igitur
Propositio XIII. Sectio chordae In duas paries, proportionis
inter se quintuplae . est harmonica. Nam quia pars est 1, residuum 5, habent igitur proportionem, qliam eirculus totus ad partem eonsonantem, per m. s. et corollarium Sidictum. Quare et ipsae inter se consonae sunt, per ax. b. Et quia pars t eum residuo b facit 6 totum, igitur sper ax. l. et corolliarium pars 1 consonat cum toto 6. Et quia residuum best ad quartam partem de toto cireulo 6 scilieet ad hujus divisionis) ut circulus totus l0 ad partem consonam a , per corollarium, quare et residuum 5 cum toto 6 tonsonabit, porprop. 7. Vel quod eodem redit, quia residuum 5 est ad totius ei reuli 6 duplum 12, ut pars consona ad tot uin, per corollarium, quare et hoc residuum 5 consonabit